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    2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题13 函数与等腰三角形综合问题
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    2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题13 函数与等腰三角形综合问题

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    这是一份2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题13 函数与等腰三角形综合问题,共79页。

    【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
    专题13函数与等腰三角形综合问题
    经典例题



    【例1】在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣4ax+3a(a>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),其顶点为C.
    (1)求抛物线的对称轴;
    (2)当△ABC为等边三角形时,求a的值;
    (3)直线l:y=kx+b经过点A,并与抛物线交于另一点D(4,3),点P为直线l下方抛物线上一点,过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M,PN∥x轴交直线l于点N,记W=PM+PN,求W的最大值.
    【例2】.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与轴交于C(0,﹣1).
    (1)求抛物线的函数表达式;
    (2)连接AC,BC,过O点的直线l∥BC,点E,D分别为直线l和抛物线上的点,试探究第一象限是否存在这样的点E,D,使△BDE为等腰直角三角形?若存在,请求出所有的E点的坐标;若不存在,请说明理由.

    【例3】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点,其中A点坐标为(3,0),B点坐标为(﹣1,0),连接AC、BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动;同时,动点Q从点B出发,在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接PQ,设运动时间为t秒.
    (1)求b、c的值.
    (2)在P、Q运动的过程中,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小,最小值为多少?
    (3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M,使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

    【例4】如图,已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴交于点C,对称轴为直线x=.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,连接OQ,当线段PQ长度最大时,判断四边形OCPQ的形状并说明理由;
    (3)如图2,在(2)的条件下,D是OC的中点,过点Q的直线与抛物线交于点E,且∠DQE=2∠ODQ.在y轴上是否存在点F,使得△BEF为等腰三角形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由.


    【例5】如图1,平面直角坐标系xOy中,A(4,3),反比例函数y=kx(k>0)的图象分别交矩形ABOC的两边AC,AB于E、F两点(E、F不与A重合),沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合.
    (1)AE=   (用含有k的代数式表示);
    (2)如图2,当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时,求CE的长度;
    (3)若折叠后,△ABD是等腰三角形,求此时点D的坐标.

    培优训练


    1.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(4,﹣4),B(﹣2,m),交y轴于点C(0,﹣4).直线BO与抛物线相交于另一点D,连接AB,AD,点E是线段AB上的一动点,过点E作EF∥BD交AD于点F.
    (1)求二次函数y=x2+bx+c的表达式;
    (2)判断△ABD的形状,并说明理由;
    (3)在点E的运动过程中,直线BD上存在一点G,使得四边形AFGE为矩形,请判断此时AG与BD的数量关系,并求出点E的坐标;
    (4)点H是抛物线的顶点,在(3)的条件下,点P是平面内使得∠EPF=90°的点,在抛物线的对称轴上,是否存在点Q,使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形,若存在,直接写出符合条件的所有点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

    2.如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C.在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<3),过点E作直线l⊥x轴,交抛物线于点M.
    (1)求抛物线的解析式及C点坐标;
    (2)当m=1时,D是直线l上的点且在第一象限内,若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形,求点D的坐标;
    (3)如图2,连接BM并延长交y轴于点N,连接AM,OM,设△AEM的面积为S1,△MON的面积为S2,若S1=2S2,求m的值.

    3.如图,已知抛物线y=a(x+6)(x﹣2)过点C(0,2),交x轴于点A和点B(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为D,对称轴DE交x轴于点E,连接EC.
    (1)直接写出a的值,点A的坐标和抛物线对称轴的表达式;
    (2)若点M是抛物线对称轴DE上的点,当△MCE是等腰三角形时,求点M的坐标;
    (3)点P是抛物线上的动点,连接PC,PE,将△PCE沿CE所在的直线对折,点P落在坐标平面内的点P′处.求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标.

    4.如图1所示,在平面直角坐标系中,抛物线F1:y=a(x﹣)2+与x轴交于点A(﹣,0)和点B,与y轴交于点C.
    (1)求抛物线F1的表达式;
    (2)如图2,将抛物线F1先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线F2,若抛物线F1与抛物线F2相交于点D,连接BD,CD,BC.
    ①求点D的坐标;
    ②判断△BCD的形状,并说明理由;
    (3)在(2)的条件下,抛物线F2上是否存在点P,使得△BDP为等腰直角三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    5.如图,抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,经过点C的直线l与抛物线交于另一点E(4,a),抛物线的顶点为点Q,抛物线的对称轴与x轴交于点D.
    (1)求直线CE的解析式.
    (2)如图2,P为直线CE下方抛物线上一动点,直线CE与x轴交于点F,连接PF,PC.当△PCF的面积最大时,求点P的坐标及△PCF面积的最大值.
    (3)如图3,连接CD,将(1)中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′,y′经过点D,y′的顶点为点H,在直线QH上是否存在点G,使得△DQG为等腰三角形?若存在,求出点G的坐标.

    6.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣5,0)和点B(1,0).
    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
    (2)点P是抛物线上A、D之间的一点,过点P作PE⊥x轴于点E,PG⊥y轴,交抛物线于点G,过点G作GF⊥x轴于点F,当矩形PEFG的周长最大时,求点P的横坐标;
    (3)如图2,连接AD、BD,点M在线段AB上(不与A、B重合),作∠DMN=∠DBA,MN交线段AD于点N,是否存在这样点M,使得△DMN为等腰三角形?若存在,求出AN的长;若不存在,请说明理由.

    7.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,﹣2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=﹣1.

    (1)求抛物线的函数表达式;
    (2)若点P在第二象限内,且PE=OD,求△PBE的面积.
    (3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
    8.如图所示,二次函数y=k(x﹣1)2+2的图象与一次函数y=kx﹣k+2的图象交于A、B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x、y轴交于C、D两点,其中k<0.
    (1)求A、B两点的横坐标;
    (2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值;
    (3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

    9.在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为D,对称轴与x轴交于点Q.
    (1)如图1,连接AC,BC.若点P为直线BC上方抛物线上一动点,过点P作PE∥y轴交BC于点E,作PF⊥BC于点F,过点B作BG∥AC交y轴于点G.点H,K分别在对称轴和y轴上运动,连接PH,HK.当△PEF的周长最大时,求PH+HK+KG的最小值及点H的坐标.
    (2)如图2,将抛物线沿射线AC方向平移,当抛物线经过原点O时停止平移,此时抛物线顶点记为D′,N为直线DQ上一点,连接点D′,C,N,△D′CN能否构成等腰三角形?若能,直接写出满足条件的点N的坐标;若不能,请说明理由.

    10.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.
    ①求△BOD面积的最大值,并写出此时点D的坐标;
    ②当△OPC为等腰三角形时,请直接写出点P的坐标.

    11.如图,开口向上的抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,与y轴交于点C,且AC⊥BC,其中x1,x2是方程x2+3x﹣4=0的两个根.
    (1)求点C的坐标,并求出抛物线的表达式;
    (2)垂直于线段BC的直线l交x轴于点D,交线段BC于点E,连接CD,求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标;
    (3)在(2)的结论下,抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PDE是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    12.抛物线y=ax2+bx+3过点A(﹣1,0),点B(3,0),顶点为C.
    (1)求抛物线的表达式及点C的坐标;
    (2)如图1,点P在抛物线上,连接CP并延长交x轴于点D,连接AC,若△DAC是以AC为底的等腰三角形,求点P的坐标;
    (3)如图2,在(2)的条件下,点E是线段AC上(与点A,C不重合)的动点,连接PE,作∠PEF=∠CAB,边EF交x轴于点F,设点F的横坐标为m,求m的取值范围.

    13.如图,直线y=﹣x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点,与x轴另一交点为A.点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动(点P不与点B和点C重合),设运动时间为t秒,过点P作x轴垂线交x轴于点E,交抛物线于点M.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)如图①,过点P作y轴垂线交y轴于点N,连接MN交BC于点Q,当MQNQ=12时,求t的值;
    (3)如图②,连接AM交BC于点D,当△PDM是等腰三角形时,直接写出t的值.

    14.如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m.
    (1)求此抛物线的表达式;
    (2)过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由;
    (3)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?

    15.如图,在直角坐标系xOy中,反比例函数y=1x(x>0)的图象与直线y=kx+b交于点A(m,2)、B(4,n).连接OA、OB.
    (1)求直线y=kx+b的解析式;
    (2)若点C是y轴上的点,当△AOC为等腰三角形时,请直接写出点C的坐标;
    (3)求△AOB的面积.

    16.在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,2),动点P在y=33x的图象上运动(不与O重合),连接AP.过点P作PQ⊥AP,交x轴于点Q,连接AQ.
    (1)求线段AP长度的取值范围;
    (2)试问:点P运动的过程中,∠QAP是否为定值?如果是,求出该值;如果不是,请说明理由.
    (3)当△OPQ为等腰三角形时,求点Q的坐标.

    17.已知抛物线y=a(x﹣2)2+c经过点A(﹣2,0)和C(0,94),与x轴交于另一点B,顶点为D.
    (1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;
    (2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上(E点不与A,B重合),且∠DEF=∠A,则△DEF能否为等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;
    (3)若点P在抛物线上,且S△PBDS△CBD=m,试确定满足条件的点P的个数.

    18.如图所示,二次函数y=k(x﹣1)2+2的图象与一次函数y=kx﹣k+2的图象交于A、B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x、y轴交于C、D两点,其中k<0.
    (1)求A、B两点的横坐标;
    (2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值;
    (3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

    19.如图:一次函数y=-34x+3的图象与坐标轴交于A、B两点,点P是函数y=-34x+3(0<x<4)图象上任意一点,过点P作PM⊥y轴于点M,连接OP.
    (1)当AP为何值时,△OPM的面积最大?并求出最大值;
    (2)当△BOP为等腰三角形时,试确定点P的坐标.

