数学必修31.3 算法与案例课后复习题

第一章　算法初步

1．3　算法案例

[A组　学业达标]

1．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：16－12＝4，12－4＝8，8－4＝4.由此可以看出12和16的最大公约数是              (　　)

A．4　　　　　　　　　 B．12

C．16  D．8

解析：根据更相减损术的方法判断．

答案：A

2．459和357的最大公约数是  (　　)

A．3  B．9

C．17  D．51

解析：∵459＝357×1＋102，357＝102×3＋51，102＝51×2，∴459和357的最大公约数是51.故选D.

答案：D

3．下列各数中最小的数是  (　　)

A．101 010(2)  B．210(8)

C．1 001(16)  D．81

解析：101 010(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42，

210(8)＝2×82＋1×81＋0×80＝136，

1 001(16)＝1×163＋0×162＋0×161＋1×160＝4 097.

故选A.

答案：A

4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4在x＝－1时的值，v2的结果是  (　　)

A．－4  B．－1

C．5  D．6

解析：n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式得v0＝2，v1＝v0x＋a3＝－5，v2＝v1x＋a2＝6.

答案：D

5．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是              (　　)

A．6，6  B．5，6

C．5，5  D．6，5

解析：秦九韶算法中最多需用加法和乘法的次数，由多项式的次数n可知，∴选A.

答案：A

6．用秦九韶算法求f(x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝__________．

解析：f(x)＝((2x＋0)x＋1)x－3，

v0＝2；

v1＝2×3＋0＝6；

v2＝6×3＋1＝19.

答案：19

7．将51化为二进制数得__________．

解析：

答案：110 011(2)

8．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是__________．

解析：294＝84×3＋42，

84＝42×2.

答案：2

9．用辗转相除法求242与154的最大公约数．

解析：242＝154×1＋88，

154＝88×1＋66，

88＝66×1＋22，

66＝22×3.

所以242与154的最大公约数是22.

10．用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．

解析：将f(x)改写为

f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64，

由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值，

v0＝1，

v1＝1×2－12＝－10，

v2＝－10×2＋60＝40，

v3＝40×2－160＝－80，

v4＝－80×2＋240＝80，

v5＝80×2－192＝－32，

v6＝－32×2＋64＝0.

所以f(2)＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.

[B组　能力提升]

11．下面一段程序的目的是  (　　)

A．求m，n的最小公倍数

B．求m，n的最大公约数

C．求m被n除的商

D．求n除以m的余数

解析：本程序当m，n不相等时，总是用较大的数减去较小的数，直到相等时跳出循环，显然是“更相减损术”．故选B.

答案：B

12．按照秦九韶算法求多项式f(x)＝1.5x5＋3.5x4－4.1x3－3.6x＋6当x＝0.5时的值的过程中，令v0＝a5，v1＝v0x＋a4，…，v5＝v4x＋a0，则v4＝__________．

解析：由题意，有v0＝1.5，v1＝1.5×0.5＋3.5＝4.25，v2＝4.25×0.5－4.1＝－1.975，v3＝－1.975×0.5＋0＝－0.987 5，v4＝－0.987 5×0.5－3.6＝－4.093 75.

答案：－4.093 75

13．用更相减损术求三个数168，54，264的最大公约数为__________．

解析：为简化运算，先将3个数用2约简为84，27，132.由更相减损术，先求84与27的最大公约数.84－27＝57，57－27＝30，30－27＝3，27－3＝24，24－3＝21，21－3＝18，18－3＝15，15－3＝12，12－3＝9，9－3＝6，6－3＝3.故84与27的最大公约数为3.

再求3与132的最大公约数，易知132＝3×44，所以3与132的最大公约数就是3.

故84，27，132的最大公约数为3；168，54，264的最大公约数为6.

答案：6

14．有甲、乙、丙三种溶液分别重147g，343g，133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，则每瓶最多装多少溶液？

解析：每个小瓶的溶液的质量应是三种溶液质量147，343，133的公约数，最大质量即是其最大公约数．

先求147与343的最大公约数：

343－147＝196，

196－147＝49，

147－49＝98.

98－49＝49.

所以147与343的最大公约数是49.

再求49与133的最大公约数：

133－49＝84，

84－39＝35，

49－35＝14，

35－14＝21，

21－14＝7，

14－7＝7，所以49与133的最大公约数为7，

所以147，343，133的最大公约数为7.

即每瓶最多装7 g溶液．

15．若10y1(2)＝x02(3)，求数字x，y的值及与此两数等值的十进制数．

解析：∵10y1(2)＝x02(3)，

∴1×23＋0×22＋y×2＋1＝x×32＋0×3＋2，

将上式整理得9x－2y＝7，

由进位制的性质知，

x∈{1，2}，y∈{0，1}，

当y＝0时，x＝(舍)，

当y＝1时，x＝1.

∴x＝y＝1，已知数为1 011(2)＝102(3)，

与它们相等的十进制数为

1×32＋0×3＋2＝11.