全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷八理含解析

这是一份全国统考版2021届高考数学二轮复习验收仿真模拟卷八理含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高考仿真模拟卷(八)
(时间：120分钟；满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M＝{x|x≤0}，N＝{x|ln x≤1}，则下列结论正确的是(　　)
A．NM B．M＝N
C．M∪(∁RN)＝R D．M∩(∁RN)＝M
2．设复数z满足＝2－i，则＝(　　)
A. B.
C. D.
3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a，b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
4．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知tan(α－2β)＝－，tan(2α－β)＝－，则tan(α＋β)＝(　　)
A．－ B.
C. D.
6．若[x]表示不超过x的最大整数，则下图的程序框图运行之后输出的结果为(　　)

A．49 850 B．49 900
C．49 800 D．49 950
7．已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．若a2a4＝16，S3＝7，则S4＝(　　)
A．15 B．31
C．63 D.
8．如图，己知函数f(x)的图象关于坐标原点O对称，则函数f(x)的解析式可能是(　　)

A．f(x)＝x2ln|x| B．f(x)＝xln x
C．f(x)＝ D．f(x)＝
9．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
10．在三棱锥D­ABC中，已知AD⊥平面ABC，且△ABC为正三角形，AD＝AB＝，点O为三棱锥D­ABC的外接球的球心，则点O到棱DB的距离为(　　)
A. B.
C. D.
11．已知P是双曲线－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则·的值是(　　)
A．－ B.
C．－ D．不确定
12．已知f(x)和g(x)是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得f(x)≥f(x0)，g(x)≥g(x0)，且f(x0)＝g(x0)，则称f(x)与g(x)在区间M上是“相似函数”．若f(x)＝2x2＋ax＋b与g(x)＝x＋在上是“相似函数”，则函数f(x)在区间上的最大值为(　　)
A．4 B.
C．6 D.


题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案














第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13.(2＋x)5的展开式中x2的系数是________．(用数字作答)
14．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，S3＝3，则Sn＝________．
15．古希腊的数学家研究过各种多边形数．记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形中第n个数的表达式：
三角形数　　　　N(n，3)＝n2＋n，
四边形数　　　　N(n，4)＝n2，
五边形数　　　　N(n，5)＝n2－n，
六边形数　　　　N(n，6)＝2n2－n，
…
可以推测N(n，k)(k≥3)的表达式，由此计算N(20，15)的值为__________．
16．已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0＜x0＋2，则的取值范围是__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝.
(1)求角B的大小；
(2)点D满足＝2，且AD＝3，求2a＋c的最大值．






18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝90°，△ABC≌△ADC, PA＝AC＝2AB＝2，E是线段PC的中点．
(1)求证：DE∥平面PAB；
(2)求二面角D­CP­B的余弦值．










19．(本小题满分12分)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人．
(1)完成下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为“平均车速超过100 km/h与性别有关”？

平均车速超过100 km/h
平均车速不超过100 km/h
总计
男性驾驶员



女性驾驶员



总计



附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
(2)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；
(3)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．








20．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B，且直线AB与抛物线y2＝4x在第一象限的交点D到该抛物线的准线的距离为2，椭圆C的离心率 e＝.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于M，N两点，直线y＝－x＋m与椭圆C交于P，Q两点，求当四边形MPNQ的面积取最大值时m的值．





21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－aln(1＋x)(a∈R)，g(x)＝x2emx(m∈R)．
(1)当a＝1时，求函数f(x)的最大值；
(2)若a＜0，且对任意的x1，x2∈[0，2]，f(x1)＋1≥g(x2)恒成立，求实数m的取值范围．








请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4­4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)．
(1)求曲线C的直角坐标方程；








(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：(t为参数，t∈R)的距离最短，并求出点D的直角坐标．
23．(本小题满分10分)选修4­5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－a|＋|x－2a|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞2的解集；
(2)若对任意x∈R，不等式f(x)≥a2－3a－3恒成立，求a的取值范围．

























