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2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题04 一线三等角模型
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这是一份2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题04 一线三等角模型，共97页。
【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题4一线三等角模型
经典例题
【例1】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：．
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 ．（填“大”或“小”）
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【例3】在正方形中，点在射线上（不与点，重合），连接，，过点作，并截取（点，在同侧），连接．
（1）如图1，点在边上．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，点在边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段，，之间的数量关系．
【例4】（1）模型探究：如图1，D、E、F分别为△ABC三边BC、AB、AC上的点，且∠B＝∠C＝∠EDF＝a．△BDE与△CFD相似吗？请说明理由；
（2）模型应用：△ABC为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将△AEF沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且BD＝2．
①如图2，当点D在线段BC上时，求AEAF的值；
②如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求△BDE与△CFD的周长之比．
【例5】．如图，已知等边△ABC的边长为6，点D是边BC上的一个动点，折叠△ABC，使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF（点E、F分别在边AB、AC上）．
（l）当AE：AF＝5：4时，求BD的长；
（2）当ED⊥BC时，求EB的值；
（3）当以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似时，求BE的长．
【例6】在△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC=255，求tanC的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC=35，ADAC=25，直接写出tan∠CEB的值．
培优训练
1．如图1，AB＝12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝8．点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由B点向点D运动．它们的运动时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为每秒x个单位，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．
2．如图，△ABC和△DEF是两个全等的三角形，∠BAC＝∠EDF＝120°，AB＝AC=3．现将△ABC和△DEF按如图所示的方式叠放在一起，△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与点B，C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．
（1）求证：∠BAE＝∠MEC；
（2）当E在BC中点时，请求出ME：MF的值；
（3）在△DEF的运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的BE的长；若不能，则请说明理由．
3．如图，在△ACB中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，且BD＝3，CF＝2，则DEEF的值为 62 ．
4．在综合实践课上，李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点．
（1）当时，______°；
（2）当等于何值时，？请说明理由；
（3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由．
5．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式和点A的坐标．
（2）直线l1与y轴交于点D，将l1向上平移9个单位得l3，l3与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为l3上一动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，求△ABP的周长和点P的坐标．
（3）将l1绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l4过点G（﹣2，0），过点C作l5平行于x轴，点M、N分别为直线l4、l5上两个动点，是否存在点M、点N，使△BMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
6．如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）．
（1）过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐标；
（2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标；
（3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
7．已知：是经过的顶点C的一条直线，．E、F是直线上两点，．
（1）若直线经过的内部，．
①如图1，，，直接写出，，间的等量关系：__________．
②如图2，与具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出与的数量关系，并对结论进行证明；
（2）如图3，若直线经过的外部，，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．
8．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上．
（1）如图1，若a、b满足，以B为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点C的坐标是（________）；
（2）如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；
（3）如图3，设，的平分线过点，直接写出的值．
10．如图，在等腰中，，点、分别在轴、轴上．
（1）如图①，若点的横坐标为5，求点的坐标；
（2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值；
（3）如图③，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限中作等腰，等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变求的值；若变化，求的取值范围．
11．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0
（1）求A，B两点的坐标
（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标
（3）已知AB＝，试探究在x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
13．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO＝2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP＝90°不变，BP边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；
（2）请利用如图1所示的情形，求证：ABPB=OMBM；
（3）若AO＝26，且当MO＝2PO时，请直接写出AB和PB的长．
14．学习概念：
三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角．如图1中∠ACD是△AOC的外角，那么∠ACD与∠A、∠O之间有什么关系呢？
分析：∵∠ACD＝180°﹣∠ACO，∠A+∠O＝180°﹣∠ACO
∴∠ACD＝∠A+ ∠O ，
结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 和 ．
问题探究：
（1）如图2，已知：∠AOB＝∠ACP＝∠BDP＝60°，且AO＝BO，则△AOC ≌ △OBD；
（2）如图3，已知∠ACP＝∠BDP＝45°，且AO＝BO，当∠AOB＝ 45 °，△AOC≌△OBD；
应用结论：
（3）如图4，∠AOB＝90°，OA＝OB，AC⊥OP，BD⊥OP，请说明：AC＝CD+BD．
拓展应用：
（4）如图5，四边形ABCD，AB＝BC，BD平分∠ADC，AE∥CD，∠ABC+∠AEB＝180°，EB＝5，求CD的长．
15．四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E在BD上，点F在射线CD上，且AE＝EF，∠AEF＝90°
（1）如图①，若∠ABE＝∠AEB，AG⊥BD，垂足为G，求证：BG＝GE；
（2）在（1）的条件下，猜想线段CD，DF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图②，若∠ABE＝a，∠AEB＝135°，CD＝a，求DF的长（用含a，α的式子表示）
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE＝α，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N．
（1）依题意补全图形；
（2）当α＝30°时，直接写出∠CMA的度数；
（3）当0°＜α＜45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．
17．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为线段CB上一点且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．
（1）如图1，∠B＝30°，BD＝2，AD与CE交于点P，则∠CPD＝ 75° ，AE＝ 3+12 ；
（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD．若∠F＝45°，求证：AE＝FE．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D．
（1）如图1，当A′B′∥AC时，过点B作BE⊥A′C，垂足为E，连接AE．
①求证：AD＝BD；
②求S△ACES△ABE的值；
（2）如图2，当A′C⊥AB时，过点D作DM∥A′B′，交B′C于点N，交AC的延长线于点M，求DNNM的值．
19．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为直线CB上一点，且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．
（1）若AB＝10，CD＝CA＝6，则BD＝ 2 ，CE＝ 245 ；
（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F＝45°，求证：AE＝EF；
（3）如图3，设直线CE与直线AD交于点G，在线段CD的延长线上取一点H，使得DH＝CB，连接HG交直线AB于点I，若∠CGH＝∠B，请直接写出线段AC和AI之间的数量关系（不需要证明）．
20．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝142．点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．
（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，请直接写出BD与DO的数量关系．
（2）已知点G为AF的中点．
①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．
②如图3，若DG∥BC，EC＝2，求ADBD的值．
21．已知：如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，且CE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，连接EF、BF；
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AE＝2CE，求tan∠DEA的值．
（3）若M为DF中点，连接CM与BF延长线交于点N，若CN=52MN，FN＝11，求BF的长．
22．已知：△ABC中，BC＝AC＝10，tanB＝2，射线CD平分∠ACB，交AB于点D．Rt△EFG中，∠GEF＝90°，EF＝5，EG=52，将△ABC与△EFG如图（1）摆放，使点C与点E重合，B、C、E、F共线，现将△EFG沿着射线CD以每秒5个单位的速度向上平移，设平移时间为t秒．
（1）求点A到BC的距离；
（2）在平移过程中，当△EFG与△ACD有重叠部分时，设重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式及对应的自变量t的取值范围；
（3）如图（2），当点E与点D重合时，将△EFG绕点D旋转，记旋转中的△EFG为△EF1G1，在旋转过程中G1F1所在直线与边AB交于点M，与边AC交于点N，当△AMN为以MN为腰的等腰三角形时，求AM的长度．
23．已知，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠CAB＝30°，∠DAE＝60°，AD＝3，AB=63，且AB，AD在同一直线上，把图1中的△ADE沿射线AB平移，记平移中的△ADE为△A′DE（如图2），且当点D与点B重合时停止运动，设平移的距离为x．
（1）当顶点E恰好移动到边AC上时，求此时对应的x值；
（2）在平移过程中，设△A′DE与Rt△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；
（3）过点C作CF∥AE交AB的延长线于点F，点M为直线BC上一动点，连接FM，得到△MCF，将△MCF绕点C逆时针旋转60°，得到△M′CF′（M的对应点为M′，F的对应点为F′），问△FMM′的面积能否等于3？若能，请求AM′的长度，若不能，请说明理由．
24．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，BC＝6cm，EF＝12cm．
如图2，△DEF从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动、DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）当t＝ 12-63 时，点A在线段PQ的垂直平分线上．
（2）当t为何值时，PQ∥DF？
（3）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
25．将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在对边BC上的点D处，折痕交AB于点E，交AC于点F．
（1）如图1，当BD＝CD时，求证：AE＝AF；
（2）如图2，当BDCD=12时，求AEAF的值；
（3）若BDCD=mn，请直接写出AEAF的值（不需要过程）．
【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题4一线三等角模型
经典例题
【例1】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：．
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5
【分析】
（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．
【解析】
解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（2）解：成立．
理由：如图2中，
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI=GI，
∴I是EG的中点．
∴S△AEI=S△AEG=3.5．
故答案为：3.5．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 ．（填“大”或“小”）
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1），小；（2）2，理由见解析；（3）或80°
【分析】
（1）根据已知条件， 三角形内角和定理和平角的定义，可得，，进而可得∠EDC，∠DEC，根据题意，可得当点D从点B向点C运动时，逐渐变大，根据三角形内角和定理，即可得∠BDA逐渐变小；
（2）由（1）可得，，只要,即可证明，进而可得；
（3）根据题意，分为顶角和底角两种情况讨论，进而计算的度数．
【解析】
（1），，
，
，
，
，
，，
当∠BDA＝105°时，
∠EDC＝，
∠DEC＝；
当点D从点B向点C运动时，逐渐变大，,则∠BDA逐渐变小，
故答案为：，小；
（2），，
当时，
（AAS），
，
（3）△ADE的形状可以是等腰三角形，或，
，
，
①当时，，
，
；
②当时，，
，
，
③当时，，
，
此时点与点重合，
由题意可知点D不与点B、C重合，
此种情况不存在，
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，或．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，分了他了是解题的关键．
【例3】在正方形中，点在射线上（不与点，重合），连接，，过点作，并截取（点，在同侧），连接．
（1）如图1，点在边上．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，点在边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）①见解析；②，见解析；（2），见解析
【分析】
（1）①根据要求画出图形即可；②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H．证明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解决问题即可；
（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【解析】
解（1）①图形如图所示．
②结论：．
理由：过点作，交的延长线于，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
（2）结论：．
理由：过点作，交于，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查作图−旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【例4】（1）模型探究：如图1，D、E、F分别为△ABC三边BC、AB、AC上的点，且∠B＝∠C＝∠EDF＝a．△BDE与△CFD相似吗？请说明理由；
（2）模型应用：△ABC为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将△AEF沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且BD＝2．
①如图2，当点D在线段BC上时，求AEAF的值；
②如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求△BDE与△CFD的周长之比．
【分析】（1）利用等式的性质判断出∠BED＝∠CDF，即可得出结论；
（2）①同（1）的方法判断出△BDE∽△CFD，得出比例式，再设出AE＝x，AF＝y，进而表示出BE＝8﹣x，CF＝8﹣y，CD＝6，代入比例式化简即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论．
【解析】（1）△BDE∽△CFD，
理由：∠B＝∠C＝∠EDF＝a，
在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣α，
∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，
∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝180°﹣α，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD；
（2）①设AE＝x，AF＝y，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
由折叠知，DE＝AE＝x，DF＝AF＝y，∠EDF＝∠A＝60°，
在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，
∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，
∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△BDE∽△CFD，
∴BDCF=BECD=DEFD
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣x，CF＝AC﹣AF＝8﹣y，CD＝BC﹣BD＝6，
∴28-y=8-x6=xy，
∴2y=x(8-y)6x=y(8-x)，
∴xy=1014=57，
∴AEAF=57；
②设AE＝x，AF＝y，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
由折叠知，DE＝AE＝x，DF＝AF＝y，∠EDF＝∠A＝60°，
在△BDE中，∠ABC+∠BDE+∠BED＝180°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，
∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBE＝∠DCF＝120°，
∴△BDE∽△CFD，
∴BDCF=BECD=DEFD
