2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题13 函数与等腰三角形综合问题

这是一份2022年苏教版中考数学压轴题经典模型教案专题13 函数与等腰三角形综合问题，共79页。

【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题13函数与等腰三角形综合问题
经典例题



【例1】在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；
（3）直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．
【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与轴交于C（0，﹣1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AC，BC，过O点的直线l∥BC，点E，D分别为直线l和抛物线上的点，试探究第一象限是否存在这样的点E，D，使△BDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有的E点的坐标；若不存在，请说明理由．

【例3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【例4】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．


【例5】如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y=kx（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．
（1）AE＝　 　（用含有k的代数式表示）；
（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；
（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．

培优训练


1．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．
（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由；
（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；
（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．

3．如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．
（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．

4．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x﹣）2+与x轴交于点A（﹣，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线F1的表达式；
（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．
①求点D的坐标；
②判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求直线CE的解析式．
（2）如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当△PCF的面积最大时，求点P的坐标及△PCF面积的最大值．
（3）如图3，连接CD，将（1）中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标．

6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；
（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．

7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．
（1）如图1，连接AC，BC．若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF⊥BC于点F，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK．当△PEF的周长最大时，求PH+HK+KG的最小值及点H的坐标．
（2）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记为D′，N为直线DQ上一点，连接点D′，C，N，△D′CN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．

10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；
②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．

11．如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中x1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；
（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

12．抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．

13．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当MQNQ=12时，求t的值；
（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．

14．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

15．如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数y=1x（x＞0）的图象与直线y＝kx+b交于点A（m，2）、B（4，n）．连接OA、OB．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）若点C是y轴上的点，当△AOC为等腰三角形时，请直接写出点C的坐标；
（3）求△AOB的面积．

16．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y=33x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．
（1）求线段AP长度的取值范围；
（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．
（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．

17．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，94），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，且S△PBDS△CBD=m，试确定满足条件的点P的个数．

18．如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

19．如图：一次函数y=-34x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y=-34x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP．
（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；
（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标．

20．已知一次函数y＝﹣3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C（3，0）．
（1）如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．
①求点E的坐标；
②△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；
（2）如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．


【压轴必刷】2022中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题13函数与等腰三角形综合问题
经典例题



【例1】．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当△ABC为等边三角形时，求a的值；
（3）直线l：y＝kx+b经过点A，并与抛物线交于另一点D（4，3），点P为直线l下方抛物线上一点，过点P分别作PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，记W＝PM+PN，求W的最大值．
【分析】（1）根据对称轴直线公式直接代入系数即可；
（2）若△ABC为等边三角形，则C点的纵坐标等于AB，即可求出a值；
（3）把D点代入解析式可求出抛物线解析式，A点坐标和D点坐标可确定直线解析式，设出P点坐标，分别用P点横坐标字母表示出PM和PN，利用二次函数性质求出最值即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0），
∴对称轴为直线x＝﹣＝2，
即对称轴为直线x＝2；
（2）当y＝0时，ax2﹣4ax+3a＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0），
当△ABC为等边三角形时，抛物线开口向上，
∴C点的横坐标为＝2，纵坐标为﹣AC•sin60°＝﹣AB•sin60°＝﹣AB＝×（3﹣1）＝﹣，
即C（2，﹣），
把C点坐标代入抛物线得﹣＝4a﹣8a+3a，
解得a＝；
（3）∵A（1，0），D（4，3）在直线y＝kx+b上，
∴，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x﹣1，
∵抛物线过点D（4，3），
∴3＝16a﹣16a+3a，
解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，
∵PM∥y轴交直线l于点M，PN∥x轴交直线l于点N，
∴设P点坐标为（m，m2﹣4m+3），M点坐标为（m，m﹣1），
∵点P与N的纵坐标相同，
∴m2﹣4m+3＝xN﹣1，
∴xN＝m2﹣4m+4，
∴PM＝yM﹣yP＝m﹣1﹣m2+4m﹣3＝﹣m2+5m﹣4，
PN＝xP﹣xN＝m﹣m2+4m﹣4＝﹣m2+5m﹣4，
∴W＝PM+PN＝﹣m2+5m﹣4﹣m2+5m﹣4＝﹣2（m﹣）2+，
∴当m＝时，W有最大值，最大值为．


【例2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与轴交于C（0，﹣1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AC，BC，过O点的直线l∥BC，点E，D分别为直线l和抛物线上的点，试探究第一象限是否存在这样的点E，D，使△BDE为等腰直角三角形？若存在，请求出所有的E点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当∠EBD为直角时，证明△BME≌△DNB（AAS），求出点D的坐标为（3+m，3﹣m），进而求解；当∠EDB为直角时，同理可解．
【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣1；

（2）存在，理由：
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣1，
∵l∥BC，且过点O，
则直线l的表达式为y＝x，故设点E的坐标为（m，m），
而点B的坐标为（3，0），
①当∠EBD为直角时，则BE＝BD，
分别过点E、D作x轴的垂线，垂足分别为M、N，

∵∠EBM+∠DBN＝90°，∠DBN+∠BDN＝90°，
∴∠EBM＝∠BDN，
又∵∠BME＝∠DNB＝90°，BE＝BD，
∴△BME≌△DNB（AAS），
∴BN＝EM＝m，DN＝BM＝3﹣m，
故点D的坐标为（3+m，3﹣m），
将点D的坐标代入抛物线表达式得：3﹣m＝（3+m）2﹣（3+m）﹣1，
解得m＝（负值已舍去），
故点E的坐标为（，）；
②当∠EDB为直角时，
当点D在点E的右侧时，如图2，

设点D的坐标为（x，y），
过点D作MN⊥x轴交x轴于点N，过点E作EM⊥MN于点M，
同理可得：△EMD≌△DNB（AAS），
则EM＝DN，MD＝BN，
即x﹣m＝y，m﹣y＝x﹣3，
解得，即点D的坐标为（，），
将点D的坐标代入抛物线表达式得：＝（）2﹣（）﹣1，
整理得：16m2+60m﹣297＝0，
解得：m＝（负值已舍去），
故点E的坐标为（，）；
当点D在点E的左侧时，如图3，
过点D作MN∥x轴，过点E作EN⊥MN于点N，作BM⊥MN于点M，

同理可得，点D的坐标为（，），
将点D的坐标代入抛物线表达式并整理得：4m2﹣60m+27＝0，
解得m＝（不合题意的值已舍去），
故点E的坐标为（，）；
③当点∠DEB为直角时，如图4，

