2021年高考艺术生数学基础复习 考点49 合情推理与证明（教师版含解析）

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考点49 合情推理与证明
知识理解

一．合情推理
(1)归纳推理
①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．
②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
(2)类比推理
①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．
②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．
(3)合情推理
合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．
二．演绎推理
(1)演绎推理
由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——一般性的原理；
②小前提——特殊对象；
③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．
三．直接证明
(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．
(2)一般形式
⇒A⇒B⇒C⇒…⇒本题结论．
(3)综合法
①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．
②推证过程
⇒…⇒…⇒
(4)分析法
①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．
②推证过程
⇐…⇐…⇐
四．间接证明
(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等．
(2)反证法的基本步骤
①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．
②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．
③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
考向分析
考向一 推理
【例1】(2021·河南)有一个三段论推理：“等比数列中没有等于的项，数列是等比数列，所以”，这个推理( )
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．是正确的
【答案】D
【解析】由等比数列的定义可知等比数列中没有等于的项，即，可知推理正确.
故选：D.
【举一反三】
1．(2021·河南高二月考(文))已知函数，为的导函数，定义，，…，，经计算，，，，…，照此规律，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，可得，，，…，
观察知呈周期性变化，周期为4，
所以．
故选：D.
2．(2021·全国高三月考(理))某电视综艺节目中，设置了如下游戏环节：工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码.丁问：“你们每人看到几个1、几个2？” 甲说：“我看到三个1.”乙说：“我看到一个2和两个1.”丙说：“我看到三个2.”三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有( )
A．乙 B．甲、乙 C．丁 D．乙、丁
【答案】D
【解析】若甲说真话，则乙、丙说假话，但按甲所说内容看，乙说的又是真话，矛盾，故甲说的是假话，进而可确定丙也说的是假话.
若乙说的是假话，要么甲、丙中至少有一个2，要么甲、乙、丁都是1，以上情形相互矛盾，所以乙说的是真话，号码为2的嘉宾只能是乙和丁.
故选：D.
3．(2021·安徽省泗县第一中学)将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为( )

A．1915 B．1917 C．1919 D．1921
【答案】B
【解析】如题图，第1行1个奇数，第2行3个奇数，第3行5个奇数，
归纳可得第31行有个奇数，
且奇数行按由大到小的顺序排列，偶数行按由小到大的顺序排列．
又因为前31行共有个奇数，
则第31行第1个数是第961个奇数即是，则第3个数为1917．故选：
考向二 证明
【例2】(2020·全国高三专题练习(理))已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，用分析法求证：ba>ab.
【答案】证明见解析.
【解析】因为a>b>e，ba>0，ab>0，所以要证ba>ab，只需证aln b>bln a，只需证
取函数f(x)＝，因为f′(x)＝，所以当x>e时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减.
所以当a>b>e时，有f(b)>f(a)，即得证.
【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习(文))已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0.
【答案】证明见解析
【解析】①设，因为，
所以.
又由，则，
所以，与题设矛盾.
②若，则与矛盾，
所以必有.
同理可证：，.
综上可证.
2．(2020·全国高三专题练习(文))已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且00.
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小．
【答案】(1)证明见解析；(2)>c.
【解析】(1)∵f(x)＝ax2+bx+c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，f(x)＝0的两个根x1，x2满足 ，
又f(c)＝0，不妨设x1＝c
∴即是的一个根．
(2)假设 又
由0＜x＜c时，f(x)＞0，得 与矛盾
∴
∵f(x)＝0的两个根不相等
∴只有；
3．(2020·全国高三专题练习(理))已知a>5，求证：－－.
【答案】证明见解析.
【解析】要证－－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
只需证2a－5＋2<2a－5＋2，
只需证，
只需证a2－5a 只需证0<6，
∵0<6恒成立，
∴－成立.


强化练习

1．(2021·河南高二月考(理))请阅读下列材料：若两个正实数，，满足，求证：．
证明：构造函数，因为对一切实数，恒有，所以，即，所以．
根据上述证明方法，若个正实数，，，，满足，你能得到的结论是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设函数，因为对一切实数，恒有，
所以，即，所以．
故选：D
2．(2021·河南)在等差数列中，若，则有等式(且)成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则有( )
A．(且)
B．(且)
C．(且)
D．(且)
【答案】A
【解析】在等差数列中，有
所以有
在等比数列中，若，则
当时，则，
则

当时，则，
则

所以
故选：A
3．(2021·河南)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线(点法式)方程为，化简得．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P(x，y，z)，则(x﹣1，y+1，z+2)
∵平面法向量为
所求的平面方程为，
化简得．
故选：D
4．(2021·全国=测试)如图所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1，2，3，4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔坐在( )号座位上．