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣x，CF＝AF﹣AC＝y﹣8，CD＝BC+BD＝10，
∴2y-8=8-x10=xy，
∴2y=x(y-8)10x=y(8-x)，
∴xy=13．
∵△BDE∽△CFD，
∴△BDE与△CFD的周长之比为DEDF=xy=13．
【例5】．如图，已知等边△ABC的边长为6，点D是边BC上的一个动点，折叠△ABC，使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF（点E、F分别在边AB、AC上）．
（l）当AE：AF＝5：4时，求BD的长；
（2）当ED⊥BC时，求EB的值；
（3）当以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似时，求BE的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，∠B＝60°，∠C＝60°，则∠BDE+∠BED＝120°，根据折叠的性质得∠EDF＝∠A＝60°，AE＝DE，AF＝DF，则∠BDE+∠FDC＝120°，得到∠BDE＝∠DFC，根据三角形相似的判定得△BED∽△CDF，根据相似的性质有BDFC=DEFD=BEDC；设AE＝DE＝5x，AF＝FD＝4x，BE＝6﹣5x，FC＝6﹣4x，则BD=54FC=54（6﹣4x），DC=45BE=45（6﹣5x），即有54（6﹣4x）+45（6﹣5x）＝6，解出x即可计算出BD的长；
（2）由ED⊥BC，得到∠BDE＝90°，而∠B＝60°，AB＝6，BE＝x，则AE＝ED＝6﹣x，利用60°的正弦得到sin60°=EDBE=32，则6﹣x=32x，解方程即可；
（3）讨论：当△BED∽△DEF，则BEDE=BDDF，即BEBD=DEDF，由（1）得△BED∽△CDF，BDFC=DEFD=BEDC，则BEBD=BEDC，所以BD＝DC，则AD垂直平分BC，得到EF为△ABC的中位线，即可求出BE；当△BDE∽△DEF，得到∠BDE＝∠DEF，则EF∥BC，也得到EF为△ABC的中位线，即可求出BE．
【解析】（1）∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，∠C＝60°，
∴∠BDE+∠BED＝120°，
又∵折叠△ABC，使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF，
∴∠EDF＝∠A＝60°，AE＝DE，AF＝DF，
∴∠BDE+∠FDC＝120°，
∴∠BDE＝∠DFC，
∴△BED∽△CDF，
∴BDFC=DEFD=BEDC，
当AE：AF＝5：4，设AE＝DE＝5x，AF＝FD＝4x，BE＝6﹣5x，FC＝6﹣4x，
∴BDFC=54=BEDC，
∴BD=54FC=54（6﹣4x），DC=45BE=45（6﹣5x）
∴BD+DC＝6，即54（6﹣4x）+45（6﹣5x）＝6，
解得x=710，
∴BD=54（6﹣4×710）＝4；
（2）如图，
∵ED⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
而∠B＝60°，AB＝6，
设BE＝x，则AE＝ED＝6﹣x，
∴sinB＝sin60°=EDBE=32，
∴6﹣x=32x，
解得x＝12（2-3），
∴BE＝24﹣123；
（3）∵以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似，
当△BED∽△DEF，
∴BEDE=BDDF，即BEBD=DEDF，
又∵△BED∽△CDF，
∴BDFC=DEFD=BEDC，
∴BEBD=BEDC，
∴BD＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴EF为△ABC的中位线，
∴BE＝3；
当△BDE∽△DEF，
∴∠BDE＝∠DEF，
∴EF∥BC，
而EF垂直平分AD，
∴EF为△ABC的中位线，
∴BE＝3．
【例6】在△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC=255，求tanC的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC=35，ADAC=25，直接写出tan∠CEB的值．
【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAM＝∠CBN，即可得出结论；
（2）先判断出MP＝MC，进而得出25=MNPN，设MN＝2m，PN=5m，根据勾股定理得，PM=MN2+PN2=3m＝CM，即可得出结论；
（3）先判断出GHEG=ACAD=52，再同（2）的方法，即可得出结论．
【解析】（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠BAM+∠ABM＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBN＝90°，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠AMB＝∠NBC，
∴△ABM∽△BCN；
（2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N．
∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，
∴MP＝MC
∵tan∠PAC=PNAN=255=25=MNPN
设MN＝2m，PN=5m，
根据勾股定理得，PM=MN2+PN2=3m＝CM，
∴tanC=PNCN=5m5m=55；
（3）
在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAC=35，
过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，
∵∠DEB＝90°，
∴CH∥AG∥DE，
∴GHEG=ACAD=52
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH
∴BGCH=AGBH=ABBC=43，
设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，
∵AB＝AE，AG⊥BE，
∴EG＝BG＝4m，
∴GH＝BG+BH＝4m+3n，
∴4m+3n4m=52，
∴n＝2m，
∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m，
在Rt△CEH中，tan∠BEC=CHEH=314．
培优训练
1．如图1，AB＝12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝8．点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由B点向点D运动．它们的运动时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为每秒x个单位，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用SAS定理证明△ACP≌△BPQ；根据全等三角形的性质得到∠ACP＝∠BPQ，进而推出∠CPQ＝90°，可得线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组可求得结果．
【解析】（1）结论：△ACP与△BPQ全等．
理由如下：当t＝2时，AP＝BQ＝2×2＝4，
则BP＝AB﹣AP＝12﹣4＝8，
∴BP＝AC，
又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
AP=BQ∠A=∠BCA=PB，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
结论：PC⊥PQ．
证明：∵△ACP≌△BPQ，
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
∴8=12-2t2t=tx，
解得
t=2x=2；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
8=xt2t=12-2t，
解得
t=3x=83；
综上所述，当t=2x=2或t=3x=83时，
使得△ACP与△BPQ全等．
2．如图，△ABC和△DEF是两个全等的三角形，∠BAC＝∠EDF＝120°，AB＝AC=3．现将△ABC和△DEF按如图所示的方式叠放在一起，△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与点B，C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．
（1）求证：∠BAE＝∠MEC；
（2）当E在BC中点时，请求出ME：MF的值；
（3）在△DEF的运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的BE的长；若不能，则请说明理由．
【分析】（1）根据△ABC≌△DEF，得∠ABC＝∠DEF，由三角形外角的性质得：∠B+∠BAE＝∠AEM+∠MEC，所以∠BAE＝∠MEC；
（2）先证明AC⊥EF，取AB中点H，连结EH，则EH＝AH，证明△AHE是等边三角形，计算BC和EM的长可得结论；
（3）分三种情况讨论
①当AM＝AE时，如图3，
②当AE＝EM时，如图4，
③当MA＝ME时，如图5，
根据等腰三角形的性质可得结论．
【解析】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
∠AEC＝∠AEM+∠MEC，
∴∠B+∠BAE＝∠AEM+∠MEC，
即∠BAE＝∠MEC；
（2）解：当E为BC中点时，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴AE⊥BC，∠EAM＝∠BAE＝60°，
又∵∠DEM＝30°，
∴AC⊥EF，
取AB中点H，连结EH，
则EH＝AH
∵∠BAE＝60°，
∴△AHE是等边三角形，
∴AE＝EH=12AB=32，
∴BC＝2BE＝3，
同理，AM=34，ME=34，
∴FM＝EF﹣EM＝BC﹣EM＝3-34=94，
∴EM：FM＝1：3；
（3）解：能．
分三种情况讨论：
①当AM＝AE时，如图3，
∠AEM＝30°，
∴∠EAM＝120°，
此时点E与点B重合，与题意矛盾，
∴舍去；
②当AE＝EM时，如图4，
由（1）知，∠BAE＝∠CEM，
∵∠B＝∠C＝30°，AE＝ME，
∴△BEA≌△CEM（AAS），
∴AB＝EC=3，
∴BE＝BC﹣EC＝3-3；
③当MA＝ME时，如图5，
则∠AEM＝∠MAE＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°，
取BE中点I，连结AI，
则AI＝IE＝BI，∠AEB＝60°，
∴△AIE是等边三角形，
设AI＝x，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+AB2＝BE2，
即x2+(3)2=(2x)2，解得x＝1，
∴BE＝2x＝2，
综上所述，当BE＝3-3或2时，△AME是等腰三角形．
3．如图，在△ACB中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，且BD＝3，CF＝2，则DEEF的值为 62 ．
【分析】（1）由相似三角形的判定可证△BDE∽△CEF；
（2）由相似三角形的性质可得DBCE=BECF，可求BE＝CE=6，即可求解．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
（2）∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵△BDE∽△CEF，
∴DBCE=BECF，
∴BE2＝DB•CF＝6，
∴BE＝CE=6，
∵△BDE∽△CEF，
∴DEEF=DBCE=36=62，
故答案为：62．
4．在综合实践课上，李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点．
（1）当时，______°；
（2）当等于何值时，？请说明理由；
（3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）50；（2）=5时，，理由见详解；（3）当α＝45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形
【分析】
（1）先求出∠B=30°，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）根据CA＝CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质得到α＝∠APD，根据AP＝BC，利用ASA即可得证；
（3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可．
【解析】
解：（1）∵，，
∴∠B=（180°-120°）÷2=30°，
∵，
∴180°-100°-30°=50°，
故答案是：50；
（2）当AP＝5时，，
理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝30°，
又∵∠APC是△BPC的一个外角，
∴∠APC＝∠B＋＝30°＋，
∵∠APC＝∠DPC＋∠APD＝30°＋∠APD，
∴＝∠APD，
又∵AP＝BC＝5，
∴；
（3）△PCD的形状可以是等腰三角形，
则∠PCD＝120°−α，∠CPD＝30°，
PC＝PD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝（180°−30°）÷2＝75°，即120°−α＝75°，
∴α＝45°；
②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°−α＝30°，
∴α＝90°；
③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP＝∠CPD＝30°，
∴∠PCD＝180°−2×30°＝120°，
即120°−α＝120°，
∴α＝0°，
此时点P与点B重合，点D和A重合，
综合所述：当α＝45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
5．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式和点A的坐标．
（2）直线l1与y轴交于点D，将l1向上平移9个单位得l3，l3与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为l3上一动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，求△ABP的周长和点P的坐标．
（3）将l1绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l4过点G（﹣2，0），过点C作l5平行于x轴，点M、N分别为直线l4、l5上两个动点，是否存在点M、点N，使△BMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x﹣3，点A的坐标为（﹣3，0）；（2），P点坐标为（，）；（3）存在，点M的坐标为（﹣8，8）或（，﹣）．
【分析】
（1）利用点C是两条直线的交点，求出C点坐标，代入直线l1，可求出直线l1的解析式，进而求出点A的坐标；
（2）利用平移求出l3的解析式，构造点B关于l3的对称点Q，利用两点之间线段最短找到点P的坐标，利用两点间距离公式，求出△ABP的周长；
（3）构造全等三角形，利用全等边相等，列出关系式，进而求出M的坐标．
【解析】
解：（1）将x=1代入直线y=x-，得y=×1-=-4，
故点C的坐标为（1，-4），
将C的坐标（1，-4）代入直线y=-x+b得，
-4=-1+b，
解得b=-3，
∴直线l1：y=-x-3，
令y=0，则-x-3=0，解得x=-3，
故点A的坐标为（-3，0）；
（2）直线l3为l1向上平移9个单位所得，故直线l3的解析式为：y=-x+6，
令x=0，得y=6，令y=0，得x=6，
故点E，点F的坐标分别为（6，0），（0，6），
直线l2：y=x-与x轴交于点B，
令y=0，得x=4，故B点的坐标为（4，0），
取点B关于l3的对称点Q，设点Q的坐标为（a，b），
则线段BQ的中点坐标为（，）在直线l3，
∴①
且即②
联立①②得
，
解得：，
∴Q（6，2），
直线AQ的解析式：，
当△ABP的周长最小时，即AP+BP最小，
连接AQ，交直线l3于点P，
此时AP+BP最小，
最小值为，
∵AB=7，
此时△ABP的周长为7+，
由解得，
∴P点坐标为，
（3）设l4的解析式：y=mx+n，
将C（1，-4），G（-2，0），代入y=mx+n得，
，解得，
∴l4的解析式为：，
1°：当点M在直线l4的上方时，
设点N（n，-4），点M（s，），
过点N，B分别作y轴的平行线，过点M作x轴的平行线，三条直线分别交于R，S两点，如图
则R，S的坐标分别为，
∴RM=s-n，RN=，MS=4-s，SB=，
∵∠NMB=90°，
∴∠NMR+∠SMB=90°，
∵∠BMS+∠MBS=90°，
∴∠NMR=∠MBS，
∵∠S=∠R=90°，MB=MN，
∴△MNR≌△BMS（AAS），
∴RM=SB，RN=SM，
即s-n=，，
解得s=-8，n=-16，
∴点M的坐标为（-8，8），
2°：当点M在直线l4的下方时，
设点N（n，-4），点M（s，），
过点N，B分别作y轴的平行线，过点M作x轴的平行线，三条直线分别交于R，S两点，如图
则R，S的坐标分别为（n，），（4，），
∴RM=s-n，RN=，MS=4-s，SB=，
∵∠NMB=90°，
∴∠NMR+∠SMB=90°，
∵∠BMS+∠MBS=90°，
∴∠NMR=∠MBS，
∵∠S=∠R=90°，MB=MN，
∴△MNR≌△BMS（AAS），
∴RM=SB，RN=SM，
即s-n=，，
解得s=，n=，
∴点M的坐标为（，），
综上点M的坐标为（-8，8）或（，）．
【点睛】
本题是一道一次函数综合问题，考查了求一次函数的解析式；已知点在直线上的，求点的坐标；利用对称点，求周长最小值；两点之间距离公式等，需要有解决一次函数的综合能力．
6．如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）．
（1）过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐标；
（2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标；
（3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）OD＝8，点A的坐标（8，6）；（2）（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；（3）（16，0）或（10，0）或（-10，0）
【分析】
（1）通过证明△BOC≌△CDA，可得CD＝OB＝2，即可求OD的长，进而即可得到A的坐标；
（2）分三种情况：①作△OAC关于x轴的对称图形得到△OP1C；作△OAC关于直线x=3的对称图形得到△OP2C；③作△OP2C关于x轴的对称图形得到△OP3C，
分别求解，即可；
（3）分三种情况：①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰；②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时；③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，分别求解即可．
【解析】
解：（1）∵点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0），
∴OB＝2，OC＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCO＋∠ACD＝90°，且∠BCO＋∠OBC＝90°，
∴∠ACD＝∠OBC，且AC＝BC，∠BOC＝∠ADC＝90°，
∴△BOC≌△CDA（AAS），
∴CD＝OB＝2，
∴OD＝OC＋CD＝8，AD=OC=6，
∴点A的坐标（8，6）；
（2）①作△OAC关于x轴的对称图形得到△OP1C，
∴△OAC△OP1C，
∴P1（8，-6）；
②∵点O，C关于直线x=3对称，
∴作△OAC关于直线x=3的对称图形得到△OP2C，
∴△OAC△CP2O，
∴P2（-2，6）；
③作△OP2C关于x轴的对称图形得到△OP3C，
∴△OP2C△OP3C，即：△OP3C△OCA，
∴P3（-2，-6），
综上所述：P的坐标为：（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；
（3）①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰，
∵AD⊥x轴，
∴点Q1，O关于直线AD对称，即：Q1（16，0）；
②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时，
则OQ2=OA=10，
∴Q2（10，0）；
③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，
则OQ3=OA=10，
∴Q2（-10，0），
综上所述：Q的坐标为：（16，0）或（10，0）或（-10，0）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理，掌握分类讨论思想方法是本题的关键．
7．已知：是经过的顶点C的一条直线，．E、F是直线上两点，．
（1）若直线经过的内部，．
①如图1，，，直接写出，，间的等量关系：__________．
②如图2，与具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出与的数量关系，并对结论进行证明；
（2）如图3，若直线经过的外部，，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．
【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）不成立，，理由见解析
【分析】
（1）①根据题意，推导得，通过证明，得，，结合，即可得到答案；
②结合题意，根据三角形内角和性质，推导得，通过证明，即可完成证明；
（2）根据题意，结合三角形内角和的性质，推导得，通过证明，得，；根据，即可得到答案．
【解析】
（1）①∵，
∴,
∴
∴
∴
∴，
∵
∴；
②满足，理由如下：
∵，
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
（2）不成立，，理由如下：
∵，，
∴
∴
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
【点睛】
本题考查了三角形内角和、余角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、全等三角形的性质，从而完成求解．
8．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由见详解；（3）可以，110°或80°.
【分析】
（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【解析】