过点E作MN⊥x轴于点N，过点D作DM⊥MN于点M，
同理可得，点D的坐标为（m，﹣3），
将点D的坐标代入抛物线表达式并整理得：2m2﹣24m+27＝0，
解得m＝（不合题意的值已舍去），
故点E的坐标为（，）；
综上，点E的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求b、c的值．
（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；
（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），
则 ，
解得：；
（2）由（1）得：抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），A（3，0），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
由点P的运动可知：AP＝t，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图，

∴AH＝PH＝＝t，即H（3﹣t，0），
又Q（﹣1+t，0），
∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ
＝
＝
＝（t﹣2）2+4，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
AC＝，AB＝4，
∴0≤t≤3，
∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4；
（3）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点，
如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP．
∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，
∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°，
∴∠PMF＝∠QPE，
在△PFM和△QEP中，
，
∴△PFM≌△QEP（AAS），
∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，
∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t，
又OE＝3﹣t，
∴点M的坐标为（3﹣2t，4﹣t），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，
∴4﹣t＝﹣（3﹣2t）2+2（3﹣2t）+3，
解得：t＝或（舍），
∴M点的坐标为（，）．

【例4】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，进而求解；
（3）当∠DQE＝2∠ODQ，则∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，进而求出点E的坐标为（5，4），再分BE＝BF、BE＝EF、BF＝EF三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4①；

（2）对于y＝x2﹣5x+4，令y＝x2﹣5x+4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，
故点B的坐标为（4，0），点C（0，4），
设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
设点P的坐标为（x，﹣x+4），则点Q的坐标为（x，x2﹣5x+4），
则PQ＝（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）＝﹣x2+4x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，
此时点Q的坐标为（2，﹣2）；
∵PQ＝CO，PQ∥OC，
故四边形OCPQ为平行四边形；

（3）∵D是OC的中点，则点D（0，2），
由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x+2，
过点Q作QH⊥x轴于点H，
则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，
而∠DQE＝2∠ODQ．
∴∠HQA＝∠HQE，
则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，

故设直线QE的表达式为y＝2x+r，
将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，
故直线QE的表达式为y＝2x﹣6②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点E的坐标为（5，4），
设点F的坐标为（0，m），
由点B、E的坐标得：BE2＝（5﹣4）2+（4﹣0）2＝17，
同理可得，当BE＝BF时，即16+m2＝17，解得m＝±1；
当BE＝EF时，即25+（m﹣4）2＝17，方程无解；
当BF＝EF时，即16+m2＝25+（m﹣4）2，解得m＝；
故点F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．
【例5】如图1，平面直角坐标系xOy中，A（4，3），反比例函数y=kx（k＞0）的图象分别交矩形ABOC的两边AC，AB于E、F两点（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC折叠使A、D两点重合．
（1）AE＝　4-k3　（用含有k的代数式表示）；
（2）如图2，当点D恰好落在矩形ABOC的对角线BC上时，求CE的长度；
（3）若折叠后，△ABD是等腰三角形，求此时点D的坐标．

【分析】（1）根据点A的坐标可得点E的纵坐标为3，所以得CE=k3，从而得AE的长；
（2）如图2中，连接AD交EF于M，想办法证明△AEF∽△ACB，推出EF∥BC，再利用平行线的性质和等腰三角形的判定证明AE＝EC＝2即可；
（3）分三种情况讨论：①AD＝BD，②AD＝AB，③AB＝BD，分别计算DN和BN的长确定点D的坐标即可解答．
【解答】解：（1）∵四边形ABOC是矩形，且A（4，3），
∴AC＝4，OC＝3，
∵点E在反比例函数y=kx上，
∴E（k3，3），
∴CE=k3，
∴AE＝4-k3；
故答案为：4-k3；
（2）如图2，∵A（4，3），
∴AC＝4，AB＝3，
∴ACAB=43，
∴点F在y=kx上，
∴F（4，k4），
∴AEAF=4-k33-k4=43，
∴AEAF=ACAB=43，
∵∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴∠AEF＝∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠FED＝∠CDE，
连接AD交EF于M点，

∴△AEF≌△DEF，
∴∠AEM＝∠DEM，AE＝DE，
∴∠FED＝∠CDE＝∠AEF＝∠ACB，
∴CE＝DE＝AE=12AC＝2；
（3）过D点作DN⊥AB，
①当BD＝AD时，如图3，有∠AND＝90°，AN＝BN=12AB=32，

∴∠DAN+∠ADN＝90°，
∵∠DAN+∠AFM＝90°，
∴∠ADN＝∠AFM，
∴tan∠ADN＝tan∠AFM=AEAF=43，
∴ANDN=43，
∵AN=32，
∴DN=98，
∴D（4-98，32），即D（238，32）；
②当AB＝AD＝3时，如图4，

在Rt△ADN中，sin∠ADN＝sin∠AFM=AEAF=43，
∴ANAD=45，
∴AN=45AD=45×3=125，
∴BN＝3﹣AN＝3-125=35，
∵DN=34AN=34×125=95，
∴D（4-95，35），即D（115，35）；
③当AB＝BD时，△AEF≌△DEF，
∴DF＝AF，
∴DF+BF＝AF+BF，即DF+BF＝AB，
∴DF+BF＝BD，
此时D、F、B三点共线且F点与B点重合，不符合题意舍去，
∴AB≠BD，
综上所述，所求D点坐标为（238，32）或（115，35）．
培优训练


1．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．
（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由；
（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；
（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A，C两点坐标代入抛物线的解析式，转化为解方程组，即可解决问题．
（2）求出AB，AD，BD，利用勾股定理的逆定理判断即可．
（3）利用矩形的性质以及平行线分线段成比例定理证明BE＝AE，BG＝GD，即可解决问题．
（4）如图2中，设EF的中点为K，P（x，y），连接PK．求直线PH的解析式，想办法构建方程求出点P的纵坐标y即可解决问题．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），点C（0，﹣4），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4．

（2）△ABD是直角三角形，理由：
∵B（﹣2，m）在y＝x2﹣x﹣4，
∴B（﹣2，﹣1），
∴直线OB的解析式为y＝x，
由，解得（即点B）或，
∴D（8，4），
∵A（4，﹣4），
∴AB＝＝3，AD＝＝4，BD＝＝5，
∴BD2＝AB2+AD2，
∴∠BAD＝90°，
∴△ABD是直角三角形．

