2021年高考艺术生数学基础复习 考点05 三角函数定义及同角三角函数（教师版含解析）

这是一份2021年高考艺术生数学基础复习 考点05 三角函数定义及同角三角函数（教师版含解析），共21页。教案主要包含了角度制与弧度制的转换，三角函数定义，同角三角公式，三角函数线运用等内容，欢迎下载使用。

考点05 三角函数定义及同角三角函数
知识理解

一．任意角
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．
(3)弧度制
①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③弧度与角度的换算：360°＝2π rad；180°＝π rad；1°＝ rad；1 rad＝度．
二．任意角的三角函数
1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)．
则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
2.三角函数在每个象限的正负如下表：
三角函数
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sin α
＋
＋
－
－
cos α
＋
－
－
＋
tan α
＋
－
＋
－
三．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1 (2)商数关系：＝tan α.
四．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；
(2)tan α＝的变形公式：sin α＝cos_αtan_α；cos α＝.
考向分析
考向一 角度制与弧度制的转换
【例1-1】(2020·全国课时练习)填表(弧度数用含的代数式表示)，并在平面直角坐标系中作出角的终边.
度










弧度










【答案】填表见解析，作图见解析
【解析】如表，
度










弧度
0









如图：

对应的角的终边分别为图中的射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，OI.
【例1-2】(2020·全国课时练习)把下列各弧度化为角度.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【解析】(1)；(2)；(3)；
（4） ；(5)；(6).
【例1-3】(2019·全国高三专题练习)将－1485°改写成2kπ＋α(0≤α<π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－8π＋ B．－10π－
C．－8π＋ D．－10π＋
【答案】D
【解析】﹣1485°＝﹣1800°+315°＝﹣10π+．故选D
【方法总结】


【举一反三】
1．(2020·全国课时练习)把下列角度化成弧度：
(1)； (2)； (3)； (4).
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)； (2)；
(3)； (4)．
2．(2020·全国课时练习)将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°；(2)－15°；(3)(4)－.
【答案】(1)20°＝；(2)－15°＝－；(3)＝105°；(4)－＝－396°.
【解析】(1)20°＝＝. (2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°. (4)－＝－×180°＝－396°.

3．(2020·全国高三专题练习)把-1125°化成α+2kπ0≤α<2π,k∈Z的形式是( )
A．-π4-6π B．7π4-6π C．-π4-8π D．7π4-8π
【答案】D
【解析】-1125°=-1440°+315°=-8π+7π4，故选D.
4．(2019·全国高三专题练习)将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　)
A．－－8π B．－8π
C．－10π D．－10π
【答案】D
【解析】由题意，可知－1485°＝－5×360°＋315°，又π＝180°，则315°＝，
故－1485°化成＋2kπ(0≤<2π，k∈Z)的形式是－10π．
考向二 三角函数定义
【例2】(1)(2020·云南)已知角的终边经过点，则等于( )
A． B． C． D．
(2)(2020·广东)已知角的终边上一点，则( )
A． B． C． D．
【答案】(1)A(2)D
【解析】(1)因为角的终边经过点，所以，所以，
故选：A
(2) 由三角函数的定义可得故选：D
【举一反三】
1．(2020·北京)在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，那么的值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知，所以．故选：C．
15．(2020·商南县高级中学)角的终边过点，若，则的值为( )
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由条件可知，
由三角函数的定义可知，，解得：.故选：B
3．(2019·吉林高三月考(文))若点在角的终边上，则的值是( )
A．-1 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】据题意，得.故选：B.
考向三 三角函数正负判断
【例3】(1)(2020·山东高三专题练习)已知，那么是( )
A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第三、四象限角 D．第一、四象限角
(2)(2020·山东高三专题练习)若是第二象限角，则点在 (　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】(1)A(2)D
【解析】(1)由可知同号，即，从而为第一、二象限角，故选：A
(2)因为是第二象限角，所以，所以点在第四象限，故选D