    20.已知一次函数y=﹣3x+3的图象分别与x轴,y轴交于A,B两点,点C(3,0).
    (1)如图1,点D与点C关于y轴对称,点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等,连接DE,交y轴于点F.
    ①求点E的坐标;
    ②△AOB与△FOD是否全等,请说明理由;
    (2)如图2,点G与点B关于x轴对称,点P在直线GC上,若△ABP是等腰三角形,直接写出点P的坐标.


    【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
    专题13函数与等腰三角形综合问题
    经典例题



    【例1】.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣4ax+3a(a>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),其顶点为C.
    (1)求抛物线的对称轴;
    (2)当△ABC为等边三角形时,求a的值;
    (3)直线l:y=kx+b经过点A,并与抛物线交于另一点D(4,3),点P为直线l下方抛物线上一点,过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M,PN∥x轴交直线l于点N,记W=PM+PN,求W的最大值.
    【分析】(1)根据对称轴直线公式直接代入系数即可;
    (2)若△ABC为等边三角形,则C点的纵坐标等于AB,即可求出a值;
    (3)把D点代入解析式可求出抛物线解析式,A点坐标和D点坐标可确定直线解析式,设出P点坐标,分别用P点横坐标字母表示出PM和PN,利用二次函数性质求出最值即可.
    【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2﹣4ax+3a(a>0),
    ∴对称轴为直线x=﹣=2,
    即对称轴为直线x=2;
    (2)当y=0时,ax2﹣4ax+3a=0,
    解得x1=1,x2=3,
    ∴A(1,0),B(3,0),
    当△ABC为等边三角形时,抛物线开口向上,
    ∴C点的横坐标为=2,纵坐标为﹣AC•sin60°=﹣AB•sin60°=﹣AB=×(3﹣1)=﹣,
    即C(2,﹣),
    把C点坐标代入抛物线得﹣=4a﹣8a+3a,
    解得a=;
    (3)∵A(1,0),D(4,3)在直线y=kx+b上,
    ∴,
    解得,
    ∴直线l的解析式为y=x﹣1,
    ∵抛物线过点D(4,3),
    ∴3=16a﹣16a+3a,
    解得a=1,
    ∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3,
    ∵PM∥y轴交直线l于点M,PN∥x轴交直线l于点N,
    ∴设P点坐标为(m,m2﹣4m+3),M点坐标为(m,m﹣1),
    ∵点P与N的纵坐标相同,
    ∴m2﹣4m+3=xN﹣1,
    ∴xN=m2﹣4m+4,
    ∴PM=yM﹣yP=m﹣1﹣m2+4m﹣3=﹣m2+5m﹣4,
    PN=xP﹣xN=m﹣m2+4m﹣4=﹣m2+5m﹣4,
    ∴W=PM+PN=﹣m2+5m﹣4﹣m2+5m﹣4=﹣2(m﹣)2+,
    ∴当m=时,W有最大值,最大值为.


    【例2】.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与轴交于C(0,﹣1).
    (1)求抛物线的函数表达式;
    (2)连接AC,BC,过O点的直线l∥BC,点E,D分别为直线l和抛物线上的点,试探究第一象限是否存在这样的点E,D,使△BDE为等腰直角三角形?若存在,请求出所有的E点的坐标;若不存在,请说明理由.

    【分析】(1)用待定系数法即可求解;
    (2)当∠EBD为直角时,证明△BME≌△DNB(AAS),求出点D的坐标为(3+m,3﹣m),进而求解;当∠EDB为直角时,同理可解.
    【解答】解:(1)将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得,解得,
    故抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣1;

    (2)存在,理由:
    由点B、C的坐标得,直线BC的表达式为y=x﹣1,
    ∵l∥BC,且过点O,
    则直线l的表达式为y=x,故设点E的坐标为(m,m),
    而点B的坐标为(3,0),
    ①当∠EBD为直角时,则BE=BD,
    分别过点E、D作x轴的垂线,垂足分别为M、N,

    ∵∠EBM+∠DBN=90°,∠DBN+∠BDN=90°,
    ∴∠EBM=∠BDN,
    又∵∠BME=∠DNB=90°,BE=BD,
    ∴△BME≌△DNB(AAS),
    ∴BN=EM=m,DN=BM=3﹣m,
    故点D的坐标为(3+m,3﹣m),
    将点D的坐标代入抛物线表达式得:3﹣m=(3+m)2﹣(3+m)﹣1,
    解得m=(负值已舍去),
    故点E的坐标为(,);
    ②当∠EDB为直角时,
    当点D在点E的右侧时,如图2,

    设点D的坐标为(x,y),
    过点D作MN⊥x轴交x轴于点N,过点E作EM⊥MN于点M,
    同理可得:△EMD≌△DNB(AAS),
    则EM=DN,MD=BN,
    即x﹣m=y,m﹣y=x﹣3,
    解得,即点D的坐标为(,),
    将点D的坐标代入抛物线表达式得:=()2﹣()﹣1,
    整理得:16m2+60m﹣297=0,
    解得:m=(负值已舍去),
    故点E的坐标为(,);
    当点D在点E的左侧时,如图3,
    过点D作MN∥x轴,过点E作EN⊥MN于点N,作BM⊥MN于点M,

    同理可得,点D的坐标为(,),
    将点D的坐标代入抛物线表达式并整理得:4m2﹣60m+27=0,
    解得m=(不合题意的值已舍去),
    故点E的坐标为(,);
    ③当点∠DEB为直角时,如图4,

    过点E作MN⊥x轴于点N,过点D作DM⊥MN于点M,
    同理可得,点D的坐标为(m,﹣3),
    将点D的坐标代入抛物线表达式并整理得:2m2﹣24m+27=0,
    解得m=(不合题意的值已舍去),
    故点E的坐标为(,);
    综上,点E的坐标为(,)或(,)或(,)或(,).
    【例3】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点,其中A点坐标为(3,0),B点坐标为(﹣1,0),连接AC、BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动;同时,动点Q从点B出发,在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接PQ,设运动时间为t秒.
    (1)求b、c的值.
    (2)在P、Q运动的过程中,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小,最小值为多少?
    (3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M,使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

    【分析】(1)利用待定系数法求解即可;
    (2)过点P作PH⊥x轴,垂足为E,利用S四边形BCPQ=S△ABC﹣S△APQ表示出四边形BCPQ的面积,求出t的范围,利用二次函数的性质求出最值即可;
    (3)画出图形,过点P作x轴的垂线,交x轴于E,过M作y轴的垂线,与EP交于F,证明△PFM≌△QEP,得到MF=PE=t,PF=QE=4﹣2t,得到点M的坐标,再代入二次函数表达式,求出t值,即可算出M的坐标.
    【解答】解:(1)∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(﹣1,0),
    则 ,
    解得:;
    (2)由(1)得:抛物线表达式为y=﹣x2+2x+3,C(0,3),A(3,0),
    ∴△OAC是等腰直角三角形,
    ∴∠BAC=45°,
    由点P的运动可知:AP=t,
    过点P作PH⊥x轴,垂足为H,如图,

    ∴AH=PH==t,即H(3﹣t,0),
    又Q(﹣1+t,0),
    ∴S四边形BCPQ=S△ABC﹣S△APQ


    =(t﹣2)2+4,
    ∵当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,
    AC=,AB=4,
    ∴0≤t≤3,
    ∴当t=2时,四边形BCPQ的面积最小,最小值为4;
    (3)存在.假设点M是线段AC上方的抛物线上的点,
    如图,过点P作x轴的垂线,交x轴于E,过M作y轴的垂线,与EP交于F,连接MQ,MP.
    ∵△PMQ是等腰直角三角形,PM=PQ,∠MPQ=90°,
    ∴∠MPF+∠QPE=90°,又∠MPF+∠PMF=90°,
    ∴∠PMF=∠QPE,
    在△PFM和△QEP中,

    ∴△PFM≌△QEP(AAS),
    ∴MF=PE=t,PF=QE=4﹣2t,
    ∴EF=4﹣2t+t=4﹣t,
    又OE=3﹣t,
    ∴点M的坐标为(3﹣2t,4﹣t),
    ∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+3上,
    ∴4﹣t=﹣(3﹣2t)2+2(3﹣2t)+3,
    解得:t=或(舍),
    ∴M点的坐标为(,).

    【例4】如图,已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴交于点C,对称轴为直线x=.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,连接OQ,当线段PQ长度最大时,判断四边形OCPQ的形状并说明理由;
    (3)如图2,在(2)的条件下,D是OC的中点,过点Q的直线与抛物线交于点E,且∠DQE=2∠ODQ.在y轴上是否存在点F,使得△BEF为等腰三角形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由.

    【分析】(1)用待定系数法即可求解;
    (2)设点P的坐标为(x,﹣x+4),则点Q的坐标为(x,x2﹣5x+4),则PQ=(﹣x+4)﹣(x2﹣5x+4)=﹣x2+4x,进而求解;
    (3)当∠DQE=2∠ODQ,则∠HQA=∠HQE,则直线AQ和直线QE关于直线QH对称,进而求出点E的坐标为(5,4),再分BE=BF、BE=EF、BF=EF三种情况,分别求解即可.
    【解答】解:(1)由题意得:,解得,
    故抛物线的表达式为y=x2﹣5x+4①;

    (2)对于y=x2﹣5x+4,令y=x2﹣5x+4=0,解得x=1或4,令x=0,则y=4,
    故点B的坐标为(4,0),点C(0,4),
    设直线BC的表达式为y=kx+t,则,解得,
    故直线BC的表达式为y=﹣x+4,
    设点P的坐标为(x,﹣x+4),则点Q的坐标为(x,x2﹣5x+4),
    则PQ=(﹣x+4)﹣(x2﹣5x+4)=﹣x2+4x,
    ∵﹣1<0,
    故PQ有最大值,当x=2时,PQ的最大值为4=CO,
    此时点Q的坐标为(2,﹣2);
    ∵PQ=CO,PQ∥OC,
    故四边形OCPQ为平行四边形;

    (3)∵D是OC的中点,则点D(0,2),
    由点D、Q的坐标,同理可得,直线DQ的表达式为y=﹣2x+2,
    过点Q作QH⊥x轴于点H,
    则QH∥CO,故∠AQH=∠ODA,
    而∠DQE=2∠ODQ.
    ∴∠HQA=∠HQE,
    则直线AQ和直线QE关于直线QH对称,

    故设直线QE的表达式为y=2x+r,
    将点Q的坐标代入上式并解得r=﹣6,
    故直线QE的表达式为y=2x﹣6②,
    联立①②并解得(不合题意的值已舍去),
    故点E的坐标为(5,4),
    设点F的坐标为(0,m),
    由点B、E的坐标得:BE2=(5﹣4)2+(4﹣0)2=17,
    同理可得,当BE=BF时,即16+m2=17,解得m=±1;
    当BE=EF时,即25+(m﹣4)2=17,方程无解;
    当BF=EF时,即16+m2=25+(m﹣4)2,解得m=;
    故点F的坐标为(0,1)或(0,﹣1)或(0,).
    【例5】如图1,平面直角坐标系xOy中,A(4,3),反比例函数y=kx(k>0)的图象分别交矩形ABOC的两边AC,AB于E、F两点(E、F不与A重合),沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合.
    (1)AE= 4-k3 (用含有k的代数式表示);
    (2)如图2,当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时,求CE的长度;
    (3)若折叠后,△ABD是等腰三角形,求此时点D的坐标.

