试卷 2021年山东省德州市庆云县徐园子中学等八校中考数学联考试卷（4月份）

这是一份试卷 2021年山东省德州市庆云县徐园子中学等八校中考数学联考试卷（4月份），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省德州市庆云县徐园子中学等八校中考数学联考试卷（4月份）
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1．（4分）在实数﹣1，﹣，0，中，最小的实数是（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．﹣
2．（4分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（　　）
A．2.2×108 B．2.2×10﹣8 C．0.22×10﹣7 D．22×10﹣9
3．（4分）在函数y＝+中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜4 B．x≥4且x≠﹣3 C．x＞4 D．x≤4且x≠﹣3
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a+a2＝a3 B．a6÷a3＝a2
C．（﹣a2b）3＝a6b3 D．（a﹣2）（a+2）＝a2﹣4
5．（4分）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣ B．m＜3 C．﹣＜m＜3 D．﹣＜m≤3
6．（4分）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（　　）

A．135° B．120° C．115° D．105°
7．（4分）一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
8．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
9．（4分）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①A，B两村相距10km；
②出发1.25h后两人相遇；
③甲每小时比乙多骑行8km；
④相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km．
其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（4分）如图，D、E分别为△ABC的底边所在直线上的两点，BD＝EC，过A作直线l，作DM∥BA交l于M，作EN∥CA交l于N．设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则（　　）

A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2
D．S1与S2的大小与过点A的直线位置有关
11．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（　　）
A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2
12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴与点E，则下列结论：
①2a+b＝0；②b+2c＞0；③a+b＞am2+bm（m为任意实数）；④一元二次方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；⑤当△BCD为直角三角形时，a的值有2个；⑥若点P为对称轴上的动点，则|PB﹣PC|有最大值，最大值为．其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13．（4分）有5张无差别的卡片，上面分别标有﹣1，0，，，π，从中随机抽取1张，则抽出的数是无理数的概率是　 　．
14．（4分）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是　 　．
15．（4分）关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，则a的取值范围为　 　．
16．（4分）若α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则（α+1）（β+1）的值为　 　．
17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为　 　．
18．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为　 　．

三、解答题（本大题共小题，共.0分）
19．（8分）（1）计算：（﹣）﹣2+（2020﹣π）0tan60°﹣|﹣3|．
（2）解分式方程：．
20．（10分）解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•（﹣），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAD．
（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．

22．（12分）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23．（12分）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数　 　；
（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
24．（12分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求n的值；
（2）结合图象，直接写出不等式＜kx+b的解集；
（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．

25．（14分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


2021年山东省德州市庆云县徐园子中学等八校中考数学联考试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1．（4分）在实数﹣1，﹣，0，中，最小的实数是（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．﹣
【分析】直接利用实数比较大小的方法得出答案．
【解答】解：∵|﹣|＞|﹣1|，
∴﹣1＞﹣，
∴实数﹣1，﹣，0，中，﹣＜﹣1＜0＜．
故4个实数中最小的实数是：﹣．
故选：D．
2．（4分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用．22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（　　）
A．2.2×108 B．2.2×10﹣8 C．0.22×10﹣7 D．22×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：将0.000000022用科学记数法表示为2.2×10﹣8．
故选：B．
3．（4分）在函数y＝+中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜4 B．x≥4且x≠﹣3 C．x＞4 D．x≤4且x≠﹣3
【分析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列出不等式，计算即可．
【解答】解：由题意得，x+3≠0，4﹣x≥0，
解得，x≤4且x≠﹣3，
故选：D．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a+a2＝a3 B．a6÷a3＝a2
C．（﹣a2b）3＝a6b3 D．（a﹣2）（a+2）＝a2﹣4
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则，平方差公式计算后，得出结果，作出判断．
【解答】解：A、a与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a3＝a3，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（﹣a2b）3＝﹣a6b3，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（a﹣2）（a+2）＝a2﹣4，原计算正确，故此选项符合题意，
故选：D．
5．（4分）若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣ B．m＜3 C．﹣＜m＜3 D．﹣＜m≤3
【分析】根据题意得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可．
【解答】解：根据题意得，
解得﹣＜m≤3．
故选：D．
6．（4分）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F＝30°，∠C＝45°，AB与DE相交于点G，当EF∥BC时，∠EGB的度数是（　　）