（3）结论AG＝BD．
理由：如图1中，连接AG，交EF于H．

∵四边形AEGF是矩形，
∴AH＝HG，EH＝FH，
∵EF∥BD，
∴＝＝1，
∴AE＝BE，
∴E（1，﹣），
∵＝＝，EH＝FH，
∴BG＝GD，
∵∠BAD＝90°，
∴AG＝BD．

（4）如图2中，设EF的中点为K，P（x，y），连接PK．

∵E（1，﹣），F（6，0），
∴K（，﹣），EF＝＝，
∵∠EPF＝90°，
∴点P在以EF为直径的⊙K上运动，
∵△PQH是等腰直角三角形，∠PQH＝90°，
∴∠QHP＝45°，
∵抛物线的顶点H（2，﹣5），
∴直线PH的解析式为y＝x﹣7，
∵PK＝EF，
∴（x﹣）2+（y+）2＝（）2，
（y+7﹣）2+（y+）2＝（）2，
解得y＝﹣4或﹣，
∴Q（2，﹣4）或（2，﹣）．
2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可；
（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON•xM，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；

（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），
由点A、C、D的坐标得，AC＝＝，同理可得：AD＝，CD＝，
①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；
②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；
故点D的坐标为（1，1）或（1，）；

（3）∵E（m，0），则设点M（m，﹣m2+2m+3），
设直线BM的表达式为y＝sx+t，则，解得，
故直线BM的表达式为y＝（﹣m﹣1）x+3m+3，
当x＝0时，y＝3m+3，故点N（0，3m+3），则ON＝3m+3；
S1＝AE×yM＝×（m+1）×（﹣m2+2m+3），
2S2＝ON•xM＝（3m+3）×m＝S1＝×（m+1）×（﹣m2+2m+3），
解得m＝﹣2±或﹣1（舍去负值），
故m＝﹣2．
3．如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．
（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．

【分析】（1）将点C坐标代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（2）分三种情况：直接利用等腰三角形的性质，即可得出结论；
（3）先判断出△PQE≌△P'Q'E（AAS），得出PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，进而得出P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m+2，确定出点P'（n﹣2，2+m），将点P'的坐标代入直线AD的解析式中，和点P代入抛物线解析式中，联立方程组，求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），
∴2＝a（0+6）（0﹣2），
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣（x+2）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；
针对于抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2），
令y＝0，则﹣（x+6）（x﹣2）＝0，
∴x＝2或x＝﹣6，
∴A（﹣6，0）；

（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x＝﹣2，
∴E（﹣2，0），
∵C（0，2），
∴OC＝OE＝2，
∴CE＝OC＝2，∠CED＝45°，
∵△CME是等腰三角形，
∴①当ME＝MC时，
∴∠ECM＝∠CED＝45°，
∴∠CME＝90°，
∴M（﹣2，2），
②当CE＝CM时，
∴MM1＝CM＝2，
∴EM1＝4，
∴M1（﹣2，4），
③当EM＝CE时，
∴EM2＝EM3＝2，
∴M2（﹣2，﹣2），M3（﹣2，2），
即满足条件的点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；

（3）如图2，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣（x+2）2+，
∴D（﹣2，），
令y＝0，则（x+6）（x﹣2）＝0，
∴x＝﹣6或x＝2，
∴点A（﹣6，0），
∴直线AD的解析式为y＝x+4，
过点P作PQ⊥x轴于Q，过点P'作P'Q'⊥DE于Q'，
∴∠EQ'P'＝∠EQP＝90°，
由（2）知，∠CED＝∠CEB＝45°，
由折叠知，EP'＝EP，∠CEP'＝∠CEP，
∴△PQE≌△P'Q'E（AAS），
∴PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，
设点P（m，n），
∴OQ＝m，PQ＝n，
∴P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m+2，
∴点P'（n﹣2，2+m），
∵点P'在直线AD上，
∴2+m＝（n﹣2）+4①，
∵点P在抛物线上，
∴n＝﹣（m+6）（m﹣2）②，
联立①②解得，m＝或m＝，
即点P的横坐标为或．


4．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x﹣）2+与x轴交于点A（﹣，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线F1的表达式；
（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．
①求点D的坐标；
②判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把点A（﹣，0）代入抛物线F1：y＝a（x﹣）2+中，求出a的值，即可求解；
（2）①由平移的原则：左加，右减，上加，下减，可得抛物线F2的解析式，与抛物线F1联立方程组，解出可得点D的坐标；
②根据两点的距离公式和勾股定理的逆定理可得：△BDC是等腰直角三角形；
（3）设P[m，﹣]，根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解出m的值，并确认两直角边是否相等，可得符合条件的点P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣，0）代入抛物线F1：y＝a（x﹣）2+中得：
0＝a（﹣﹣）2+，
解得：a＝﹣，
∴抛物线F1：y＝﹣（x﹣）2+；
（2）①由平移得：抛物线F2：y＝﹣（x﹣+1）2+﹣3，
∴y＝﹣（x+）2+，
∴﹣（x+）2+＝﹣（x﹣）2+，
﹣x＝，
解得：x＝﹣1，
∴D（﹣1，1）；
②当x＝0时，y＝﹣＝4，
∴C（0，4），
当y＝0时，﹣（x﹣）2+＝0，
解得：x＝﹣或2，
∴B（2，0），
∵D（﹣1，1），
∴BD2＝（2+1）2+（1﹣0）2＝10，
CD2＝（0+1）2+（4﹣1）2＝10，
BC2＝22+42＝20，
∴BD2+CD2＝BC2且BD＝CD，
∴△BDC是等腰直角三角形；
（3）存在，
设P（m，﹣），
∵B（2，0），D（﹣1，1），
∴BD2＝（2+1）2+12＝10，，，
分三种情况：
①当∠DBP＝90°时，BD2+PB2＝PD2，
即10+（m﹣2）2+[﹣]2＝（m+1）2+[﹣（m+）2+﹣1]2，
解得：m＝﹣4或1，
当m＝﹣4时，BD＝，PB＝＝6，即△BDP不是等腰直角三角形，不符合题意，
当m＝1时，BD＝，PB＝＝，
∴BD＝PB，即△BDP是等腰直角三角形，符合题意，
∴P（1，﹣3）；
②当∠BDP＝90°时，BD2+PD2＝PB2，
即10+（m+1）2+[﹣（m+）2+﹣1]2＝（m﹣2）2+[﹣]2，
解得：m＝﹣1（舍）或﹣2，
当m＝﹣2时，BD＝，PD＝＝，
∴BD＝PD，即此时△BDP为等腰直角三角形，
∴P（﹣2，﹣2）；
③当∠BPD＝90°时，且BP＝DP，有BD2＝PD2+PB2，如图3，

