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    试卷 专题13《“Y”形模型》

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    试卷 专题13《“Y”形模型》

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    这是一份试卷 专题13《“Y”形模型》,共6页。
    当图形具有邻边相等的这一特征时,可以把图形的某部分绕其邻边的公共端点旋转到另一位置,将分散的条件相对集中起来,从而解决问题.
    因为正方形、正三角形的边长相等,所以在这两种图形中常常应用旋转变换.
    (1)如图,等边△ABC内有一点P,连结AP,BP,CP,将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BP'A,则△BPP'是等边三角形;△APP'的形状由AP,BP,CP的长度决定.
    (2)如图,正方形ABCD内有一点P,连结AP,BP,CP,将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BP'A,则△BPP'是等腰直角三角形;△APP'的形状由AP,BP,CP的长度决定.
    这类题目中不提旋转,而是通过旋转添加辅助线,从而解决问题.
    例题讲解
    例1已知:在△ABC中,∠BAC=60°.
    (1)如图1,若AB=AC,点P在△ABC内,且PA=3,PC=4,∠APC=150°,求PB的长;
    【答案】解:(1)如图4,将△APC绕点A顺时针旋转60°,得到△AQB,连结PQ.
    易证△PAQ是等边三角形.
    从而在△PQB中,有∠PQB=90°,PQ=3,BQ=4,
    所以PB=5
    【答案】解:(1)如图4,将△APC绕点A顺时针旋转60°,得到△AQB,连结PQ.
    易证△PAQ是等边三角形.
    从而在△PQB中,有∠PQB=90°,PQ=3,BQ=4,
    所以PB=5
    (2)如图2,若AB=AC,点P在△ABC外,且PA=3,PB=5,PC=4,求∠APC的度数;
    【答案】(2)如图5,将△APC绕点A顺时针旋转60°,得到△AQB,连结PQ.
    易证△PAQ是等边三角形.
    从而在△PQB中,有PQ=3,BQ=4,PB=5,
    所以∠PQB=90°,从而∠APC=∠AQB=30°.
    (3)如图3,若AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=,PB=5,∠APC=120°,求PC的长;
    【答案】
    (3)如图6,作△AQC,使得AQ=AP,CQ=BP,连结PQ.
    易证△ACB∽△AQP.
    从而在△QPC中,有∠QPC=90°,PQ=,QC=,
    ∴PC=2
    例2如图,正方形ABCD外有一点E,满足ED=EC,且∠DEA=15°,求证:△DEC为等边三角形.
    证明如图,过点D作DF⊥DE,且DF=DE,连结CF交AE于点G,连结EF.
    易证△ADE≌△CDF,
    所以∠DFC=∠DEA=15°,
    从而∠FGE=∠FDE=90°,∠GFE=30°.
    所以GE=EF=DF=CE,
    所以∠GEC=45°,∠DEC=60°,
    即△DEC为等边三角形.
    进阶训练
    1.(1)如图1,在正方形ABCD内有一点P,PA=,PB=,PC=1,则∠BPC的度数为________;
    【答案】1.(1)135°;
    【提示】如图,将△BPC旋转至△BP'A,连结PP',证△AP'P是直角三角形即可.
    (2)如图2,在正六边形ABCDEF内有一点P,PA=2,PB=4,PC=2,则∠BPC的度数为________,正六边形ABCDEF的边长为________.
    【答案】(2)120°;
    2.(1)如图1,在等边△ABC中,AC=7,点P在△ABC内,且∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积;
    (2)如图2,在四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为点E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=k·AB(k为常数),求BD的长(用含k的式子表示)
    (1)△APC的面积为7;
    (2)BD=
    【提示】(1)如图,将△ABP绕点B顺时针旋转60°至△CBQ,连结PQ.易证△PQC为含30°的直角三角形.令BP=m,则PQ=m,从而AP=CQ=m,PC=2m,然后解Rt△APC即可.
    (2)如图,连结AC,显然AC=AB,将△ABD绕点A逆时针旋转∠BAC的度数至△ACQ,连接DQ,则△ABC∽△ADQ,从而DQ=k·BC=4k.作AF⊥DQ于点F,则∠DAF=∠BAE=∠ADC,所以AF∥CD,即∠CDQ=90°.
    在Rt△CDQ中,由勾股定理可得BD=CQ=

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