A．135° B．120° C．115° D．105°
【分析】过点G作HG∥BC，则有∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，又因为△DEF和△ABC都是特殊直角三角形，∠F＝30°，∠C＝45°，可以得到∠E＝60°，∠B＝45°，有∠EGB＝∠HGE+∠HGB即可得出答案．
【解答】解：过点G作HG∥BC，
∵EF∥BC，
∴GH∥BC∥EF，
∴∠HGB＝∠B，∠HGE＝∠E，
∵在Rt△DEF和Rt△ABC中，∠F＝30°，∠C＝45°
∴∠E＝60°，∠B＝45°
∴∠HGB＝∠B＝45°，∠HGE＝∠E＝60°
∴∠EGB＝∠HGE+∠HGB＝60°+45°＝105°
故∠EGB的度数是105°，
故选：D．
7．（4分）一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a＜0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴．
故选：A．
8．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【解答】解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．
y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．
所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），
故选：B．
9．（4分）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①A，B两村相距10km；
②出发1.25h后两人相遇；
③甲每小时比乙多骑行8km；
④相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km．
其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象与纵轴的交点可得出A、B两地的距离，而s＝0时，即为甲、乙相遇的时候，同理根据图象的拐点情况解答即可．
【解答】解：
由图象可知A村、B村相离10km，故①正确，
当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，故②正确，
当0≤t≤1.25时，易得一次函数的解析式为s＝﹣8t+10，故甲的速度比乙的速度快8km/h．故③正确
当1.25≤t≤2时，函数图象经过点（1.25，0）（2，6）设一次函数的解析式为s＝kt+b
代入得，解得
∴s＝8t﹣10
当s＝2时．得2＝8t﹣10，解得t＝1.5h
由1.5﹣1.25＝0.25h＝15min
同理当2≤t≤2.5时，设函数解析式为s＝kt+b
将点（2，6）（2.5，0）代入得
，解得
∴s＝﹣12t+30
当s＝2时，得2＝﹣12t+30，解得t＝
由﹣1.25＝h＝65min
故相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km，④正确．
故选：D．
10．（4分）如图，D、E分别为△ABC的底边所在直线上的两点，BD＝EC，过A作直线l，作DM∥BA交l于M，作EN∥CA交l于N．设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则（　　）

A．S1＞S2
B．S1＝S2
C．S1＜S2
D．S1与S2的大小与过点A的直线位置有关
【分析】利用等高模型，用转化的思想解决问题即可．
【解答】解：连接AD，AE．