当△BDP为等腰直角三角形时，点P1和P2不在抛物线上，此种情况不存在这样的点P；
综上，点P的坐标是（1，﹣3）或（﹣2，﹣2）．
5．如图，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求直线CE的解析式．
（2）如图2，P为直线CE下方抛物线上一动点，直线CE与x轴交于点F，连接PF，PC．当△PCF的面积最大时，求点P的坐标及△PCF面积的最大值．
（3）如图3，连接CD，将（1）中抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点H，在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形？若存在，求出点G的坐标．

【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y＝（x+1）（x﹣3），从而可得点A和点B的坐标，然后再求出点C和点E的坐标，设直线CE的解析式为y＝kx+b，将点C和点E的坐标代入求得k和b的值，即可得出CE的解析式；
（2）由直线CE的解析式可求出点F的坐标；过点P作x轴的垂线，交CE于点M，设点P的横坐标为m，表达出点P和点M的坐标，利用铅垂法表达△PCF的面积，再利用二次函数的性质求出△PCF的最大值及点P的坐标；
（3）由平移后的抛物线经过点D，可得点H的坐标，点Q的坐标；分DQ＝DG，QD＝QG，GD＝GQ三种情况结合背景图形，解直角三角形即可得到点G的坐标．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝﹣；令y＝0，则y＝（x+1）（x﹣3）＝0，则x＝﹣1或x＝3；
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣），
经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），
∴a＝×42﹣×4﹣，即a＝，
∴E（4，），
设直线CE的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线CE的解析式为：y＝x﹣；
（2）∵直线CE与x轴交于点F，
∴F（，0），
如图，过点P作x轴的垂线，交CE于点M，

设点P的横坐标为m，
∴P（m，m2﹣m﹣），M（m，m﹣），
∴MP＝m﹣﹣（m2﹣m﹣）＝﹣m2+m，
∴S△PCF＝（xF﹣xC）•MP＝××（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+，
∴当m＝2时，S△PCF的最大值为，此时P（2，﹣）．
（3）在直线QH上是否存在点G，使得△DQG为等腰三角形，理由如下：
∵抛物线y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣，
∴D（1，0），Q（1，﹣），
∴DQ＝，tan∠OCD＝，
∴∠OCD＝30°，
抛物线沿射线CD平移得到新抛物线y′，y′经过点D，如图，
则y′的顶点为点H（2，﹣），∠DQH＝∠OCD＝30°，
∴直线QH的解析式为y＝x﹣．
①当DG1＝DQ＝时，如图所示，过点G1作G1I⊥DQ于点I，

此时∠G1DI＝60°，
∴DI＝DG1＝，G1I＝DI＝2，
∴G1（3，）；
②当QG1＝QD＝时，如图所示，过点G2作G2T⊥DQ于点T，过点G3作G3S⊥DQ于点S，

∴G2T＝QG2＝，TQ＝G2T＝2，
∴G2（1+，2﹣）；
同理可得，G3S＝，SQ＝2，
∴G3（1﹣，﹣2﹣）；
③当GD＝GQ时，如图所示，此时点G4为DQ的中垂线与直线QH的交点，

∴G4的纵坐标为﹣，
∴G4（，﹣）；
综上，点G的坐标为：（3，）；（1+，2﹣）；（1﹣，﹣2﹣）；（，﹣）．
6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣5，0）和点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PG⊥y轴，交抛物线于点G，过点G作GF⊥x轴于点F，当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；
（3）如图2，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN＝∠DBA，MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝﹣（x+5）（x﹣1），即可求解；
（2）PE＝﹣m2﹣m+，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，矩形PEFG的周长＝2（PE+PG），即可求解；
（3）分MN＝DM、NM＝DN、DN＝DM，三种情况分别求解．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝﹣（x+5）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+，
则点D（﹣2，4）；
（2）设点P（m，﹣m2﹣m+），
则PE＝﹣m2﹣m+，PG＝2（﹣2﹣m）＝﹣4﹣2m，
矩形PEFG的周长＝2（PE+PG）＝2（﹣m2﹣m+﹣4﹣2m）＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，故当m＝﹣时，矩形PEFG周长最大，
此时，点P的横坐标为﹣；
（3）∵∠DMN＝∠DBA，
∠BMD+∠BDM＝180°﹣∠DBA，
∠NMA+∠DMB＝180°﹣∠DMN，
∴∠NMA＝∠MDB，
∴△BDM∽△AMN，，
而AB＝6，AD＝BD＝5，
①当MN＝DM时，
∴△BDM≌△AMN，
即：AM＝BD＝5，则AN＝MB＝1；
②当NM＝DN时，
则∠NDM＝∠NMD，
∴△AMD∽△ADB，
∴AD2＝AB×AM，即：25＝6×AM，则AM＝，
而，即＝，
解得：AN＝；
③当DN＝DM时，
∵∠DNM＞∠DAB，而∠DAB＝∠DMN，
∴∠DNM＞∠DMN，
∴DN≠DM；
故AN＝1或．
7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）点A（2，0）、点B（﹣4，0），则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），即可求解；
（2）PE＝OD，则PE＝（x2+x﹣2﹣x+2）＝（﹣x），求得：点D（﹣5，0），利用S△PBE＝PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x），即可求解；
（3）BD＝1＝BM，则yM＝﹣BMsin∠ABC＝﹣1×＝﹣，即可求解．
【解答】解：（1）点A的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，则点B（﹣4，0），
则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），
即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；
（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x﹣2，则tan∠ABC＝，则sin∠ABC＝，
设点D（x，0），则点P（x，x2+x﹣2），点E（x，﹣x﹣2），
∵PE＝OD，
∴PE＝（x2+x﹣2+x+2）＝（﹣x），
解得：x＝0或﹣5（舍去x＝0），
即点D（﹣5，0）
S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2+x+2）（﹣4﹣x）＝；

（3）由题意得：△BDM是以BD为腰的等腰三角形，

①当BD＝BM时，过点M作MH⊥x轴于点H，
BD＝1＝BM，
则MH＝yM＝BMsin∠ABC＝1×＝，
则xM＝﹣，
故点M（﹣，）；
②如图，

当BD＝DM时，过点D作DH⊥BC于H，∴BM＝2BH，
在Rt△BHD中，BH＝BDcos∠ABC＝，
∴BM＝，
过点M作MG⊥x轴于G，MG＝BM•sin∠ABC＝，
BG＝BM•cos∠ABC＝，
∴OG＝+4＝
点M（﹣，）；
故点M坐标为（﹣，）或（﹣，）．
8．如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，即可求解；
（2）分OA＝AB、OA＝OB两种情况，求解即可；
（3）求出m＝﹣k2﹣k，在△AHM中，tanα＝＝＝k+＝tan∠BEC＝＝k+2，即可求解．
【解答】解：（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，
解得：x＝1和2，
故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；
（2）OA＝＝，
①当OA＝AB时，
即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；
②当OA＝OB时，
4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；
故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；
（3）存在，理由：
①当点B在x轴上方时，
过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，
过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，