解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°，
∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，
∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；
（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵∠BDA=110°时，
∴∠ADC=70°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=70°，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC=100°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=40°，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上．
（1）如图1，若a、b满足，以B为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点C的坐标是（________）；
（2）如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；
（3）如图3，设，的平分线过点，直接写出的值．
【答案】（1）点C的坐标是；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据偶次幂的非负性以及算术平方根的非负性得出的值，过点作轴于点，然后证明，进而得出结论；
（2）过点E作轴于点M，根据题意证明，在和中，根据三角形内角和定理可得结论；
（3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，先证明可得BK＝BF＝b＋2，然后证明Rt△DAH≌Rt△DAK可得BK＝c＋a−2，进一步可得结果．
【解析】
解：（1）∵，
∴，
∴，
过点作轴于点，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴,
∵，
∴，
在和中，
，
∴,
∴,
∴，
∴点C的坐标是；
（2）证明：过点E作轴于点M，依题意有，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又，即，
∴，
∴，
即，又，设与相交于点N，
∴在和中，
，，
∴；
（3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，
则DF＝DH＝2，
∵BD平分∠ABO，DF⊥y轴，DK⊥BA，
∴DF＝DK＝2，
∵，,，
∴,
∴DF＝DH＝DK，BK＝BF＝b＋2，
在Rt△DAH和Rt△DAK中，
，
∴Rt△DAH≌Rt△DAK（HL）
∴AK＝AH＝a−2，
∴BK＝c＋a−2，
∴c＋a−2＝b＋2，
∴a−b＋c＝4．
【点睛】
本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，偶次方与算数平方根的非负性的性质，根据题意构建出全等三角形是解本题的关键．
10．如图，在等腰中，，点、分别在轴、轴上．
（1）如图①，若点的横坐标为5，求点的坐标；
（2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值；
（3）如图③，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限中作等腰，等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变求的值；若变化，求的取值范围．
【答案】（1）（0，5）（2）（3）不变，等于2．
【分析】
（1）作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）设AB＝BC＝a，根据勾股定理求出AC＝a，根据MA（即x轴）平分∠BAC，得到，求得BM＝（−1）a，MC＝（2− ）a，AM＝a，再证明Rt△ABM∽Rt△CDM，得到，即CD＝，即可解答，
（3）作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝AO，即可解题．
【解析】
解：（1）如图1，作CD⊥BO于D，
∵∠CBD＋∠ABO＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中，，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD＝BO＝5，
∴B点坐标（0，5）；
（2）设AB＝BC＝a，
则AC＝a，
∵MA（即x轴）平分∠BAC，
∴，
即MC＝BM，
∵BC＝BM＋MC＝a，
∴BM＋BM＝a，
解得BM＝（−1）a，MC＝（2−）a
则AM＝a，
∵∠ABM＝∠CDM＝90°
且∠AMB＝∠CMD
∴Rt△ABM∽Rt△CDM，
∴，即CD＝，
∴；
（3）的长度不变，理由如下：
如图3，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO＋∠OBA＝90°，∠OBA＋∠EBG＝90°，
∴∠BAO＝∠EBG，
在△BAO和△EBG中，，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG＝AO，EG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝EG，
在△EGP和△FBP中，，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝AO＝2．
【点睛】
本题考查了勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．
11．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0
（1）求A，B两点的坐标
（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标
（3）已知AB＝，试探究在x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（0，3）、B（1，0）；（2）C（4，1）；（3）存在，，，
【分析】
（1）由平方数和绝对值的非负性可得a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，从而求得a＝3，b＝1，即可得到A，B两点的坐标．
（2）过点Ｃ向轴作垂线，垂足为，结合已知条件可构造一线三等角模型，即可证明，则，，易得点C的坐标．
（3）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，则需分两种情况讨论：①则在B的左侧，；在右侧，；②，则易证，故．
【解析】
解：（1）∵a、b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0．
∴a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴A（0，3）、B（1，0）；
（2）如图，过点C向轴作垂线，垂足为，则，
∵，，
∴
在和中，
∵
∴
∴，，
∴C（4，1）．
（3）若为腰，则分两种情况讨论：
①当时，
若在B的左侧，则，∴；
若在的右侧，则，∴；
②当时，
∵，∴由等腰三角形三线合一可知，
∴．
综上所述，存在，，．
【点睛】
本题考查点的坐标，等腰三角形的性质，掌握一线三等角证全等及等腰三角形的存在性的方法为解题关键．
12．在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】（1）证明见解析，（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD．
【分析】
（1）由已知推出推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS证明△ADC≌△CEB即可得到答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，即可得到线段的关系．
【解析】
解：（1）①证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DC+CE＝DE，
∴DE＝AD+BE．
（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD．
如图②
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．
DE＝AD﹣BE，
如图③
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出全等三角形是解此题的关键．
13．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO＝2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP＝90°不变，BP边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；
（2）请利用如图1所示的情形，求证：ABPB=OMBM；
（3）若AO＝26，且当MO＝2PO时，请直接写出AB和PB的长．
【分析】（1）先证明四边形OCBM是平行四边形，由于∠BMO＝90°，所以▱OCBM是矩形，最后利用直角三角形斜边上的中线的性质即可证明四边形OCBM是正方形；
（2）连接AP、OB，由于∠ABP＝∠AOP＝90°，所以A、B、O、P四点共圆，从而利用圆周角定理可证明∠APB＝∠OBM，所以△APB∽△OBM，利用相似三角形的性质即可求出答案．
（3）由于点P的位置不确定，故需要分情况进行讨论，共两种情况，第一种情况是点P在O的左侧时，第二种情况是点P在O的右侧时，然后利用四点共圆、相似三角形的判定与性质，勾股定理即可求出答案．
【解析】（1）∵2BM＝AO，2CO＝AO
∴BM＝CO，
∵AO∥BM，
∴四边形OCBM是平行四边形，
∵∠BMO＝90°，
∴▱OCBM是矩形，
∵∠ABP＝90°，C是AO的中点，
∴OC＝BC，
∴矩形OCBM是正方形．
（2）方法一：连接AP、OB，
∵∠ABP＝∠AOP＝90°，
∴A、B、O、P四点共圆，
由圆周角定理可知：∠APB＝∠AOB，
∵AO∥BM，
∴∠AOB＝∠OBM，
∴∠APB＝∠OBM，
∴△APB∽△OBM，
∴ABPB=OMBM
方法二：如图所示，过点B作BD⊥AO于点D，
易证：四边形DBMO是矩形，
∴BD＝OM，
∵∠ABD+∠DBE＝∠DBE+∠PBM，
∴∠ABD＝∠PBM，
∵∠ADB＝∠PMB＝90°，
∴△ABD∽△PBM，
∴ABPB=BDBM，
∴ABPB=OMBM；
（3）当点P在O的左侧时，如图所示，
过点B作BD⊥AO于点D，
易证△PEO∽△BED，
∴POBD=OEDE
易证：四边形DBMO是矩形，
∴BD＝MO，OD＝BM
∴MO＝2PO＝BD，
∴OEDE=12，
∵AO＝2BM＝26，
∴BM=6，
∴OE=63，DE=263，
易证△ADB∽△ABE，
∴AB2＝AD•AE，
∵AD＝DO＝BM=6，
∴AE＝AD+DE=563
∴AB=10，
由勾股定理可知：BE=2153，
易证：△PEO∽△PBM，
∴BEPB=OMPM=23，
∴PB=15
当点P在O的右侧时，如图所示，
过点B作BD⊥OA于点D，
∵MO＝2PO，
∴点P是OM的中点，
设PM＝x，BD＝2x，
∵∠AOM＝∠ABP＝90°，
∴A、O、P、B四点共圆，
∴四边形AOPB是圆内接四边形，
∴∠BPM＝∠A，
∴△ABD∽△PBM，
∴ADBD=PMBM，
又易证四边形ODBM是矩形，AO＝2BM，
∴AD＝BM=6，
∴62x=x6，
解得：x=3，
∴BD＝2x＝23
由勾股定理可知：AB＝32，PB＝3，
综上所述，AB=10，PB=15或AB＝32，PB＝3，
14．学习概念：
三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角．如图1中∠ACD是△AOC的外角，那么∠ACD与∠A、∠O之间有什么关系呢？
分析：∵∠ACD＝180°﹣∠ACO，∠A+∠O＝180°﹣∠ACO
∴∠ACD＝∠A+ ∠O ，
结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 和 ．
问题探究：
（1）如图2，已知：∠AOB＝∠ACP＝∠BDP＝60°，且AO＝BO，则△AOC ≌ △OBD；
（2）如图3，已知∠ACP＝∠BDP＝45°，且AO＝BO，当∠AOB＝ 45 °，△AOC≌△OBD；
应用结论：
（3）如图4，∠AOB＝90°，OA＝OB，AC⊥OP，BD⊥OP，请说明：AC＝CD+BD．
拓展应用：
（4）如图5，四边形ABCD，AB＝BC，BD平分∠ADC，AE∥CD，∠ABC+∠AEB＝180°，EB＝5，求CD的长．
【分析】学习概念：利用等式的性质即可得出结论；
问题探究：（1）利用等式的性质得出∠OAC＝∠BOD，即可得出结论；
（2）利用全等三角形的性质和等式的性质即可得出结论；
应用结论：（3）同（1）的方法即可得出结论；
拓展应用：（4）构造出（1）的图形即可得出结论．
【解析】学习概念：
∵∠ACD＝180°﹣∠ACO，∠A+∠O＝180°﹣∠ACO
∴∠ACD＝180°﹣（180°﹣∠A﹣∠O）＝∠A+∠O，
即：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
故答案为：∠O，和；
问题探究：（1）∵∠AOB＝60°，
∴∠AOC+∠BOD＝60°，
∵∠ACP＝∠BDP＝60°，
∴∠ACO＝∠ODB＝120°，∠AOC+∠OAC＝60°，
∴∠OAC＝∠BOD，
在△AOC和△OBD中，∠ACO=∠ODB=120°∠OAC=∠BODOA=OB，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
故答案为：≌；
（2）∵△AOC≌△OBD，
∴∠AOC＝∠OBD，
∵∠BDP＝45°，
∴∠BOD+∠OBD＝45°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠AOB＝45°，
故答案为：45°；
应用结论：（3）∵AC⊥OP，BD⊥OP，
∴∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴△AOC≌△OBD，
∴OC＝BD，AC＝OD，
∴AC＝OD＝OC+CD＝BD+CD；
拓展应用：（4）如图5，在DB上取一点F使CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CFD＝∠CDF＝∠ADB，
∵AE∥CD，
∴∠BDC＝∠AED，
∴∠AED＝∠CFD，
∵∠AEB+∠AFD＝180°，∠AEB+∠ABC＝180°，
∴∠AED＝∠ABC，
∴∠AEB＝∠BFC，
∵∠AED＝∠ABE+∠BAE，∠ABC＝∠ABE+∠CBF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF，
∴CF＝BE＝5，
∴CD＝CF＝5．
15．四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E在BD上，点F在射线CD上，且AE＝EF，∠AEF＝90°
（1）如图①，若∠ABE＝∠AEB，AG⊥BD，垂足为G，求证：BG＝GE；
（2）在（1）的条件下，猜想线段CD，DF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图②，若∠ABE＝a，∠AEB＝135°，CD＝a，求DF的长（用含a，α的式子表示）
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一即可得出结论；
（2）先利用同角的余角相等判断出∠CBP＝∠FEQ，等量代换得出BC＝EF，进而得出，△BCP≌△EFQ，得出CP＝FQ，再判断出，△CPD≌△FQD即可得出结论；
（3）先判断出tanα=AQBQ，再判断出△ABQ≌△BCP，得出BQ＝CP，再判断出△DQF∽△DPC，得出比例式，代换即可得出结论．
【解析】（1）∵∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AG⊥BD，
∴BG＝GE；
（2）如图①，过点C作CP⊥BD于P，过点F作FQ⊥BD交BD的延长线于Q，
∴∠BPC＝∠DPC＝∠FQE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵∠ABE＝∠AEB，
∴∠AEB+∠CBD＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEQ＝90°，
∴∠CBP＝∠FEQ，
∵AB＝BC，AE＝EF，AB＝AE，
∴BC＝EF，
在△BCP和△EFQ中，∠BPC=∠EQF∠CBP=∠FEQBC=EF，
∴△BCP≌△EFQ，
∴CP＝FQ，
在△CPD和△FQD中，∠PDC=QDF∠CPD=FQDCP=FQ，
∴△CPD≌△FQD，
∴CD＝DF，
（3）如图②，连接AF，过点C作CP⊥BD，
∵∠AEB＝135°，
∴∠AED＝45°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FED＝45°＝∠AED，
∵AE＝EF，
∴AQ＝FQ，EQ⊥AF，
∵CP⊥BD，
在Rt△ABQ中，tan∠ABE＝tanα=AQBQ
∴CP∥FQ，
∵∠ABD+∠CBD＝90°，∠BCP+∠CBP＝90°，
∴∠ABQ＝∠BCP，
在△ABQ和△BCP中，∠AQB=∠BPC=90°∠ABQ=∠BCPAB=BC，
∴△ABQ≌△BCP，
∴BQ＝CP，
∵CP∥FQ，
∴△DQF∽△DPC，
∴DFCD=QFPC，
∵QF＝AQ，PC＝BQ，
∴DFCD=AQBQ，
∴DF=AQBQ⋅CD=tanα•a＝a•tanα．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE＝α，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N．
（1）依题意补全图形；
（2）当α＝30°时，直接写出∠CMA的度数；
（3）当0°＜α＜45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）根据∠AMC＝∠2+∠3，想办法求出∠2、∠3即可；
（3）结论：AM=2CN．想办法证明△AGM是等腰直角三角形，CN＝AG即可解决问题；
【解析】（1）如图．
（2）∵∠1＝∠2＝30°，∠4＝90°，
∴∠ACD＝150°，
∵CA＝CB＝CD，
∴∠3＝∠CAD＝15°，
∴∠5＝∠2+∠3＝45°，即∠AMC＝45°．
（3）结论：AM=2CN．
理由：作AG⊥EC于G．
∵点B、D关于CE对称，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴CB＝CD，
∴∠1＝∠2＝α，
∵CA＝CB，
∴CA＝CD，
∴∠3＝∠CAD，
∵∠4＝90°，
∴∠3=12（180°﹣∠ACD）=12（180°﹣90°﹣α﹣α）＝45°﹣α，
∴∠5＝∠2+∠3＝α+45°﹣α＝45°，
∵∠4＝90°，CE是BD的垂直平分线，
∴∠1+∠7＝90°，∠1+∠6＝90°，
∴∠1＝∠6，
∵AG⊥EC，
∴∠G＝∠8＝90°，
在△BCN和△CAG中，
∠8=∠G∠7=∠6BC=CA，
∴△BCN≌△CAG，
∴CN＝BG，
∵Rt△AGM中，∠G＝90°，∠5＝45°，
∴AM=2AG，
∴AM=2CN．
17．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为线段CB上一点且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．
（1）如图1，∠B＝30°，BD＝2，AD与CE交于点P，则∠CPD＝ 75° ，AE＝ 3+12 ；
（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD．若∠F＝45°，求证：AE＝FE．
【分析】（1）如图1中，设AC＝CD＝x．根据BC=3AC，构建方程求解即可．
（2）如图2中，过点C作CJ⊥DF于J，交AB于T，设DF交AB于K．想办法证明CE＝ET，CF＝AT即可解决问题．
【解析】（1）解：如图1中，设AC＝CD＝x．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴BC=3AC，
∴x+2=3x，
解得x=3+1，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∴AE=12AC=3+12，
∵∠CPD＝∠ACP+∠CAP，
∴∠CPD＝75°．
故答案为75°，3+12．
（2）证明：如图2中，过点C作CJ⊥DF于J，交AB于T，设DF交AB于K．
∵CF⊥AB，CT⊥DE，∠CFD＝45°，
∴∠FEK＝∠CET＝∠CJF＝∠KJT＝90°，
∴∠FKE＝∠TKJ＝∠KTJ＝∠ECT＝45°，
∴CE＝ET，
∵∠CAT+∠ACE＝90°，∠ACE+∠FCD＝90°，
∴∠CAT＝∠FCD，
∵AC＝CD，∠ATC＝∠CFD，
∴△ACT≌△CDF（AAS），
∴AT＝CF，
∵ET＝CE，
∴AE＝EF．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D．
（1）如图1，当A′B′∥AC时，过点B作BE⊥A′C，垂足为E，连接AE．
①求证：AD＝BD；
②求S△ACES△ABE的值；
（2）如图2，当A′C⊥AB时，过点D作DM∥A′B′，交B′C于点N，交AC的延长线于点M，求DNNM的值．
【分析】（1）①由平行线的性质和旋转性质得∠B′A′C＝∠A′CA＝∠BAC，得CD＝AD，再证明CD＝BD便可得结论；
②证明△BEC∽△ACB得CE与CD的关系，进而得S△ACE与S△ADE的关系，由D是AB的中点得S△ABE＝2S△ADE，进而结果；
（2）证明CN∥AB得△MCN∽△MAD，得MNMD=CNAD，应用面积法求得CD，进而求得AD，再解直角三角形求得CN，便可求得结果．
【解析】（1）①∵A′B′∥AC，
∴∠B′A′C＝∠A′CA，
∵∠B′A′C＝∠BAC，
∴∠A′CA＝∠BAC，
∴AD＝CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD，
∵∠ABC＝90°﹣∠BAC，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴AD＝BD；
②∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，
∴AB=22+42=25，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠ACB＝90°，
∵∠BCE＝∠ABC，
∴△BEC∽△ACB，
∴CEBC=BCAB，即CE2=225，
∴CE=255，
∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD=12AB=5，
∴CE=25CD，
∴S△ACE=23S△ADE，