    【分析】(1)根据点A的坐标可得点E的纵坐标为3,所以得CE=k3,从而得AE的长;
    (2)如图2中,连接AD交EF于M,想办法证明△AEF∽△ACB,推出EF∥BC,再利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明AE=EC=2即可;
    (3)分三种情况讨论:①AD=BD,②AD=AB,③AB=BD,分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答.
    【解答】解:(1)∵四边形ABOC是矩形,且A(4,3),
    ∴AC=4,OC=3,
    ∵点E在反比例函数y=kx上,
    ∴E(k3,3),
    ∴CE=k3,
    ∴AE=4-k3;
    故答案为:4-k3;
    (2)如图2,∵A(4,3),
    ∴AC=4,AB=3,
    ∴ACAB=43,
    ∴点F在y=kx上,
    ∴F(4,k4),
    ∴AEAF=4-k33-k4=43,
    ∴AEAF=ACAB=43,
    ∵∠A=∠A,
    ∴△AEF∽△ACB,
    ∴∠AEF=∠ACB,
    ∴EF∥BC,
    ∴∠FED=∠CDE,
    连接AD交EF于M点,

    ∴△AEF≌△DEF,
    ∴∠AEM=∠DEM,AE=DE,
    ∴∠FED=∠CDE=∠AEF=∠ACB,
    ∴CE=DE=AE=12AC=2;
    (3)过D点作DN⊥AB,
    ①当BD=AD时,如图3,有∠AND=90°,AN=BN=12AB=32,

    ∴∠DAN+∠ADN=90°,
    ∵∠DAN+∠AFM=90°,
    ∴∠ADN=∠AFM,
    ∴tan∠ADN=tan∠AFM=AEAF=43,
    ∴ANDN=43,
    ∵AN=32,
    ∴DN=98,
    ∴D(4-98,32),即D(238,32);
    ②当AB=AD=3时,如图4,

    在Rt△ADN中,sin∠ADN=sin∠AFM=AEAF=43,
    ∴ANAD=45,
    ∴AN=45AD=45×3=125,
    ∴BN=3﹣AN=3-125=35,
    ∵DN=34AN=34×125=95,
    ∴D(4-95,35),即D(115,35);
    ③当AB=BD时,△AEF≌△DEF,
    ∴DF=AF,
    ∴DF+BF=AF+BF,即DF+BF=AB,
    ∴DF+BF=BD,
    此时D、F、B三点共线且F点与B点重合,不符合题意舍去,
    ∴AB≠BD,
    综上所述,所求D点坐标为(238,32)或(115,35).
    培优训练


    1.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(4,﹣4),B(﹣2,m),交y轴于点C(0,﹣4).直线BO与抛物线相交于另一点D,连接AB,AD,点E是线段AB上的一动点,过点E作EF∥BD交AD于点F.
    (1)求二次函数y=x2+bx+c的表达式;
    (2)判断△ABD的形状,并说明理由;
    (3)在点E的运动过程中,直线BD上存在一点G,使得四边形AFGE为矩形,请判断此时AG与BD的数量关系,并求出点E的坐标;
    (4)点H是抛物线的顶点,在(3)的条件下,点P是平面内使得∠EPF=90°的点,在抛物线的对称轴上,是否存在点Q,使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形,若存在,直接写出符合条件的所有点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

    【分析】(1)把A,C两点坐标代入抛物线的解析式,转化为解方程组,即可解决问题.
    (2)求出AB,AD,BD,利用勾股定理的逆定理判断即可.
    (3)利用矩形的性质以及平行线分线段成比例定理证明BE=AE,BG=GD,即可解决问题.
    (4)如图2中,设EF的中点为K,P(x,y),连接PK.求直线PH的解析式,想办法构建方程求出点P的纵坐标y即可解决问题.
    【解答】解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(4,﹣4),点C(0,﹣4),
    ∴,
    解得,
    ∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣4.

    (2)△ABD是直角三角形,理由:
    ∵B(﹣2,m)在y=x2﹣x﹣4,
    ∴B(﹣2,﹣1),
    ∴直线OB的解析式为y=x,
    由,解得(即点B)或,
    ∴D(8,4),
    ∵A(4,﹣4),
    ∴AB==3,AD==4,BD==5,
    ∴BD2=AB2+AD2,
    ∴∠BAD=90°,
    ∴△ABD是直角三角形.

    (3)结论AG=BD.
    理由:如图1中,连接AG,交EF于H.

    ∵四边形AEGF是矩形,
    ∴AH=HG,EH=FH,
    ∵EF∥BD,
    ∴==1,
    ∴AE=BE,
    ∴E(1,﹣),
    ∵==,EH=FH,
    ∴BG=GD,
    ∵∠BAD=90°,
    ∴AG=BD.

    (4)如图2中,设EF的中点为K,P(x,y),连接PK.

    ∵E(1,﹣),F(6,0),
    ∴K(,﹣),EF==,
    ∵∠EPF=90°,
    ∴点P在以EF为直径的⊙K上运动,
    ∵△PQH是等腰直角三角形,∠PQH=90°,
    ∴∠QHP=45°,
    ∵抛物线的顶点H(2,﹣5),
    ∴直线PH的解析式为y=x﹣7,
    ∵PK=EF,
    ∴(x﹣)2+(y+)2=()2,
    (y+7﹣)2+(y+)2=()2,
    解得y=﹣4或﹣,
    ∴Q(2,﹣4)或(2,﹣).
    2.如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0),点B(3,0),与y轴交于点C.在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<3),过点E作直线l⊥x轴,交抛物线于点M.
    (1)求抛物线的解析式及C点坐标;
    (2)当m=1时,D是直线l上的点且在第一象限内,若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形,求点D的坐标;
    (3)如图2,连接BM并延长交y轴于点N,连接AM,OM,设△AEM的面积为S1,△MON的面积为S2,若S1=2S2,求m的值.

    【分析】(1)用待定系数法即可求解;
    (2)若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形,则可以分CD=AD或AC=AD两种情况,分别求解即可;
    (3)S1=AE×yM,2S2=ON•xM,即可求解.
    【解答】解:(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得,解得,
    故抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3,
    当x=0时,y=3,故点C(0,3);

    (2)当m=1时,点E(1,0),设点D的坐标为(1,a),
    由点A、C、D的坐标得,AC==,同理可得:AD=,CD=,
    ①当CD=AD时,即=,解得a=1;
    ②当AC=AD时,同理可得a=(舍去负值);
    故点D的坐标为(1,1)或(1,);

    (3)∵E(m,0),则设点M(m,﹣m2+2m+3),
    设直线BM的表达式为y=sx+t,则,解得,
    故直线BM的表达式为y=(﹣m﹣1)x+3m+3,
    当x=0时,y=3m+3,故点N(0,3m+3),则ON=3m+3;
    S1=AE×yM=×(m+1)×(﹣m2+2m+3),
    2S2=ON•xM=(3m+3)×m=S1=×(m+1)×(﹣m2+2m+3),
    解得m=﹣2±或﹣1(舍去负值),
    故m=﹣2.
    3.如图,已知抛物线y=a(x+6)(x﹣2)过点C(0,2),交x轴于点A和点B(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为D,对称轴DE交x轴于点E,连接EC.
    (1)直接写出a的值,点A的坐标和抛物线对称轴的表达式;
    (2)若点M是抛物线对称轴DE上的点,当△MCE是等腰三角形时,求点M的坐标;
    (3)点P是抛物线上的动点,连接PC,PE,将△PCE沿CE所在的直线对折,点P落在坐标平面内的点P′处.求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标.