∵DM∥BA，EN∥CA，
∴S1＝S△ADB，S2＝S△AEC，
∵BD＝EC，
∴S△ABD＝S△AEC，
∴S1＝S2，
故选：B．
11．（4分）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax上的点，下列命题正确的是（　　）
A．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2 B．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2
C．若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2 D．若y1＝y2，则x1＝x2
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
当a＞0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＞y2，故选项B错误；
当a＜0时，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|，则y1＜y2，故选项A错误；
若|x1﹣1|＝|x2﹣1|，则y1＝y2，故选项C正确；
若y1＝y2，则|x1﹣1|＝|x2﹣1|，故选项D错误；
故选：C．
12．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴与点E，则下列结论：
①2a+b＝0；②b+2c＞0；③a+b＞am2+bm（m为任意实数）；④一元二次方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；⑤当△BCD为直角三角形时，a的值有2个；⑥若点P为对称轴上的动点，则|PB﹣PC|有最大值，最大值为．其中正确的有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用待定系数法，二次函数的性质，直角三角形的性质，两点之间线段最短一一判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴对称轴为直线x＝＝1，
∴﹣＝1，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，故①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴b+2c＞0，故②正确；
∵抛物线的对称轴x＝1，开口向下，
∴x＝1时，y有最大值，最大值＝a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），
∴a+b≥am2+bm（m为任意实数），故③错误；
当△BCD为直角三角形时，有两种情况，一是∠CDB＝90°，二是∠DCB＝90°，
∴a的值有2个，故④正确；
如图，设BC与对称轴的交点为P，则PB+PC有最小值，最小值为．故⑤错误．
故正确的有①②④3个，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13．（4分）有5张无差别的卡片，上面分别标有﹣1，0，，，π，从中随机抽取1张，则抽出的数是无理数的概率是　　．
【分析】先找出无理数的个数，再根据概率公式可得答案．
【解答】解：在﹣1，0，，，π中，无理数有，π，共2个，
则抽出的数是无理数的概率是．
故答案为：．
14．（4分）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是　﹣5　．
【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点（﹣2，5）代入，得到4a﹣2b＝3，最后将8a﹣4b﹣11变形求值即可．
【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，
表达式为：y＝ax2+bx+2，
∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，
则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，
故答案为：﹣5．
15．（4分）关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，则a的取值范围为　a≤4且a≠3　．
【分析】根据解分式方程的方法和方程﹣＝3的解为非负数，可以求得a的取值范围．
【解答】解：﹣＝3，
方程两边同乘以x﹣1，得
2x﹣a+1＝3（x﹣1），
去括号，得
2x﹣a+1＝3x﹣3，
移项及合并同类项，得
x＝4﹣a，
∵关于x的分式方程﹣＝3的解为非负数，x﹣1≠0，
∴，
解得，a≤4且a≠3，
故答案为：a≤4且a≠3．
16．（4分）若α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则（α+1）（β+1）的值为　2　．
【分析】首先根据根与系数的关系求得α+β＝2，αβ＝﹣1；再进一步利用整式的乘法把（α+1）（β+1）展开，代入求得数值即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，
∴α+β＝2，αβ＝﹣1，
则原式＝αβ+α+β+1
＝2﹣1+1
＝2，
故答案为：2．
17．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝，则k1+k2的值为　0　．
【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，可得k1＝ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案．
【解答】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线y＝上，
∴k1＝ab；
又∵点A与点B关于x轴的对称，
∴B（a，﹣b）
∵点B在双曲线y＝上，
∴k2＝﹣ab；
∴k1+k2＝ab+（﹣ab）＝0；
故答案为：0．
18．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为　（﹣1010，10102）　．

【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2019的坐标．
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y＝x+2，
解得或，
∴A2（2，4），
∴A3（﹣2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y＝x+6，
解得或，
∴A4（3，9），
∴A5（﹣3，9）
…，
∴A2019（﹣1010，10102），
故答案为（﹣1010，10102）．
三、解答题（本大题共小题，共.0分）
19．（8分）（1）计算：（﹣）﹣2+（2020﹣π）0tan60°﹣|﹣3|．
（2）解分式方程：．
【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝4+1﹣×﹣3
＝4+1﹣1﹣3
＝1；
（2）方程两边乘（x﹣2）2得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0．
所以原方程的解为x＝4．
20．（10分）解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•（﹣），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．
【分析】先解不等式组求得x的整数解，再根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，最后选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解答】解：解不等式3x﹣6≤x，得：x≤3，
解不等式＜，得：x＞0，
则不等式组的解集为0＜x≤3，
所以不等式组的整数解为1、2、3，
原式＝•[﹣]
＝•
＝，
∵x≠±3、1，
∴x＝2，
则原式＝1．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAD．
（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．

【分析】（1）想办法证明∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°即可解决问题；
（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可；
【解答】解：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠ADC，
∴△BDE∽△CAD．

