2020届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学（理）试题（解析版）

2020届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测考试数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解一元二次不等式可得集合B，利用交集定义求解即可.

【详解】

集合，

，

．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了集合的表示及集合的交集运算，属于基础题.

2．若（是虚数单位），则的共轭复数为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由复数除法法则计算出，再由共轭复数概念写出共轭复数．

【详解】

，∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．

3．已知向量，满足，，则（  ）

A．4 B．3 C．2 D．0

【答案】A

【解析】由向量数量积的运算法则计算．

【详解】

．

故选：A．

【点睛】

本题考查平面向量的数量积的运算法则，属于基础题．

4．已知，则的值为 (    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据诱导公式可化简已知条件得，再利用二倍角的正切公式求得结果.

【详解】

由题意得：   

本题正确选项：

【点睛】

本题考查利用二倍角的正切公式求值问题，关键是能够利用诱导公式化简已知条件，得到正切值.

5．函数的图象可能是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】首先判断函数的奇偶性，排除选项，再根据特殊区间时，判断选项.

【详解】

是偶函数，是奇函数，是奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A,B

，当时，，

，排除C.

故选：D .

【点睛】

本题考查根据函数解析式判断函数图象，一般从函数的定义域确定函数的位置，从函数的值域确定图象的上下位置，也可判断函数的奇偶性，排除图象，或是根据函数的单调性，特征值，以及函数值的正负，是否有极值点等函数性质判断选项.

6．在二项式的展开式中，的系数为（　　）

A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80

【答案】A

【解析】根据二项展开式的通项，可得，令，即可求得的系数，得到答案.

【详解】

由题意，二项式的展开式的通项为，

令，可得，

即展开式中的系数为，故选A.

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7．我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰．2019年，为响应党中央提出的“防治土地荒漠化 助力脱贫攻坚战”的号召，当地政府积极行动，计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10％．已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里，则2025年该地区的荒漠化土地面积（万平方公里）为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】得出n年后的沙漠化土地面积y关于n的函数，从而得出答案．

【详解】

设从2019年后的第n年的沙漠化土地面积为y，

则y＝7×（1﹣10%）n，

故2025年的沙漠化土地面积为7×0.96．

故选：C．

【点睛】

本题考查了指数增长模型的应用，属于基础题．

8．已知函数的部分图像如图所示，为了得到的图象，可将的图象（    ）

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

【答案】A

【解析】利用函数的图象求得的值，再利用左加右减的平移原则，得到向右平移个单位得的图象.

【详解】

因为，

所以.

因为，

所以，即，

因为，所以，

所以.

所以，

所以的图象向右平移个单位    可得的图象.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用函数的图象提取信息求的值、图象平移问题，考查数形结合思想的应用，求解时注意是由哪个函数平移到哪个函数，同时注意左右平移是针对自变量而言的.

9． 甲乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b| ≤ 1，则称甲乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】试题分析：从1，2，3三个数中任取两个则|a-b|≤1的情况有1，1；2，2；3，3；1，2；2，1；2，3；3，2；共7种情况，甲乙出现的结果共有3×3=9，故出他们”心有灵犀”的概率为.

【考点】主要考查了组合及古典概型的概率问题.

点评：P（A）=，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目．m表示事件A包含的试验基本结果数．

10．若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出，再求双曲线C的离心率得解.

【详解】

双曲线的渐近线方程为，

由对称性，不妨取，即．

又曲线化为，

则其圆心的坐标为，半径为．

由题得，圆心到直线的距离，

又由点到直线的距离公式．可得．

解得，所以．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.

11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（     ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】由题意女子每天织布数成等差数列，且，由于，且。所以，应选答案B。

12．定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，恒成立，则下列判断一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】构造函数，判断为偶函数，且在上单调递增，再计算函数值比较大小得到答案.

【详解】

构造函数，因为，所以

则，所以为偶数

当时，，所以在上单调递增，

所以有，则，即，即.

故选：

【点睛】

本题考查了函数的综合应用，构造函数判断其奇偶性和单调性是解题的关键.

二、填空题

13．直线是曲线的一条切线，则实数            。

【答案】

【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以。

14．在△ABC中，若b = 1，c =，，则a =        

【答案】1

【解析】【详解】

由正弦定理可得,即 ,故,,
.
再由 可得,解得 .
故答案为 1.

15．圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则该圆锥的体积为________.

【答案】.