    【分析】(1)将点C坐标代入抛物线解析式中,即可得出结论;
    (2)分三种情况:直接利用等腰三角形的性质,即可得出结论;
    (3)先判断出△PQE≌△P'Q'E(AAS),得出PQ=P'Q',EQ=EQ',进而得出P'Q'=n,EQ'=QE=m+2,确定出点P'(n﹣2,2+m),将点P'的坐标代入直线AD的解析式中,和点P代入抛物线解析式中,联立方程组,求解即可得出结论.
    【解答】解:(1)∵抛物线y=a(x+6)(x﹣2)过点C(0,2),
    ∴2=a(0+6)(0﹣2),
    ∴a=﹣,
    ∴抛物线的解析式为y=﹣(x+6)(x﹣2)=﹣(x+2)2+,
    ∴抛物线的对称轴为直线x=﹣2;
    针对于抛物线的解析式为y=﹣(x+6)(x﹣2),
    令y=0,则﹣(x+6)(x﹣2)=0,
    ∴x=2或x=﹣6,
    ∴A(﹣6,0);

    (2)如图1,由(1)知,抛物线的对称轴为x=﹣2,
    ∴E(﹣2,0),
    ∵C(0,2),
    ∴OC=OE=2,
    ∴CE=OC=2,∠CED=45°,
    ∵△CME是等腰三角形,
    ∴①当ME=MC时,
    ∴∠ECM=∠CED=45°,
    ∴∠CME=90°,
    ∴M(﹣2,2),
    ②当CE=CM时,
    ∴MM1=CM=2,
    ∴EM1=4,
    ∴M1(﹣2,4),
    ③当EM=CE时,
    ∴EM2=EM3=2,
    ∴M2(﹣2,﹣2),M3(﹣2,2),
    即满足条件的点M的坐标为(﹣2,2)或(﹣2,4)或(﹣2,2)或(﹣2,﹣2);

    (3)如图2,
    由(1)知,抛物线的解析式为y=﹣(x+6)(x﹣2)=﹣(x+2)2+,
    ∴D(﹣2,),
    令y=0,则(x+6)(x﹣2)=0,
    ∴x=﹣6或x=2,
    ∴点A(﹣6,0),
    ∴直线AD的解析式为y=x+4,
    过点P作PQ⊥x轴于Q,过点P'作P'Q'⊥DE于Q',
    ∴∠EQ'P'=∠EQP=90°,
    由(2)知,∠CED=∠CEB=45°,
    由折叠知,EP'=EP,∠CEP'=∠CEP,
    ∴△PQE≌△P'Q'E(AAS),
    ∴PQ=P'Q',EQ=EQ',
    设点P(m,n),
    ∴OQ=m,PQ=n,
    ∴P'Q'=n,EQ'=QE=m+2,
    ∴点P'(n﹣2,2+m),
    ∵点P'在直线AD上,
    ∴2+m=(n﹣2)+4①,
    ∵点P在抛物线上,
    ∴n=﹣(m+6)(m﹣2)②,
    联立①②解得,m=或m=,
    即点P的横坐标为或.


    4.如图1所示,在平面直角坐标系中,抛物线F1:y=a(x﹣)2+与x轴交于点A(﹣,0)和点B,与y轴交于点C.
    (1)求抛物线F1的表达式;
    (2)如图2,将抛物线F1先向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到抛物线F2,若抛物线F1与抛物线F2相交于点D,连接BD,CD,BC.
    ①求点D的坐标;
    ②判断△BCD的形状,并说明理由;
    (3)在(2)的条件下,抛物线F2上是否存在点P,使得△BDP为等腰直角三角形,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    【分析】(1)把点A(﹣,0)代入抛物线F1:y=a(x﹣)2+中,求出a的值,即可求解;
    (2)①由平移的原则:左加,右减,上加,下减,可得抛物线F2的解析式,与抛物线F1联立方程组,解出可得点D的坐标;
    ②根据两点的距离公式和勾股定理的逆定理可得:△BDC是等腰直角三角形;
    (3)设P[m,﹣],根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解出m的值,并确认两直角边是否相等,可得符合条件的点P的坐标.
    【解答】解:(1)把点A(﹣,0)代入抛物线F1:y=a(x﹣)2+中得:
    0=a(﹣﹣)2+,
    解得:a=﹣,
    ∴抛物线F1:y=﹣(x﹣)2+;
    (2)①由平移得:抛物线F2:y=﹣(x﹣+1)2+﹣3,
    ∴y=﹣(x+)2+,
    ∴﹣(x+)2+=﹣(x﹣)2+,
    ﹣x=,
    解得:x=﹣1,
    ∴D(﹣1,1);
    ②当x=0时,y=﹣=4,
    ∴C(0,4),
    当y=0时,﹣(x﹣)2+=0,
    解得:x=﹣或2,
    ∴B(2,0),
    ∵D(﹣1,1),
    ∴BD2=(2+1)2+(1﹣0)2=10,
    CD2=(0+1)2+(4﹣1)2=10,
    BC2=22+42=20,
    ∴BD2+CD2=BC2且BD=CD,
    ∴△BDC是等腰直角三角形;
    (3)存在,
    设P(m,﹣),
    ∵B(2,0),D(﹣1,1),
    ∴BD2=(2+1)2+12=10,,,
    分三种情况:
    ①当∠DBP=90°时,BD2+PB2=PD2,
    即10+(m﹣2)2+[﹣]2=(m+1)2+[﹣(m+)2+﹣1]2,
    解得:m=﹣4或1,
    当m=﹣4时,BD=,PB==6,即△BDP不是等腰直角三角形,不符合题意,
    当m=1时,BD=,PB==,
    ∴BD=PB,即△BDP是等腰直角三角形,符合题意,
    ∴P(1,﹣3);
    ②当∠BDP=90°时,BD2+PD2=PB2,
    即10+(m+1)2+[﹣(m+)2+﹣1]2=(m﹣2)2+[﹣]2,
    解得:m=﹣1(舍)或﹣2,
    当m=﹣2时,BD=,PD==,
    ∴BD=PD,即此时△BDP为等腰直角三角形,
    ∴P(﹣2,﹣2);
    ③当∠BPD=90°时,且BP=DP,有BD2=PD2+PB2,如图3,

    当△BDP为等腰直角三角形时,点P1和P2不在抛物线上,此种情况不存在这样的点P;
    综上,点P的坐标是(1,﹣3)或(﹣2,﹣2).
    5.如图,抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,经过点C的直线l与抛物线交于另一点E(4,a),抛物线的顶点为点Q,抛物线的对称轴与x轴交于点D.
    (1)求直线CE的解析式.
    (2)如图2,P为直线CE下方抛物线上一动点,直线CE与x轴交于点F,连接PF,PC.当△PCF的面积最大时,求点P的坐标及△PCF面积的最大值.
    (3)如图3,连接CD,将(1)中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′,y′经过点D,y′的顶点为点H,在直线QH上是否存在点G,使得△DQG为等腰三角形?若存在,求出点G的坐标.

    【分析】(1)抛物线的解析式可变形为y=(x+1)(x﹣3),从而可得点A和点B的坐标,然后再求出点C和点E的坐标,设直线CE的解析式为y=kx+b,将点C和点E的坐标代入求得k和b的值,即可得出CE的解析式;
    (2)由直线CE的解析式可求出点F的坐标;过点P作x轴的垂线,交CE于点M,设点P的横坐标为m,表达出点P和点M的坐标,利用铅垂法表达△PCF的面积,再利用二次函数的性质求出△PCF的最大值及点P的坐标;
    (3)由平移后的抛物线经过点D,可得点H的坐标,点Q的坐标;分DQ=DG,QD=QG,GD=GQ三种情况结合背景图形,解直角三角形即可得到点G的坐标.
    【解答】解:(1)抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,
    令x=0,则y=﹣;令y=0,则y=(x+1)(x﹣3)=0,则x=﹣1或x=3;
    ∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,﹣),
    经过点C的直线l与抛物线交于另一点E(4,a),
    ∴a=×42﹣×4﹣,即a=,
    ∴E(4,),
    设直线CE的解析式为:y=kx+b,
    ∴,解得,
    ∴直线CE的解析式为:y=x﹣;
    (2)∵直线CE与x轴交于点F,
    ∴F(,0),
    如图,过点P作x轴的垂线,交CE于点M,

    设点P的横坐标为m,
    ∴P(m,m2﹣m﹣),M(m,m﹣),
    ∴MP=m﹣﹣(m2﹣m﹣)=﹣m2+m,
    ∴S△PCF=(xF﹣xC)•MP=××(﹣m2+m)=﹣(m﹣2)2+,
    ∴当m=2时,S△PCF的最大值为,此时P(2,﹣).
    (3)在直线QH上是否存在点G,使得△DQG为等腰三角形,理由如下:
    ∵抛物线y=x2﹣x﹣=(x﹣1)2﹣,
    ∴D(1,0),Q(1,﹣),
    ∴DQ=,tan∠OCD=,
    ∴∠OCD=30°,
    抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′,y′经过点D,如图,
    则y′的顶点为点H(2,﹣),∠DQH=∠OCD=30°,
    ∴直线QH的解析式为y=x﹣.
    ①当DG1=DQ=时,如图所示,过点G1作G1I⊥DQ于点I,

    此时∠G1DI=60°,
    ∴DI=DG1=,G1I=DI=2,
    ∴G1(3,);
    ②当QG1=QD=时,如图所示,过点G2作G2T⊥DQ于点T,过点G3作G3S⊥DQ于点S,

    ∴G2T=QG2=,TQ=G2T=2,
    ∴G2(1+,2﹣);
    同理可得,G3S=,SQ=2,
    ∴G3(1﹣,﹣2﹣);
    ③当GD=GQ时,如图所示,此时点G4为DQ的中垂线与直线QH的交点,

    ∴G4的纵坐标为﹣,
    ∴G4(,﹣);
    综上,点G的坐标为:(3,);(1+,2﹣);(1﹣,﹣2﹣);(,﹣).
    6.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣5,0)和点B(1,0).
    (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
    (2)点P是抛物线上A、D之间的一点,过点P作PE⊥x轴于点E,PG⊥y轴,交抛物线于点G,过点G作GF⊥x轴于点F,当矩形PEFG的周长最大时,求点P的横坐标;
    (3)如图2,连接AD、BD,点M在线段AB上(不与A、B重合),作∠DMN=∠DBA,MN交线段AD于点N,是否存在这样点M,使得△DMN为等腰三角形?若存在,求出AN的长;若不存在,请说明理由.