高考仿真模拟卷(八)
1．解析：选D.由ln x≤1，得0＜x≤e，所以N＝{x|0e}，所以M∩(∁RN)＝{x|x≤0}＝M.
2．解析：选C.由题意可得：1＋z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，所以z＝2＋i，＝＝＝.
3．解析：选D.由题得2a·b＋b2＝0，
所以2|b|2cos〈a，b〉＋|b|2＝0，所以cos〈a，b〉＝－，所以〈a，b〉＝.故选D.
4．解析：选A.由－>0得a>b≥0，
则a2>b2⇒a2－b2>0；
由a2－b2>0得a2>b2，可得a>b≥0或a0”是“a2－b2>0”的充分不必要条件，故选A.
5．解析：选B.tan(α＋β)＝tan[(2α－β)－(α－2β)]＝＝＝，故选B.
6．解析：选A.由已知可得S＝＋＋＋…＋＝0×40＋1×40＋2×40＋…＋49×40＋50×17＝×40＋850＝49 850.
故选A.
7．解析：选A.因为数列{an}中各项均为正数，所以a3＝＝4，设数列的公比为q，由S3＝7，得S2＝3，即a1(1＋q)＝3，又a3＝a1q2＝4，所以(1＋q)＝3，解得q＝－(舍去)或q＝2，所以a4＝a3q＝8，所以S4＝S3＋a4＝15. 故选A.
8．解析：选D.根据f(x)关于原点对称可知该函数为奇函数，
对于A选项f(－x)＝x2ln |x|＝f(x)，为偶函数，不符合；
对于B选项定义域不对；
对于C选项当x>0的时候，f(x)＞0恒成立不符合该函数图象，故错误；
对于D选项，f(－x)＝＝－f(x)，符合判定，故选D.

9．解析：选C.以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.
所以D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，
＝(2，－x)，＝(1，a－x)，
所以＋3＝(5，3a－4x)，
|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，
所以|＋3|的最小值为5.故选C.
10．解析：选D.设三棱锥D­ABC的外接球球心为O，过点O作DB的垂线，垂足为H，作平面ODA交直线BC于点E，交于点F，设平面ODA截得外接球是⊙O，D，A，F是⊙O表面上的点，又因为DA⊥平面ABC，所以∠DAF＝90°，所以DF是⊙O的直径，因此球心O在DF上，AF是三角形ABC外接圆的直径，连接BD，BF，因为BF⊥DA，BF⊥AB，所以BF⊥平面DAB，
所以∠DBF＝90°，因为∠DHO＝90°，所以OH∥BF，又DO＝OF，所以OH是△DBF的中位线，OH＝BF，由AB＝AD＝，三角形外接圆半径2R＝，得AF＝2，在Rt△DAB中，DB＝＝，在Rt△DAF中，DF＝＝，在Rt△DBF中，BF＝＝1，故OH＝，故选D.