【解析】依据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积．

【详解】

解：设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，．

圆锥的高．圆锥的体积．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了圆锥的侧面展开图，圆锥的结构特征，圆锥的体积计算，属于基础题．

16．已知圆关于直线对称，则的最小值为________．

【答案】.

【解析】由题意可得圆心在直线上，故有，即，再利用基本不等式求得的最大值．

【详解】

解：因为圆关于直线对称；

所以圆心在直线上，故有，即；

所以：；

（当且仅当时等号成立）

的最小值为．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．

三、解答题

17．已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意根据等差中项的性质可得，从而求出，，由此能求出数列的通项公式．

（2）推导出，由此利用等差数列前项和公式求出数列的前项和．

【详解】

（1）∵成等差数列，且数列是公比为2的等比数列，

∴，

∴

解得：，∴．

∴数列的通项公式为；

（2）∵，

∴．

【点睛】

本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前项和的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

18．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.

（1）设事件为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率；

（2）用表示抽取的4人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】（1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超几何分布求解即可

【详解】

（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.

所以.

（2）的可能取值为0,1,2,3，

，

，

，

，

的分布列为

.

【点睛】

本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题

19．如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面.

（1）证明：；

（2）若，，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】（1）由平面平面可得面，从而可得；

（2）建立空间直角坐标系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到结果.

【详解】

（1）依题意，面面，，

∵面，面面，

∴面.

又面，

∴.

（2）解法一：向量法

在中，取中点，∵，

∴，∴面，

以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，

设，∵，∴，

∴，，，，，

∴，，.

设面法向量为，

则，解得.

设直线与平面所成角为，

则，

因为，∴.

所以直线与平面所成角的余弦值为.

（2）解法二：几何法

过作交于点，则为中点，

过作的平行线，过作的平行线，交点为，连结，

过作交于点，连结，

连结，取中点，连结，，

四边形为矩形，所以面，所以，

又，所以面，

所以为线与面所成的角.

令，则，，，

由同一个三角形面积相等可得，

为直角三角形，由勾股定理可得，

所以，

又因为为锐角，所以，

所以直线与平面所成角的余弦值为.

【点睛】

空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

20．已知函数，.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）若实数为整数，且对任意的时，都有恒成立，求实数的最小值.

【答案】（Ⅰ）极大值为，无极小值；（Ⅱ）1.

【解析】(Ⅰ)由题意首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的符号讨论原函数的单调性，从而可确定函数的极值；

(Ⅱ)结合题意分离参数，然后构造新函数，研究构造的函数，结合零点存在定理找到隐零点的范围，最后利用函数值的范围即可确定整数m的最小值.

【详解】

(Ⅰ)设，

∴，

令，则；，则；

∴在上单调递增，上单调递减，

∴，无极小值.

(Ⅱ)由，即在上恒成立，

∴在上恒成立，

设，则，

显然，

设，则，故在上单调递减

由，，

由零点定理得，使得，即

且时，，则，

时，. 则

∴在上单调递增，在上单调递减

∴，

又由，，则

∴由恒成立，且为整数，可得的最小值为1.

【点睛】

本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，隐零点问题及其处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21．已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.

（1）求椭圆的方程；

（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.

【答案】(1) .

(2).

【解析】试题分析：（I）双曲线的焦点为，离心率为，对于椭圆来说，，由此求得和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得的一个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得一个等量关系，利用表示，进而用基本不等式求得的最大值.

试题解析：

（Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为.

因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）因为，所以直线的斜率存在.

因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.

代入椭圆方程得 .

因为 ，

所以.

设，，

根据根与系数的关系得，.

则 .

因为，即 .

整理得.

令，则.

所以 .

等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.

故的最大值为.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）设点，直线交曲线于两点，求的值.

【答案】（1）:,:（2）

【解析】（1）消去得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.

（2）将直线的参数方程代入，化简得到，利用韦达定理计算得到答案.

【详解】

（1）直线的参数方程为（其中为参数），消去可得；

由，得，则曲线的直角坐标方程为.

（2）将直线的参数方程代入，得，

设对应的参数分别为，则，

.

【点睛】

本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）函数化简为分段函数分别解不等式得到答案.

（2）题目等价于当时不等式恒成立，得到不等式，求的最小值得到答案.

【详解】

（1），由，解得，

故不等式的解集是；

（2）的解集包含，即当时不等式恒成立，

当时，，，即，

因为，所以，

令，，易知在上单调递增，

所以的最小值为，因此，即的取值范围为.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式，将题目等价于当时不等式恒成立是解题的关键.