2021届高三数学（文）一轮复习夯基提能作业本：第七章 不等式 第四节 基本不等式及其应用 Word版含解析

这是一份2021届高三数学（文）一轮复习夯基提能作业本：第七章 不等式 第四节 基本不等式及其应用 Word版含解析，共7页。试卷主要包含了当x>0时,函数f=有，的最大值为等内容，欢迎下载使用。

A组 基础题组
1.(2016海南调研)已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,则ab的最大值为( )
A.1B.C.D.
2.当x>0时,函数f(x)=有( )
A.最小值1B.最大值1C.最小值2D.最大值2
3.(-6≤a≤3)的最大值为( )
A.9B.C.3D.
4.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是( )
A.0,2]B.-2,0]C.-2,+∞)D.(-∞,-2]
5.(2016宁夏银川模拟)若直线2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则+的最小值是( )
A.2-B.-1C.3+2D.3-2
6.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= .
7.已知a>0,b>0,a+2b=3,则+的最小值为 .
8.若实数a,b满足+=,则ab的最小值为 .
9.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求
(1)xy的最小值;
(2)x+y的最小值.
10.某厂家拟在2017年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-(k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数;
(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
11.(2016东北育才学校模拟)设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0)(a>0,b>0,O为坐标原点),若A,B,C三点共线,则+的最小值是( )
A.4B.C.8D.9
12.(2016安徽铜陵二模)已知a>-1,b>-2,(a+1)(b+2)=16,则a+b的最小值是( )
A.4B.5C.6D.7
13.若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+A.(-1,4)B.(-∞,-1)∪(4,+∞)
C.(-4,1)D.(-∞,0)∪(3,+∞)
14.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为( )
A.0B.1C.D.3
15.(2015山东,14,5分)定义运算“⊗”:x⊗y=(x,y∈R,xy≠0).当x>0,y>0时,x⊗y+(2y)⊗x的最小值为 .
16.已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为 .
17.某造纸厂拟建一座底面形状为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周的围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;
(2)若由于地形限制,该水池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
答案全解全析
A组 基础题组
1.B ∵a,b∈(0,+∞),
∴1=a+b≥2,∴ab≤,
当且仅当a=b=时等号成立.
2.B ∵x>0,∴f(x)=≤=1.
当且仅当x=,即x=1时取等号.
所以f(x)有最大值1.
3.B 因为-6≤a≤3,所以3-a≥0,a+6≥0,则由基本不等式可知,≤=,当且仅当a=-时等号成立.
4.D ∵1=2x+2y≥2=2(当且仅当2x=2y时等号成立),∴≤,∴2x+y≤,∴x+y≤-2.
5.C 易知圆心为(1,2),由题意知圆心(1,2)在直线2ax+by-2=0上,∴a+b=1,∴+=(a+b)=3++≥3+2.当且仅当=,即a=2-,b=-1时等号成立.
6.答案 36
解析 ∵x>0,a>0,∴f(x)=4x+≥2=4,当且仅当4x=,即a=4x2时取等号,则由题意知a=4×32=36.
7.答案
解析 由a+2b=3得a+b=1,
又a>0,b>0,
∴+=
=++≥+2=.
当且仅当a=2b=时取等号.
8.答案 2
解析 由+=,知a>0,b>0,
所以=+≥2,即ab≥2,
当且仅当
即a=,b=2时取“=”,
所以ab的最小值为2.
9.解析 (1)由2x+8y-xy=0,
得+=1.
又x>0,y>0,
所以1=+≥2=,
得xy≥64,
当且仅当x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,
则x+y=·(x+y)=10++≥10+2=18.
当且仅当x=12且y=6时等号成立,
所以x+y的最小值为18.
10.解析 (1)由题意知,当m=0时,x=1,
∴1=3-k⇒k=2,∴x=3-,
每件产品的销售价格为1.5×(元),
∴y=1.5x×-8-16x-m
=-+29(m≥0).
(2)∵m≥0时,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时,取等号,
∴y≤-8+29=21.
故该厂家2017年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大.
B组 提升题组
11.D ∵=-=(a-1,1),
=-=(-b-1,2),
若A,B,C三点共线,
则有∥,
∴(a-1)×2-1×(-b-1)=0,∴2a+b=1,
又a>0,b>0,
∴+=·(2a+b)
=5++≥5+2=9,
当且仅当即a=b=时等号成立.
12.B 因为a>-1,b>-2,所以a+1>0,b+2>0,又(a+1)·(b+2)≤,即16≤,则a+b≥5,当且仅当a+1=b+2,即a=3,b=2时等号成立,故选B.
13.B ∵不等式x+∴0,y>0,且+=1,∴x+==++2≥2+2=4,当且仅当=,即x=2,y=8时取等号,∴=4,故m2-3m>4,解得m<-1或m>4.∴实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞),故选B.
14.B 由x2-3xy+4y2-z=0,
得z=x2-3xy+4y2,
∴==.
又x、y为正实数,∴+≥4,
当且仅当x=2y时取等号,此时有最大值,z=2y2.
∴+-=+-=-+=-+1,当=1,即y=1时,上式有最大值1,故选B.
15.答案
解析 x⊗y+(2y)⊗x=+===+,
∵x>0,y>0,∴+≥2=,
当且仅当=,即x=y时等号成立,
故所求的最小值为.
16.答案 4,12]
解析 ∵2xy=6-(x2+4y2),又2xy≤,∴6-(x2+4y2)≤,∴x2+4y2≥4(当且仅当x=2y时取等号).又∵(x+2y)2=6+2xy≥0,即2xy≥-6,∴z=x2+4y2=6-2xy≤12(当且仅当x=-2y时取等号).综上可知4≤x2+4y2≤12.即z=x2+4y2的取值范围为4,12].
17.解析 (1)设总造价为f(x)元,污水处理池的宽为x米,则长为米.
总造价f(x)=400×+248×2x+80×162=1296x++12960
=元,
∵x>0,∴f(x)≥1296×2+12960=38880,
当且仅当x=,即x=10时取等号.
∴当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元.
(2)由限制条件知∴≤x≤16.
设g(x)=x+,
则g'(x)=1-,因为g'(x)=1-在上恒大于零,故g(x)在上是增函数,
∴当x=时,g(x)取最小值,即f(x)取最小值,为1296×+12960=38882.
∴当污水处理池的长为16米,宽为米时总造价最低,最低总造价为38882元.
B组 提升题组