∵AD＝BD，
∴S△ABE＝2S△ADE，
∴S△ACES△ABE=13；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°＝∠A′CB′，
∴AB∥CN，
∴△MCN∽△MAD，
∴MNMD=CNAD，
∵S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴CD=AC⋅BCAB=4×225=455，
∴AD=AC2-CD2=855，
∵DM∥A′B′，
∴∠CDN＝∠A′＝∠A，
∴CN＝CD•tan∠CDN＝CD•tanA＝CD•BCAC=455×24=255，
∴MNMD=255855=14，
∴DNNM=3．
19．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为直线CB上一点，且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．
（1）若AB＝10，CD＝CA＝6，则BD＝ 2 ，CE＝ 245 ；
（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F＝45°，求证：AE＝EF；
（3）如图3，设直线CE与直线AD交于点G，在线段CD的延长线上取一点H，使得DH＝CB，连接HG交直线AB于点I，若∠CGH＝∠B，请直接写出线段AC和AI之间的数量关系（不需要证明）．
【分析】（1）先利用勾股定理求出BC，再利用S△ABC=12•AC•BC=12•AB•CE，求出CE，即可解决问题．
（2）如图2中，连接AF，证明A、C、D、F四点共圆，推出∠AFE＝∠CDA＝45°，即可证明．
（3）结论：AC=3AI．作DK⊥BH交GC的延长线于K，想办法证明∠B＝∠H＝∠K＝∠CGH＝30°，作AN⊥AC交CG于N，延长CA交GH于M．证明△AIM是等边三角形，AM＝AN，即可解决问题．
【解析】（1）解：如图1中，
∵∠ACB＝90°，CD＝CA＝6，AB＝10，
∴BC=AB2-AC2=102-62=8，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，
∵S△ABC=12•AC•BC=12•AB•CE，
∴CE=AC⋅BCAB=245，
故答案为2，245．
（2）如图2中，连接AF，
∵∠ACB＝90°，CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝∠F＝45°，
∴A、C、D、F四点共圆，
∴∠AFE＝∠CDA＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF．
（3）如图3中，结论：AC=3AI．
理由：作DK⊥BH交GC的延长线于K．
∵∠CDK＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∠DCK＝∠ECB，
∴∠K＝∠B，∵DC＝CA，
∴△DCK≌△CAB（AAS），
∴DK＝BC＝DH，
∵∠GDH＝∠GDK＝135°，DG＝DG，
∴△GDH≌△GDK（SAS），
∴∠1＝∠2，∠H＝∠K＝∠B，
∵∠CGH＝∠B，
∴∠ECB＝∠H+∠CGH＝2∠B，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝∠K＝∠H＝∠CGH＝∠ACE＝30°，
作AN⊥AC交CG于N，延长CA交GH于M．
则AC=3AN，
∵∠1＝∠2，AG＝AG，∠AMG＝∠ANG＝120°，
∴△AGN≌△AGM，
∴AN＝AM，
∵∠MIA＝∠H+∠B＝60°，∠MAI＝∠CAB＝60°
∴△AIM是等边三角形，
∴AI＝AM＝AN，
∴AC=3AI．
20．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝142．点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．
（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，请直接写出BD与DO的数量关系．
（2）已知点G为AF的中点．
①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．
②如图3，若DG∥BC，EC＝2，求ADBD的值．
【分析】（1）如图1中，首先证明CD＝BD＝AD，再证明四边形ADFC是平行四边形即可解决问题；
（2）①作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．证明DG是△ABF的中位线，想办法求出BF即可解决问题；
（3）如图3，取AB中点O，连接OG，OC，BF，GE，通过证明△DGE∽△FBD，可得∠DGE＝∠DBF＝90°，BDGE=2，由等腰三角形的性质可得GE＝EC＝2，可求DB的值，即可求解．
【解析】证明：（1）如图1中，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，
∵CD＝CF，
∴AD＝CF，
∵∠ADC＝∠DCF＝90°，
∴AD∥CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴OD＝OC，
∵BD＝2OD．
（2）①解：如图2中，作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．
由题意：BD＝AD＝CD＝72，BC=2BD＝14，
∵DT⊥BC，
∴BT＝TC＝7，
∵EC＝2，
∴TE＝5，
∵∠DTE＝∠EHF＝∠DEF＝90°，
∴∠DET+∠TDE＝90°，∠DET+∠FEH＝90°，
∴∠TDE＝∠FEH，
∵ED＝EF，
∴△DTE≌△EHF（AAS），
∴FH＝ET＝5，
∵∠DBE＝∠DFE＝45°，
∴B，D，E，F四点共圆，
∴∠DBF+∠DEF＝90°，
∴∠DBF＝90°，
∵∠DBE＝45°，
∴∠FBH＝45°，
∵∠BHF＝90°，
∴∠HBF＝∠HFB＝45°，
∴BH＝FH＝5，
∴BF＝52，
∵∠ADC＝∠ABF＝90°，
∴DG∥BF，
∵AD＝DB，
∴AG＝GF，
∴DG=12BF=522；
（3）如图3，取AB中点O，连接OG，OC，BF，GE，
∵∠DBE＝∠DFE＝45°，
∴点D，点B，点F，点E四点共圆，
∴∠DEF+∠DBF＝180°，∠DEB＝∠DFB，
∴∠DBF＝90°，
∵点O是AB中点，点G是AF中点，
∴OG∥BF，BF＝2OG，
∴∠AOG＝90°，且AO＝BO，
∴点G是AB垂直平分线上一点，
∵AC＝BC，
∴点C是AB垂直平分线上一点，
∴点O，点G，点C共线，
∴∠ACO＝∠BCO＝45°，
∵DG∥BC，
∴∠ODG＝∠OBC＝45°，∠OCB＝∠OGD＝45°，∠GDE＝∠BED，
∴∠OGD＝∠ODG＝45°，∠GDE＝∠BFD，
∴OD＝OG，
∴DG=2OG，
∴BFDG=2，DFDE=2，
∴BFDG=DFDE，且∠GDE＝∠BFD，
∴△DGE∽△FBD，
∴∠DGE＝∠DBF＝90°，BDGE=2，
∵DG∥BC，
∴∠DGE＝∠GEC＝90°，且∠OCB＝45°，
∴∠EGC＝∠GCE＝45°，
∴GE＝EC＝2，
∴BD＝22，
∴AD＝AB﹣BD＝122，
∴ADBD=6
21．已知：如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，且CE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，连接EF、BF；
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AE＝2CE，求tan∠DEA的值．
（3）若M为DF中点，连接CM与BF延长线交于点N，若CN=52MN，FN＝11，求BF的长．
【分析】（1）过E作EH⊥BC于H，连接DH，得出∠CEH＝30°，CE＝2CH，根据已知得出DH∥AC，得出△BDH是等边三角形，进而求得△DHE≌DBF，从而求得∠DBF＝30°即可求得结论；
（2）在△ADE中，AE＝4a，AD＝a，∠A＝60°，即可求解；
（3）延长BN交AC于P，连接EM，连接PM并延长交AB于Q，EM与BP交于K，先通过△KPE∽△KMF，得出对应边成比例，进而求得△KPM∽△KEF，得出∠BPM＝∠FEM＝30°，从而求得PQ∥BC，然后根据平行线的性质得出△PMN∽△BCN，进而得出对应边的关系，再通过△QMD∽△ADE，进一步得出对应边的关系，从而得出BF与FN的数量关系，进而求解．
【解析】（1）过E作EH⊥BC于H，连接DH，
∵∠C＝60°，
∴∠HEC＝30°，
∴CE＝2CH，
∵CE＝2AD，
∴CH＝AD，
∴CHBC=DAAB，
∴HD∥AC，
∴△BHD为等边三角形，∠DHE＝∠HEC＝30°，
∴HD＝BD，
∵∠EDF＝60°，
∴∠HDE＝∠BDF，
在△DHE与△DBF中，HD＝BD，∠HDE＝∠BDF，ED＝FD，
∴△DHE≌DBF （SAS），
∴∠DBF＝∠DHE＝30°，
∴∠CBF＝∠DBF，
即BF平分∠ABC；
（2）设AD＝a，则CE＝2AD＝2a，
若AE＝2CE，则AE＝4a，
在△ADE中，AE＝4a，AD＝a，∠A＝60°，过点D作DH⊥AC于点H，
则AH=12AD=12a，HD＝ADsin60°=32a，
则tan∠DEA=DHCH=32a4a-12a=37；
（3）延长BN交AC于P，连接EM，连接PM并延长交AB于Q，EM与BP交于K，
由（1）可知BF是∠ABC的平分线，△DEF是等边三角形，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠BPC＝90°，
∵△DEF是等边三角形，M是DF的中点，
∴∠EMF＝90°，∠FEM＝30°，
∴∠BPC＝∠EMF＝90°，
又∵∠EKP＝∠FKM，
∴△KPE∽△KMF，
∴EKFK=PKMK，
∵∠EKF＝∠MKP，
∴△KPM∽△KEF，
∴∠BPM＝∠FEM＝30°，
∴∠BPM＝∠PBC＝30°，
∴PQ∥BC，
∴△APQ为等边三角形，△PMN∽△BCN，
∴MN：CN＝PN：BN＝PM：BC＝2：5，
∵∠A＝∠EDF＝∠PQA＝60°，∠EDQ＝∠A+∠AED，∠EDQ＝∠EDF+∠MDQ，
∴∠AED＝∠MDQ，
∴△QMD∽△ADE，
∴QM：AD＝MD：ED＝1：2，
设PM＝4a，则BC＝10a，
而△APQ为等边三角形，故PQ＝5a，则QM＝a，AD＝2a，
而CE＝2AD，故CE＝4a，
而PB＝BC•cos30°＝53a，
∴BN=2537a，
由（1）可知EH＝BF＝23a，
∴FN=1137，
∴BF：FN＝14：11
∴BF=1411FN＝14．
22．已知：△ABC中，BC＝AC＝10，tanB＝2，射线CD平分∠ACB，交AB于点D．Rt△EFG中，∠GEF＝90°，EF＝5，EG=52，将△ABC与△EFG如图（1）摆放，使点C与点E重合，B、C、E、F共线，现将△EFG沿着射线CD以每秒5个单位的速度向上平移，设平移时间为t秒．
（1）求点A到BC的距离；
（2）在平移过程中，当△EFG与△ACD有重叠部分时，设重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式及对应的自变量t的取值范围；
（3）如图（2），当点E与点D重合时，将△EFG绕点D旋转，记旋转中的△EFG为△EF1G1，在旋转过程中G1F1所在直线与边AB交于点M，与边AC交于点N，当△AMN为以MN为腰的等腰三角形时，求AM的长度．
【分析】（1）作高AH，根据tanB＝2设BH＝x，则AH＝2x，CH＝10﹣x，利用勾股定理列方程求x的值，则AH＝8；
（2）分四种情形①当0＜t≤32时，如图2中，重叠部分是△EMN．②当32＜t≤72时，如图5中，重叠部分是四边形EGMN．③如图6中，当72＜t≤4时，重叠部分是五边形EKPMN．④如图7中，当4＜t≤6时，重叠部分是△PKF．分别求解即可．
（3）分两种情形①如图8中，当GF∥BC时，易证明△MAN是等腰三角形．②如图9中，当DG∥AC时，易证明△ANM是等腰三角形，MA＝MN，△MGD是等腰三角形，MG＝MD．分别求出DM的长即可解决问题．
【解析】（1）如图1，过A作AH⊥BC，垂足为H，
在Rt△ABH中，tan∠B=AHBH=2，设BH＝x，则AH＝2x，CH＝10﹣x，
由勾股定理得：AH2+CH2＝AC2，
（2x）2+（10﹣x）2＝102，
解得：x1＝0（舍），x2＝4，
∴AH＝2x＝8，
答：点A到BC的距离是8；
（2）①如图2中，重叠部分是△EMN．
由（1）得：AH＝8，BH＝4，
∴CH＝6，
∴AB=82+42=45，
∴AD＝BD＝25，
∵∠ADI＝∠IHC＝90°，∠AID＝∠CIH，
∴∠BAH＝∠ICH，
∵∠BAH+∠B＝90°，∠ICH+∠HIC＝90°，
∴∠B＝∠HIC，
∴tan∠HIC＝tan∠B=CHHI=2，
∴6HI=2，
∴HI＝3，
∴AI＝5，由勾股定理得：DI=52-(25)2=5，CI=32+62=35，
由题意得：CE=5t，
∵EG∥AH，
∴EMAI=CECI，
∴EM5=5t35，
∴EM=53t，tan∠EMN＝tan∠HAC=ENEM=CHAH，
∴EN53t=68，
∴EN=54t，
∴S=12EM•EN=12•53t•54t=2524t2，
如图3，当G落在AC上时，
EG=53t=52，t=32；∴当0＜t≤32时，S=2524t2；
②如图4中，当G在AB上时，
∵EG∥AI，
∴EGAI=EDDI，
∴525=DE5，
∴DE=52，
∴CE=725=5t，
∴t=72，
∴当32＜t≤72时，如图5中，重叠部分是四边形EGMN，
S＝S△EFG﹣S△MNF=254-（58t2﹣5t+10）=-58t2+5t-154．
③如图6中，当72＜t≤4时，重叠部分是五边形EKPMN．
S＝S△GEF﹣S△PGK﹣S△MNF=254-5（t-72）2﹣（58t2﹣5t+10）=-458t2+40t﹣65．
④如图7中，当4＜t≤6时，重叠部分是△PKF．
S=12•PK•PF=12•（5-5t-452）•2（5-5t-452）=54t2﹣15t+45．
综上所述，S=2524t2(0＜t≤32)-58t2+5t-154(32＜t≤72)-458t2+40t-65(72＜t≤4)54t2-15t+45(4＜t≤6)．
（3）①如图8中，当GF∥BC时，易证明△MAN是等腰三角形，
∵MN＝AN，
∴∠A＝∠NMA＝∠G，
∴DG＝DM=52，
∴AM＝AD﹣DM＝25-52．
②如图9中，当DG∥AC时，易证明△ANM是等腰三角形，MA＝MN，△MGD是等腰三角形，MG＝MD，
作MK⊥GD于K．
∵MG＝MD，MK⊥GD，
∴KD＝KG=54，MK＝2KD=52，
ME=545，
∴AM＝AD﹣MD＝25-545=345．
23．已知，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠CAB＝30°，∠DAE＝60°，AD＝3，AB=63，且AB，AD在同一直线上，把图1中的△ADE沿射线AB平移，记平移中的△ADE为△A′DE（如图2），且当点D与点B重合时停止运动，设平移的距离为x．
（1）当顶点E恰好移动到边AC上时，求此时对应的x值；
（2）在平移过程中，设△A′DE与Rt△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；
（3）过点C作CF∥AE交AB的延长线于点F，点M为直线BC上一动点，连接FM，得到△MCF，将△MCF绕点C逆时针旋转60°，得到△M′CF′（M的对应点为M′，F的对应点为F′），问△FMM′的面积能否等于3？若能，请求AM′的长度，若不能，请说明理由．
【分析】（1）和（2）根据直角三角形的性质和三角形面积的求解方法，求出重叠面积S与x的函数关系式；
（3）根据题意，利用三角形的面积求解方法分三种情况讨论，列方程式解方程可求解出AM′的长度．
【解析】（1）∵顶点E恰好移动到边AC上时，
∴x=33×3+3=12
（2）当0≤x≤3时，S=38x2；
当3＜x≤63时，S=-324x2+3x-323；
当63＜x≤12时，S=-13324x2+(18+3)x-11132；
当12＜x≤63+3时，S=-32x2+18x-9932．
（3）
如图①所示：设CM＝CM′＝x，A E D
则S△FMM'=S△FCM'-S△FCM-S△MCM'
=12x⋅43-12x⋅23-34x2=3
将其化简得：x2﹣4x+4＝0
∴x＝2
∴AM′＝12﹣2＝10
如图②所示：设CM＝CM′＝x，
则S△FMM'=S△FCM+S△MCM'-S△FCM'
=12x⋅23+34x2-12x⋅43=3
将其化简得：x2﹣4x﹣4＝0
∴x=2±22（舍负）
∴x=2+22
∴AM'=12-(2+22)=10-22
如图③所示：设CM＝CM′＝x，
S△FMM'=S△MCM'+S△FCM'-S△FCM
=34x2+12x⋅43-12x⋅23=3
将其化简得：x2+4x﹣4＝0
∴x=-2±22（舍负）
∴x=-2+22
∴AM'=12+(-2+22)=10+22
∴AM′的值为10或10-22或 10+22．
24．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，BC＝6cm，EF＝12cm．
如图2，△DEF从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动、DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）当t＝ 12-63 时，点A在线段PQ的垂直平分线上．
（2）当t为何值时，PQ∥DF？
（3）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
【分析】（1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE＝CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；
（2）利用平行线的性质得出AQ＝AM+MQ，进而得出t的值；
（3）利用S四边形APEC＝S△ABC﹣S△PBE，进而求出即可．
【解析】（1）∵∠ACB＝∠EDF＝90°，∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，BC＝6cm，
∴AB＝12cm，AC＝63cm，
依题意，得EC＝QC＝t．
∴BE＝6﹣t，AQ＝63-t，
∵BP＝2t，
∴AP＝12﹣2t．
当点A在线段PQ的垂直平分线上时，AP＝AQ，
∴12﹣2t＝63-t，
解得t＝12﹣63，
即当t＝12﹣63时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
故答案为：12-63；
（2）∵PQ∥DF，
∴PQ⊥DE，∠AQP＝45°．
过点P作PM⊥AQ，垂足为M（如图1）．
∵在Rt△APM中，∠A＝30°，AP＝12﹣2t，
∴PM＝6﹣t＝QM，AM＝（6﹣t）•3=63-3t．
∵AQ＝AC﹣QC=63-t．
故63-3t+6-t=63-t．
解之得t=23．
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为N（如图2），
∵在Rt△PBN中，∠B＝60°，BP＝2t，
∴PN=3t．
∴S△ABC=12BC•AC＝183
∴S四边形APEC＝S△ABC﹣S△PBE
=183-12(6-t)⋅3t
=32t2﹣33t+183．
即y=32t2﹣33t+183．
故t的取值范围是：0≤t≤6．
25．将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在对边BC上的点D处，折痕交AB于点E，交AC于点F．
（1）如图1，当BD＝CD时，求证：AE＝AF；
（2）如图2，当BDCD=12时，求AEAF的值；
（3）若BDCD=mn，请直接写出AEAF的值（不需要过程）．
【分析】（1）连接AD，根据”三线合一“就得出∠DAE＝∠DAF＝30°，由轴对称可以得出AE＝ED，AF＝DF，进而可以得出△AED≌△AFD即可；
（2）由条件可以得出△BDE∽△CFD，设BD＝x，CD＝2x，就有BC＝AB＝AC＝3x，设AE＝DE＝k，BE＝3x﹣k，根据相似三角形的性质就可以表示出C、DF，再根据CF+DF＝3x就可以求出x与k的数量关系，从而求出结论；
（3）由条件可以得出△BDE∽△CFD，设BD＝mx，CD＝nx，就有BC＝AB＝AC＝mx+nx，设AE＝DE＝k，BE＝mx+nx﹣k，根据相似三角形的性质就可以表示出C、DF，再根据CF+DF＝mx+nx就可以求出x与k的数量关系，从而求出结论；
【解析】（1）连接AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°．
∵BD＝CD，
∴∠DAE＝∠DAF＝30°．
∵△AEF与△DEF关于EF对称，
∴AE＝DE，AF＝DF，
∴∠EDA＝∠EAD＝30°，∠FAD＝∠FDA＝30°，
∴∠EDA＝∠EAD＝∠FAD＝∠FDA．
在△AED和△AFD中，
∠EDA=∠FDAAD=AD∠EAD=∠FAD，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴AE＝AF；
（2）∵△AEF与△DEF关于EF对称，
∴AE＝DE，AF＝DF，∠A＝∠EDF＝60°
∴∠BDE+∠CDF＝120°．
∵∠BDE+∠BED＝120°，
∴∠BED＝∠CDF．
∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD，
∴BDCF=BECD=DEFD，
设BD＝x，CD＝2x，就有BC＝AB＝AC＝3x，设AE＝DE＝k，BE＝3x﹣k，
∴xCF=3x-k2x，
∴CF=2x23x-k．
∴3x-k2x=kDF，
∴DF=2xk3x-k．
∵DF+CF＝CF+AF＝3x，
∴2x23x-k+2xk3x-k=3x，
k=75x．
∴DF=2x⋅75x3x-75x=74x，
∴DEDF=AEAF=45；
答：AEAF的值为45；
（3））∵△AEF与△DEF关于EF对称，
∴AE＝DE，AF＝DF，∠A＝∠EDF＝60°
∴∠BDE+∠CDF＝120°．
∵∠BDE+∠BED＝120°，
∴∠BED＝∠CDF．
∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD，
∴BDCF=BECD=DEFD，
设BD＝mx，CD＝nx，就有BC＝AB＝AC＝mx+nx，设AE＝DE＝k，BE＝mx+nx﹣k，
∴mxCF=mx+nx-knx，
∴CF=mnx2mx+nx-k．
∵mx+nx-knx=kDF，
∴DF=knxmx+nx-k．
∵CF+DF＝CF+AF＝mx+nx，
∴mnx2mx+nx-k+knxmx+nx-k=mx+nx，
∴k=m2x+n2x+mnx2n+m，
∴DF=m2x+n2x+mnx2n+m⋅nxmx+nx-m2x+n2x+mnx2n+m=(m2+n2+mn)x2m+n．
∴DEDF=AEAF=m2x+n2x+mnx2n+m(m2+n2+mn)x2m+n=2m+n2n+m．
答：AEAF的值为2m+n2n+m．
【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题4一线三等角模型
经典例题
【例1】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：．
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 ．（填“大”或“小”）