    【分析】(1)抛物线的表达式为:y=﹣(x+5)(x﹣1),即可求解;
    (2)PE=﹣m2﹣m+,PG=2(﹣2﹣m)=﹣4﹣2m,矩形PEFG的周长=2(PE+PG),即可求解;
    (3)分MN=DM、NM=DN、DN=DM,三种情况分别求解.
    【解答】解:(1)抛物线的表达式为:y=﹣(x+5)(x﹣1)=﹣x2﹣x+,
    则点D(﹣2,4);
    (2)设点P(m,﹣m2﹣m+),
    则PE=﹣m2﹣m+,PG=2(﹣2﹣m)=﹣4﹣2m,
    矩形PEFG的周长=2(PE+PG)=2(﹣m2﹣m+﹣4﹣2m)=﹣(m+)2+,
    ∵﹣<0,故当m=﹣时,矩形PEFG周长最大,
    此时,点P的横坐标为﹣;
    (3)∵∠DMN=∠DBA,
    ∠BMD+∠BDM=180°﹣∠DBA,
    ∠NMA+∠DMB=180°﹣∠DMN,
    ∴∠NMA=∠MDB,
    ∴△BDM∽△AMN,,
    而AB=6,AD=BD=5,
    ①当MN=DM时,
    ∴△BDM≌△AMN,
    即:AM=BD=5,则AN=MB=1;
    ②当NM=DN时,
    则∠NDM=∠NMD,
    ∴△AMD∽△ADB,
    ∴AD2=AB×AM,即:25=6×AM,则AM=,
    而,即=,
    解得:AN=;
    ③当DN=DM时,
    ∵∠DNM>∠DAB,而∠DAB=∠DMN,
    ∴∠DNM>∠DMN,
    ∴DN≠DM;
    故AN=1或.
    7.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,﹣2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=﹣1.

    (1)求抛物线的函数表达式;
    (2)若点P在第二象限内,且PE=OD,求△PBE的面积.
    (3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
    【分析】(1)点A(2,0)、点B(﹣4,0),则函数的表达式为:y=a(x﹣2)(x+4)=a(x2+2x﹣8),即可求解;
    (2)PE=OD,则PE=(x2+x﹣2﹣x+2)=(﹣x),求得:点D(﹣5,0),利用S△PBE=PE×BD=(x2+x﹣2﹣x+2)(﹣4﹣x),即可求解;
    (3)BD=1=BM,则yM=﹣BMsin∠ABC=﹣1×=﹣,即可求解.
    【解答】解:(1)点A的坐标是(2,0),抛物线的对称轴是直线x=﹣1,则点B(﹣4,0),
    则函数的表达式为:y=a(x﹣2)(x+4)=a(x2+2x﹣8),
    即:﹣8a=﹣2,解得:a=,
    故抛物线的表达式为:y=x2+x﹣2;
    (2)将点B、C的坐标代入一次函数表达式:y=mx+n并解得:
    直线BC的表达式为:y=﹣x﹣2,则tan∠ABC=,则sin∠ABC=,
    设点D(x,0),则点P(x,x2+x﹣2),点E(x,﹣x﹣2),
    ∵PE=OD,
    ∴PE=(x2+x﹣2+x+2)=(﹣x),
    解得:x=0或﹣5(舍去x=0),
    即点D(﹣5,0)
    S△PBE=×PE×BD=(x2+x﹣2+x+2)(﹣4﹣x)=;

    (3)由题意得:△BDM是以BD为腰的等腰三角形,

    ①当BD=BM时,过点M作MH⊥x轴于点H,
    BD=1=BM,
    则MH=yM=BMsin∠ABC=1×=,
    则xM=﹣,
    故点M(﹣,);
    ②如图,

    当BD=DM时,过点D作DH⊥BC于H,∴BM=2BH,
    在Rt△BHD中,BH=BDcos∠ABC=,
    ∴BM=,
    过点M作MG⊥x轴于G,MG=BM•sin∠ABC=,
    BG=BM•cos∠ABC=,
    ∴OG=+4=
    点M(﹣,);
    故点M坐标为(﹣,)或(﹣,).
    8.如图所示,二次函数y=k(x﹣1)2+2的图象与一次函数y=kx﹣k+2的图象交于A、B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x、y轴交于C、D两点,其中k<0.
    (1)求A、B两点的横坐标;
    (2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值;
    (3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

    【分析】(1)将二次函数与一次函数联立得:k(x﹣1)2+2=kx﹣k+2,即可求解;
    (2)分OA=AB、OA=OB两种情况,求解即可;
    (3)求出m=﹣k2﹣k,在△AHM中,tanα===k+=tan∠BEC==k+2,即可求解.
    【解答】解:(1)将二次函数与一次函数联立得:k(x﹣1)2+2=kx﹣k+2,
    解得:x=1和2,
    故点A、B的坐标横坐标分别为1和2;
    (2)OA==,
    ①当OA=AB时,
    即:1+k2=5,解得:k=±2(舍去2);
    ②当OA=OB时,
    4+(k+2)2=5,解得:k=﹣1或﹣3;
    故k的值为:﹣1或﹣2或﹣3;
    (3)存在,理由:
    ①当点B在x轴上方时,
    过点B作BH⊥AE于点H,将△AHB的图形放大见右侧图形,
    过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M,过点M作MN⊥AB于点N,过点B作BK⊥x轴于点K,

    图中:点A(1,2)、点B(2,k+2),则AH=﹣k,HB=1,
    设:HM=m=MN,则BM=1﹣m,
    则AN=AH=﹣k,AB=,NB=AB﹣AN,
    由勾股定理得:MB2=NB2+MN2,
    即:(1﹣m)2=m2+(+k)2,
    解得:m=﹣k2﹣k,
    在△AHM中,tanα===k+=tan∠BEC==k+2,
    解得:k=,
    此时k+2>0,则﹣2<k<0,故:舍去正值,
    故k=﹣;
    ②当点B在x轴下方时,
    同理可得:tanα===k+=tan∠BEC==﹣(k+2),
    解得:k=或,
    此时k+2<0,k<﹣2,故舍去,
    故k的值为:﹣或.
    9.在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为D,对称轴与x轴交于点Q.
    (1)如图1,连接AC,BC.若点P为直线BC上方抛物线上一动点,过点P作PE∥y轴交BC于点E,作PF⊥BC于点F,过点B作BG∥AC交y轴于点G.点H,K分别在对称轴和y轴上运动,连接PH,HK.当△PEF的周长最大时,求PH+HK+KG的最小值及点H的坐标.
    (2)如图2,将抛物线沿射线AC方向平移,当抛物线经过原点O时停止平移,此时抛物线顶点记为D′,N为直线DQ上一点,连接点D′,C,N,△D′CN能否构成等腰三角形?若能,直接写出满足条件的点N的坐标;若不能,请说明理由.

    【分析】(1)首先证明△PEF∽△BCO,推出当PE最大时,△PEF的周长最大,构建二次函数,求出PE最大时,点P的坐标,将直线GO绕点G逆时针旋转60°,得到直线l,作PM⊥直线l于M,KM′⊥直线l于M′,则PH+HK+KG=PH+HK+KM′≥PM,求出PM即可解决问题.
    (2)首先利用待定系数法求出点D′坐标,设N(1,n),∵C(0,2),D′(5,),则NC2=1+(n﹣2)2,D′C2=52+(﹣2)2,D′N2=(5﹣1)2+(﹣n)2,分三种情形分别构建方程求出n的值即可解决问题.
    【解答】解:(1)如图1中,

    对于抛物线y=﹣x2+x+2,令x=0,得到y=2,
    令y=0,得到﹣x2+x+2=0,解得x=﹣2或4,
    ∴C(0,2),A(﹣2,0),B(4,0),
    抛物线顶点D坐标(1,),
    ∵PF⊥BC,
    ∴∠PFE=∠BOC=90°,
    ∵PE∥OC,
    ∴∠PEF=∠BCO,
    ∴△PEF∽△BCO,
    ∴当PE最大时,△PEF的周长最大,
    ∵B(4,0),C(0,2),
    ∴直线BC的解析式为y=﹣x+2,设P(m,﹣m2+m+2),则E(m,﹣m+2),
    ∴PE=﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)=﹣m2+m,
    ∴当m=2时,PE有最大值,
    ∴P(2,2),
    如图,将直线GO绕点G逆时针旋转60°,得到直线l,
    作PM⊥直线l于M,KM′⊥直线l于M′,则PH+HK+KG=PH+HK+KM′≥PM,
    ∵P(2,2),
    ∴∠POB=60°,
    ∵∠MOG=30°,
    ∴∠MOG+∠BOC+∠POB=180°,
    ∴P,O,M共线,
    ∵BG∥AC,
    ∴OA:OB=OC:OG,
    ∴OG=4,
    ∴OM=OG•sin60°=6,
    ∵PO==4,
    ∴PM=10,
    ∴PH+HK+KG的最小值为10,此时H(1,).

    (2)∵A(﹣2,0),C(0,2),
    ∴直线AC的解析式为y=x+2,
    ∵DD′∥AC,D(1,),
    ∴直线DD′的解析式为y=x+,
    设D′(m,m+),则平移后抛物线的解析式为y1=﹣(x﹣m)2+m+,
    将(0,0)代入可得m=5或﹣1(舍弃),
    ∴D′(5,),
    设N(1,n),∵C(0,2),D′(5,),
    ∴NC2=1+(n﹣2)2,D′C2=52+(﹣2)2,D′N2=(5﹣1)2+(﹣n)2,
    ①当NC=CD′时,1+(n﹣2)2=52+(﹣2)2,
    解得:n=

    ②当NC=D′N时,1+(n﹣2)2=(5﹣1)2+(﹣n)2,
    解得:n=

    ③当D′C=D′N时,52+(﹣2)2=(5﹣1)2+(﹣n)2,
    解得:n=,
    综上所述,满足条件的点N的坐标为(1,)或(1,)或(1,)或(1,)或(1,).
    10.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m<n)分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧),连接OD、BD.
    ①求△BOD面积的最大值,并写出此时点D的坐标;
    ②当△OPC为等腰三角形时,请直接写出点P的坐标.