图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，
设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，
则AN＝AH＝﹣k，AB＝，NB＝AB﹣AN，
由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，
即：（1﹣m）2＝m2+（+k）2，
解得：m＝﹣k2﹣k，
在△AHM中，tanα＝＝＝k+＝tan∠BEC＝＝k+2，
解得：k＝，
此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，
故k＝﹣；
②当点B在x轴下方时，
同理可得：tanα＝＝＝k+＝tan∠BEC＝＝﹣（k+2），
解得：k＝或，
此时k+2＜0，k＜﹣2，故舍去，
故k的值为：﹣或．
9．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点Q．
（1）如图1，连接AC，BC．若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF⊥BC于点F，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H，K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH，HK．当△PEF的周长最大时，求PH+HK+KG的最小值及点H的坐标．
（2）如图2，将抛物线沿射线AC方向平移，当抛物线经过原点O时停止平移，此时抛物线顶点记为D′，N为直线DQ上一点，连接点D′，C，N，△D′CN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．

【分析】（1）首先证明△PEF∽△BCO，推出当PE最大时，△PEF的周长最大，构建二次函数，求出PE最大时，点P的坐标，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，作PM⊥直线l于M，KM′⊥直线l于M′，则PH+HK+KG＝PH+HK+KM′≥PM，求出PM即可解决问题．
（2）首先利用待定系数法求出点D′坐标，设N（1，n），∵C（0，2），D′（5，），则NC2＝1+（n﹣2）2，D′C2＝52+（﹣2）2，D′N2＝（5﹣1）2+（﹣n）2，分三种情形分别构建方程求出n的值即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，

对于抛物线y＝﹣x2+x+2，令x＝0，得到y＝2，
令y＝0，得到﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣2或4，
∴C（0，2），A（﹣2，0），B（4，0），
抛物线顶点D坐标（1，），
∵PF⊥BC，
∴∠PFE＝∠BOC＝90°，
∵PE∥OC，
∴∠PEF＝∠BCO，
∴△PEF∽△BCO，
∴当PE最大时，△PEF的周长最大，
∵B（4，0），C（0，2），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P（m，﹣m2+m+2），则E（m，﹣m+2），
∴PE＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m，
∴当m＝2时，PE有最大值，
∴P（2，2），
如图，将直线GO绕点G逆时针旋转60°，得到直线l，
作PM⊥直线l于M，KM′⊥直线l于M′，则PH+HK+KG＝PH+HK+KM′≥PM，
∵P（2，2），
∴∠POB＝60°，
∵∠MOG＝30°，
∴∠MOG+∠BOC+∠POB＝180°，
∴P，O，M共线，
∵BG∥AC，
∴OA：OB＝OC：OG，
∴OG＝4，
∴OM＝OG•sin60°＝6，
∵PO＝＝4，
∴PM＝10，
∴PH+HK+KG的最小值为10，此时H（1，）．

（2）∵A（﹣2，0），C（0，2），
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
∵DD′∥AC，D（1，），
∴直线DD′的解析式为y＝x+，
设D′（m，m+），则平移后抛物线的解析式为y1＝﹣（x﹣m）2+m+，
将（0，0）代入可得m＝5或﹣1（舍弃），
∴D′（5，），
设N（1，n），∵C（0，2），D′（5，），
∴NC2＝1+（n﹣2）2，D′C2＝52+（﹣2）2，D′N2＝（5﹣1）2+（﹣n）2，
①当NC＝CD′时，1+（n﹣2）2＝52+（﹣2）2，
解得：n＝

②当NC＝D′N时，1+（n﹣2）2＝（5﹣1）2+（﹣n）2，
解得：n＝

③当D′C＝D′N时，52+（﹣2）2＝（5﹣1）2+（﹣n）2，
解得：n＝，
综上所述，满足条件的点N的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）或（1，）．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．
①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；
②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．

【分析】（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式，即可求解；
（2）①过点D作y轴的平行线交OB于点H，△BOD面积＝×DH×xB，即可求解；
②分OP＝PC、OP＝OC、PC＝OC三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，
故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），
设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；

（2）将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣，故点C（0，﹣），
同理可得：直线OP的表达式为：y＝﹣x；

①过点D作y轴的平行线交OB于点H，
设点D（x，﹣x2+x），则点H（x，﹣x），
△BOD面积＝×DH×xB＝×3（﹣x2+x+x）＝﹣x2+x，
∵，故△BOD面积有最大值为：，此时x＝，
故点D（，﹣）；
②当OP＝PC时，
则点P在OC的中垂线上，故yP＝﹣，则点P（，﹣）；
当OP＝OC时，
t2+t2＝（）2，解得：t＝（舍去负值），
故点P（，﹣）；
当PC＝OC时，同理可得：点P（，﹣）；
综上，点P（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．
11．如图，开口向上的抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且AC⊥BC，其中x1，x2是方程x2+3x﹣4＝0的两个根．
（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；
（2）垂直于线段BC的直线l交x轴于点D，交线段BC于点E，连接CD，求△CDE的面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PDE是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由x2+3x﹣4＝0得A（﹣4，0），B（1，0），根据△AOC∽△COB，可求C（0，﹣2），从而由待定系数法可得抛物线解析式为y＝x2+x﹣2；
（2）由A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）可得AB＝5，BC＝，AC＝2，根据△ABC∽△DBE，设D（t，0），即得DE＝（1﹣t），BE＝（1﹣t），故S△BDE＝DE•BE＝（1﹣t）2，S△CDE＝S△BDC﹣S△BDE＝﹣（t+）2+，即得S△CDE最大为，D（﹣，0）；
（3）由y＝x2+x﹣2得抛物线对称轴为直线x＝﹣，D在对称轴上，DE＝×[1﹣（﹣）]＝，当DE＝DP时，即得P（﹣，）或（﹣，﹣），当DE＝PE时，过E作EH⊥x轴于H，由△DHE∽△DEB，可得E（，﹣1），而E在DP的垂直平分线上，故P（﹣，﹣2），当PD＝PE时，设P（﹣，m），可得m2＝（﹣﹣）2+（m+1）2，解得P（﹣，﹣）．
【解答】解：（1）由x2+3x﹣4＝0得x1＝﹣4，x2＝1，
∴A（﹣4，0），B（1，0），
∴OA＝4，OB＝1，
∵AC⊥BC，
∴∠ACO＝90°﹣∠BCO＝∠OBC，
∵∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴＝，即＝，
∴OC＝2，
∴C（0，﹣2），
设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），
将C（0，﹣2）代入得﹣2＝﹣4a，
∴a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x+4）（x﹣1）＝x2+x﹣2；
（2）如图：

