2020届陕西省兴平市高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题（解析版）

2020届陕西省兴平市高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先解不等式得集合A与B，再根据交集定义得结果.

【详解】

根据题意：集合，集合，

故选．

【点睛】

本题考查一元二次不等式与对数不等式解法以及交集的定义，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．若复数为纯虚数，则实数的值为(  )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】化简z为a+bi(a,b∈R)的形式利用纯虚数概念求解即可

【详解】

故 ，解

故选B

【点睛】

本题考查复数的运算及基本概念，准确计算是关键，是基础题

3．“”是“”的（   ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】D

【解析】利用充分必要条件的定义，举反例进行说明．

【详解】

当时，不一定满足tan，如，

当tan时，不一定有，如

∴“”是“tan”的既不充分也不必要条件

故选：D．

【点睛】

本题主要考查充分不必要条件的定义，以及正切函数的函数值，是一道基础题．

4．若函数，则（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先计算，然后再计算的值.

【详解】

,

.

故选A.

【点睛】

本题考查了分段函数求值，属于计算题型.

5．函数y＝的值域是( )

A．[0，＋∞) B．[0,3] C．[0,3) D．(0,3)

【答案】C

【解析】试题分析：，函数值域为[0，3）

【考点】函数值域

6．函数的图像为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由，得的图象关于原点对称，当时，得，对选项分析判断即可.

【详解】

由，得的图象关于原点对称，排除C,D.

当时，得，排除B.

故选A

【点睛】

本题考查了函数图像的识别，利用了函数的奇偶性等性质，属于基础题.

7．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【解析】将函数表示为，结合三角函数的变换规律可得出正确选项.

【详解】

，因此，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，故选：D.

【点睛】

本题考查三角函数的平移变换，解决三角函数平移变换需要注意以下两个问题：

（1）变换前后两个函数名称要保持一致；（2）平移变换指的是在自变量上变化了多少.

8．函数的一个单调递增区间是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可.

【详解】

函数的解析式即：，

其单调增区间满足：，

解得：，

令可得函数的一个单调递增区间为.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

9．在中，角对边分别是，满足，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】化简，再利用余弦定理即可求出的值，代入三角形面积公式即可。

【详解】

，，

又，由余弦定理可得：

，解得：，

由三角形面积公式可得

故答案选B。

【点睛】

本题考查余弦定理、三角形的面积公式，考查学生化简、变形的能力，属于中档题。

10．已知，，则（   ）

A． B． C． D．或

【答案】B

【解析】分析：先根据得到，再求最后求的值.

详解：由题得

所以，

所以

故答案为B

点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知求的隐含范围，其二是通过变角求的值，.

11．若，，，则实数，，的大小关系为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.

【详解】

，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.

【点睛】

本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.

12．定义在上的可导函数满足，且，当时，不等式的解集为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】构造函数，可得在定义域内上是增函数，且，进而根据转化成，进而可求得答案

【详解】

令，则，

在定义域上是增函数，且，

，

可转化成，得到

，又，可以得到

故选D

【点睛】

本题考查利用函数的单调性求取值范围，解题的难点在于如何合理的构造函数，属于中档题

二、填空题

13．命题“R，”的否定为_______

【答案】，

【解析】试题分析：本小题给出的命题是全称命题，它的否定是特称命题“，”.

【考点】本小题主要考查含有一个量词的命题的否定.

点评：对于此类问题，要主要特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题.

14．定积分_______.

【答案】

【解析】分析：根据定积分，找到被积分函数的原函数，即可求解.

详解：由.

点睛：本题主要考查了定积分的计算问题，其中解答中找到被积分函数的原函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

15．函数在处切线方程是______．

【答案】

【解析】求得函数的导数，求得，得到切线的斜率为，利用直线的点斜式方程，即可求解切线的方程.

【详解】

由题意，函数，则，则，即在处的切线的斜率为，

由直线的点斜式方程可得，切线的方程为，即.

【点睛】

本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义的应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

16．已知函数的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则___________.

【答案】

【解析】因为两条对称轴之间距离的最小值为4，可知函数周期，可求出，将函数的图象向右平移1个单位长度后，因为，利用周期可求出原式等于.

【详解】

依题意，，所以，故，，因为，所以.

【点睛】

本题主要考查了正弦型函数的周期性，函数图像的平移，利用周期求值，属于中档题.