A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，
即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，
而2 014＝4×503＋2，
所以第2014次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同，
故小兔坐在2号座位上，
故选：B．
5．(2021·贵溪市实验中学)“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的( )
A．庚子年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年
【答案】B
【解析】天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2021年，经过了7年，所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即2021年是辛丑年，
故选：B.
6．(2021·全国单元测试)已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】从各个等式可以看出，等式右端均为2，左端为两个分式的和，且两个式子的分子之和恒等于8，分母则为相应分子减去4，设其中一个分子为n，另一个分子必为8－n，故满足；
故选：A
7．(2020·全国高三专题练习(理))已知，则下列三个数，，( )
A．都不大于-4 B．至少有一个不大于-4
C．都不小于-4 D．至少有一个不小于-4
【答案】B
【解析】设，，都大于，
则，
由于，故，
利用基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
故下列三个数，，至少有一个不大于，
故选：B.
8．(2020·全国高三专题练习(理))用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于 B．假设三内角都大于
C．假设三内角至少有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于
【答案】B
【解析】题设条件为至少有一个角不大于，所以与之相反的条件为没有任何一个角不大于，即三角形的内角均大于.
故选：B
9．(2020·全国高三专题练习)命题“对于任意角θ，”的证明：“”，
其过程应用了
A．分析法 B．综合法
C．综合法、分析法综合使用 D．间接证法
【答案】B
【解析】由题意，由已知条件入手利用同角三角函数的基本关系式，即可证得等式，应用的是综合法证明方法．故选B．
10(多选)．(2021·河北邯郸市·高三一模)新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容( )
A．可能是家常菜青椒土豆丝 B．可能是川菜干烧大虾
C．可能是烹制西式点心 D．可能是烹制中式面食
【答案】BD
【解析】若小华选择的是家常菜青椒土豆丝，
则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足条件，排除；
若小华选择的是川菜干烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足条件；
若小华选择的是烹制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足条件，排除；
若小华选择的是烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足条件．
故小华选择的可能是川菜干烧大虾或者烹制中式面食，
所以选：BD．

11．(2021·江苏常州市·高三一模)已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数的陈述如下(为虚数单位)：甲：；乙：；丙：；丁：.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数___________.
【答案】
【解析】设，则，
，，，.
与不可能同时成立，丙丁不能同时正确；
时，，不成立，乙丁不能同时正确；
当甲乙正确时：，，则丙也正确，不合题意；
当甲丙正确时：，，则乙也正确，不合题意；
当乙丙正确时：，，则甲也正确，不合题意；
甲丁陈述正确，此时，.
故答案为：.
12．(2021·河南高二月考(理))观察下列不等式：，，，…，可归纳的一个不等式是__________(且)．
【答案】
【解析】不等式右边是从开始的逐渐增加1，
每个式子的左边的分母逐渐增加1，末项分母分别为．
所以归纳的一个不等式是
故答案为：
13．(2021·河南)甲、乙、丙三位同学是否去过，，三个城市时，甲说：我去过的城市比乙、丙多，但没去过城市；乙说：我去过某一个城市，但没去过城市；丙说：我去过的城市甲和乙都没去过．由此可以判断乙去过的城市为__________．
【答案】A
【解析】甲去过的城市比乙、丙多，且甲没去过城市，
甲去过城市，城市，丙去过城市，乙没去过城市，则乙可能去过或城市，再根据丙的说法可知乙去过城市．
故答案为：A
14．(2021·山西高三一模(理))观察下列各式：
，
，
，
，
……
照此规律，当时，_________________．
【答案】
【解析】由已知等式观察，等式右边为形式，其中k比等式左侧各组合数下标大1，
照此规律，当时，．
故答案为：.
15．(2021·山东日照市·高三一模)为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020年中办、国办联合印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为：1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分，若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分则该女生经过训练后跳远增加了______米.
【答案】0.42
【解析】该生成绩为70分时，其立定跳远距离为米，
该生成绩为105分时，其立定跳远距离为米，
所以增加了米，
故答案为：0.42
16．(2021·全国=课时练习)观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有___________小圆圈.

