高中一 二维形式的柯西不等式同步练习题

这是一份高中一 二维形式的柯西不等式同步练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：    此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 九二维形式的柯西不等式一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·泰安高二检测)若3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是　(　　)A.[0,]       B.[-,0]C.[-,]      D.[-5,5]【解析】选C.|3x+2y|≤·≤,从而-≤3x+2y≤.2.设a,b∈R,a2+b2=3,则3a-b的最大值为　(　　)A.30   B.-30   C.    D.-【解析】选C.3a-b=3a+(-1)·b≤·==,当且仅当3b=-a,即a=,b=-时等号成立.3.(2016·长春高二检测)已知a,b,c,d,m,n都是正实数,P=+,Q=·,则P与Q的大小关系为　(　　)A.P≤Q   B.P<Q   C.P≥Q   D.P=Q【解析】选A.Q2=(am+cn)≥=(+)2=P2,因为a,b,c,d,m,n都是正实数,所以P≤Q.二、填空题(每小题6分,共12分)4.设x,y∈R+,则(x+y)·的最小值是________.【解析】(x+y)≥=(+)2=5+2,当且仅当·=·时,等号成立.答案:5+25.已知x>0,y>0,且+=1,则2x+y的最小值为________.【解析】2x+y=(2x+y)=[()2+()2]≥=3+2,当且仅当·=·时,等号成立,又+=1,则此时答案:3+2【一题多解】2x+y=(2x+y)=++3≥2+3=2+3.当且仅当=,即2x2=y2时取等号.又+=1,则此时答案:2+3【拓展延伸】利用柯西不等式的关键利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需分析、增补(特别对数字1的增补:a=1·a)、变形等.三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016·天津高二检测)已知m>0,n>0,m+n=p,求证:+≥,指出等号成立的条件.【解析】根据柯西不等式,得(m+n)≥=4,于是+≥=,当m=n=时等号成立.7.求函数f(x)=-的最大值.【解题指南】由二维形式的三角不等式稍作变化,即得-≤.【解析】由于f(x)=-=-=-≤=.8.已知函数f(x)=|x-4|.(1)若f(x)≤2,求x的取值范围.(2)在(1)的条件下,求g(x)=2+的最大值.【解析】(1)由已知得,|x-4|≤2,即-2≤x-4≤2,即2≤x≤6,即x的取值范围为[2,6].(2)由2≤x≤6可得g(x)=2+,由柯西不等式,得g(x)≤=2.当且仅当=,即x=时,g(x)的最大值为2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知a,b,x1,x2为互不相等的正数,若y1=,y2=,则y1y2与x1x2的关系为　(　　)A.y1y2<x1x2　　　　　　   B.y1y2=x1x2C.y1y2>x1x2       D.不能确定【解析】选C.因为a,b,x1,x2为互不相等的正数,所以y1y2=·==>==x1x2.【补偿训练】已知a,b∈R,且P=,Q=,则P,Q的大小关系是　(　　)A.P≥Q       B.P>QC.P≤Q       D.P<Q【解析】选C.因为(a2+b2)≥,当且仅当a·=b·,即a=b时“=”成立.所以≥+,即Q≥P.2.函数y=+的最小值是　(　　)A.20    B.25    C.27    D.18【解题指南】由函数式的特征,两项分母x及1-2x的关系可表示为2·x+1-2x=1,这为创造条件利用柯西不等式提供了可能.【解析】选B.y=+=+=[2x+(1-2x)]≥=25,当且仅当x=时等号成立.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·广州高二检测)已知函数f(x)=3+4,则函数f(x)的最大值为________.【解析】由柯西不等式知(3+4)2≤(32+42)·[()2+()2]=25.当且仅当3=4时,等号成立,因此f(x)≤5.答案:54.已知a,b∈R+,且a+b=1,则+的最小值是________.【解析】因为a,b∈R+且a+b=1,所以+=(a+b),由柯西不等式得(a+b)≥==+.当且仅当时等号成立,此时a=-1,b=2-.答案:+【一题多解】+=(a+b)=++≥2+=+,当且仅当a=-1,b=2-时等号成立.答案:+三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·天津高二检测)设x>0,y>0,且x+y=2,求+的最小值.【解题指南】利用柯西不等式求最小值,需要出现(a2+b2)(c2+d2)的结构,我们把+看作一部分,利用x+y=2构造出一部分(2-x+2-y).【解析】因为x+y=2,根据柯西不等式,有[(2-x)+(2-y)]=[()2+()2][()2+()2]≥=(x+y)2=4,所以+≥===2.当且仅当·=·,即x=y=1时,等号成立.所以当x=y=1时,+有最小值2.6.求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.【证明】设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0.由柯西不等式,得(A2+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]≥[A(x-x0)+B(y-y0)]2=[(Ax+By)-(Ax0+By0)]2=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|≥.当且仅当=时,取等号,|PQ|取得最小值.因此,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.关闭Word文档返回原板块