【举一反三】
1．(2019·浙江高三专题练习)已知 且，则角的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，
所以终边在第二象限，故选B.
2．(2020·全国高三专题练习)若，且，则角是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【解析】，，又，则.
因此，角为第三象限角.故选：C.
3．(2020·全国高三专题练习)已知，且，则角是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【解析】由，可知，结合，得，
所以角是第四象限角，故选:D
4．(多选)(2020·全国高三专题练习)对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为( )
A．①③ B．①④ C．④⑥ D．②⑤
【答案】BC
【解析】若为第二象限角，则，，.
所以，为第二象限角或或.故选：BC.
考向四 同角三角公式
【例4】(1)(2019·全国高三专题练习)已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于( )
A． B．－
C． D．－
(2)(2020·江西景德镇一中)已知，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】(1)B(2)A
【解析】由条件知α是第四象限角，所以，即sin α＝＝＝.
故选：B．
(2)且，，，
由得：.故选：.
【方法总结】
1. 知弦求弦、知弦求切---平方关系，注意角象限对应函数值的正负
2. 知切求弦---联立方程组即联立平方关系与商数关系


【举一反三】
1．(2020·海拉尔市蒙古族中学高三学业考试)已知α为第四象限的角，且，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】为第四象限的角，且，.
.故选：.
2．(2019·北京海淀·101中学高三月考)已知，且，那么( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，故， ，
又，解得：故选：B
3.已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
【答案】见解析
【解析】由tan α＝＝，得sin α＝cos α①又sin2 α＋cos2α＝1②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.又α是第三象限角，∴cos α＝－，
sin α＝cos α＝－.
考向五 弦的齐次
【例5】(1)已知tan α＝2，则的值为 ．
(2)(2020·固原市五原中学高三)已知，则
【答案】(1)3(2)
(1)原式＝＝＝3.
(2)因为，
所以
故选：D.
【方法总结】


【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)已知，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得.故选：A.
2．(2020·福建省武平县第一中学高三月考)已知，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】.
故选：D
3．(2020·西藏拉萨中学高三)，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，．故选：
4．(2020·江苏南京田家炳高级中学)已知，
求：(1)； (2).
【答案】(1) 4 (2)
【解析】(1)
(2)
考向六
【例6】(1)(2020·永寿县中学高三开学考试)已知，则( )．
A． B． C． D．
(2)(2020·广东华南师大附中高三月考)已知，其中，则( )
A． B．或 C． D．
【答案】(1)A(2)D
【解析】.所以选A.
(2)由，平方可得，解得，
又由，
因为，可得，所以，
联立方程组，解得，所以.故选：D.
【方法总结】


【举一反三】
1．(2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中)已知，，则 ________.
【答案】
【解析】依题意，两边平方得，
而，所以，
所以.
由解得，所以.故答案为：
2．(2020·四川省南充高级中学高三月考(理))已知，，则________.
【答案】
【解析】已知，平方得，得，
，，，
，，解得.
故答案为：
考向七 三角函数线运用
【例7】(2020·全国高三专题练习)已知点在第一象限，则在内的取值范围是( )．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知点在第一象限得：，，即，，
当，可得，．
当，可得或，．
或，．
当时，或．
，
或．故选：B．


【举一反三】
1．(2020·全国高三专题练习)已知点在第二象限，则角在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】点在第二象限，则 ，所以角在第三象限.故选：C
2．(2020·海伦市第一中学高三期中(文))已知点在第三象限，则的取值范围是( )．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在第三象限，
，，，
，．故选：D.
3．(2020·贵州高三其他模拟)已知点在第一象限，则在内的的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知点在第一象限得：
，，即，，
当，可得，．
当，可得或，．
或，．
当时，或．
，或．故选：B．
强化练习