由A（﹣4，0），B（1，0），C（0，﹣2）得：AB＝5，BC＝，AC＝2，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△ABC∽△DBE，
∴＝＝，
设D（t，0），则BD＝1﹣t，
∴＝＝，
∴DE＝（1﹣t），BE＝（1﹣t），
∴S△BDE＝DE•BE＝（1﹣t）2，
而S△BDC＝BD•OC＝（1﹣t）×2＝1﹣t，
∴S△CDE＝S△BDC﹣S△BDE＝1﹣t﹣（1﹣t）2＝﹣t2﹣t+＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴t＝﹣时，S△CDE最大为，
此时D（﹣，0）；
（3）存在，
由y＝x2+x﹣2知抛物线对称轴为直线x＝﹣，
而D（﹣，0），
∴D在对称轴上，
由（2）得DE＝×[1﹣（﹣）]＝，
当DE＝DP时，如图：

∴DP＝，
∴P（﹣，）或（﹣，﹣），
当DE＝PE时，过E作EH⊥x轴于H，如图：

∵∠HDE＝∠EDB，∠DHE＝∠BED＝90°，
∴△DHE∽△DEB，
∴＝＝，即＝＝，
∴HE＝1，DH＝2，
∴E（，﹣1），
∵E在DP的垂直平分线上，
∴P（﹣，﹣2），
当PD＝PE时，如图：

设P（﹣，m），
则m2＝（﹣﹣）2+（m+1）2，
解得m＝﹣，
∴P（﹣，﹣），
综上所述，P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣2）或（﹣，﹣）．
12．抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），点B（3，0），顶点为C．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线上，连接CP并延长交x轴于点D，连接AC，若△DAC是以AC为底的等腰三角形，求点P的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E是线段AC上（与点A，C不重合）的动点，连接PE，作∠PEF＝∠CAB，边EF交x轴于点F，设点F的横坐标为m，求m的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法可以确定抛物线的解析式，利用配方法可得抛物线的顶点坐标；
（2）利用△DAC是以AC为底的等腰三角形，求出点D的坐标，利用待定系数法确定直线CD的解析式，再与抛物线解析式联立，解方程组即可得到点P的坐标；
（3）由（2）中的条件求得线段CP，AB的长；由已知判定出△EPC∽△FEA，得出比例式，设AF＝x，AE＝y，
利用比例式求得AF的最大值，即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：
，
解得：．
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点C（1，4）．
（2）设AC交y轴于点F，连接DF，过点C作CE⊥x轴于点E，如图，

∵A（﹣1，0），C（1，4），
∴OA＝1，OE＝1，CE＝4．
∴OA＝OE，AC＝＝2．
∵FO⊥AB，CE⊥AB，
∴FO∥CE，
∴OF＝CE＝2，F为AC的中点．
∵△DAC是以AC为底的等腰三角形，
∴DF⊥AC．
∵FO⊥AD，
∴△AFO∽△FDO．
∴．
∴．
∴OD＝4．
∴D（4，0）．
设直线CD的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得：．
∴直线CD的解析式为y＝﹣．
∴，
解得：，．
∴P（）．
（3）过点P作PH⊥AB于点H，如下图，

则OH＝，PH＝，
∵OD＝4，
∴HD＝OD﹣OH＝，
∴PD＝＝．
∴PC＝CD﹣PD＝5﹣＝．
由（2）知：AC＝2．
设AF＝x，AE＝y，则CE＝2﹣y．
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C．
∵∠CAB+∠AEF+∠AFE＝180°，
∠AEF+∠PEF+∠CEP＝180°，
又∵∠PEF＝∠CAB，
∴∠CEP＝∠AFE．
∴△CEP∽△AFE．
∴．
∴．
∴x＝﹣+y＝﹣+．
∴当y＝时，x即AF有最大值．
∵OA＝1，
∴OF的最大值为﹣1＝．
∵点F在线段AD上，
∴点F的横坐标m的取值范围为﹣1＜m≤．
13．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当MQNQ=12时，求t的值；
（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．

【分析】（1）求直线y＝﹣x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．
（2）根据点B、C坐标求得∠OBC＝45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角形，由PB=2t求得BE＝PE＝t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长．根据MP∥CN可证△MPQ∽△NCQ，故有MPNC=MQNQ=12，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值．
（3）因为不确定等腰△PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°，故有∠DMP＝90°，不合题意；②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°，进而得AE＝ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF进而得CF＝CD．用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长．把含t的式子代入CF＝CD，解方程即得到t的值．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4
∴C（0，4）
当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4
∴B（4，0）
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点
∴-16+4b+c=00+0+c=4 解得：b=3c=4
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4

（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵ME⊥x轴于点E，PB=2t
∴∠BEP＝90°
∴Rt△BEP中，sin∠PBE=PEPB=22
∴BE＝PE=22PB＝t
∴xM＝xP＝OE＝OB﹣BE＝4﹣t，yP＝PE＝t
∵点M在抛物线上
∴yM＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4＝﹣t2+5t
∴MP＝yM﹣yP＝﹣t2+4t
∵PN⊥y轴于点N
∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°
∴四边形ONPE是矩形
∴ON＝PE＝t
∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t
∵MP∥CN
∴△MPQ∽△NCQ
∴MPNC=MQNQ=12
∴-t2+4t4-t=12
解得：t1=12，t2＝4（点P不与点C重合，故舍去）
∴t的值为12

（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE
∴∠BPE＝∠PBE＝45°
∴∠MPD＝∠BPE＝45°
①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°
∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾
②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°
∵∠AEM＝90°
∴AE＝ME
∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4
∴A（﹣1，0）
∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t
∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t
∴5﹣t＝﹣t2+5t
解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）
③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM
如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G
∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF
∴CF＝CD
∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m
∴-a+m=0a(4-t)+m=-t2+5t 解得：a=tm=t
∴直线AM：y＝tx+t
∴F（0，t）
∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t
∵tx+t＝﹣x+4，解得：x=4-tt+1
∴DG＝xD=4-tt+1
∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°
∴CD=2DG=2(4-t)t+1
∴4﹣t=2(4-t)t+1
解得：t=2-1
综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t=2-1．