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【例3】在正方形中，点在射线上（不与点，重合），连接，，过点作，并截取（点，在同侧），连接．
（1）如图1，点在边上．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，点在边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段，，之间的数量关系．
【例4】（1）模型探究：如图1，D、E、F分别为△ABC三边BC、AB、AC上的点，且∠B＝∠C＝∠EDF＝a．△BDE与△CFD相似吗？请说明理由；
（2）模型应用：△ABC为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将△AEF沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且BD＝2．
①如图2，当点D在线段BC上时，求AEAF的值；
②如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求△BDE与△CFD的周长之比．
【例5】．如图，已知等边△ABC的边长为6，点D是边BC上的一个动点，折叠△ABC，使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF（点E、F分别在边AB、AC上）．
（l）当AE：AF＝5：4时，求BD的长；
（2）当ED⊥BC时，求EB的值；
（3）当以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似时，求BE的长．
【例6】在△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC=255，求tanC的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC=35，ADAC=25，直接写出tan∠CEB的值．
培优训练
1．如图1，AB＝12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝8．点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由B点向点D运动．它们的运动时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为每秒x个单位，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．
2．如图，△ABC和△DEF是两个全等的三角形，∠BAC＝∠EDF＝120°，AB＝AC=3．现将△ABC和△DEF按如图所示的方式叠放在一起，△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与点B，C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．
（1）求证：∠BAE＝∠MEC；
（2）当E在BC中点时，请求出ME：MF的值；
（3）在△DEF的运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的BE的长；若不能，则请说明理由．
3．如图，在△ACB中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，且BD＝3，CF＝2，则DEEF的值为 62 ．
4．在综合实践课上，李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点．
（1）当时，______°；
（2）当等于何值时，？请说明理由；
（3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由．
5．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式和点A的坐标．
（2）直线l1与y轴交于点D，将l1向上平移9个单位得l3，l3与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为l3上一动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，求△ABP的周长和点P的坐标．
（3）将l1绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l4过点G（﹣2，0），过点C作l5平行于x轴，点M、N分别为直线l4、l5上两个动点，是否存在点M、点N，使△BMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
6．如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）．
（1）过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐标；
（2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标；
（3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
7．已知：是经过的顶点C的一条直线，．E、F是直线上两点，．
（1）若直线经过的内部，．
①如图1，，，直接写出，，间的等量关系：__________．
②如图2，与具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出与的数量关系，并对结论进行证明；
（2）如图3，若直线经过的外部，，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．
8．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上．
（1）如图1，若a、b满足，以B为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点C的坐标是（________）；
（2）如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；
（3）如图3，设，的平分线过点，直接写出的值．
10．如图，在等腰中，，点、分别在轴、轴上．
（1）如图①，若点的横坐标为5，求点的坐标；
（2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值；
（3）如图③，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限中作等腰，等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变求的值；若变化，求的取值范围．
11．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0
（1）求A，B两点的坐标
（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标
（3）已知AB＝，试探究在x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
13．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO＝2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP＝90°不变，BP边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；
（2）请利用如图1所示的情形，求证：ABPB=OMBM；
（3）若AO＝26，且当MO＝2PO时，请直接写出AB和PB的长．
14．学习概念：
三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角．如图1中∠ACD是△AOC的外角，那么∠ACD与∠A、∠O之间有什么关系呢？
分析：∵∠ACD＝180°﹣∠ACO，∠A+∠O＝180°﹣∠ACO
∴∠ACD＝∠A+ ∠O ，
结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 和 ．
问题探究：
（1）如图2，已知：∠AOB＝∠ACP＝∠BDP＝60°，且AO＝BO，则△AOC ≌ △OBD；
（2）如图3，已知∠ACP＝∠BDP＝45°，且AO＝BO，当∠AOB＝ 45 °，△AOC≌△OBD；
应用结论：
（3）如图4，∠AOB＝90°，OA＝OB，AC⊥OP，BD⊥OP，请说明：AC＝CD+BD．
拓展应用：
（4）如图5，四边形ABCD，AB＝BC，BD平分∠ADC，AE∥CD，∠ABC+∠AEB＝180°，EB＝5，求CD的长．
15．四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E在BD上，点F在射线CD上，且AE＝EF，∠AEF＝90°
（1）如图①，若∠ABE＝∠AEB，AG⊥BD，垂足为G，求证：BG＝GE；
（2）在（1）的条件下，猜想线段CD，DF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图②，若∠ABE＝a，∠AEB＝135°，CD＝a，求DF的长（用含a，α的式子表示）
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE＝α，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N．
（1）依题意补全图形；
（2）当α＝30°时，直接写出∠CMA的度数；
（3）当0°＜α＜45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．
17．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为线段CB上一点且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．
（1）如图1，∠B＝30°，BD＝2，AD与CE交于点P，则∠CPD＝ 75° ，AE＝ 3+12 ；
（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD．若∠F＝45°，求证：AE＝FE．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D．
（1）如图1，当A′B′∥AC时，过点B作BE⊥A′C，垂足为E，连接AE．
①求证：AD＝BD；
②求S△ACES△ABE的值；
（2）如图2，当A′C⊥AB时，过点D作DM∥A′B′，交B′C于点N，交AC的延长线于点M，求DNNM的值．
19．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为直线CB上一点，且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．
（1）若AB＝10，CD＝CA＝6，则BD＝ 2 ，CE＝ 245 ；
（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F＝45°，求证：AE＝EF；
（3）如图3，设直线CE与直线AD交于点G，在线段CD的延长线上取一点H，使得DH＝CB，连接HG交直线AB于点I，若∠CGH＝∠B，请直接写出线段AC和AI之间的数量关系（不需要证明）．
20．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝142．点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．
（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，请直接写出BD与DO的数量关系．
（2）已知点G为AF的中点．
①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．
②如图3，若DG∥BC，EC＝2，求ADBD的值．
21．已知：如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，且CE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，连接EF、BF；
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AE＝2CE，求tan∠DEA的值．
（3）若M为DF中点，连接CM与BF延长线交于点N，若CN=52MN，FN＝11，求BF的长．
22．已知：△ABC中，BC＝AC＝10，tanB＝2，射线CD平分∠ACB，交AB于点D．Rt△EFG中，∠GEF＝90°，EF＝5，EG=52，将△ABC与△EFG如图（1）摆放，使点C与点E重合，B、C、E、F共线，现将△EFG沿着射线CD以每秒5个单位的速度向上平移，设平移时间为t秒．
（1）求点A到BC的距离；
（2）在平移过程中，当△EFG与△ACD有重叠部分时，设重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式及对应的自变量t的取值范围；
（3）如图（2），当点E与点D重合时，将△EFG绕点D旋转，记旋转中的△EFG为△EF1G1，在旋转过程中G1F1所在直线与边AB交于点M，与边AC交于点N，当△AMN为以MN为腰的等腰三角形时，求AM的长度．
23．已知，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠CAB＝30°，∠DAE＝60°，AD＝3，AB=63，且AB，AD在同一直线上，把图1中的△ADE沿射线AB平移，记平移中的△ADE为△A′DE（如图2），且当点D与点B重合时停止运动，设平移的距离为x．
（1）当顶点E恰好移动到边AC上时，求此时对应的x值；
（2）在平移过程中，设△A′DE与Rt△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；
（3）过点C作CF∥AE交AB的延长线于点F，点M为直线BC上一动点，连接FM，得到△MCF，将△MCF绕点C逆时针旋转60°，得到△M′CF′（M的对应点为M′，F的对应点为F′），问△FMM′的面积能否等于3？若能，请求AM′的长度，若不能，请说明理由．
24．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，BC＝6cm，EF＝12cm．
如图2，△DEF从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动、DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）当t＝ 12-63 时，点A在线段PQ的垂直平分线上．
（2）当t为何值时，PQ∥DF？
（3）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
25．将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在对边BC上的点D处，折痕交AB于点E，交AC于点F．
（1）如图1，当BD＝CD时，求证：AE＝AF；
（2）如图2，当BDCD=12时，求AEAF的值；
（3）若BDCD=mn，请直接写出AEAF的值（不需要过程）．
【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题4一线三等角模型
经典例题
【例1】（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．求证：．
（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边AB，AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高．延长HA交EG于点I．若，则______．
【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5
【分析】
（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；
（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点．
【解析】
解：（1）证明：如图1中，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（2）解：成立．
理由：如图2中，
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠DBA=∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE．
（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．
∴∠EMI=∠GNI=90°
由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中，
，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI=GI，
∴I是EG的中点．
∴S△AEI=S△AEG=3.5．
故答案为：3.5．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝105°时，∠EDC＝ °，∠DEC＝ °；点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变 ．（填“大”或“小”）
（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？请说明理由．
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1），小；（2）2，理由见解析；（3）或80°
【分析】
（1）根据已知条件， 三角形内角和定理和平角的定义，可得，，进而可得∠EDC，∠DEC，根据题意，可得当点D从点B向点C运动时，逐渐变大，根据三角形内角和定理，即可得∠BDA逐渐变小；
（2）由（1）可得，，只要,即可证明，进而可得；
（3）根据题意，分为顶角和底角两种情况讨论，进而计算的度数．
【解析】
（1），，
，
，
，
，
，，
当∠BDA＝105°时，
∠EDC＝，
∠DEC＝；
当点D从点B向点C运动时，逐渐变大，,则∠BDA逐渐变小，
故答案为：，小；
（2），，
当时，
（AAS），
，
（3）△ADE的形状可以是等腰三角形，或，
，
，
①当时，，
，
；
②当时，，
，
，
③当时，，
，
此时点与点重合，
由题意可知点D不与点B、C重合，
此种情况不存在，
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，或．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，分了他了是解题的关键．
【例3】在正方形中，点在射线上（不与点，重合），连接，，过点作，并截取（点，在同侧），连接．
（1）如图1，点在边上．
①依题意补全图1；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，点在边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）①见解析；②，见解析；（2），见解析
【分析】
（1）①根据要求画出图形即可；②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H．证明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解决问题即可；
（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【解析】
解（1）①图形如图所示．
②结论：．
理由：过点作，交的延长线于，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
．
（2）结论：．
理由：过点作，交于，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查作图−旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【例4】（1）模型探究：如图1，D、E、F分别为△ABC三边BC、AB、AC上的点，且∠B＝∠C＝∠EDF＝a．△BDE与△CFD相似吗？请说明理由；
（2）模型应用：△ABC为等边三角形，其边长为8，E为AB边上一点，F为射线AC上一点，将△AEF沿EF翻折，使A点落在射线CB上的点D处，且BD＝2．
①如图2，当点D在线段BC上时，求AEAF的值；
②如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求△BDE与△CFD的周长之比．
【分析】（1）利用等式的性质判断出∠BED＝∠CDF，即可得出结论；
（2）①同（1）的方法判断出△BDE∽△CFD，得出比例式，再设出AE＝x，AF＝y，进而表示出BE＝8﹣x，CF＝8﹣y，CD＝6，代入比例式化简即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论．
【解析】（1）△BDE∽△CFD，
理由：∠B＝∠C＝∠EDF＝a，
在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣α，
∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，
∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝180°﹣α，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD；
（2）①设AE＝x，AF＝y，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
由折叠知，DE＝AE＝x，DF＝AF＝y，∠EDF＝∠A＝60°，
在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED＝180°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，
∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，
∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△BDE∽△CFD，
∴BDCF=BECD=DEFD
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣x，CF＝AC﹣AF＝8﹣y，CD＝BC﹣BD＝6，
∴28-y=8-x6=xy，
∴2y=x(8-y)6x=y(8-x)，
∴xy=1014=57，
∴AEAF=57；
②设AE＝x，AF＝y，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝8，
由折叠知，DE＝AE＝x，DF＝AF＝y，∠EDF＝∠A＝60°，
在△BDE中，∠ABC+∠BDE+∠BED＝180°，
∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵∠BDE+∠EDF+∠CDF＝180°，
∴∠BDE+∠CDF＝180°﹣∠EDF＝120°，
∴∠BED＝∠CDF，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBE＝∠DCF＝120°，
∴△BDE∽△CFD，
∴BDCF=BECD=DEFD
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣x，CF＝AF﹣AC＝y﹣8，CD＝BC+BD＝10，
∴2y-8=8-x10=xy，
∴2y=x(y-8)10x=y(8-x)，
∴xy=13．
∵△BDE∽△CFD，
∴△BDE与△CFD的周长之比为DEDF=xy=13．
【例5】．如图，已知等边△ABC的边长为6，点D是边BC上的一个动点，折叠△ABC，使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF（点E、F分别在边AB、AC上）．
（l）当AE：AF＝5：4时，求BD的长；
（2）当ED⊥BC时，求EB的值；
（3）当以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似时，求BE的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，∠B＝60°，∠C＝60°，则∠BDE+∠BED＝120°，根据折叠的性质得∠EDF＝∠A＝60°，AE＝DE，AF＝DF，则∠BDE+∠FDC＝120°，得到∠BDE＝∠DFC，根据三角形相似的判定得△BED∽△CDF，根据相似的性质有BDFC=DEFD=BEDC；设AE＝DE＝5x，AF＝FD＝4x，BE＝6﹣5x，FC＝6﹣4x，则BD=54FC=54（6﹣4x），DC=45BE=45（6﹣5x），即有54（6﹣4x）+45（6﹣5x）＝6，解出x即可计算出BD的长；
（2）由ED⊥BC，得到∠BDE＝90°，而∠B＝60°，AB＝6，BE＝x，则AE＝ED＝6﹣x，利用60°的正弦得到sin60°=EDBE=32，则6﹣x=32x，解方程即可；
（3）讨论：当△BED∽△DEF，则BEDE=BDDF，即BEBD=DEDF，由（1）得△BED∽△CDF，BDFC=DEFD=BEDC，则BEBD=BEDC，所以BD＝DC，则AD垂直平分BC，得到EF为△ABC的中位线，即可求出BE；当△BDE∽△DEF，得到∠BDE＝∠DEF，则EF∥BC，也得到EF为△ABC的中位线，即可求出BE．
【解析】（1）∵三角形ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，∠C＝60°，
∴∠BDE+∠BED＝120°，
又∵折叠△ABC，使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF，
∴∠EDF＝∠A＝60°，AE＝DE，AF＝DF，
∴∠BDE+∠FDC＝120°，
∴∠BDE＝∠DFC，
∴△BED∽△CDF，
∴BDFC=DEFD=BEDC，
当AE：AF＝5：4，设AE＝DE＝5x，AF＝FD＝4x，BE＝6﹣5x，FC＝6﹣4x，
∴BDFC=54=BEDC，
∴BD=54FC=54（6﹣4x），DC=45BE=45（6﹣5x）
∴BD+DC＝6，即54（6﹣4x）+45（6﹣5x）＝6，
解得x=710，
∴BD=54（6﹣4×710）＝4；
（2）如图，
∵ED⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
而∠B＝60°，AB＝6，
设BE＝x，则AE＝ED＝6﹣x，
∴sinB＝sin60°=EDBE=32，
∴6﹣x=32x，
解得x＝12（2-3），
∴BE＝24﹣123；
（3）∵以B、E、D为顶点的三角形与△DEF相似，
当△BED∽△DEF，
∴BEDE=BDDF，即BEBD=DEDF，
又∵△BED∽△CDF，
∴BDFC=DEFD=BEDC，
∴BEBD=BEDC，
∴BD＝DC，
∴AD垂直平分BC，
∴EF为△ABC的中位线，
∴BE＝3；
当△BDE∽△DEF，
∴∠BDE＝∠DEF，
∴EF∥BC，
而EF垂直平分AD，
∴EF为△ABC的中位线，
∴BE＝3．
【例6】在△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，tan∠PAC=255，求tanC的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，sin∠BAC=35，ADAC=25，直接写出tan∠CEB的值．
【分析】（1）利用同角的余角相等判断出∠BAM＝∠CBN，即可得出结论；
（2）先判断出MP＝MC，进而得出25=MNPN，设MN＝2m，PN=5m，根据勾股定理得，PM=MN2+PN2=3m＝CM，即可得出结论；
（3）先判断出GHEG=ACAD=52，再同（2）的方法，即可得出结论．
【解析】（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∴∠BAM+∠ABM＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBN＝90°，
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠AMB＝∠NBC，
∴△ABM∽△BCN；
（2）如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N．
∴∠BAP+∠1＝∠CPM+∠1＝90°，
∴∠BAP＝∠CPM＝∠C，
∴MP＝MC
∵tan∠PAC=PNAN=255=25=MNPN
设MN＝2m，PN=5m，
根据勾股定理得，PM=MN2+PN2=3m＝CM，
∴tanC=PNCN=5m5m=55；
（3）
在Rt△ABC中，sin∠BAC=BCAC=35，
过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，
∵∠DEB＝90°，
∴CH∥AG∥DE，
∴GHEG=ACAD=52
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH
∴BGCH=AGBH=ABBC=43，
设BG＝4m，CH＝3m，AG＝4n，BH＝3n，
∵AB＝AE，AG⊥BE，
∴EG＝BG＝4m，
∴GH＝BG+BH＝4m+3n，
∴4m+3n4m=52，
∴n＝2m，
∴EH＝EG+GH＝4m+4m+3n＝8m+3n＝8m+6m＝14m，
在Rt△CEH中，tan∠BEC=CHEH=314．
培优训练
1．如图1，AB＝12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝8．点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由B点向点D运动．它们的运动时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为每秒x个单位，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用SAS定理证明△ACP≌△BPQ；根据全等三角形的性质得到∠ACP＝∠BPQ，进而推出∠CPQ＝90°，可得线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组可求得结果．
【解析】（1）结论：△ACP与△BPQ全等．
理由如下：当t＝2时，AP＝BQ＝2×2＝4，
则BP＝AB﹣AP＝12﹣4＝8，
∴BP＝AC，
又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
AP=BQ∠A=∠BCA=PB，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
结论：PC⊥PQ．
证明：∵△ACP≌△BPQ，
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
∴8=12-2t2t=tx，
解得
t=2x=2；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
8=xt2t=12-2t，
解得
t=3x=83；
综上所述，当t=2x=2或t=3x=83时，
使得△ACP与△BPQ全等．
2．如图，△ABC和△DEF是两个全等的三角形，∠BAC＝∠EDF＝120°，AB＝AC=3．现将△ABC和△DEF按如图所示的方式叠放在一起，△ABC保持不动，△DEF运动，且满足：点E在边BC上运动（不与点B，C重合），且边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．
（1）求证：∠BAE＝∠MEC；
（2）当E在BC中点时，请求出ME：MF的值；
（3）在△DEF的运动过程中，△AEM能否构成等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的BE的长；若不能，则请说明理由．
【分析】（1）根据△ABC≌△DEF，得∠ABC＝∠DEF，由三角形外角的性质得：∠B+∠BAE＝∠AEM+∠MEC，所以∠BAE＝∠MEC；
（2）先证明AC⊥EF，取AB中点H，连结EH，则EH＝AH，证明△AHE是等边三角形，计算BC和EM的长可得结论；
（3）分三种情况讨论
①当AM＝AE时，如图3，
②当AE＝EM时，如图4，
③当MA＝ME时，如图5，
根据等腰三角形的性质可得结论．
【解析】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
∠AEC＝∠AEM+∠MEC，
∴∠B+∠BAE＝∠AEM+∠MEC，
即∠BAE＝∠MEC；
（2）解：当E为BC中点时，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴AE⊥BC，∠EAM＝∠BAE＝60°，
又∵∠DEM＝30°，
∴AC⊥EF，
取AB中点H，连结EH，
则EH＝AH
∵∠BAE＝60°，
∴△AHE是等边三角形，
∴AE＝EH=12AB=32，
∴BC＝2BE＝3，
同理，AM=34，ME=34，
∴FM＝EF﹣EM＝BC﹣EM＝3-34=94，
∴EM：FM＝1：3；
（3）解：能．
分三种情况讨论：
①当AM＝AE时，如图3，
∠AEM＝30°，
∴∠EAM＝120°，
此时点E与点B重合，与题意矛盾，
∴舍去；
②当AE＝EM时，如图4，
由（1）知，∠BAE＝∠CEM，
∵∠B＝∠C＝30°，AE＝ME，
∴△BEA≌△CEM（AAS），
∴AB＝EC=3，
∴BE＝BC﹣EC＝3-3；
③当MA＝ME时，如图5，
则∠AEM＝∠MAE＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝90°，
取BE中点I，连结AI，
则AI＝IE＝BI，∠AEB＝60°，
∴△AIE是等边三角形，
设AI＝x，
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2+AB2＝BE2，
即x2+(3)2=(2x)2，解得x＝1，
∴BE＝2x＝2，
综上所述，当BE＝3-3或2时，△AME是等腰三角形．
3．如图，在△ACB中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，且BD＝3，CF＝2，则DEEF的值为 62 ．
【分析】（1）由相似三角形的判定可证△BDE∽△CEF；
（2）由相似三角形的性质可得DBCE=BECF，可求BE＝CE=6，即可求解．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
（2）∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∵△BDE∽△CEF，
∴DBCE=BECF，
∴BE2＝DB•CF＝6，
∴BE＝CE=6，
∵△BDE∽△CEF，
∴DEEF=DBCE=36=62，
故答案为：62．
4．在综合实践课上，李老师以“含30°的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含30°角的足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点．
（1）当时，______°；
（2）当等于何值时，？请说明理由；
（3）在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）50；（2）=5时，，理由见详解；（3）当α＝45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形
【分析】
（1）先求出∠B=30°，再根据三角形内角和定理即可求解；
（2）根据CA＝CB，且∠ACB度数，求出∠A与∠B度数，再由外角性质得到α＝∠APD，根据AP＝BC，利用ASA即可得证；
（3）点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求出夹角α的大小即可．
【解析】
解：（1）∵，，
∴∠B=（180°-120°）÷2=30°，
∵，
∴180°-100°-30°=50°，
故答案是：50；
（2）当AP＝5时，，
理由为：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝30°，
又∵∠APC是△BPC的一个外角，
∴∠APC＝∠B＋＝30°＋，
∵∠APC＝∠DPC＋∠APD＝30°＋∠APD，
∴＝∠APD，
又∵AP＝BC＝5，
∴；
（3）△PCD的形状可以是等腰三角形，
则∠PCD＝120°−α，∠CPD＝30°，
PC＝PD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝（180°−30°）÷2＝75°，即120°−α＝75°，
∴α＝45°；
②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°−α＝30°，
∴α＝90°；
③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP＝∠CPD＝30°，
∴∠PCD＝180°−2×30°＝120°，
即120°−α＝120°，
∴α＝0°，
此时点P与点B重合，点D和A重合，
综合所述：当α＝45°或90°或0°时，△PCD是等腰三角形．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
5．已知直线l1：y＝﹣x+b与x轴交于点A，直线l2：y＝x﹣与x轴交于点B，直线l1、l2交于点C，且C点的横坐标为1．
（1）求直线l1的解析式和点A的坐标．
（2）直线l1与y轴交于点D，将l1向上平移9个单位得l3，l3与x轴、y轴分别交于点E、F，点P为l3上一动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，求△ABP的周长和点P的坐标．
（3）将l1绕点C逆时针旋转，使旋转后的直线l4过点G（﹣2，0），过点C作l5平行于x轴，点M、N分别为直线l4、l5上两个动点，是否存在点M、点N，使△BMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x﹣3，点A的坐标为（﹣3，0）；（2），P点坐标为（，）；（3）存在，点M的坐标为（﹣8，8）或（，﹣）．
【分析】
（1）利用点C是两条直线的交点，求出C点坐标，代入直线l1，可求出直线l1的解析式，进而求出点A的坐标；
（2）利用平移求出l3的解析式，构造点B关于l3的对称点Q，利用两点之间线段最短找到点P的坐标，利用两点间距离公式，求出△ABP的周长；
（3）构造全等三角形，利用全等边相等，列出关系式，进而求出M的坐标．
【解析】
解：（1）将x=1代入直线y=x-，得y=×1-=-4，
故点C的坐标为（1，-4），
将C的坐标（1，-4）代入直线y=-x+b得，
-4=-1+b，
解得b=-3，
∴直线l1：y=-x-3，
令y=0，则-x-3=0，解得x=-3，
故点A的坐标为（-3，0）；
（2）直线l3为l1向上平移9个单位所得，故直线l3的解析式为：y=-x+6，
令x=0，得y=6，令y=0，得x=6，
故点E，点F的坐标分别为（6，0），（0，6），
直线l2：y=x-与x轴交于点B，
令y=0，得x=4，故B点的坐标为（4，0），
取点B关于l3的对称点Q，设点Q的坐标为（a，b），
则线段BQ的中点坐标为（，）在直线l3，
∴①
且即②
联立①②得
，
解得：，
∴Q（6，2），
直线AQ的解析式：，
当△ABP的周长最小时，即AP+BP最小，
连接AQ，交直线l3于点P，
此时AP+BP最小，
最小值为，
∵AB=7，
此时△ABP的周长为7+，
由解得，
∴P点坐标为，
（3）设l4的解析式：y=mx+n，
将C（1，-4），G（-2，0），代入y=mx+n得，
，解得，
∴l4的解析式为：，
1°：当点M在直线l4的上方时，
设点N（n，-4），点M（s，），
过点N，B分别作y轴的平行线，过点M作x轴的平行线，三条直线分别交于R，S两点，如图
则R，S的坐标分别为，
∴RM=s-n，RN=，MS=4-s，SB=，
∵∠NMB=90°，
∴∠NMR+∠SMB=90°，
∵∠BMS+∠MBS=90°，
∴∠NMR=∠MBS，
∵∠S=∠R=90°，MB=MN，
∴△MNR≌△BMS（AAS），
∴RM=SB，RN=SM，
即s-n=，，
解得s=-8，n=-16，
∴点M的坐标为（-8，8），
2°：当点M在直线l4的下方时，
设点N（n，-4），点M（s，），
过点N，B分别作y轴的平行线，过点M作x轴的平行线，三条直线分别交于R，S两点，如图
则R，S的坐标分别为（n，），（4，），
∴RM=s-n，RN=，MS=4-s，SB=，
∵∠NMB=90°，
∴∠NMR+∠SMB=90°，
∵∠BMS+∠MBS=90°，
∴∠NMR=∠MBS，
∵∠S=∠R=90°，MB=MN，
∴△MNR≌△BMS（AAS），
∴RM=SB，RN=SM，
即s-n=，，
解得s=，n=，
∴点M的坐标为（，），
综上点M的坐标为（-8，8）或（，）．
【点睛】
本题是一道一次函数综合问题，考查了求一次函数的解析式；已知点在直线上的，求点的坐标；利用对称点，求周长最小值；两点之间距离公式等，需要有解决一次函数的综合能力．
6．如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0）．
（1）过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐标；
（2）连接OA，若Р为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标；
（3）已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）OD＝8，点A的坐标（8，6）；（2）（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；（3）（16，0）或（10，0）或（-10，0）
【分析】
（1）通过证明△BOC≌△CDA，可得CD＝OB＝2，即可求OD的长，进而即可得到A的坐标；
（2）分三种情况：①作△OAC关于x轴的对称图形得到△OP1C；作△OAC关于直线x=3的对称图形得到△OP2C；③作△OP2C关于x轴的对称图形得到△OP3C，
分别求解，即可；
（3）分三种情况：①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰；②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时；③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，分别求解即可．
【解析】
解：（1）∵点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0），
∴OB＝2，OC＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCO＋∠ACD＝90°，且∠BCO＋∠OBC＝90°，
∴∠ACD＝∠OBC，且AC＝BC，∠BOC＝∠ADC＝90°，
∴△BOC≌△CDA（AAS），
∴CD＝OB＝2，
∴OD＝OC＋CD＝8，AD=OC=6，
∴点A的坐标（8，6）；
（2）①作△OAC关于x轴的对称图形得到△OP1C，
∴△OAC△OP1C，
∴P1（8，-6）；
②∵点O，C关于直线x=3对称，
∴作△OAC关于直线x=3的对称图形得到△OP2C，
∴△OAC△CP2O，
∴P2（-2，6）；
③作△OP2C关于x轴的对称图形得到△OP3C，
∴△OP2C△OP3C，即：△OP3C△OCA，
∴P3（-2，-6），
综上所述：P的坐标为：（8，-6）或（-2，6）或（-2，-6）；
（3）①当以点A为顶角顶点时，且OA是腰，
∵AD⊥x轴，
∴点Q1，O关于直线AD对称，即：Q1（16，0）；
②当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成锐角三角形时，
则OQ2=OA=10，
∴Q2（10，0）；
③当以点A为底角顶点时，且OA是腰，形成钝角三角形时，
则OQ3=OA=10，
∴Q2（-10，0），
综上所述：Q的坐标为：（16，0）或（10，0）或（-10，0）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理，掌握分类讨论思想方法是本题的关键．
7．已知：是经过的顶点C的一条直线，．E、F是直线上两点，．
（1）若直线经过的内部，．
①如图1，，，直接写出，，间的等量关系：__________．
②如图2，与具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出与的数量关系，并对结论进行证明；
（2）如图3，若直线经过的外部，，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．
【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）不成立，，理由见解析
【分析】
（1）①根据题意，推导得，通过证明，得，，结合，即可得到答案；
②结合题意，根据三角形内角和性质，推导得，通过证明，即可完成证明；
（2）根据题意，结合三角形内角和的性质，推导得，通过证明，得，；根据，即可得到答案．
【解析】
（1）①∵，
∴,
∴
∴
∴
∴，
∵
∴；
②满足，理由如下：
∵，
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
（2）不成立，，理由如下：
∵，，
∴
∴
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
【点睛】
本题考查了三角形内角和、余角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、全等三角形的性质，从而完成求解．
8．如图，在ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由见详解；（3）可以，110°或80°.
【分析】
（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；