11．解析：选A.令点P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是－y＝0，＋y＝0，
所以可取|PA|＝，
|PB|＝，
又cos ∠APB＝－cos ∠AOB＝－cos 2∠AOx＝－cos＝－，
所以·＝||·||·cos∠APB＝·
＝×＝－.
12．解析：选C.由题意知g′(x)＝1－，
令g′(x)＜0可得1≤x＜2，令g′(x)＞0可得2＜x≤，
所以g(x)max＝＝g(1)＝5，g(x)min＝g(2)＝4，所以g(x)＝x＋在上的最小值为4，最大值为5，对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得g(x)≥g(x0)，则g(x0)＝g(x)min＝4，此时x0＝2，根据题意知f(x)min＝f(2)＝4，二次函数f(x)＝2x2＋ax＋b的顶点坐标为(2，4)，所以a＝－8，b＝12，所以f(x)＝2(x－2)2＋4，所以f(x)在上的最大值f(x)max＝f(1)＝6.
13．解析：(2＋x)5展开式中，含x2的项为2×C×23×x2＋×C×22×x3＝(2×C×23＋C×22)x2＝200x2，所以系数为200.故答案为200.
答案：200
14．解析：由题当q≠1时，S3＝＝＝3，解得(q＋2)(q－1)＝0，得q＝－2，此时Sn＝；当q＝1时，a1＝1，S3＝3，满足题意，则此时Sn＝n.综上Sn＝或Sn＝n.
答案：或n
15．解析：原已知式子可化为N(n，3)＝n2＋n＝n2＋n；
N(n，4)＝n2＝n2＋n；
N(n，5)＝n2－n＝n2＋n；
N(n，6)＝2n2－n＝n2＋n.
故N(n，k)＝n2＋n，
N(20，15)＝×202＋×20＝2 490.
答案：2 490
16．解析：线段PQ的中点M(x0，y0)的轨迹方程为x0＋3y0＋2＝0，由y0＜x0＋2，得x0＞－2，则＝＝－－∈∪(0，＋∞)．
答案：∪(0，＋∞)
17．解：(1)＝，由正弦定理可得＝，所以c(a－c)＝(a－b)(a＋b)，即a2＋c2－b2＝ac.又a2＋c2－b2＝2accos B，所以cos B＝，
因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)法一：在△ABD中，由余弦定理得c2＋(2a)2－2×2ac×cos ＝32，
所以(2a＋c)2－9＝3×2ac.
因为2ac≤，所以(2a＋c)2－9≤(2a＋c)2，
即(2a＋c)2≤36，2a＋c≤6，当且仅当2a＝c，即a＝，c＝3时，2a＋c取得最大值，最大值为6.
法二：在△ABD中，由正弦定理知＝＝＝2，
所以2a＝2sin∠BAD，
c＝2sin∠ADB，
所以2a＋c＝2sin∠BAD＋2sin∠ADB
＝2(sin∠BAD＋sin∠ADB)
＝2
＝6
＝6sin.
因为∠BAD∈，所以∠BAD＋∈，
所以当∠BAD＋＝，即∠BAD＝时，2a＋c取得最大值，最大值为6.
18．解：(1)证明：法一：设线段AC的中点为O，连接OD，OE，OB.
因为∠ABC＝90°，所以BO＝AC＝1，同理DO＝1，又AB＝AD＝1，
所以四边形ABOD是平行四边形，所以DO∥AB.又O，E分别是AC，PC的中点，所以OE∥PA.又PA∩AB＝A，OD，OE⊂平面ODE，OD∩OE＝O，所以平面ODE∥平面PAB.
又DE⊂平面ODE，所以DE∥平面PAB.

法二：因为AB⊥BC，PA⊥平面ABCD，
所以以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系B­xyz，
则B(0，0，0)，C(0，，0)，P(1，0，2)，
D，A(1，0，0)，E，
所以＝(－1，0，1)，＝(1，0，2)，＝(1，0，0)．
设平面PAB的法向量为n＝(a，b，c)，则
所以所以n＝(0，1，0)为平面PAB的一个法向量．又·n＝0，
所以DE∥平面PAB.
(2)由(1)法二中的空间直角坐标系，易知＝(0，，0)，＝，＝，设平面PBC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则所以所以n1＝(2，0，－1)为平面PBC的一个法向量．
设平面DPC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则，
所以
所以n2＝(1，，1)为平面DPC的一个法向量．
所以cos〈n1，n2〉＝＝，
故二面角D­CP­B的余弦值为.
19．解：(1)完成的2×2列联表如下：