14．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？

【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；
（2）分AC＝AQ、AC＝CQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可；
（3）由PN＝PQsin∠PQN=22（-13m2+13m+4+m﹣4）即可求解．
【解答】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，
即：﹣12a＝4，解得：a=-13，
则抛物线的表达式为y=-13x2+13x+4；
（2）存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），
则AC=32+42=5，AB＝4﹣（﹣3）＝7，BC＝42，∠OBC＝∠OCB＝45°，
设BC的解析式为y＝kx+b，将点B、C的坐标代入解得：
4k+b=0b=4，解得k=-1b=4，
∴y＝﹣x+4…①，
设直线AC的解析式为y＝k′x+b′，则有-3k+b'=0b'=4，
解得k'=43b'=4
∴直线AC的表达式为：y=43x+4，
设线段AC的中点为K（-32，2），过点M与CA垂直，直线的表达式中的k值为-34，
同理可得过点K与直线AC垂直，直线的表达式为：y=-34x+78⋯②，
①当AC＝AQ时，如图1，

则AC＝AQ＝5，
设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4，
∵点Q在点B的左侧，
∴n＝3
故点Q（1，3）；
②当AC＝CQ时，如图1，
CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝42-5，
则QM＝MB=8-522，
故点Q（522，8-522）；
③当CQ＝AQ时，
联立①②并解得：x=252（舍去）；
故点Q的坐标为：Q（1，3）或（522，8-522）；
（3）设点P（m，-13m2+13m+4），则点Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
∴PN＝PQsin∠PQN=22（-13m2+13m+4+m﹣4）=-26（m﹣2）2+223，
∵-26＜0，∴PN有最大值，
当m＝2时，PN的最大值为：223．
15．如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数y=1x（x＞0）的图象与直线y＝kx+b交于点A（m，2）、B（4，n）．连接OA、OB．
（1）求直线y＝kx+b的解析式；
（2）若点C是y轴上的点，当△AOC为等腰三角形时，请直接写出点C的坐标；
（3）求△AOB的面积．

【分析】（1）先求出点A，B坐标，再代入直线解析式中，解方程组，即可得出结论；
（2）设点C（0，a），进而表示出OA2，OC2，AC2，再分三种情况，建立方程求解，即可得出结论；
（3）先求出点E坐标，最后用面积的和差，即可得出结论．
【解答】解：（1）将点A（m，2）、B（4，n）代入反比例函数y=1x中，得2=1m，n=14，
∴m=12，
将点A，B坐标代入y＝kx+b中，得12k+b=24k+b=14，
∴k=-12b=94，
∴直线的解析式为y=-12x+94；

（2）设点C的坐标为（0，a），
由（1）知，点A（12，2），
∴OA2＝（12）2+22=174，OC2＝a2，AC2＝（12）2+（2﹣a）2=14+（2﹣a）2，
∵△AOC为等腰三角形，
∴①当OA＝OC时，OA2＝OC2，
∴174=a2，
∴a＝±172，
∴C（0，-172）或（0，172），
②当OA＝AC时，OA2＝AC2，
∴174=14+（2﹣a）2，
∴a＝0（舍）或4，
∴C（0，4），
③当OC＝AC时，OC2＝AC2，a2=14+（2﹣a）2，
∴a=1716，
∴C（0，1716），
即满足条件的点C的坐标为（0，-172）或（0，172）或（0，4）或（0，1716）；

（3）如图，
过点A作AF⊥y 轴于F，过点B作BD⊥x 轴于D，两条垂线相交于E，
∵A（12，2），B（4，14），
∴F（0，2），D（4，0），
∴E（4，2），
∴S△OAB＝S矩形﹣S△AOF﹣S△BOD﹣S△ABE
＝4×2-12-12-12×（4-12）×（2-14）
=6316．

16．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y=33x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．
（1）求线段AP长度的取值范围；
（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．
（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．

【分析】（1）作AH⊥OP，由y=33x知：∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°，由三角函数得出AH的值即为AP的最小值；
（2）分点P在第三象限、点P在第一象限的线段OH上、点P在第一象限的线段OH的延长线上三种情况，用四点共圆求解；
（3）分OQ＝PQ、PO＝OQ、PQ＝OP三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1，作AH⊥OP，则AP≥AH，

∵点P在y=33x的图象上
∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°
∵A（0，2）
∴AH＝AO•sin60°=3
∴AP≥3
（2）
①当点P在第三象限时，如图2，

由∠QPA＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆，
∴∠PAQ＝∠POQ＝30°
②当点P在第一象限的线段OH上时，如图3
由∠QPA＝∠QOA＝90°可得Q、P、O、A四点共圆
∴∠PAQ+∠POQ＝180°，又此时∠POQ＝150°
∴∠PAQ＝180°﹣∠POQ＝30°
③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，
由∠QPA＝∠QOA＝90°可得∠APQ+∠AOQ＝180°
∴Q、P、O、A四点共圆
∴∠PAQ＝∠POQ＝30°
（3）设P（m，33m），则lAP：y=3m-63mx+2，
∵PQ⊥AP
∴kPQ=3m23-m
∴lPQ：y=3m23-m（x﹣m）+33m
∴Q（4m-233，0）
∴OP2=43m2，OQ2=169m2-1693m+43
PQ2=49m2-493m+43
①OP＝OQ时，则43m2=169m2-1693m+43
整理得：m2﹣43m+3＝0
解得m＝23±3
∴Q1（23+4，0），Q2（23-4，0）
②当PO＝PQ时，则43m2=49m2-493m+43
整理得：2m2+3m-3=0
解得：m=32或m=-3
当m=32时，Q点与O重合，舍去，
∴m=-3
∴Q3（﹣23，0）
③当QO＝QP时，
则169m2-1693m+43=49m2-493m+43
整理得：m2-3m=0
解得：m=3
∴Q4（233，0）
∴点Q的坐标为（23+4，0）或（23-4，0）或（﹣23，0）或（233，0）．
17．已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和C（0，94），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，且S△PBDS△CBD=m，试确定满足条件的点P的个数．

【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．
（2）可能．分三种情形①当DE＝DF时，②当DE＝EF时，③当DF＝EF时，分别求解即可．
（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，-316（n﹣2）2+3]，构建二次函数求出△PBD的面积的最大值，再根据对称性即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意：16a+c=04a+c=94，
解得a=-316c=3，
∴抛物线的解析式为y=-316（x﹣2）2+3，
∴顶点D坐标（2，3）．