三、解答题

17．命题关于的不等式命题函数 求实数的取值范围.

【答案】

【解析】容易求出命题p为真时，﹣2＜a＜2，而q为真时，a＜1．由p∨q为真，p∧q为假便可得到p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况的a的范围，再求并集即可得出实数a的取值范围．

【详解】

①若命题p为真，则：△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2；

②若命题q为真，则：3﹣2a＞1，∴a＜1；

∴p∨q为真，p∧q为假，则p真q假，或p假q真；

∴，或；

∴1≤a＜2，或a≤﹣2；

∴实数a的取值范围为．

【点睛】

“”，“”“”等形式命题真假的判断步骤：（1）确定命题的构成形式；（2）判断其中命题的真假；（3）确定“”，“”“”等形式命题的真假.

18．已知函数.

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求使得的的取值范围.

【答案】（1）最小正周期T=π，函数f（x）在上单调递增；（2）.

【解析】试题分析：（1）利用和与差以及二倍角公式，辅助角公式化简即可求函数 的最小正周期和单调减区间；
（2）根据三角函数平移变换的规律求解 的解析式，利用预先函数的性质可求使得的的取值范围.

试题解析：

（1）∵f（x）=-10sinxcosx + 10cos2 x=

=10sin+5.

∴所求函数f（x）的最小正周期T=π

所以函数f（x）在 上单调递增

（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到的图象

所以当

所以

所以

【点睛】本题考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键

19．已知函数为奇函数.

（1）判断的单调性并证明；

（2）解不等式.

【答案】(1)答案见解析；(2).

【解析】试题分析：

(1)函数为奇函数，则恒成立，据此得到关于实数a的恒等式，整理可得，函数的解析式为，利用导函数研究函数的单调性可得函数是单调递增函数；

(2)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f符号，求解对数型二次不等式可得原不等式的解集为.

试题解析：

（1）由已知，∴

∴，

∵，∴为单调递增函数.             

（2）∵，∴，而为奇函数，

∴

∵为单调递增函数，∴，

∴，

∴，

∴.

20．在中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求角的值；

（2）若，且的面积为，求边上的中线的大小.

【答案】(1)；(2).

【解析】试题分析：

（1）利用正弦定理边化角可得，整理计算可得，则，.

（2）由题意可得，， ，则.在中应用余弦定理有，据此计算可得.

试题解析：

（1）因为，

所以，

所以，

所以，.

又因为，

所以，又因为，且，所以.

（2）据（1）求解知.若，则 .

所以，（舍）

又在中，，

所以 .

所以.

21．已知函数将的图象向右平移两个单位，得到函数的图象.

（1）求函数的解析式；

（2）若方程在上有且仅有一个实根，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】(1)借助平移的知识可以直接求出函数解析式

（2）先换元将问题转化为有且只有一个根，再运用函数方程思想建立不等式组分析求解。

【详解】

（1）

（2）设，则，原方程可化为，于是只须在上有且仅有一个实根.

法1：设，对称轴，则①.或②

由①得，即，.

由②得无解，则.

法2：由，，因为a=0时，，，设，则，.

记，则在上是单调递增函数，因为要使题设成立，只须.即.从而.

【点睛】

在解答指数函数的综合题目时可以采用换元法，转化为一元二次函数的问题，注意根据题目要求需要进行必要的分类讨论.

22．已知函数；.

（1）判断在上的单调性，并说明理由；

（2）求的极值；

（3）当时，，求实数的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）极小值.（3）

【解析】（1）求导数，根据导函数符号确定单调性，（2）利用导数研究导函数单调性，根据单调性确定导函数符号变化规律，即得函数极值，（3）先根据特殊值得，再由（1）得，结合得,因此，最后利用（2）证明满足条件.

【详解】

解：（1）∵，

则.

当时，，，得，

∴在上单调递减.

（2）∵，

则，

令，则.

∴即在上单调递增.

又，

∴当时，，当时，.

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴有极小值.

（3）令，

即对成立.

①时，与矛盾，不成立.

②时，当时，

令，则，

∴在上单调递增，

又，∴，即.

由（2）知.

当时，，而，等号不同时成立，

∴.

③时，若，则，

即，

由（1）知，

即.

∴，

∴不成立.

综上，的取值范围为.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性与函数极值以及不等式恒成立，考查综合分析求解能力，属难题.