专题16 一线三等角相似模型（教师版）-中考数学几何模型重点突破讲练

这是一份专题16 一线三等角相似模型（教师版）-中考数学几何模型重点突破讲练，共29页。


【模型1】一线三锐角相等
如图16-1，已知，要证∽，可根据，
，，结合，可证∽。
【模型变式1】一线三直角
如图16-2，已知，同一线三锐角相等模型可证得：∽。
【模型变式2】一线三钝角相等
如图16-3，已知，同一线三锐角相等模型可证得：∽。
【例1】如图，将含30°的直角三角尺放在矩形ABCD中，三角尺的30°角的顶点与点B重合，其余角的顶点分别在AD和CD边的点E，F处，若点E恰好为AD的中点，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两个角相等可证明△ABE∽△DEF，得 ，再根据∠EBF＝30°，得BE＝EF，设DF＝x，则AE＝x，从而得出AB和CF的长度，即可解决问题．
【解析】解：∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB+∠DEF＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DEF＝∠ABE，
∵∠A＝∠D，
∴△ABE∽△DEF，
∴ ，
∵∠EBF＝30°，
∴BE＝EF，
∴设DF＝x，则AE＝x，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE＝x，
∴AB＝3x，
∴CF＝CD﹣DF＝3x﹣x＝2x，
∴ ，
故选：A．
【例2】如图，在正方形ABCD中，AB=12，AE=0.25AB，点P在BC上运动（不与点B，C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为______
【答案】4
【分析】根据正方形的性质可得∠B=∠C=90°，AB=BC=12，从而证明一线三等角模型相似△BPE∽△CQP，设BP=x,则CP=BC-BP=12-x,进而可得，即可解答．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=12，
∴∠BEP+∠EPB=90°，
∵AE=0.25AB，
∴AE=3，
∴BE=AB-AE=9，
设BP=x,则CP=BC-BP=12-x,
∵PQ⊥EP，
∴∠EPQ=90°，
∴∠EPB+∠QPC=90°，
∴∠BEP=∠QPC，
∴△BPE∽△CQP，
∴，
∴，
∴，
∴当x=6时，CQ的最大值为4，
故答案为4．
【例3】如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E．点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG．
(1)求证：△ECD∽△ABE；
(2)求证：⊙O与AD相切；
(3)若BC＝12，AB＝6，求⊙O的半径和阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等，可证∠AEB=∠CDE，且∠B=∠C，从而解决问题；
（2）延长DE、AB交于点P，根据ASA证△DCE≌△PBE，得DE=PE，从而有AD=AP，再证明∠DAO=∠GAO，利用角平分线的性质可得OH=OG，从而证明结论；
（3）根据BC=12，AB=6，可求出∠AEB=60°，有△OEF是等边三角形，通过AO=2OG，得r=4，阴影部分的面积通过梯形面积减去扇形面积即可．
【解析】（1）证明：∵AE⊥DE，
∴∠AED=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠AEB=∠CDE，
∵∠B=∠C，
∴△ECD∽△ABE；
（2）证明：延长DE、AB交于点P，作OH⊥AD于H，
∵E为BC的中点，
∴CE=BE，
在△DCE和△PBE中，
，
∴△DCE≌△PBE（ASA），
∴DE=PE，
∵AE⊥DP，
∴AE垂直平分DP，
∴AD=AP，
∴∠DAO=∠GAO，
∵OH⊥AD，OG⊥AB，
∴OH=OG，
∴⊙O与AD相切；
（3）解：如图，连接OF，
∵点E为BC中点，
∴BE=BC=6
在Rt△ABE中，∵BE=6，AB=6，
∴AE==12，
∴sinA=,
∴∠A=30°
∴∠AEB=∠AOG=60°，
∵OE=OF，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EOF=60°，
设半径为r，
∴AO=2OG，
∴12-r=2r，
∴r=4，
∴OG=OE=OF=4，
∴EF=OE=4，
∴BF=BE-EF=2，
∴AO=8，
在Rt△AGO中，AO=8，OG=4，
∴AG=4，
∴BG=AB-AG=2，
∵∠GOF=180°-∠EOF-∠AOG=60°，
∴S阴影=×(2+4)×2−=6-．
一、单选题
1．如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【解析】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，
根据相似比可知：，
即，
解得：EF=2（3-x），
则△DEF的面积y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+，
故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(，)的抛物线．
故选：A．
2．如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先过点C做出轴垂线段CE，根据相似三角形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标．
【解析】
如图过点C作轴垂线，垂足为点E，
∵
∴
∵
∴
在和中，
，
∴，
∴ ，
则 ,
∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为(0，3)，
∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，
故答案选D
3．如图，已知矩形AOBC的顶点O在坐标原点，点A的坐标是（－2，1），点B的纵坐标是3，则点C的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作轴于点D， 过点A作轴于点E，过点C作轴于点G，先通过角度等量代换证明，求出，再证明，求出，，则，，由此可解．
【解析】解：如图，
作轴于点D， 过点A作轴于点E，过点C作轴于点G，
∵点A的坐标是（－2，1），点B的纵坐标是3，
∴，，，
∵轴，轴，轴，
∴，
∵ 四边形AOBC是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
∵ 四边形AOBC是矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标是．
故选A．
4．如图，在正方形ABCD中，P是BC上一点（点P不与点B，C重合），连接AP．作PE⊥AP，PE交CD于点E．若AB＝6，点P为BC的中点，则DE＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正方形的性质，余角，可证明出△ABP∽△PCE，再根据相似三角形的性质即可求出CE的值，最后根据线段的和差关系即可求解．
【解析】解：在正方形ABCD中，AB=BC=CD=6，∠B=∠C=90°，
∵P为BC中点，
∴BP=PC=AB=3，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°=∠APB+∠EPC，
∵∠B=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠EPC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCE，
∴，即，
∴，
∴DE=CD-CE=，
故选：B．
5．如图所示，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，若要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则a，b间的关系一定满足（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由于△ABP和△DCP相似，可得出关于AB、PC、BP、CD的比例关系式．设PC=x，那么BP=a-x，根据比例关系式可得出关于x的一元二次方程，由于BC边上至少有一点符合条件的P点，因此方程的△≥0，由此可求出a、b的大小关系．
【解析】解：若设PC=x，则BP=a-x，
∵△ABP∽△PCD，
∴，即，
即x2-ax+b2=0方程有解的条件是：△=a2-4b2≥0，
∴（a+2b）（a-2b）≥0，则a-2b≥0，
∴a≥2b．
故选：A．
6．如图，矩形ABCD，E在CD上，连接BE，将四边形ABED沿BE翻折得到四边形，若恰好经过点C，，，则线段BE的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，，则，根据已知条件，证明，利用三角形相似的性质，得出，即可得出，解关于x、y的方程组即可得出x、y的值，最后根据勾股定理求出BE即可．
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=3，BC=AD=5，，
根据折叠可知，，，，，
设，则，，则，
，
，，
∴，
∴，
，
即：，
∴，整理得：，
∴，
解得：，（舍去），
，
∴，
，故A正确．
故选：A．
二、填空题
7．如图，正方形ABCD的边长为8，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当CN=2时，CM=______．
【答案】4
【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=8，∠B=∠C=90°，进而证明∠BAM=∠NMC，得△BAM∽△CMN，即可求得CM的值．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=8，∠B=∠C=90°，
∴∠BAM+∠BMA=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠BMA+∠NMC=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴△BAM∽△CMN，
∴，
∴，
解得MC=4．
故答案为：4．
8．如图，正方形的边长为8，是边上一动点（与，不重合），连接．是延长线上一点，过点作的垂线交的平分线于点，则面积的最大值是 __．
【答案】8
【分析】先根据正方形的性质和角平分线的定义证明出，设，则，再利用同角的余角相等，判断出，进而得出，得出，然后求出，再根据三角形的面积公式求出的面积，再根据函数的性质求最值．
【解析】解：作于，
四边形是正方形，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
设，则，
，
四边形是正方形，，
，
，，
，
，
；
，
，
，
，
，
当时，．
故答案为：8．
9．如图，正方形ABCD中，，，点P在BC上运动（不与B，C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为___．
【答案】4
【分析】先证明△BPE∽△CQP，得到与CQ有关的比例式，设CQ=y，BP=x，则CP=12-x，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，PQ⊥EP，
∴∠B=∠C=90°，∠EPQ=90°，
∴∠BEP+∠BPE=90°，∠QPC+∠BPE=90°，
∴∠BEP=∠CPQ．
又∵∠B=∠C=90°，
∴△BPE∽△CQP．
∴．
设CQ=y，BP=x，则CP=12-x.