（2）∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，
∵•AD•BD＝•AB•DE，
∴DE＝．

22．（12分）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；
（3）设利润为1400元，列方程求出a的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标．
【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；

（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（30﹣a）台．
依题意得：200a+170（30﹣a）≤5400，
解得：a≤10．
答：超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；

（3）依题意有：（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）＝1400，
解得：a＝20，
∵a≤10，
∴在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
23．（12分）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数　如　；
（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【分析】（1）根据“和谐三数组”写成一组即可得出结论；
（2）先根据材料2，得出+＝﹣，再求出一元一次方程的解，进而得出＝﹣，即可得出结论；
（3）先用m表示出y1，y2，y3，进而表示出它们的倒数，再根据“和谐三数组”分三种情况，建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数有，，，；
理由：的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，而2+3＝5，
∴能构成“和谐三数组”，
故答案为：如；

（2）证明：∵x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
∴+＝＝﹣，
∵x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解，
∴x3＝﹣，
∴＝﹣，
∴+＝，
∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；

（3）A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，
∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝，y2＝，y3＝，
∴＝，＝，＝，
∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，
∴①+＝，
∴+＝，
∴m＝2，
②+＝，
∴+＝，
∴m＝﹣4，
③+＝，
∴+＝，
∴m＝﹣2，
即满足条件的实数m的值为2或﹣4或﹣2．
24．（12分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求n的值；
（2）结合图象，直接写出不等式＜kx+b的解集；
（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．

【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出n的值；
（2）根据一次函数图象在反比例函数图象的上方时自变量的取值范围，可求不等式＜kx+b的解集；
（3）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出直线AB的解析式，再求出点P的坐标（0，7），得出PE＝|m﹣7|，根据S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，求出m的值，从而得出点E的坐标．
【解答】解：（1）把点A（2，6）代入y＝，得m＝12，
则y＝
把点B（n，1）代入y＝，得n＝12，
则n＝12
（2）2＜x＜12或x＜0

（3）设过点A（2，6），点B（12，1）的直线为：y＝kx+b
根据题意，得：
∴k＝﹣，b＝7
则直线AB解析式为y＝﹣x+7
如图，设直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7）
∴PE＝|m﹣7|
∵S△AEB＝S△PEB﹣S△PEA＝5
∴×|m﹣7|×12﹣×|m﹣7|×2＝5．
∴×|m﹣7|×（12﹣2）＝5
∴|m﹣7|＝1．
∴m1＝6，m2＝8
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）
25．（14分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，可得C点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得AB的解析式，根据直线上的点满足函数解析式，可得E点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得∠PCF＝∠EAF，根据相似三角形的判定，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）将A（0，1），B（9，10）代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式y＝x2﹣2x+1；

（2）∵AC∥x轴，A（0，1），
∴x2﹣2x+1＝1，解得x1＝6，x2＝0（舍），即C点坐标为（6，1），
∵点A（0，1），点B（9，10），
∴直线AB的解析式为y＝x+1，设P（m，m2﹣2m+1）
∴E（m，m+1），
∴PE＝m+1﹣（m2﹣2m+1）＝﹣m2+3m．
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S四边形AECP＝S△AEC+S△APC＝AC•EF+AC•PF
＝AC•（EF+PF）＝AC•EP＝×6（﹣m2+3m）＝﹣m2+9m＝﹣（m﹣）2+，
∵0＜m＜6，
∴当m＝时，四边形AECP的面积最大值是，此时P（，﹣）；

（3）∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣3）2﹣2，
P（3，﹣2）．PF＝yF﹣yp＝3，CF＝xF﹣xC＝3，
∴PF＝CF，
∴∠PCF＝45°，
同理可得∠EAF＝45°，
∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1）且AB＝9，AC＝6，CP＝3，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，＝，＝，
解得t＝4，
Q（4，1）；
②当△CQP∽△ABC时，＝，＝，
解得t＝﹣3，
Q（﹣3，1）．
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为（4，1）或（﹣3，1）．