试卷 专题17《一线三等角模型》

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1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时．
（1）如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD．
（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD．
证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3
∴∠C＝∠DPB，
∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD
（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP∽△BPD．
2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时．
如图，则有△ACP∽△BPD．
证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3
∴∠C＝∠DPB，
∵∠1＝∠2＝∠PBD，∴△ACP∽△BPD
3．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时．
如图，则有△ACP∽△BPD．
证明：∵∠C＝∠1－∠CPB，∠BPD＝∠3－∠CPB，而∠1＝∠3
∴∠C＝∠BPD．
∵∠1＝∠2，∴∠PAC＝∠DBP．∴△ACP∽△BPD．
例题讲解
例1：已知：∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上（不与点A，B重合）．DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N．记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2．
（1）如图1，当△ABC是等边三角形，∠EDF＝∠A时，若AB＝6，AD＝4，求S1S2的值；
（2）当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α．
①如图2，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1S2的表达式（结果用a，b和a的三角函数表示）．
②如图3，当点D在BA的延长线上运动时，设AD＝a，BD＝b，直接写出S1S2的表达式．
图1 图2 图3
解：（1）如图4，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．
则S1S2＝MGADNHBD＝ADAMsinABDBNsinB．
由题意可知∠A＝∠B＝60º，所以sinA＝sinB＝．
由“一线三等角模型”可知△AMD∽△BDN．
∴，从而AMBN＝ADBD＝8，∴S1S2＝12．
（2）①如图5，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．
则S1S2＝MGADNHBD＝ADAMsinABDBNsinB．
由“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN，
所以，从而AMBN＝ADBD＝ab，
所以S1S2＝a²b²sin²a；
②如图6，分别过点M，N作AB的垂线，垂足分别为G，H．
则S1S2＝MGADNHBD＝ADAMsinABDBNsinB．
由“一线三等角模型”可得△AMD∽△BDN，
所以，从而AMBN＝ADBD＝ab，
所以S1S2＝a²b²sin²a；
例2：如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．
（1）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
解（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，
∴∠ABD＝∠ACB＝30°，
∴∠ABD＝∠ADE＝30°，
∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，
∴∠EDC＝∠DAB，
∴△ABD∽△DCE；
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，
过A作AF⊥BC于F，
∴∠AFB＝90°，
∵AB＝2，∠ABF＝30°，
∴AF＝＝1，
∴BF＝，
∴BC＝2BF＝，
则DC＝，EC＝2－y
∵△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
化简得：．
（2）①当AD＝DE时，如图2，
△ABD≌△DCE，
则AB＝CD，即2＝，
x＝，代入
解得：y＝，即AE＝，
②当AE＝ED时，如图，
∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，
所以∠DEC＝60°，∠EDC ＝90°
则ED＝ EC，即y＝ （2－y）
解得y＝，即AE＝；
③当AD＝AE时，有∠AED－∠EDA＝30°，∠EAD＝120°
此时点D和点B重合，与题目不符，此情况不存在．
所以当△是ADE等腰三角形时，AE＝4－或AE＝
进阶训练
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BC边上移动（不与点B，C重台）．满足
∠DEF＝∠B，且点D，F．分别在边AB，AC上．当点E移动到BC的中点时，求证：FE平
分∠DFC．
1．略
【提示】由题意可得∠B＝∠DEF＝∠C．由“一线三等
角模型”可得△BDE∽△CEF，可得＝．而BE＝CE·
所以＝，从而△DEF∽ECF．所以∠DEF＝∠EFC，即FE平分∠DFC．
2． 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，AD＝2BE＝6．将DE绕点
E顺时针旋转60°，得到EF．取EF的中点G，连结AG．延长CF交AG于点H．若2AH
＝5HG，求BD的长．
2．BD＝9．
【提示】如图，过点F作FI∥AC 交BC于点I．则∠FIE＝∠ACB＝∠ABC．易证△DBE≌△E IF，则IF ＝BE ，IE＝BD，所以BC＋BE＝AD，即IC＝BE＝IF，则∠ACH＝
∠BCH＝30°．延长CH变AB于点J，则CJ⊥AB，．A＝ BJ
分别过点G，E作AB的垂线段，垂足为K，L，·则KL＝KJ·＝＝，所以AJ：JK：KL：BL＝5：2：2：l．因为BE＝3，∠LEB＝ 30°，所以BL＝1．5．AB＝15．所以BD＝9．