陕西省汉中市2024届高三上学期教学质量第一次检测（一模）考试数学（理）试卷

这是一份陕西省汉中市2024届高三上学期教学质量第一次检测（一模）考试数学（理）试卷，共12页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

（命题学校：城固县第一中学）
本试卷共23小题，共150分，共4页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量，，若与共线且同向，则实数的值为（ ）
A.2 B.4 C.-2 D.-2或4
4.已知一平面截某旋转体，截得的几何体三视图如图，则该截得几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.将数据1，3，5，7，9这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（ ）A. B. C. D.
7.下列说法正确的是（ ）
A.“”是“”的充要条件
B.“，”是“”的必要不充分条件
C.命题“，”的否定形式是“，”
D.“”是“”的充分不必要条件
8.已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则（ ）
A.-4 B.4 C. D.
9.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
10.“欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴､音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则使得该函数单调递增的区间可以是（ ）
A. B. C. D.
11.如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形OCMN的面积等于8，则E的方程为（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知的展开式中含有项的系数是54，则______.
14.函数，则______.
15.已知中，，，，则的外接圆面积为______.
16.已知正三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，当正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）已知等差数列的前n项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前2n项和.
18.（12分）佩戴头盔是一项对家庭和社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：
（1）请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程，并估算该路口2023年不戴头盔的人数；
（2）交警统计2019~2022年通过该路口的骑电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表.能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？
参考公式：，
，其中.
19.（12分）如图，在斜三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧棱，顶点在平面ABC上的射影为BC边的中点O.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
20.（12分）已知椭圆经过点，点为椭圆C的右焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作两条斜率都存在且不为0的互相垂直的直线，，直线与椭圆相交于､两点，直线与椭圆相交于､两点，求四边形的面积S的最小值.
21.（12分）已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程的根为､，且，求证：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中曲线的参数方程为（为参数），M是上的动点，P点满足，P点的轨迹为曲线.
（1）求的参数方程；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，将曲线､的方程转化为极坐标方程后，求.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设函数，.
（1）当时，解不等式；
（2）若存在，使得成立，求a的取值范围.
汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试
数学（理科）参考答案
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.4 14.11 15. 16.
三､解答题：共70分.解答题写出文字说明､证明过程和演算步骤.第17~21题是必考题，每个考生都必须作答.第22､23题是选考题，考生根据情况作答.
（一）必考题：共60分.
17.解：（1）设公差为，依题意得，
解得，
所以.
（2）因为.
所以
.
18.解：
必过样本点
回归直线方程为
年不戴头盔的人数为：人.
（2）列联表如下：
有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.
19.（1）证明：因为是边长为4的正三角形边的中点，所以
因为顶点在平面上的射影为，所以平面.
因为平面平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.
因为是边长为4的正三角形，为边的中点，
所以
在直角三角形中，.
所以.
所以.
在三棱柱中，由可求得：.
同理求得：.
所以.
设为平面的一个法向量，为平面的一个法向量.
因为，即不妨设，则.
同理可求.
设为二面角的平面角，由图可知：为锐角，
所以.
即二面角的余弦值为
20，解：（1）由题意可得，解得，所以椭圆方程为.
（2）设直线的方程为，
联立
得：，
设，则
所以
同理可得，
则，
当且仅当，即时取等号.
所以四边形的面积的最小值为.
21.解：（1）因为，
所以定义域为，
所以在上单调递减，
即的单调递减区间为，无单调递增区间；
（2），
当时，当时
所以在上是单调递减，在上单调递增，则
当时，，所以，且，
当时，，所以，即，
设宦线与的交点的横坐标为，则，
下面证明当时，，
设
则
当时，，当时，
所以在上是减函数在上增函数，
又因为，所以当时，，
故当时，，
设直线与的交点的横坐标为则，
所以，得证.
（二）选考题：共10分.考生从22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.
22.（1）设，由于点满足，所以，
由于点在上，所以
整理得的参数方程（为参数）.
（2）曲线的参数方程转换为极坐标方程为，
曲线的参数方程转换为极坐标方程为，
直线转换为极坐标方程为.
所以，，解得，
同理，解得，
故
23.（1）当时，
或或
即或，或
故或.
（2）由题得：，
当时，恒成立；
当时，
可知，得；
当时，
同理，得.
综上，的取值范围为年度
2019
2020
2021
2022
年度序号x
1
2
3
4
不戴头盔人数y
1250
1050
1000
900
不戴头盔
戴头盔
伤亡
7
3
不伤亡
13
27
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
A
D
C
B
A
C
B
B
C
不戴头盔
戴头盔
总计
伤亡
7
3
10
不伤亡：
13
27
10
句总计
20
30
50