    【分析】(1)x2﹣2x﹣3=0,则x=3或﹣1,故点A、B的坐标分别为(﹣1,﹣1)、(3,﹣3),设抛物线的表达式为:y=ax2+bx,将点A、B的坐标代入上式,即可求解;
    (2)①过点D作y轴的平行线交OB于点H,△BOD面积=×DH×xB,即可求解;
    ②分OP=PC、OP=OC、PC=OC三种情况,分别求解即可.
    【解答】解:(1)x2﹣2x﹣3=0,则x=3或﹣1,
    故点A、B的坐标分别为(﹣1,﹣1)、(3,﹣3),
    设抛物线的表达式为:y=ax2+bx,将点A、B的坐标代入上式得:,解得:,
    故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x;

    (2)将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得:
    直线AB的表达式为:y=﹣x﹣,故点C(0,﹣),
    同理可得:直线OP的表达式为:y=﹣x;

    ①过点D作y轴的平行线交OB于点H,
    设点D(x,﹣x2+x),则点H(x,﹣x),
    △BOD面积=×DH×xB=×3(﹣x2+x+x)=﹣x2+x,
    ∵,故△BOD面积有最大值为:,此时x=,
    故点D(,﹣);
    ②当OP=PC时,
    则点P在OC的中垂线上,故yP=﹣,则点P(,﹣);
    当OP=OC时,
    t2+t2=()2,解得:t=(舍去负值),
    故点P(,﹣);
    当PC=OC时,同理可得:点P(,﹣);
    综上,点P(,﹣)或(,﹣)或(,﹣).
    11.如图,开口向上的抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,与y轴交于点C,且AC⊥BC,其中x1,x2是方程x2+3x﹣4=0的两个根.
    (1)求点C的坐标,并求出抛物线的表达式;
    (2)垂直于线段BC的直线l交x轴于点D,交线段BC于点E,连接CD,求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标;
    (3)在(2)的结论下,抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PDE是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    【分析】(1)由x2+3x﹣4=0得A(﹣4,0),B(1,0),根据△AOC∽△COB,可求C(0,﹣2),从而由待定系数法可得抛物线解析式为y=x2+x﹣2;
    (2)由A(﹣4,0),B(1,0),C(0,﹣2)可得AB=5,BC=,AC=2,根据△ABC∽△DBE,设D(t,0),即得DE=(1﹣t),BE=(1﹣t),故S△BDE=DE•BE=(1﹣t)2,S△CDE=S△BDC﹣S△BDE=﹣(t+)2+,即得S△CDE最大为,D(﹣,0);
    (3)由y=x2+x﹣2得抛物线对称轴为直线x=﹣,D在对称轴上,DE=×[1﹣(﹣)]=,当DE=DP时,即得P(﹣,)或(﹣,﹣),当DE=PE时,过E作EH⊥x轴于H,由△DHE∽△DEB,可得E(,﹣1),而E在DP的垂直平分线上,故P(﹣,﹣2),当PD=PE时,设P(﹣,m),可得m2=(﹣﹣)2+(m+1)2,解得P(﹣,﹣).
    【解答】解:(1)由x2+3x﹣4=0得x1=﹣4,x2=1,
    ∴A(﹣4,0),B(1,0),
    ∴OA=4,OB=1,
    ∵AC⊥BC,
    ∴∠ACO=90°﹣∠BCO=∠OBC,
    ∵∠AOC=∠BOC=90°,
    ∴△AOC∽△COB,
    ∴=,即=,
    ∴OC=2,
    ∴C(0,﹣2),
    设抛物线解析式为y=a(x+4)(x﹣1),
    将C(0,﹣2)代入得﹣2=﹣4a,
    ∴a=,
    ∴抛物线解析式为y=(x+4)(x﹣1)=x2+x﹣2;
    (2)如图:

    由A(﹣4,0),B(1,0),C(0,﹣2)得:AB=5,BC=,AC=2,
    ∵DE⊥BC,AC⊥BC,
    ∴DE∥AC,
    ∴△ABC∽△DBE,
    ∴==,
    设D(t,0),则BD=1﹣t,
    ∴==,
    ∴DE=(1﹣t),BE=(1﹣t),
    ∴S△BDE=DE•BE=(1﹣t)2,
    而S△BDC=BD•OC=(1﹣t)×2=1﹣t,
    ∴S△CDE=S△BDC﹣S△BDE=1﹣t﹣(1﹣t)2=﹣t2﹣t+=﹣(t+)2+,
    ∵﹣<0,
    ∴t=﹣时,S△CDE最大为,
    此时D(﹣,0);
    (3)存在,
    由y=x2+x﹣2知抛物线对称轴为直线x=﹣,
    而D(﹣,0),
    ∴D在对称轴上,
    由(2)得DE=×[1﹣(﹣)]=,
    当DE=DP时,如图:

    ∴DP=,
    ∴P(﹣,)或(﹣,﹣),
    当DE=PE时,过E作EH⊥x轴于H,如图:

    ∵∠HDE=∠EDB,∠DHE=∠BED=90°,
    ∴△DHE∽△DEB,
    ∴==,即==,
    ∴HE=1,DH=2,
    ∴E(,﹣1),
    ∵E在DP的垂直平分线上,
    ∴P(﹣,﹣2),
    当PD=PE时,如图:

    设P(﹣,m),
    则m2=(﹣﹣)2+(m+1)2,
    解得m=﹣,
    ∴P(﹣,﹣),
    综上所述,P的坐标为(﹣,)或(﹣,﹣)或(﹣,﹣2)或(﹣,﹣).
    12.抛物线y=ax2+bx+3过点A(﹣1,0),点B(3,0),顶点为C.
    (1)求抛物线的表达式及点C的坐标;
    (2)如图1,点P在抛物线上,连接CP并延长交x轴于点D,连接AC,若△DAC是以AC为底的等腰三角形,求点P的坐标;
    (3)如图2,在(2)的条件下,点E是线段AC上(与点A,C不重合)的动点,连接PE,作∠PEF=∠CAB,边EF交x轴于点F,设点F的横坐标为m,求m的取值范围.

    【分析】(1)利用待定系数法可以确定抛物线的解析式,利用配方法可得抛物线的顶点坐标;
    (2)利用△DAC是以AC为底的等腰三角形,求出点D的坐标,利用待定系数法确定直线CD的解析式,再与抛物线解析式联立,解方程组即可得到点P的坐标;
    (3)由(2)中的条件求得线段CP,AB的长;由已知判定出△EPC∽△FEA,得出比例式,设AF=x,AE=y,
    利用比例式求得AF的最大值,即可求得m的取值范围.
    【解答】解:(1)将点A(﹣1,0),点B(3,0)代入y=ax2+bx+3得:

    解得:.
    ∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3.
    ∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
    ∴顶点C(1,4).
    (2)设AC交y轴于点F,连接DF,过点C作CE⊥x轴于点E,如图,

    ∵A(﹣1,0),C(1,4),
    ∴OA=1,OE=1,CE=4.
    ∴OA=OE,AC==2.
    ∵FO⊥AB,CE⊥AB,
    ∴FO∥CE,
    ∴OF=CE=2,F为AC的中点.
    ∵△DAC是以AC为底的等腰三角形,
    ∴DF⊥AC.
    ∵FO⊥AD,
    ∴△AFO∽△FDO.
    ∴.
    ∴.
    ∴OD=4.
    ∴D(4,0).
    设直线CD的解析式为y=kx+m,
    ∴,
    解得:.
    ∴直线CD的解析式为y=﹣.
    ∴,
    解得:,.
    ∴P().
    (3)过点P作PH⊥AB于点H,如下图,

    则OH=,PH=,
    ∵OD=4,
    ∴HD=OD﹣OH=,
    ∴PD==.
    ∴PC=CD﹣PD=5﹣=.
    由(2)知:AC=2.
    设AF=x,AE=y,则CE=2﹣y.
    ∵DA=DC,
    ∴∠DAC=∠C.
    ∵∠CAB+∠AEF+∠AFE=180°,
    ∠AEF+∠PEF+∠CEP=180°,
    又∵∠PEF=∠CAB,
    ∴∠CEP=∠AFE.
    ∴△CEP∽△AFE.
    ∴.
    ∴.
    ∴x=﹣+y=﹣+.
    ∴当y=时,x即AF有最大值.
    ∵OA=1,
    ∴OF的最大值为﹣1=.
    ∵点F在线段AD上,
    ∴点F的横坐标m的取值范围为﹣1<m≤.
    13.如图,直线y=﹣x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点,与x轴另一交点为A.点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动(点P不与点B和点C重合),设运动时间为t秒,过点P作x轴垂线交x轴于点E,交抛物线于点M.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)如图①,过点P作y轴垂线交y轴于点N,连接MN交BC于点Q,当MQNQ=12时,求t的值;
    (3)如图②,连接AM交BC于点D,当△PDM是等腰三角形时,直接写出t的值.