（2）可能．如图1，

∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），
∴AB＝8，AD＝BD＝5，
①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，
∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．
②当DE＝EF时，
又∵△BEF∽△AED，
∴△BEF≌△AED，
∴BE＝AD＝5
③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，
△FDE∽△DAB，
∴EFBD=DEAB，
∴EFDE=BDAB=58，
∵△BEF∽△ADE
∴EBAD=EFDE=58，
∴EB=58AD=258，
答：当BE的长为5或258时，△CFE为等腰三角形．

（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，-316（n﹣2）2+3]，

则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH=12×4×[-316（n﹣2）2+3]+12×3×（n﹣2）-12×4×3=-38（n﹣4）2+32，
∵-38＜0，
∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为32，
∵S△PBDS△CBD=m，
∴当点P在BD的右侧时，m的最大值=3292=13，
观察图象可知：当0＜m＜13时，满足条件的点P的个数有4个，
当m=13时，满足条件的点P的个数有3个，
当m＞13时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．
18．如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．
（1）求A、B两点的横坐标；
（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；
（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，即可求解；
（2）分OA＝AB、OA＝OB两种情况，求解即可；
（3）求出m＝﹣k2﹣kk2+1，在△AHM中，tanα=HMAH=m-k=k+k2+1=tan∠BEC=BKEK=k+2，即可求解．
【解答】解：（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，
解得：x＝1和2，
故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；
（2）OA=22+1=5，
①当OA＝AB时，
即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；
②当OA＝OB时，
4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；
故k的值为：﹣1或﹣2或﹣3；
（3）存在，理由：
①当点B在x轴上方时，
过点B作BH⊥AE于点H，将△AHB的图形放大见右侧图形，
过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N，过点B作BK⊥x轴于点K，

图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AH＝﹣k，HB＝1，
设：HM＝m＝MN，则BM＝1﹣m，
则AN＝AH＝﹣k，AB=k2+1，NB＝AB﹣AN，
由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，
即：（1﹣m）2＝m2+（k2+1+k）2，
解得：m＝﹣k2﹣kk2+1，
在△AHM中，tanα=HMAH=m-k=k+k2+1=tan∠BEC=BKEK=k+2，
解得：k=±3，
此时k+2＞0，则﹣2＜k＜0，故：舍去正值，
故k=-3；
②当点B在x轴下方时，
同理可得：tanα=HMAH=m-k=k+k2+1=tan∠BEC=BKEK=-（k+2），
解得：k=-4-73或-4+73，
此时k+2＜0，k＜﹣2，故舍去-4+73，
故k的值为：-3或-4-73．
19．如图：一次函数y=-34x+3的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数y=-34x+3（0＜x＜4）图象上任意一点，过点P作PM⊥y轴于点M，连接OP．
（1）当AP为何值时，△OPM的面积最大？并求出最大值；
（2）当△BOP为等腰三角形时，试确定点P的坐标．

【分析】（1）先设出点P的坐标，进而得出点P的纵横坐标的关系，进而建立△OPM的面积与点P的横坐标的函数关系式，即可得出结论；
（2）分两种情况，利用等腰三角形的两边相等建立方程即可得出结论．
【解答】解：（1）令点P的坐标为P（x0，y0）
∵PM⊥y轴
∴S△OPM=12OM•PM=12⋅x0⋅y0
将y0=-34x0+3代入得S△OPM=12x0(-34x0+3)=-38（x﹣2）2+32
∴当x0＝2时，△OPM的面积，有最大值Smax=32，
即：PM＝2，
∴PM∥OB，
∴APAB=PMOB
即AP=AB⋅PMOB
∵直线AB分别交两坐标轴于点A、B，
∴A（0，3），B（4，0），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∴AP=52；

（2）①在△BOP中，当BO＝BP时
BP＝BO＝4，AP＝1
∵PM∥OB，
∴APAB=PMOB
∴MP=45，
将MP=45代入代入y=-34x+3中，得OM=125
∴P（45，125）；
②在△BOP中，当OP＝BP时，如图，
过点P作PN⊥OB于点N
∵OP＝BP，
∴ON=12OB=2
将ON＝2代入y=-34x+3中得，NP=32
∴点P的坐标为P（2，32），
即：点P的坐标为（45，125）或（2，32）．

20．已知一次函数y＝﹣3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C（3，0）．
（1）如图1，点D与点C关于y轴对称，点E在线段BC上且到两坐标轴的距离相等，连接DE，交y轴于点F．
①求点E的坐标；
②△AOB与△FOD是否全等，请说明理由；
（2）如图2，点G与点B关于x轴对称，点P在直线GC上，若△ABP是等腰三角形，直接写出点P的坐标．

【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质和中点坐标公式可求点E坐标；
②先求点F坐标，由“SAS”可证△AOB≌△FOD；
（2）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）①如图1，连接OE，过点E作EG⊥OC于点G，EH⊥OB于点H，

∵一次函数y＝﹣3x+3的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，
∴点A（1，0），点B（0，3），
∵点D与点C关于y轴对称，点C（3，0），
∴点D（﹣3，0），
∵EG⊥OC，EH⊥OB，
∴OE平分∠BOC，
又∵OB＝OC＝3，
∴OE＝BE＝EC，
∴点E（32，32）；
②△AOB≌△FOD，
理由如下：设直线DE解析式为y＝kx+b，
由题意可得：-3k+b=032k+b=32，
解得：k=13b=1，
∴直线DE解析式为y=13x+1，
∵点F是直线DE与y轴的交点，
∴F（0，1），
∴OF＝OA＝1，
又∵OB＝OD＝3，∠AOB＝∠FOD＝90°，
∴△AOB≌△FOD（SAS）；
（3）∵点G与点B关于x轴对称，点B（0，3），
∴点G（0，﹣3），
∵点G（0，﹣3），点C（3，0），
∴直线GC的解析式为y＝x﹣3，
∵点B（0，3），点A（1，0），
∴AB2＝1+9＝10，
设点P（a，a﹣3），
若AB＝AP时，则10＝（a﹣1）2+（a﹣3﹣0）2，
∴a＝0或4，
∴点P（0，﹣3）或（4，1）；
若AB＝PB时，则10＝（a﹣0）2+（a﹣3﹣3）2，
∴a2﹣6a+13＝0，
∵△＜0，
∴方程无解，
若AP＝BP时，则（a﹣1）2+（a﹣3﹣0）2＝（a﹣0）2+（a﹣3﹣3）2，
∴a=132，
∴点P（132，72），
综上所述：点P（0，﹣3）或（4，1）或（132，72）．