平均车速超过
100 km/h
平均车速不超过
100 km/h
总计
男性驾驶员
40
15
55
女性驾驶员
20
25
45
总计
60
40
100
K2＝≈8.249＞7.879，
所以有99.5%的把握认为“平均车速超过100 km/h与性别有关”．
(2)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为CC，所以所求的概率P(A)＝＝＝.
(3)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为＝，故X～B.
所以P(X＝0)＝C＝；
P(X＝1)＝C＝；
P(X＝2)＝C＝；
P(X＝3)＝C＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.　
20．解：(1)设点D的坐标为(x0，y0)，
由抛物线的几何性质可知x0＋1＝2，
故x0＝1，y0＝2，所以D(1，2)．
又点D(1，2)在直线AB：＋＝1上，
故＋＝1.①
设椭圆的左，右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，由离心率e＝＝，知＝，即＝，所以a＝2b.②
由①②可得a＝5，b＝，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由可得5x2＋8mx＋4m2－25＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则Δ＝(8m)2－4×5(4m2－25)＞0，
故0≤m2＜，
又x1＋x2＝－，x1x2＝，
则|MN|＝·
＝·
＝ ；
同理可得|PQ|＝ .
由题意知MN⊥PQ，故四边形MPNQ的面积为
S＝|MN|·|PQ|＝×(125－4m2)＝，
又0≤m2＜，
所以当m＝0时，面积S取得最大值20.
21．解：(1)函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，
当a＝1时，f′(x)＝－＝，
所以当x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1，0)上单调递增，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以f(x)max＝f(0)＝0.
(2)令φ(x)＝f(x)＋1，则“当a＜0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，f(x1)＋1≥g(x2)恒成立”等价于“当a＜0时，对任意的x∈[0，2]，φ(x)min≥g(x)max”．
由于φ′(x)＝－＝，故当a＜0时，对任意的x∈[0，2]，有φ′(x)＞0，从而函数φ(x)在[0，2]上单调递增，所以φ(x)min＝φ(0)＝1.
g′(x)＝2xemx＋x2emx·m＝(mx2＋2x)emx.当m＝0时，g(x)＝x2，
当x∈[0，2]时，g(x)max＝g(2)＝4，显然不满足g(x)max≤1.
当m≠0时，令g′(x)＝0得，x＝0或x＝－.
(i)当－≥2，即－1≤m＜0时，若x∈[0，2]，则g′(x)≥0，所以g(x)在[0，2]上单调递增，所以g(x)max＝g(2)＝4e2m，所以4e2m≤1，得m≤－ln 2，所以－1≤m≤－ln 2.
(ii)当0＜－＜2，即m＜－1时，若x∈，则g′(x)≥0，g(x)单调递增，若x∈，则g′(x)＜0，g(x)单调递减，
所以g(x)max＝g＝，
所以≤1，得m≤－，所以m＜－1.
(iii)当－＜0，即m＞0时，若x∈[0，2]，则g′(x)≥0，g(x)单调递增，
所以g(x)max＝g(2)＝4e2m，4e2m≤1不成立．综合所述，实数m的取值范围是(－∞，－ln 2]．
22．解：(1)由 ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)，可得ρ2＝2ρsin θ.因为 ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0(或x2＋(y－1)2＝1)．
(2)因为直线l的参数方程为(t为参数，t∈R)，消去t得直线l的普通方程为y＝－x＋5.
因为曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以G(0，1)为圆心，1为半径的圆，设点D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－x＋5的距离最短，所以曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－x＋5平行，
即直线GD与l的斜率的乘积等于－1，即×(－)＝－1.①
因为x＋(y0－1)2＝1，②
由①②解得x0＝－或x0＝，
所以点D的直角坐标为或.
由于点D到直线y＝－x＋5的距离最短，所以点D的直角坐标为.
23．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
当x≤1时，f(x)＝1－x＋2－x＝3－2x，此时由f(x)＞2得x＜；
当1＜x≤2时，f(x)＝x－1＋2－x＝1，此时f(x)＞2无解；
当x＞2时，f(x)＝x－1＋x－2＝2x－3，此时由f(x)＞2得x＞.
综上可得不等式f(x)＞2的解集为∪.
(2)因为f(x)＝|x－a|＋|x－2a|≥|(x－a)－(x－2a)|＝|a|，
故f(x)取得最小值|a|，因此原不等式等价于|a|≥a2－3a－3.
当a≥0时，有a≥a2－3a－3，即a2－4a－3≤0，解得2－≤a≤2＋，此时有0≤a≤2＋.
当a＜0时，有－a≥a2－3a－3，即a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3，
此时有－1≤a＜0.
综上可知a的取值范围是[－1，2＋]．