    【分析】(1)求直线y=﹣x+4与x轴交点B,与y轴交点C,用待定系数法即求得抛物线解析式.
    (2)根据点B、C坐标求得∠OBC=45°,又PE⊥x轴于点E,得到△PEB是等腰直角三角形,由PB=2t求得BE=PE=t,即可用t表示各线段,得到点M的横坐标,进而用m表示点M纵坐标,求得MP的长.根据MP∥CN可证△MPQ∽△NCQ,故有MPNC=MQNQ=12,把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程,求解即得到t的值.
    (3)因为不确定等腰△PDM的底和腰,故需分3种情况讨论:①若MD=MP,则∠MDP=∠MPD=45°,故有∠DMP=90°,不合题意;②若DM=DP,则∠DMP=∠MPD=45°,进而得AE=ME,把含t的式子代入并解方程即可;③若MP=DP,则∠PMD=∠PDM,由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF进而得CF=CD.用t表示M的坐标,求直线AM解析式,求得AM与y轴交点F的坐标,即能用t表示CF的长.把直线AM与直线BC解析式联立方程组,解得x的值即为点D横坐标.过D作y轴垂线段DG,得等腰直角△CDG,用DG即点D横坐标,进而可用t表示CD的长.把含t的式子代入CF=CD,解方程即得到t的值.
    【解答】解:(1)直线y=﹣x+4中,当x=0时,y=4
    ∴C(0,4)
    当y=﹣x+4=0时,解得:x=4
    ∴B(4,0)
    ∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点
    ∴-16+4b+c=00+0+c=4 解得:b=3c=4
    ∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4

    (2)∵B(4,0),C(0,4),∠BOC=90°
    ∴OB=OC
    ∴∠OBC=∠OCB=45°
    ∵ME⊥x轴于点E,PB=2t
    ∴∠BEP=90°
    ∴Rt△BEP中,sin∠PBE=PEPB=22
    ∴BE=PE=22PB=t
    ∴xM=xP=OE=OB﹣BE=4﹣t,yP=PE=t
    ∵点M在抛物线上
    ∴yM=﹣(4﹣t)2+3(4﹣t)+4=﹣t2+5t
    ∴MP=yM﹣yP=﹣t2+4t
    ∵PN⊥y轴于点N
    ∴∠PNO=∠NOE=∠PEO=90°
    ∴四边形ONPE是矩形
    ∴ON=PE=t
    ∴NC=OC﹣ON=4﹣t
    ∵MP∥CN
    ∴△MPQ∽△NCQ
    ∴MPNC=MQNQ=12
    ∴-t2+4t4-t=12
    解得:t1=12,t2=4(点P不与点C重合,故舍去)
    ∴t的值为12

    (3)∵∠PEB=90°,BE=PE
    ∴∠BPE=∠PBE=45°
    ∴∠MPD=∠BPE=45°
    ①若MD=MP,则∠MDP=∠MPD=45°
    ∴∠DMP=90°,即DM∥x轴,与题意矛盾
    ②若DM=DP,则∠DMP=∠MPD=45°
    ∵∠AEM=90°
    ∴AE=ME
    ∵y=﹣x2+3x+4=0时,解得:x1=﹣1,x2=4
    ∴A(﹣1,0)
    ∵由(2)得,xM=4﹣t,ME=yM=﹣t2+5t
    ∴AE=4﹣t﹣(﹣1)=5﹣t
    ∴5﹣t=﹣t2+5t
    解得:t1=1,t2=5(0<t<4,舍去)
    ③若MP=DP,则∠PMD=∠PDM
    如图,记AM与y轴交点为F,过点D作DG⊥y轴于点G
    ∴∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF
    ∴CF=CD
    ∵A(﹣1,0),M(4﹣t,﹣t2+5t),设直线AM解析式为y=ax+m
    ∴-a+m=0a(4-t)+m=-t2+5t 解得:a=tm=t
    ∴直线AM:y=tx+t
    ∴F(0,t)
    ∴CF=OC﹣OF=4﹣t
    ∵tx+t=﹣x+4,解得:x=4-tt+1
    ∴DG=xD=4-tt+1
    ∵∠CGD=90°,∠DCG=45°
    ∴CD=2DG=2(4-t)t+1
    ∴4﹣t=2(4-t)t+1
    解得:t=2-1
    综上所述,当△PDM是等腰三角形时,t=1或t=2-1.

    14.如图,抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m.
    (1)求此抛物线的表达式;
    (2)过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q的坐标,若不存在,请说明理由;
    (3)过点P作PN⊥BC,垂足为点N.请用含m的代数式表示线段PN的长,并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少?

    【分析】(1)由二次函数交点式表达式,即可求解;
    (2)分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三种情况,分别求解即可;
    (3)由PN=PQsin∠PQN=22(-13m2+13m+4+m﹣4)即可求解.
    【解答】解:(1)由二次函数交点式表达式得:y=a(x+3)(x﹣4)=a(x2﹣x﹣12)=ax2﹣ax﹣12a,
    即:﹣12a=4,解得:a=-13,
    则抛物线的表达式为y=-13x2+13x+4;
    (2)存在,理由:
    点A、B、C的坐标分别为(﹣3,0)、(4,0)、(0,4),
    则AC=32+42=5,AB=4﹣(﹣3)=7,BC=42,∠OBC=∠OCB=45°,
    设BC的解析式为y=kx+b,将点B、C的坐标代入解得:
    4k+b=0b=4,解得k=-1b=4,
    ∴y=﹣x+4…①,
    设直线AC的解析式为y=k′x+b′,则有-3k+b'=0b'=4,
    解得k'=43b'=4
    ∴直线AC的表达式为:y=43x+4,
    设线段AC的中点为K(-32,2),过点M与CA垂直,直线的表达式中的k值为-34,
    同理可得过点K与直线AC垂直,直线的表达式为:y=-34x+78⋯②,
    ①当AC=AQ时,如图1,

    则AC=AQ=5,
    设:QM=MB=n,则AM=7﹣n,
    由勾股定理得:(7﹣n)2+n2=25,解得:n=3或4,
    ∵点Q在点B的左侧,
    ∴n=3
    故点Q(1,3);
    ②当AC=CQ时,如图1,
    CQ=5,则BQ=BC﹣CQ=42-5,
    则QM=MB=8-522,
    故点Q(522,8-522);
    ③当CQ=AQ时,
    联立①②并解得:x=252(舍去);
    故点Q的坐标为:Q(1,3)或(522,8-522);
    (3)设点P(m,-13m2+13m+4),则点Q(m,﹣m+4),
    ∵OB=OC,
    ∴∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN,
    ∴PN=PQsin∠PQN=22(-13m2+13m+4+m﹣4)=-26(m﹣2)2+223,
    ∵-26<0,∴PN有最大值,
    当m=2时,PN的最大值为:223.
    15.如图,在直角坐标系xOy中,反比例函数y=1x(x>0)的图象与直线y=kx+b交于点A(m,2)、B(4,n).连接OA、OB.
    (1)求直线y=kx+b的解析式;
    (2)若点C是y轴上的点,当△AOC为等腰三角形时,请直接写出点C的坐标;
    (3)求△AOB的面积.

    【分析】(1)先求出点A,B坐标,再代入直线解析式中,解方程组,即可得出结论;
    (2)设点C(0,a),进而表示出OA2,OC2,AC2,再分三种情况,建立方程求解,即可得出结论;
    (3)先求出点E坐标,最后用面积的和差,即可得出结论.
    【解答】解:(1)将点A(m,2)、B(4,n)代入反比例函数y=1x中,得2=1m,n=14,
    ∴m=12,
    将点A,B坐标代入y=kx+b中,得12k+b=24k+b=14,
    ∴k=-12b=94,
    ∴直线的解析式为y=-12x+94;

    (2)设点C的坐标为(0,a),
    由(1)知,点A(12,2),
    ∴OA2=(12)2+22=174,OC2=a2,AC2=(12)2+(2﹣a)2=14+(2﹣a)2,
    ∵△AOC为等腰三角形,
    ∴①当OA=OC时,OA2=OC2,
    ∴174=a2,
    ∴a=±172,
    ∴C(0,-172)或(0,172),
    ②当OA=AC时,OA2=AC2,
    ∴174=14+(2﹣a)2,
    ∴a=0(舍)或4,
    ∴C(0,4),
    ③当OC=AC时,OC2=AC2,a2=14+(2﹣a)2,
    ∴a=1716,
    ∴C(0,1716),
    即满足条件的点C的坐标为(0,-172)或(0,172)或(0,4)或(0,1716);

    (3)如图,
    过点A作AF⊥y 轴于F,过点B作BD⊥x 轴于D,两条垂线相交于E,
    ∵A(12,2),B(4,14),
    ∴F(0,2),D(4,0),
    ∴E(4,2),
    ∴S△OAB=S矩形﹣S△AOF﹣S△BOD﹣S△ABE
    =4×2-12-12-12×(4-12)×(2-14)
    =6316.

    16.在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,2),动点P在y=33x的图象上运动(不与O重合),连接AP.过点P作PQ⊥AP,交x轴于点Q,连接AQ.
    (1)求线段AP长度的取值范围;
    (2)试问:点P运动的过程中,∠QAP是否为定值?如果是,求出该值;如果不是,请说明理由.
    (3)当△OPQ为等腰三角形时,求点Q的坐标.

    【分析】(1)作AH⊥OP,由y=33x知:∠HOQ=30°,∠HOA=60°,由三角函数得出AH的值即为AP的最小值;
    (2)分点P在第三象限、点P在第一象限的线段OH上、点P在第一象限的线段OH的延长线上三种情况,用四点共圆求解;
    (3)分OQ=PQ、PO=OQ、PQ=OP三种情况,分别求解即可.
    【解答】解:(1)如图1,作AH⊥OP,则AP≥AH,

    ∵点P在y=33x的图象上
    ∴∠HOQ=30°,∠HOA=60°
    ∵A(0,2)
    ∴AH=AO•sin60°=3
    ∴AP≥3
    (2)
    ①当点P在第三象限时,如图2,

    由∠QPA=∠QOA=90°,可得Q、P、O、A四点共圆,
    ∴∠PAQ=∠POQ=30°
    ②当点P在第一象限的线段OH上时,如图3
    由∠QPA=∠QOA=90°可得Q、P、O、A四点共圆
    ∴∠PAQ+∠POQ=180°,又此时∠POQ=150°
    ∴∠PAQ=180°﹣∠POQ=30°
    ③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时,
    由∠QPA=∠QOA=90°可得∠APQ+∠AOQ=180°
    ∴Q、P、O、A四点共圆
    ∴∠PAQ=∠POQ=30°
    (3)设P(m,33m),则lAP:y=3m-63mx+2,
    ∵PQ⊥AP
    ∴kPQ=3m23-m
    ∴lPQ:y=3m23-m(x﹣m)+33m
    ∴Q(4m-233,0)
    ∴OP2=43m2,OQ2=169m2-1693m+43
    PQ2=49m2-493m+43
    ①OP=OQ时,则43m2=169m2-1693m+43
    整理得:m2﹣43m+3=0
    解得m=23±3
    ∴Q1(23+4,0),Q2(23-4,0)
    ②当PO=PQ时,则43m2=49m2-493m+43
    整理得:2m2+3m-3=0
    解得:m=32或m=-3
    当m=32时,Q点与O重合,舍去,
    ∴m=-3
    ∴Q3(﹣23,0)
    ③当QO=QP时,
    则169m2-1693m+43=49m2-493m+43
    整理得:m2-3m=0
    解得:m=3
    ∴Q4(233,0)
    ∴点Q的坐标为(23+4,0)或(23-4,0)或(﹣23,0)或(233,0).
    17.已知抛物线y=a(x﹣2)2+c经过点A(﹣2,0)和C(0,94),与x轴交于另一点B,顶点为D.
    (1)求抛物线的解析式,并写出D点的坐标;
    (2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上(E点不与A,B重合),且∠DEF=∠A,则△DEF能否为等腰三角形?若能,求出BE的长;若不能,请说明理由;
    (3)若点P在抛物线上,且S△PBDS△CBD=m,试确定满足条件的点P的个数.