1．(2020·重庆西南大学附中高三月考)下列转化结果正确的是( )
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
【答案】D
【解析】由得，对于A选项：化成弧度是，故A不正确；
对于B选项：化成角度是，故B不正确；
对于C选项：化成弧度是，故C错误；
对于D选项：化成角度是，故D正确，故选：D.
2．(2020·天津市静海区大邱庄中学高三月考)下列转化结果错误的是( )
A．化成弧度是 B．化成度是
C．化成弧度是 D．化成度是
【答案】C
【解析】化成弧度是，A正确；化成度是，B正确；
是，C错误；化成度是，D正确.故选：C.
3．(2020·江苏高三专题练习)化为弧度为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】.故选C
4．(2019·全国高三专题练习)下列结论不正确的是(　　)
A．rad＝60° B．10°＝rad
C．36°＝rad D．rad＝115°
【答案】D
【解析】
∵π＝180°，∴rad＝60°正确，10°＝rad正确，36°＝rad正确，rad＝＝112.5°≠115°，D不正确．故选D．
5．(2020·浙江温州·高二期中)已知角的终边上有一点，则的值为( )
A．-2 B． C． D．
【答案】A
【解析】角的终边上有一点，.故选：A.
6．(2020·江苏镇江·高三期中)已知点是角终边上一点，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，所以，
故选：C.
7．(2020·河南高三月考(文))已知角的顶点在坐标原点，始边在轴非负半轴上，终边与单位圆交于，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由三角函数的定义，.故选：D.
8．(2020·北京人大附中高三月考)已知点是角终边上一点，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得点，
根据三角函数的定义，可得.故选：A.
9．(2020·浙江高二开学考试)已知角的终边经过点，则( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】角的终边经过点,所以到原点的距离为 根据三角函数定义得到：
，；故选A.
10．(2020·开鲁县第一中学高三月考(文))已知角的终边经过点P(4，－3)，则的值等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为角的终边过点，所以利用三角函数的定义，
求得，，故选A.
11．(2020·宁夏银川二中高三其他模拟)如果角的终边过点，则的值等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意 ， 点到原点的距离 ，
由定义知 故选：C．
12．(2020·扶风县法门高中高三月考(文))已知为第二象限角，则的值是( )
A．3 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由题意，，
因为为第二象限角，所以，
所以.故选：C.
13．(2020·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试)已知点在第三象限，则角的终边位置在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由于点在第三象限，所以，
所以在第二象限.故选：B
14．(2020·全国高三专题练习(文))已知点在第三象限，则角在第几象限( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】因为点在第三象限，所以
所以角在第二象限故选：B
15．(2020·江苏高三专题练习)若，且，则角是第( )象限角.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【解析】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第三或第四象限角.综上可知，为第三象限角.故选：C
16．(2020·北京市第十三中学高三期中)已知，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，
因为，所以，所以，
所以，故选：A
17．(2020·陕西省定边中学高三月考(文))已知，则的值为( )
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】因为，所以，，， ，
故选：B
18．(2020·重庆南开中学高三月考)已知，则( )
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【解析】
故选:D
19．(2020·全国高三专题练习(文))已知，，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，因为，所以，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
所以，故选B.
20．(2020·全国高三专题练习)(多选)下列转化结果正确的是( )
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
【答案】ABD
【解析】对于A,,正确;对于B,,正确;
对于C,,错误;对于D,,正确.故选ABD
21．(2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中)已知角的终边经过点()且，则___________.
【答案】
【解析】由余弦函数的定义可得，解得(舍去)，或(舍去)，或，
.故答案为：.
22．(2020·湖南高二学业考试)已知角α的终边经过点(3，4)，则cosα=______________.
【答案】
【解析】因为角α的终边经过点(3，4)，所以，故答案：
23(2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中)已知，则___________.
【答案】
【解析】由，得，
则有；
故答案为：.
24．(2020·万载县第二中学高三月考(理))已知角的终边经过点，且，则________．
【答案】
【解析】点的纵坐标为，且．角的终边落在第三象限，，
.故答案为：.
25．(2020·山东高三专题练习)已知＝－5，那么tanα＝________.
【答案】－易知cosα≠0，由＝－5，得＝－5，解得tanα＝－.故答案为：－