∴，化简得，
整理得，
所以当x=6时，y有最大值为4．
故答案为：4．
10．如图，在矩形中，为边上的一点，将沿翻折，得到，且在边上，为边上的一点，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，若，，平分，则的长度为______．
【答案】
【分析】过点作于点，延长，交于点，设，，由翻折可知：，，则，，在和中，根据勾股定理得，，证明∽，可得，证明∽，可得，然后根据角平分线的性质可以解决问题．
【解析】解：如图，过点作于点，延长，交于点，

设，，
由翻折可知：，，
则，，
在和中，根据勾股定理，得：
，，
，，
解得，，
，，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
，
，
∽，
，
，
，
平分，，，
．
故答案为：．
三、解答题
11．如图，在矩形中，点、分别在边、上，∽，，，，求的长．
【答案】
【分析】由∽，，，，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DF的长，然后利用勾股定理，求EF的长．
【解析】解：∵△ABE∽△DEF，
∴，
∵，，，
∴，
解得：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴EF＝．
故选：C．
12．如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD=4DF，连接EF、BE，求证BE=2EF．
【答案】证明见解析
【分析】根据相似三角形的判定方法证明出，再利用性质求解．
【解析】解：设，
在正方形中，
，
，，
，
，
∴BE：EF=AB：DE=1：2，
∴BE=2EF．
13．如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的边长．
【答案】6
【分析】证明，可得，从而得到，进而得到CE=4，即可求解．
【解析】解∶ ∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=BC，
∴∠BAE+∠AEB=90°，，
∴∠BAE=∠CEF，
∴，
∴，
∵AB=BC，
∴，
∴，
∴CE=4，
∴BC=CE+BE=4+2=6，
即正方形ABCD的边长为6．
14．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE=90°．求证：△ACD∽△BEC
【答案】见解析
【分析】根据AD⊥AB，BE⊥AB，有∠DAC=90°=∠EBC，∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，再根据∠DCE=90°，有∠DCA+∠ECB=90°，即有∠D=∠ECB，则结论得证．
【解析】证明：∵AD⊥AB，BE⊥AB，
∴∠DAC=90°=∠EBC，
∴∠D+∠ACD=90°，∠E+∠ECB=90°，
∵∠DCE=90°，
∴∠DCA+∠ECB=90°，
∴∠D=∠ECB，
∵∠DAC=90°=∠EBC，
∴△ACD∽△BEC．
15．如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点在上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与射线交于点．
(1)求证：∽；
(2)当时，求的长；
(3)是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)8
(3)
【分析】（1）根据矩形的性质，推出，再由直角三角形的性质，得出，又因，推出，，从而证明∽；
（2）根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得结论；
（3）假设存在满足条件的点，设，则，由∽知，解得的值，从而得结论．
【解析】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
∽；
（2）解：在中，，，
，
，
，
，
，
，
中，，
；
（3）解：假设存在满足条件的点，
设，则，
∽，
根据的周长等于周长的倍，得到两三角形的相似比为，
，即，
解得，
，
．
16．如图，四边形ABCD中，，点E在边BC上，连接AE，DE，且AE⊥DE．
(1)求证：；
(2)若，，，求的值．
【答案】(1)见解析；(2)或
【分析】(1)首先根据AE⊥DE，可得，再由直角三角形的性质可得，可得，据此即可证得结论；
(2)首先设EC=x，则BE=11-x，再根据相似三角形的性质，列出方程，即可求得EC的长，最后根据正切的定义即可求得．
【解析】（1）解：AE⊥DE，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设EC=x，则BE=11-x，
，
，得，
得，
解得x=3或x=8，
经检验x=3或x=8是原方程的解，
或．
17．如图，，，P为AB上一点，，连接CD．
(1)若，求BD的长；
(2)若CP平分，求证：．
【答案】(1)BD的长为；
(2)见解析
【分析】（1）利用一线三等角模型证明△ACP∽△BPD，即可解答；
（2）利用角平分线的性质可得∠PCD=∠ACP，从而可得∠PCD=∠DPB，然后证明△CPD∽△PBD，即可解答．
【解析】（1）解：∵AB=9，AC=3，
∴BP=AB-AP=9-3=6，
∵∠A=∠CPD，∠ACP+∠APC=180°-∠A，∠APC+∠BPD=180°-∠CPD，
∴∠ACP=∠BPD，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPD，
∴，即，
∴BD=，
∴BD的长为；
（2）证明：∵CP平分∠ACD，
∴∠PCD=∠ACP，
∵∠ACP=∠DPB，
∴∠PCD=∠DPB，
∵∠CPD=∠B，
∴△CPD∽△PBD，
∴，
∴PD2=CD•BD．
18．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（0，6）点C的坐标为（4，0），点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B出发，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，当点P与点B重合时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t=1时，请直接写出△BPQ的面积为 ；
(2)当△BPQ与△COQ相似时，求t的值；
(3)当反比例函数y= （x> 0）的图象经过点P、Q两点时．
①求k的值；
②点M在x轴上，点N在反比例函数y= 的图象上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的M的坐标．
【答案】(1)3
(2)当△BPQ与△COQ相似时，t的值为或
(3)①；②当以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（，0）
【分析】（1）由点，的运动速度，可找出当时点，的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式可求出此时的面积；
（2）由可知分两种情况考虑，①当时，利用相似三角形的性质可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出值；②当时，利用相似三角形的性质可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出值．综上，此问得解；
（3）①由题意可得出点，的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于，的方程，解之即可得出结论；
②由①可得出点，的坐标，分为边及为对角线两种情况考虑：当为边时，利用平行四边形的性质可求出值，进而可得出点的坐标，由点，重合可得出此种情况不存在；当为对角线时，利用对角线互相平分可求出的值，进而可得出点，的坐标．综上，此问得解．
【解析】（1）当时，点的坐标为，点的坐标为，
，，
．
故答案为：3；
（2）当运动时间为秒时，，，．
与相似，，
分两种情况考虑：
①当时，，即，
解得：，，
经检验，，是原分式方程的解，符合题意，
；
②当时，，即，
解得：，，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
；
综上所述：当与相似时，的值为或．
（3）①依题意，得：点的坐标为，点的坐标为．
反比例函数的图象经过点、两点，
，
，
．
②由①可知：点的坐标为，点的坐标为．
设点的坐标为，点的坐标为，．
分两种情况考虑：
当为边时，，
，
点的坐标为，此时点，重合，不符合题意，
此种情况不存在；
当为对角线时，，
，
点的坐标为，，点的坐标为，．
综上所述：当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，．