    【分析】(1)利用待定系数法,转化为解方程组即可解决问题.
    (2)可能.分三种情形①当DE=DF时,②当DE=EF时,③当DF=EF时,分别求解即可.
    (3)如图2中,连接BD,当点P在线段BD的右侧时,作DH⊥AB于H,连接PD,PH,PB.设P[n,-316(n﹣2)2+3],构建二次函数求出△PBD的面积的最大值,再根据对称性即可解决问题.
    【解答】解:(1)由题意:16a+c=04a+c=94,
    解得a=-316c=3,
    ∴抛物线的解析式为y=-316(x﹣2)2+3,
    ∴顶点D坐标(2,3).

    (2)可能.如图1,

    ∵A(﹣2,0),D(2,3),B(6,0),
    ∴AB=8,AD=BD=5,
    ①当DE=DF时,∠DFE=∠DEF=∠ABD,
    ∴EF∥AB,此时E与B重合,与条件矛盾,不成立.
    ②当DE=EF时,
    又∵△BEF∽△AED,
    ∴△BEF≌△AED,
    ∴BE=AD=5
    ③当DF=EF时,∠EDF=∠DEF=∠DAB=∠DBA,
    △FDE∽△DAB,
    ∴EFBD=DEAB,
    ∴EFDE=BDAB=58,
    ∵△BEF∽△ADE
    ∴EBAD=EFDE=58,
    ∴EB=58AD=258,
    答:当BE的长为5或258时,△CFE为等腰三角形.

    (3)如图2中,连接BD,当点P在线段BD的右侧时,作DH⊥AB于H,连接PD,PH,PB.设P[n,-316(n﹣2)2+3],

    则S△PBD=S△PBH+S△PDH﹣S△BDH=12×4×[-316(n﹣2)2+3]+12×3×(n﹣2)-12×4×3=-38(n﹣4)2+32,
    ∵-38<0,
    ∴n=4时,△PBD的面积的最大值为32,
    ∵S△PBDS△CBD=m,
    ∴当点P在BD的右侧时,m的最大值=3292=13,
    观察图象可知:当0<m<13时,满足条件的点P的个数有4个,
    当m=13时,满足条件的点P的个数有3个,
    当m>13时,满足条件的点P的个数有2个(此时点P在BD的左侧).
    18.如图所示,二次函数y=k(x﹣1)2+2的图象与一次函数y=kx﹣k+2的图象交于A、B两点,点B在点A的右侧,直线AB分别与x、y轴交于C、D两点,其中k<0.
    (1)求A、B两点的横坐标;
    (2)若△OAB是以OA为腰的等腰三角形,求k的值;
    (3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.

    【分析】(1)将二次函数与一次函数联立得:k(x﹣1)2+2=kx﹣k+2,即可求解;
    (2)分OA=AB、OA=OB两种情况,求解即可;
    (3)求出m=﹣k2﹣kk2+1,在△AHM中,tanα=HMAH=m-k=k+k2+1=tan∠BEC=BKEK=k+2,即可求解.
    【解答】解:(1)将二次函数与一次函数联立得:k(x﹣1)2+2=kx﹣k+2,
    解得:x=1和2,
    故点A、B的坐标横坐标分别为1和2;
    (2)OA=22+1=5,
    ①当OA=AB时,
    即:1+k2=5,解得:k=±2(舍去2);
    ②当OA=OB时,
    4+(k+2)2=5,解得:k=﹣1或﹣3;
    故k的值为:﹣1或﹣2或﹣3;
    (3)存在,理由:
    ①当点B在x轴上方时,
    过点B作BH⊥AE于点H,将△AHB的图形放大见右侧图形,
    过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M,过点M作MN⊥AB于点N,过点B作BK⊥x轴于点K,

    图中:点A(1,2)、点B(2,k+2),则AH=﹣k,HB=1,
    设:HM=m=MN,则BM=1﹣m,
    则AN=AH=﹣k,AB=k2+1,NB=AB﹣AN,
    由勾股定理得:MB2=NB2+MN2,
    即:(1﹣m)2=m2+(k2+1+k)2,
    解得:m=﹣k2﹣kk2+1,
    在△AHM中,tanα=HMAH=m-k=k+k2+1=tan∠BEC=BKEK=k+2,
    解得:k=±3,
    此时k+2>0,则﹣2<k<0,故:舍去正值,
    故k=-3;
    ②当点B在x轴下方时,
    同理可得:tanα=HMAH=m-k=k+k2+1=tan∠BEC=BKEK=-(k+2),
    解得:k=-4-73或-4+73,
    此时k+2<0,k<﹣2,故舍去-4+73,
    故k的值为:-3或-4-73.
    19.如图:一次函数y=-34x+3的图象与坐标轴交于A、B两点,点P是函数y=-34x+3(0<x<4)图象上任意一点,过点P作PM⊥y轴于点M,连接OP.
    (1)当AP为何值时,△OPM的面积最大?并求出最大值;
    (2)当△BOP为等腰三角形时,试确定点P的坐标.

    【分析】(1)先设出点P的坐标,进而得出点P的纵横坐标的关系,进而建立△OPM的面积与点P的横坐标的函数关系式,即可得出结论;
    (2)分两种情况,利用等腰三角形的两边相等建立方程即可得出结论.
    【解答】解:(1)令点P的坐标为P(x0,y0)
    ∵PM⊥y轴
    ∴S△OPM=12OM•PM=12⋅x0⋅y0
    将y0=-34x0+3代入得S△OPM=12x0(-34x0+3)=-38(x﹣2)2+32
    ∴当x0=2时,△OPM的面积,有最大值Smax=32,
    即:PM=2,
    ∴PM∥OB,
    ∴APAB=PMOB
    即AP=AB⋅PMOB
    ∵直线AB分别交两坐标轴于点A、B,
    ∴A(0,3),B(4,0),
    ∴OA=3,OB=4,
    ∴AB=5,
    ∴AP=52;

    (2)①在△BOP中,当BO=BP时
    BP=BO=4,AP=1
    ∵PM∥OB,
    ∴APAB=PMOB
    ∴MP=45,
    将MP=45代入代入y=-34x+3中,得OM=125
    ∴P(45,125);
    ②在△BOP中,当OP=BP时,如图,
    过点P作PN⊥OB于点N
    ∵OP=BP,
    ∴ON=12OB=2
    将ON=2代入y=-34x+3中得,NP=32
    ∴点P的坐标为P(2,32),
    即:点P的坐标为(45,125)或(2,32).

    20.已知一次函数y=﹣3x+3的图象分别与x轴,y轴交于A,B两点,点C(3,0).
    (1)如图1,点D与点C关于y轴对称,点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等,连接DE,交y轴于点F.
    ①求点E的坐标;
    ②△AOB与△FOD是否全等,请说明理由;
    (2)如图2,点G与点B关于x轴对称,点P在直线GC上,若△ABP是等腰三角形,直接写出点P的坐标.

    【分析】(1)①由等腰直角三角形的性质和中点坐标公式可求点E坐标;
    ②先求点F坐标,由“SAS”可证△AOB≌△FOD;
    (2)分三种情况讨论,利用等腰三角形的性质可求解.
    【解答】解:(1)①如图1,连接OE,过点E作EG⊥OC于点G,EH⊥OB于点H,

    ∵一次函数y=﹣3x+3的图象分别与x轴,y轴交于A,B两点,
    ∴点A(1,0),点B(0,3),
    ∵点D与点C关于y轴对称,点C(3,0),
    ∴点D(﹣3,0),
    ∵EG⊥OC,EH⊥OB,
    ∴OE平分∠BOC,
    又∵OB=OC=3,
    ∴OE=BE=EC,
    ∴点E(32,32);
    ②△AOB≌△FOD,
    理由如下:设直线DE解析式为y=kx+b,
    由题意可得:-3k+b=032k+b=32,
    解得:k=13b=1,
    ∴直线DE解析式为y=13x+1,
    ∵点F是直线DE与y轴的交点,
    ∴F(0,1),
    ∴OF=OA=1,
    又∵OB=OD=3,∠AOB=∠FOD=90°,
    ∴△AOB≌△FOD(SAS);
    (3)∵点G与点B关于x轴对称,点B(0,3),
    ∴点G(0,﹣3),
    ∵点G(0,﹣3),点C(3,0),
    ∴直线GC的解析式为y=x﹣3,
    ∵点B(0,3),点A(1,0),
    ∴AB2=1+9=10,
    设点P(a,a﹣3),
    若AB=AP时,则10=(a﹣1)2+(a﹣3﹣0)2,
    ∴a=0或4,
    ∴点P(0,﹣3)或(4,1);
    若AB=PB时,则10=(a﹣0)2+(a﹣3﹣3)2,
    ∴a2﹣6a+13=0,
    ∵△<0,
    ∴方程无解,
    若AP=BP时,则(a﹣1)2+(a﹣3﹣0)2=(a﹣0)2+(a﹣3﹣3)2,
    ∴a=132,
    ∴点P(132,72),
    综上所述:点P(0,﹣3)或(4,1)或(132,72).


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