【答案】
【解析】观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，…，故第n个图中小圆圈的个数为(n-1)·n+1=n2-n+1.
故答案为：n2-n+1
17．(2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模(文))，.通过观察上述两等式的共同规律，请你写出一个一般性的命题___________.
【答案】(答案不唯一)
【解析】由已知中：，
归纳推理的一般性的命题为：

证明如下：
左边

右边.
结论正确.
故答案为：
18．(2021·全国高三专题练习)某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数在上有意义，且，如果对于不同的、，都有，求证：.那么他的反设应该是________.
【答案】“存在、，使得，则”.
【解析】根据反证法的原理可知，该同学所做的反设应该是：“存在、，使得，则”.
故答案为：“存在、，使得，则”.
19．(2020·全国高三专题练习(文))如果，则应满足的条件是__________．
【答案】且
【解析】由
得
所以应满足的条件是且.
故答案为：且
20．(2021·全国高三专题练习)小赵、小钱、小孙、小李每人去、、、四地之一，去的地方各不相同．
小赵说：我去
小钱说：我去或或地；
小孙说：我去地；
小李说：我去地；
①代表小赵，②代表小钱，③代表小孙，④代表小李，只有一个人说错了，可能是______．(填写你认为正确的序号)
【答案】③或④
【解析】假设小赵说错了，则其他三人正确，就意味着小钱、小孙、小李分别去了地、地、地，则小赵去了地，这也假设矛盾，所以小赵说对了.
同理，若小钱说错了，则小钱必须去地，这与小赵去地矛盾，所以小钱说对了.
若小孙说错了，则小赵去地、小钱去地、小孙去地，小李去地，符合题意.
若小李说错了，则小赵去地、小钱去地、小孙去地，小李去地，符合题意.
故答案为：③或④
21．(2021·北京高三专题练习)对于正整数集合(，)，如果去掉其中任意一个元素()之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
(Ⅰ)判断集合是否是“和谐集”(不必写过程)；
(Ⅱ)求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
(Ⅲ)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值．
【答案】(Ⅰ)不是“和谐集”；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)7.
【解析】(Ⅰ)集合不是“和谐集”．
(Ⅱ)设集合所有元素之和为．
由题可知，()均为偶数，
因此()的奇偶性相同．
(ⅰ)如果为奇数，则()也均为奇数，
由于，所以为奇数．
(ⅱ)如果为偶数，则()均为偶数，
此时设，则也是“和谐集”．
重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”．
此时各项之和也为奇数，集合中元素个数为奇数．
综上所述，集合中元素个数为奇数．
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知集合中元素个数为奇数，
当时，显然任意集合不是“和谐集”．
当时，不妨设，
将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有 ①，或者 ②；
将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有 ③，或者 ④．
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾．
因此当时，集合一定不是“和谐集”．
当时，设，
因为，，
，，
，，
所以集合是“和谐集”．
集合中元素个数的最小值是7．
22．(2021·全国高三专题练习)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1，1]上的最大值为2，最小值为.求证：a≠0且.
【答案】证明见解析.
【解析】证明：假设a＝0或≥2.
(1)当a＝0时，由a＋c＝0，得f(x)＝bx，由题意得f(x)＝bx在[－1，1]上是单调函数，显然，当时，
因为，
所以是[－1，1]上奇函数，
因此该函数的最大值和最小值之和为零，
而，所以；
(2)当时，则有或，显然有或，
所以是[－1，1]上是单调函数，因此有
且，或
且，
而a＋c＝0，所以两种情况都无实数解，
因此假设不成立，故a≠0且.
23．(2020·全国高三专题练习(理))已知a＞0，证明：－≥a＋－2.
【答案】证明见解析.
【解析】证明：要证－≥a＋－2，
只需证≥－(2－)．
因为a＞0，，
所以－(2－)＞0，
所以只需证≥,
即2(2－≥8－4，
只需证a＋≥2.
因为a＞0，a＋≥2显然成立当a＝＝1时等号成立，
所以要证的不等式成立．
24．(2020·全国高三专题练习(文))已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根．
【答案】证明见解析.
【解析】证明：假设三个方程都没有两个相异实根．
则，，
上述三个式子相加得：
，
即，则
这与a，b，c是互不相等的非零实数矛盾，故假设不成立，
所以三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根.
25(2020·浙江高三专题练习)已知数列满足=且=-()
(1)证明：1()；
(2)设数列的前项和为，证明().
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)由题意得，，即，，
由
得，由得，
，即；
(2)由题意得，
∴①，由和得，，
∴，因此②，由①②得
.
26．(2020·全国高三专题练习)设，用综合法证明：．
【答案】证明见解析.
【解析】证明如下：



又，而

故
即
27．(2020·全国高三专题练习)用综合法证明：如果，则.
【答案】见证明
【解析】由题意，当时，有，
根据对数函数的单调性，可得，
∴，∴.