（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【解析】
解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=40°，
∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，
∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，
∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；
（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵∠BDA=110°时，
∴∠ADC=70°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=70°，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC=100°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=40°，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知、分别在坐标轴的正半轴上．
（1）如图1，若a、b满足，以B为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，则点C的坐标是（________）；
（2）如图2，若，点D是的延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；
（3）如图3，设，的平分线过点，直接写出的值．
【答案】（1）点C的坐标是；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据偶次幂的非负性以及算术平方根的非负性得出的值，过点作轴于点，然后证明，进而得出结论；
（2）过点E作轴于点M，根据题意证明，在和中，根据三角形内角和定理可得结论；
（3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，先证明可得BK＝BF＝b＋2，然后证明Rt△DAH≌Rt△DAK可得BK＝c＋a−2，进一步可得结果．
【解析】
解：（1）∵，
∴，
∴，
过点作轴于点，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴,
∵，
∴，
在和中，
，
∴,
∴,
∴，
∴点C的坐标是；
（2）证明：过点E作轴于点M，依题意有，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又，即，
∴，
∴，
即，又，设与相交于点N，
∴在和中，
，，
∴；
（3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，
则DF＝DH＝2，
∵BD平分∠ABO，DF⊥y轴，DK⊥BA，
∴DF＝DK＝2，
∵，,，
∴,
∴DF＝DH＝DK，BK＝BF＝b＋2，
在Rt△DAH和Rt△DAK中，
，
∴Rt△DAH≌Rt△DAK（HL）
∴AK＝AH＝a−2，
∴BK＝c＋a−2，
∴c＋a−2＝b＋2，
∴a−b＋c＝4．
【点睛】
本题考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，偶次方与算数平方根的非负性的性质，根据题意构建出全等三角形是解本题的关键．
10．如图，在等腰中，，点、分别在轴、轴上．
（1）如图①，若点的横坐标为5，求点的坐标；
（2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作轴于点，求的值；
（3）如图③，若点的坐标为，点在轴的正半轴上运动时，分别以、为边在第一、第二象限中作等腰，等腰，连接交轴于点，当点在轴上移动时，的长度是否发生改变？若不变求的值；若变化，求的取值范围．
【答案】（1）（0，5）（2）（3）不变，等于2．
【分析】
（1）作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）设AB＝BC＝a，根据勾股定理求出AC＝a，根据MA（即x轴）平分∠BAC，得到，求得BM＝（−1）a，MC＝（2− ）a，AM＝a，再证明Rt△ABM∽Rt△CDM，得到，即CD＝，即可解答，
（3）作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝AO，即可解题．
【解析】
解：（1）如图1，作CD⊥BO于D，
∵∠CBD＋∠ABO＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中，，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD＝BO＝5，
∴B点坐标（0，5）；
（2）设AB＝BC＝a，
则AC＝a，
∵MA（即x轴）平分∠BAC，
∴，
即MC＝BM，
∵BC＝BM＋MC＝a，
∴BM＋BM＝a，
解得BM＝（−1）a，MC＝（2−）a
则AM＝a，
∵∠ABM＝∠CDM＝90°
且∠AMB＝∠CMD
∴Rt△ABM∽Rt△CDM，
∴，即CD＝，
∴；
（3）的长度不变，理由如下：
如图3，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO＋∠OBA＝90°，∠OBA＋∠EBG＝90°，
∴∠BAO＝∠EBG，
在△BAO和△EBG中，，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG＝AO，EG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝EG，
在△EGP和△FBP中，，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝AO＝2．
【点睛】
本题考查了勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．
11．综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0）且a，b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0
（1）求A，B两点的坐标
（2）已知△ABC中AB=CB，∠ABC＝90°，求C点的坐标
（3）已知AB＝，试探究在x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（0，3）、B（1，0）；（2）C（4，1）；（3）存在，，，
【分析】
（1）由平方数和绝对值的非负性可得a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，从而求得a＝3，b＝1，即可得到A，B两点的坐标．
（2）过点Ｃ向轴作垂线，垂足为，结合已知条件可构造一线三等角模型，即可证明，则，，易得点C的坐标．
（3）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，则需分两种情况讨论：①则在B的左侧，；在右侧，；②，则易证，故．
【解析】
解：（1）∵a、b满足（a﹣3）2+|a﹣2b﹣1|＝0．
∴a﹣3＝0，a﹣2b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴A（0，3）、B（1，0）；
（2）如图，过点C向轴作垂线，垂足为，则，
∵，，
∴
在和中，
∵
∴
∴，，
∴C（4，1）．
（3）若为腰，则分两种情况讨论：
①当时，
若在B的左侧，则，∴；
若在的右侧，则，∴；
②当时，
∵，∴由等腰三角形三线合一可知，
∴．
综上所述，存在，，．
【点睛】
本题考查点的坐标，等腰三角形的性质，掌握一线三等角证全等及等腰三角形的存在性的方法为解题关键．
12．在中，，，直线MN经过点C，且于D点，于E点．
（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：；
（2）当直线MN绕点C旋转到图②、图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】（1）证明见解析，（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD．
【分析】
（1）由已知推出推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS证明△ADC≌△CEB即可得到答案；
（2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，即可得到线段的关系．
【解析】
解：（1）①证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵DC+CE＝DE，
∴DE＝AD+BE．
（2）图②中DE、AD、BE的等量关系是DE＝AD﹣BE，图③中DE、AD、BE的等量关系是DE＝BE﹣AD．
如图②
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．
DE＝AD﹣BE，
如图③
∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出全等三角形是解此题的关键．
13．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO＝2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP＝90°不变，BP边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；
（2）请利用如图1所示的情形，求证：ABPB=OMBM；
（3）若AO＝26，且当MO＝2PO时，请直接写出AB和PB的长．
【分析】（1）先证明四边形OCBM是平行四边形，由于∠BMO＝90°，所以▱OCBM是矩形，最后利用直角三角形斜边上的中线的性质即可证明四边形OCBM是正方形；
（2）连接AP、OB，由于∠ABP＝∠AOP＝90°，所以A、B、O、P四点共圆，从而利用圆周角定理可证明∠APB＝∠OBM，所以△APB∽△OBM，利用相似三角形的性质即可求出答案．
（3）由于点P的位置不确定，故需要分情况进行讨论，共两种情况，第一种情况是点P在O的左侧时，第二种情况是点P在O的右侧时，然后利用四点共圆、相似三角形的判定与性质，勾股定理即可求出答案．
【解析】（1）∵2BM＝AO，2CO＝AO
∴BM＝CO，
∵AO∥BM，
∴四边形OCBM是平行四边形，
∵∠BMO＝90°，
∴▱OCBM是矩形，
∵∠ABP＝90°，C是AO的中点，
∴OC＝BC，
∴矩形OCBM是正方形．
（2）方法一：连接AP、OB，
∵∠ABP＝∠AOP＝90°，
∴A、B、O、P四点共圆，
由圆周角定理可知：∠APB＝∠AOB，
∵AO∥BM，
∴∠AOB＝∠OBM，
∴∠APB＝∠OBM，
∴△APB∽△OBM，
∴ABPB=OMBM
方法二：如图所示，过点B作BD⊥AO于点D，
易证：四边形DBMO是矩形，
∴BD＝OM，
∵∠ABD+∠DBE＝∠DBE+∠PBM，
∴∠ABD＝∠PBM，
∵∠ADB＝∠PMB＝90°，
∴△ABD∽△PBM，
∴ABPB=BDBM，
∴ABPB=OMBM；
（3）当点P在O的左侧时，如图所示，
过点B作BD⊥AO于点D，
易证△PEO∽△BED，
∴POBD=OEDE
易证：四边形DBMO是矩形，
∴BD＝MO，OD＝BM
∴MO＝2PO＝BD，
∴OEDE=12，
∵AO＝2BM＝26，
∴BM=6，
∴OE=63，DE=263，
易证△ADB∽△ABE，
∴AB2＝AD•AE，
∵AD＝DO＝BM=6，
∴AE＝AD+DE=563
∴AB=10，
由勾股定理可知：BE=2153，
易证：△PEO∽△PBM，
∴BEPB=OMPM=23，
∴PB=15
当点P在O的右侧时，如图所示，
过点B作BD⊥OA于点D，
∵MO＝2PO，
∴点P是OM的中点，
设PM＝x，BD＝2x，
∵∠AOM＝∠ABP＝90°，
∴A、O、P、B四点共圆，
∴四边形AOPB是圆内接四边形，
∴∠BPM＝∠A，
∴△ABD∽△PBM，
∴ADBD=PMBM，
又易证四边形ODBM是矩形，AO＝2BM，
∴AD＝BM=6，
∴62x=x6，
解得：x=3，
∴BD＝2x＝23
由勾股定理可知：AB＝32，PB＝3，
综上所述，AB=10，PB=15或AB＝32，PB＝3，
14．学习概念：
三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角．如图1中∠ACD是△AOC的外角，那么∠ACD与∠A、∠O之间有什么关系呢？
分析：∵∠ACD＝180°﹣∠ACO，∠A+∠O＝180°﹣∠ACO
∴∠ACD＝∠A+ ∠O ，
结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 和 ．
问题探究：
（1）如图2，已知：∠AOB＝∠ACP＝∠BDP＝60°，且AO＝BO，则△AOC ≌ △OBD；
（2）如图3，已知∠ACP＝∠BDP＝45°，且AO＝BO，当∠AOB＝ 45 °，△AOC≌△OBD；
应用结论：
（3）如图4，∠AOB＝90°，OA＝OB，AC⊥OP，BD⊥OP，请说明：AC＝CD+BD．
拓展应用：
（4）如图5，四边形ABCD，AB＝BC，BD平分∠ADC，AE∥CD，∠ABC+∠AEB＝180°，EB＝5，求CD的长．
【分析】学习概念：利用等式的性质即可得出结论；
问题探究：（1）利用等式的性质得出∠OAC＝∠BOD，即可得出结论；
（2）利用全等三角形的性质和等式的性质即可得出结论；
应用结论：（3）同（1）的方法即可得出结论；
拓展应用：（4）构造出（1）的图形即可得出结论．
【解析】学习概念：
∵∠ACD＝180°﹣∠ACO，∠A+∠O＝180°﹣∠ACO
∴∠ACD＝180°﹣（180°﹣∠A﹣∠O）＝∠A+∠O，
即：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，
故答案为：∠O，和；
问题探究：（1）∵∠AOB＝60°，
∴∠AOC+∠BOD＝60°，
∵∠ACP＝∠BDP＝60°，
∴∠ACO＝∠ODB＝120°，∠AOC+∠OAC＝60°，
∴∠OAC＝∠BOD，
在△AOC和△OBD中，∠ACO=∠ODB=120°∠OAC=∠BODOA=OB，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
故答案为：≌；
（2）∵△AOC≌△OBD，
∴∠AOC＝∠OBD，
∵∠BDP＝45°，
∴∠BOD+∠OBD＝45°，
∴∠BOD+∠AOC＝45°，
∴∠AOB＝45°，
故答案为：45°；
应用结论：（3）∵AC⊥OP，BD⊥OP，
∴∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
∴△AOC≌△OBD，
∴OC＝BD，AC＝OD，
∴AC＝OD＝OC+CD＝BD+CD；
拓展应用：（4）如图5，在DB上取一点F使CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF，
∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CFD＝∠CDF＝∠ADB，
∵AE∥CD，
∴∠BDC＝∠AED，
∴∠AED＝∠CFD，
∵∠AEB+∠AFD＝180°，∠AEB+∠ABC＝180°，
∴∠AED＝∠ABC，
∴∠AEB＝∠BFC，
∵∠AED＝∠ABE+∠BAE，∠ABC＝∠ABE+∠CBF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF，
∴CF＝BE＝5，
∴CD＝CF＝5．
15．四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E在BD上，点F在射线CD上，且AE＝EF，∠AEF＝90°
（1）如图①，若∠ABE＝∠AEB，AG⊥BD，垂足为G，求证：BG＝GE；
（2）在（1）的条件下，猜想线段CD，DF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图②，若∠ABE＝a，∠AEB＝135°，CD＝a，求DF的长（用含a，α的式子表示）
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一即可得出结论；
（2）先利用同角的余角相等判断出∠CBP＝∠FEQ，等量代换得出BC＝EF，进而得出，△BCP≌△EFQ，得出CP＝FQ，再判断出，△CPD≌△FQD即可得出结论；
（3）先判断出tanα=AQBQ，再判断出△ABQ≌△BCP，得出BQ＝CP，再判断出△DQF∽△DPC，得出比例式，代换即可得出结论．
【解析】（1）∵∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AG⊥BD，
∴BG＝GE；
（2）如图①，过点C作CP⊥BD于P，过点F作FQ⊥BD交BD的延长线于Q，
∴∠BPC＝∠DPC＝∠FQE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵∠ABE＝∠AEB，
∴∠AEB+∠CBD＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEQ＝90°，
∴∠CBP＝∠FEQ，
∵AB＝BC，AE＝EF，AB＝AE，
∴BC＝EF，
在△BCP和△EFQ中，∠BPC=∠EQF∠CBP=∠FEQBC=EF，
∴△BCP≌△EFQ，
∴CP＝FQ，
在△CPD和△FQD中，∠PDC=QDF∠CPD=FQDCP=FQ，
∴△CPD≌△FQD，
∴CD＝DF，
（3）如图②，连接AF，过点C作CP⊥BD，
∵∠AEB＝135°，
∴∠AED＝45°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FED＝45°＝∠AED，
∵AE＝EF，
∴AQ＝FQ，EQ⊥AF，
∵CP⊥BD，
在Rt△ABQ中，tan∠ABE＝tanα=AQBQ
∴CP∥FQ，
∵∠ABD+∠CBD＝90°，∠BCP+∠CBP＝90°，
∴∠ABQ＝∠BCP，
在△ABQ和△BCP中，∠AQB=∠BPC=90°∠ABQ=∠BCPAB=BC，
∴△ABQ≌△BCP，
∴BQ＝CP，
∵CP∥FQ，
∴△DQF∽△DPC，
∴DFCD=QFPC，
∵QF＝AQ，PC＝BQ，
∴DFCD=AQBQ，
∴DF=AQBQ⋅CD=tanα•a＝a•tanα．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE＝α，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N．
（1）依题意补全图形；
（2）当α＝30°时，直接写出∠CMA的度数；
（3）当0°＜α＜45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）根据∠AMC＝∠2+∠3，想办法求出∠2、∠3即可；
（3）结论：AM=2CN．想办法证明△AGM是等腰直角三角形，CN＝AG即可解决问题；
【解析】（1）如图．
（2）∵∠1＝∠2＝30°，∠4＝90°，
∴∠ACD＝150°，
∵CA＝CB＝CD，
∴∠3＝∠CAD＝15°，
∴∠5＝∠2+∠3＝45°，即∠AMC＝45°．
（3）结论：AM=2CN．
理由：作AG⊥EC于G．
∵点B、D关于CE对称，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴CB＝CD，
∴∠1＝∠2＝α，
∵CA＝CB，
∴CA＝CD，
∴∠3＝∠CAD，
∵∠4＝90°，
∴∠3=12（180°﹣∠ACD）=12（180°﹣90°﹣α﹣α）＝45°﹣α，
∴∠5＝∠2+∠3＝α+45°﹣α＝45°，
∵∠4＝90°，CE是BD的垂直平分线，
∴∠1+∠7＝90°，∠1+∠6＝90°，
∴∠1＝∠6，
∵AG⊥EC，
∴∠G＝∠8＝90°，
在△BCN和△CAG中，
∠8=∠G∠7=∠6BC=CA，
∴△BCN≌△CAG，
∴CN＝BG，
∵Rt△AGM中，∠G＝90°，∠5＝45°，
∴AM=2AG，
∴AM=2CN．
17．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为线段CB上一点且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．
（1）如图1，∠B＝30°，BD＝2，AD与CE交于点P，则∠CPD＝ 75° ，AE＝ 3+12 ；
（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD．若∠F＝45°，求证：AE＝FE．
【分析】（1）如图1中，设AC＝CD＝x．根据BC=3AC，构建方程求解即可．
（2）如图2中，过点C作CJ⊥DF于J，交AB于T，设DF交AB于K．想办法证明CE＝ET，CF＝AT即可解决问题．
【解析】（1）解：如图1中，设AC＝CD＝x．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴BC=3AC，
∴x+2=3x，
解得x=3+1，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∴AE=12AC=3+12，
∵∠CPD＝∠ACP+∠CAP，
∴∠CPD＝75°．
故答案为75°，3+12．
（2）证明：如图2中，过点C作CJ⊥DF于J，交AB于T，设DF交AB于K．
∵CF⊥AB，CT⊥DE，∠CFD＝45°，
∴∠FEK＝∠CET＝∠CJF＝∠KJT＝90°，
∴∠FKE＝∠TKJ＝∠KTJ＝∠ECT＝45°，
∴CE＝ET，
∵∠CAT+∠ACE＝90°，∠ACE+∠FCD＝90°，
∴∠CAT＝∠FCD，
∵AC＝CD，∠ATC＝∠CFD，
∴△ACT≌△CDF（AAS），
∴AT＝CF，
∵ET＝CE，
∴AE＝EF．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2，Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D．
（1）如图1，当A′B′∥AC时，过点B作BE⊥A′C，垂足为E，连接AE．
①求证：AD＝BD；
②求S△ACES△ABE的值；
（2）如图2，当A′C⊥AB时，过点D作DM∥A′B′，交B′C于点N，交AC的延长线于点M，求DNNM的值．
【分析】（1）①由平行线的性质和旋转性质得∠B′A′C＝∠A′CA＝∠BAC，得CD＝AD，再证明CD＝BD便可得结论；
②证明△BEC∽△ACB得CE与CD的关系，进而得S△ACE与S△ADE的关系，由D是AB的中点得S△ABE＝2S△ADE，进而结果；
（2）证明CN∥AB得△MCN∽△MAD，得MNMD=CNAD，应用面积法求得CD，进而求得AD，再解直角三角形求得CN，便可求得结果．
【解析】（1）①∵A′B′∥AC，
∴∠B′A′C＝∠A′CA，
∵∠B′A′C＝∠BAC，
∴∠A′CA＝∠BAC，
∴AD＝CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠ACD，
∵∠ABC＝90°﹣∠BAC，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∴AD＝BD；
②∵∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，
∴AB=22+42=25，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠ACB＝90°，
∵∠BCE＝∠ABC，
∴△BEC∽△ACB，
∴CEBC=BCAB，即CE2=225，
∴CE=255，
∵∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD=12AB=5，
∴CE=25CD，
∴S△ACE=23S△ADE，
∵AD＝BD，
∴S△ABE＝2S△ADE，
∴S△ACES△ABE=13；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°＝∠A′CB′，
∴AB∥CN，
∴△MCN∽△MAD，
∴MNMD=CNAD，
∵S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴CD=AC⋅BCAB=4×225=455，
∴AD=AC2-CD2=855，
∵DM∥A′B′，
∴∠CDN＝∠A′＝∠A，
∴CN＝CD•tan∠CDN＝CD•tanA＝CD•BCAC=455×24=255，
∴MNMD=255855=14，
∴DNNM=3．
19．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为直线CB上一点，且满足CD＝CA，连接AD，过点C作CE⊥AB于点E．
（1）若AB＝10，CD＝CA＝6，则BD＝ 2 ，CE＝ 245 ；
（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F＝45°，求证：AE＝EF；
（3）如图3，设直线CE与直线AD交于点G，在线段CD的延长线上取一点H，使得DH＝CB，连接HG交直线AB于点I，若∠CGH＝∠B，请直接写出线段AC和AI之间的数量关系（不需要证明）．
【分析】（1）先利用勾股定理求出BC，再利用S△ABC=12•AC•BC=12•AB•CE，求出CE，即可解决问题．
（2）如图2中，连接AF，证明A、C、D、F四点共圆，推出∠AFE＝∠CDA＝45°，即可证明．
（3）结论：AC=3AI．作DK⊥BH交GC的延长线于K，想办法证明∠B＝∠H＝∠K＝∠CGH＝30°，作AN⊥AC交CG于N，延长CA交GH于M．证明△AIM是等边三角形，AM＝AN，即可解决问题．
【解析】（1）解：如图1中，
∵∠ACB＝90°，CD＝CA＝6，AB＝10，
∴BC=AB2-AC2=102-62=8，
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，
∵S△ABC=12•AC•BC=12•AB•CE，
∴CE=AC⋅BCAB=245，
故答案为2，245．
（2）如图2中，连接AF，
∵∠ACB＝90°，CA＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝∠F＝45°，
∴A、C、D、F四点共圆，
∴∠AFE＝∠CDA＝45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF．
（3）如图3中，结论：AC=3AI．
理由：作DK⊥BH交GC的延长线于K．
∵∠CDK＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∠DCK＝∠ECB，
∴∠K＝∠B，∵DC＝CA，
∴△DCK≌△CAB（AAS），
∴DK＝BC＝DH，
∵∠GDH＝∠GDK＝135°，DG＝DG，
∴△GDH≌△GDK（SAS），
∴∠1＝∠2，∠H＝∠K＝∠B，
∵∠CGH＝∠B，
∴∠ECB＝∠H+∠CGH＝2∠B，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝∠K＝∠H＝∠CGH＝∠ACE＝30°，
作AN⊥AC交CG于N，延长CA交GH于M．
则AC=3AN，
∵∠1＝∠2，AG＝AG，∠AMG＝∠ANG＝120°，
∴△AGN≌△AGM，
∴AN＝AM，
∵∠MIA＝∠H+∠B＝60°，∠MAI＝∠CAB＝60°
∴△AIM是等边三角形，
∴AI＝AM＝AN，
∴AC=3AI．
20．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝142．点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．
（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，请直接写出BD与DO的数量关系．
（2）已知点G为AF的中点．
①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．
②如图3，若DG∥BC，EC＝2，求ADBD的值．
【分析】（1）如图1中，首先证明CD＝BD＝AD，再证明四边形ADFC是平行四边形即可解决问题；
（2）①作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．证明DG是△ABF的中位线，想办法求出BF即可解决问题；
（3）如图3，取AB中点O，连接OG，OC，BF，GE，通过证明△DGE∽△FBD，可得∠DGE＝∠DBF＝90°，BDGE=2，由等腰三角形的性质可得GE＝EC＝2，可求DB的值，即可求解．
【解析】证明：（1）如图1中，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，
∵CD＝CF，
∴AD＝CF，
∵∠ADC＝∠DCF＝90°，
∴AD∥CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴OD＝OC，
∵BD＝2OD．
（2）①解：如图2中，作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．
由题意：BD＝AD＝CD＝72，BC=2BD＝14，
∵DT⊥BC，
∴BT＝TC＝7，
∵EC＝2，
∴TE＝5，
∵∠DTE＝∠EHF＝∠DEF＝90°，
∴∠DET+∠TDE＝90°，∠DET+∠FEH＝90°，
∴∠TDE＝∠FEH，
∵ED＝EF，
∴△DTE≌△EHF（AAS），
∴FH＝ET＝5，
∵∠DBE＝∠DFE＝45°，
∴B，D，E，F四点共圆，
∴∠DBF+∠DEF＝90°，
∴∠DBF＝90°，
∵∠DBE＝45°，
∴∠FBH＝45°，
∵∠BHF＝90°，
∴∠HBF＝∠HFB＝45°，
∴BH＝FH＝5，
∴BF＝52，
∵∠ADC＝∠ABF＝90°，
∴DG∥BF，
∵AD＝DB，
∴AG＝GF，
∴DG=12BF=522；
（3）如图3，取AB中点O，连接OG，OC，BF，GE，
∵∠DBE＝∠DFE＝45°，
∴点D，点B，点F，点E四点共圆，
∴∠DEF+∠DBF＝180°，∠DEB＝∠DFB，
∴∠DBF＝90°，
∵点O是AB中点，点G是AF中点，
∴OG∥BF，BF＝2OG，
∴∠AOG＝90°，且AO＝BO，
∴点G是AB垂直平分线上一点，
∵AC＝BC，
∴点C是AB垂直平分线上一点，
∴点O，点G，点C共线，
∴∠ACO＝∠BCO＝45°，
∵DG∥BC，
∴∠ODG＝∠OBC＝45°，∠OCB＝∠OGD＝45°，∠GDE＝∠BED，
∴∠OGD＝∠ODG＝45°，∠GDE＝∠BFD，
∴OD＝OG，
∴DG=2OG，
∴BFDG=2，DFDE=2，
∴BFDG=DFDE，且∠GDE＝∠BFD，
∴△DGE∽△FBD，
∴∠DGE＝∠DBF＝90°，BDGE=2，
∵DG∥BC，
∴∠DGE＝∠GEC＝90°，且∠OCB＝45°，
∴∠EGC＝∠GCE＝45°，
∴GE＝EC＝2，
∴BD＝22，
∴AD＝AB﹣BD＝122，
∴ADBD=6
21．已知：如图，等边△ABC中，D、E分别在AB、AC边上，且CE＝2AD，将线段DE绕点D顺时针旋转60°得到线段DF，连接EF、BF；
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AE＝2CE，求tan∠DEA的值．
（3）若M为DF中点，连接CM与BF延长线交于点N，若CN=52MN，FN＝11，求BF的长．
【分析】（1）过E作EH⊥BC于H，连接DH，得出∠CEH＝30°，CE＝2CH，根据已知得出DH∥AC，得出△BDH是等边三角形，进而求得△DHE≌DBF，从而求得∠DBF＝30°即可求得结论；
（2）在△ADE中，AE＝4a，AD＝a，∠A＝60°，即可求解；
（3）延长BN交AC于P，连接EM，连接PM并延长交AB于Q，EM与BP交于K，先通过△KPE∽△KMF，得出对应边成比例，进而求得△KPM∽△KEF，得出∠BPM＝∠FEM＝30°，从而求得PQ∥BC，然后根据平行线的性质得出△PMN∽△BCN，进而得出对应边的关系，再通过△QMD∽△ADE，进一步得出对应边的关系，从而得出BF与FN的数量关系，进而求解．
【解析】（1）过E作EH⊥BC于H，连接DH，
∵∠C＝60°，
∴∠HEC＝30°，
∴CE＝2CH，
∵CE＝2AD，
∴CH＝AD，
∴CHBC=DAAB，
∴HD∥AC，
∴△BHD为等边三角形，∠DHE＝∠HEC＝30°，
∴HD＝BD，
∵∠EDF＝60°，
∴∠HDE＝∠BDF，
在△DHE与△DBF中，HD＝BD，∠HDE＝∠BDF，ED＝FD，
∴△DHE≌DBF （SAS），
∴∠DBF＝∠DHE＝30°，
∴∠CBF＝∠DBF，
即BF平分∠ABC；
（2）设AD＝a，则CE＝2AD＝2a，
若AE＝2CE，则AE＝4a，
在△ADE中，AE＝4a，AD＝a，∠A＝60°，过点D作DH⊥AC于点H，
则AH=12AD=12a，HD＝ADsin60°=32a，
则tan∠DEA=DHCH=32a4a-12a=37；
（3）延长BN交AC于P，连接EM，连接PM并延长交AB于Q，EM与BP交于K，
由（1）可知BF是∠ABC的平分线，△DEF是等边三角形，
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠BPC＝90°，
∵△DEF是等边三角形，M是DF的中点，
∴∠EMF＝90°，∠FEM＝30°，
∴∠BPC＝∠EMF＝90°，
又∵∠EKP＝∠FKM，
∴△KPE∽△KMF，
∴EKFK=PKMK，
∵∠EKF＝∠MKP，
∴△KPM∽△KEF，
∴∠BPM＝∠FEM＝30°，
∴∠BPM＝∠PBC＝30°，
∴PQ∥BC，
∴△APQ为等边三角形，△PMN∽△BCN，
∴MN：CN＝PN：BN＝PM：BC＝2：5，
∵∠A＝∠EDF＝∠PQA＝60°，∠EDQ＝∠A+∠AED，∠EDQ＝∠EDF+∠MDQ，
∴∠AED＝∠MDQ，
∴△QMD∽△ADE，
∴QM：AD＝MD：ED＝1：2，
设PM＝4a，则BC＝10a，
而△APQ为等边三角形，故PQ＝5a，则QM＝a，AD＝2a，
而CE＝2AD，故CE＝4a，
而PB＝BC•cos30°＝53a，
∴BN=2537a，
由（1）可知EH＝BF＝23a，
∴FN=1137，
∴BF：FN＝14：11
∴BF=1411FN＝14．
22．已知：△ABC中，BC＝AC＝10，tanB＝2，射线CD平分∠ACB，交AB于点D．Rt△EFG中，∠GEF＝90°，EF＝5，EG=52，将△ABC与△EFG如图（1）摆放，使点C与点E重合，B、C、E、F共线，现将△EFG沿着射线CD以每秒5个单位的速度向上平移，设平移时间为t秒．
（1）求点A到BC的距离；
（2）在平移过程中，当△EFG与△ACD有重叠部分时，设重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式及对应的自变量t的取值范围；
（3）如图（2），当点E与点D重合时，将△EFG绕点D旋转，记旋转中的△EFG为△EF1G1，在旋转过程中G1F1所在直线与边AB交于点M，与边AC交于点N，当△AMN为以MN为腰的等腰三角形时，求AM的长度．
【分析】（1）作高AH，根据tanB＝2设BH＝x，则AH＝2x，CH＝10﹣x，利用勾股定理列方程求x的值，则AH＝8；
（2）分四种情形①当0＜t≤32时，如图2中，重叠部分是△EMN．②当32＜t≤72时，如图5中，重叠部分是四边形EGMN．③如图6中，当72＜t≤4时，重叠部分是五边形EKPMN．④如图7中，当4＜t≤6时，重叠部分是△PKF．分别求解即可．
（3）分两种情形①如图8中，当GF∥BC时，易证明△MAN是等腰三角形．②如图9中，当DG∥AC时，易证明△ANM是等腰三角形，MA＝MN，△MGD是等腰三角形，MG＝MD．分别求出DM的长即可解决问题．
【解析】（1）如图1，过A作AH⊥BC，垂足为H，
在Rt△ABH中，tan∠B=AHBH=2，设BH＝x，则AH＝2x，CH＝10﹣x，
由勾股定理得：AH2+CH2＝AC2，
（2x）2+（10﹣x）2＝102，
解得：x1＝0（舍），x2＝4，
∴AH＝2x＝8，
答：点A到BC的距离是8；
（2）①如图2中，重叠部分是△EMN．
由（1）得：AH＝8，BH＝4，
∴CH＝6，
∴AB=82+42=45，
∴AD＝BD＝25，
∵∠ADI＝∠IHC＝90°，∠AID＝∠CIH，
∴∠BAH＝∠ICH，
∵∠BAH+∠B＝90°，∠ICH+∠HIC＝90°，
∴∠B＝∠HIC，
∴tan∠HIC＝tan∠B=CHHI=2，
∴6HI=2，
∴HI＝3，
∴AI＝5，由勾股定理得：DI=52-(25)2=5，CI=32+62=35，
由题意得：CE=5t，
∵EG∥AH，
∴EMAI=CECI，
∴EM5=5t35，
∴EM=53t，tan∠EMN＝tan∠HAC=ENEM=CHAH，
∴EN53t=68，
∴EN=54t，
∴S=12EM•EN=12•53t•54t=2524t2，
如图3，当G落在AC上时，
EG=53t=52，t=32；∴当0＜t≤32时，S=2524t2；
②如图4中，当G在AB上时，
∵EG∥AI，
∴EGAI=EDDI，
∴525=DE5，
∴DE=52，
∴CE=725=5t，
∴t=72，
∴当32＜t≤72时，如图5中，重叠部分是四边形EGMN，
S＝S△EFG﹣S△MNF=254-（58t2﹣5t+10）=-58t2+5t-154．
③如图6中，当72＜t≤4时，重叠部分是五边形EKPMN．
S＝S△GEF﹣S△PGK﹣S△MNF=254-5（t-72）2﹣（58t2﹣5t+10）=-458t2+40t﹣65．
④如图7中，当4＜t≤6时，重叠部分是△PKF．
S=12•PK•PF=12•（5-5t-452）•2（5-5t-452）=54t2﹣15t+45．
综上所述，S=2524t2(0＜t≤32)-58t2+5t-154(32＜t≤72)-458t2+40t-65(72＜t≤4)54t2-15t+45(4＜t≤6)．
（3）①如图8中，当GF∥BC时，易证明△MAN是等腰三角形，
∵MN＝AN，
∴∠A＝∠NMA＝∠G，
∴DG＝DM=52，
∴AM＝AD﹣DM＝25-52．
②如图9中，当DG∥AC时，易证明△ANM是等腰三角形，MA＝MN，△MGD是等腰三角形，MG＝MD，
作MK⊥GD于K．
∵MG＝MD，MK⊥GD，
∴KD＝KG=54，MK＝2KD=52，
ME=545，
∴AM＝AD﹣MD＝25-545=345．
23．已知，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠CAB＝30°，∠DAE＝60°，AD＝3，AB=63，且AB，AD在同一直线上，把图1中的△ADE沿射线AB平移，记平移中的△ADE为△A′DE（如图2），且当点D与点B重合时停止运动，设平移的距离为x．
（1）当顶点E恰好移动到边AC上时，求此时对应的x值；
（2）在平移过程中，设△A′DE与Rt△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；
（3）过点C作CF∥AE交AB的延长线于点F，点M为直线BC上一动点，连接FM，得到△MCF，将△MCF绕点C逆时针旋转60°，得到△M′CF′（M的对应点为M′，F的对应点为F′），问△FMM′的面积能否等于3？若能，请求AM′的长度，若不能，请说明理由．
【分析】（1）和（2）根据直角三角形的性质和三角形面积的求解方法，求出重叠面积S与x的函数关系式；
（3）根据题意，利用三角形的面积求解方法分三种情况讨论，列方程式解方程可求解出AM′的长度．
【解析】（1）∵顶点E恰好移动到边AC上时，
∴x=33×3+3=12
（2）当0≤x≤3时，S=38x2；
当3＜x≤63时，S=-324x2+3x-323；
当63＜x≤12时，S=-13324x2+(18+3)x-11132；
当12＜x≤63+3时，S=-32x2+18x-9932．
（3）
如图①所示：设CM＝CM′＝x，A E D
则S△FMM'=S△FCM'-S△FCM-S△MCM'
=12x⋅43-12x⋅23-34x2=3
将其化简得：x2﹣4x+4＝0
∴x＝2
∴AM′＝12﹣2＝10
如图②所示：设CM＝CM′＝x，
则S△FMM'=S△FCM+S△MCM'-S△FCM'
=12x⋅23+34x2-12x⋅43=3
将其化简得：x2﹣4x﹣4＝0
∴x=2±22（舍负）
∴x=2+22
∴AM'=12-(2+22)=10-22
如图③所示：设CM＝CM′＝x，
S△FMM'=S△MCM'+S△FCM'-S△FCM
=34x2+12x⋅43-12x⋅23=3
将其化简得：x2+4x﹣4＝0
∴x=-2±22（舍负）
∴x=-2+22
∴AM'=12+(-2+22)=10+22
∴AM′的值为10或10-22或 10+22．
24．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB＝∠EDF＝90°，∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，BC＝6cm，EF＝12cm．
如图2，△DEF从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动、DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）当t＝ 12-63 时，点A在线段PQ的垂直平分线上．
（2）当t为何值时，PQ∥DF？
（3）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．
【分析】（1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE＝CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；
（2）利用平行线的性质得出AQ＝AM+MQ，进而得出t的值；
（3）利用S四边形APEC＝S△ABC﹣S△PBE，进而求出即可．
【解析】（1）∵∠ACB＝∠EDF＝90°，∠BAC＝30°，∠DEF＝45°，BC＝6cm，
∴AB＝12cm，AC＝63cm，
依题意，得EC＝QC＝t．
∴BE＝6﹣t，AQ＝63-t，
∵BP＝2t，
∴AP＝12﹣2t．
当点A在线段PQ的垂直平分线上时，AP＝AQ，
∴12﹣2t＝63-t，
解得t＝12﹣63，
即当t＝12﹣63时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
故答案为：12-63；
（2）∵PQ∥DF，
∴PQ⊥DE，∠AQP＝45°．
过点P作PM⊥AQ，垂足为M（如图1）．
∵在Rt△APM中，∠A＝30°，AP＝12﹣2t，
∴PM＝6﹣t＝QM，AM＝（6﹣t）•3=63-3t．
∵AQ＝AC﹣QC=63-t．
故63-3t+6-t=63-t．
解之得t=23．
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为N（如图2），
∵在Rt△PBN中，∠B＝60°，BP＝2t，
∴PN=3t．
∴S△ABC=12BC•AC＝183
∴S四边形APEC＝S△ABC﹣S△PBE
=183-12(6-t)⋅3t
=32t2﹣33t+183．
即y=32t2﹣33t+183．
故t的取值范围是：0≤t≤6．
25．将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在对边BC上的点D处，折痕交AB于点E，交AC于点F．
（1）如图1，当BD＝CD时，求证：AE＝AF；
（2）如图2，当BDCD=12时，求AEAF的值；
（3）若BDCD=mn，请直接写出AEAF的值（不需要过程）．
【分析】（1）连接AD，根据”三线合一“就得出∠DAE＝∠DAF＝30°，由轴对称可以得出AE＝ED，AF＝DF，进而可以得出△AED≌△AFD即可；
（2）由条件可以得出△BDE∽△CFD，设BD＝x，CD＝2x，就有BC＝AB＝AC＝3x，设AE＝DE＝k，BE＝3x﹣k，根据相似三角形的性质就可以表示出C、DF，再根据CF+DF＝3x就可以求出x与k的数量关系，从而求出结论；
（3）由条件可以得出△BDE∽△CFD，设BD＝mx，CD＝nx，就有BC＝AB＝AC＝mx+nx，设AE＝DE＝k，BE＝mx+nx﹣k，根据相似三角形的性质就可以表示出C、DF，再根据CF+DF＝mx+nx就可以求出x与k的数量关系，从而求出结论；
【解析】（1）连接AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°．
∵BD＝CD，
∴∠DAE＝∠DAF＝30°．
∵△AEF与△DEF关于EF对称，
∴AE＝DE，AF＝DF，
∴∠EDA＝∠EAD＝30°，∠FAD＝∠FDA＝30°，
∴∠EDA＝∠EAD＝∠FAD＝∠FDA．
在△AED和△AFD中，
∠EDA=∠FDAAD=AD∠EAD=∠FAD，
∴△AED≌△AFD（ASA），
∴AE＝AF；
（2）∵△AEF与△DEF关于EF对称，
∴AE＝DE，AF＝DF，∠A＝∠EDF＝60°
∴∠BDE+∠CDF＝120°．
∵∠BDE+∠BED＝120°，
∴∠BED＝∠CDF．
∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD，
∴BDCF=BECD=DEFD，
设BD＝x，CD＝2x，就有BC＝AB＝AC＝3x，设AE＝DE＝k，BE＝3x﹣k，
∴xCF=3x-k2x，
∴CF=2x23x-k．
∴3x-k2x=kDF，
∴DF=2xk3x-k．
∵DF+CF＝CF+AF＝3x，
∴2x23x-k+2xk3x-k=3x，
k=75x．
∴DF=2x⋅75x3x-75x=74x，
∴DEDF=AEAF=45；
答：AEAF的值为45；
（3））∵△AEF与△DEF关于EF对称，
∴AE＝DE，AF＝DF，∠A＝∠EDF＝60°
∴∠BDE+∠CDF＝120°．
∵∠BDE+∠BED＝120°，
∴∠BED＝∠CDF．
∵∠B＝∠C，
∴△BDE∽△CFD，
∴BDCF=BECD=DEFD，
设BD＝mx，CD＝nx，就有BC＝AB＝AC＝mx+nx，设AE＝DE＝k，BE＝mx+nx﹣k，
∴mxCF=mx+nx-knx，
∴CF=mnx2mx+nx-k．
∵mx+nx-knx=kDF，
∴DF=knxmx+nx-k．
∵CF+DF＝CF+AF＝mx+nx，
∴mnx2mx+nx-k+knxmx+nx-k=mx+nx，
∴k=m2x+n2x+mnx2n+m，
∴DF=m2x+n2x+mnx2n+m⋅nxmx+nx-m2x+n2x+mnx2n+m=(m2+n2+mn)x2m+n．
∴DEDF=AEAF=m2x+n2x+mnx2n+m(m2+n2+mn)x2m+n=2m+n2n+m．
答：AEAF的值为2m+n2n+m．
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