第三章　章末检测(B)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)

1. 已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)

A．f′(xA)>f′(xB)                     B．f′(xA)<f′(xB)

C．f′(xA)＝f′(xB)                    D．不能确定

2．任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是(　　)

A．0         B．3       C．－2         D．3－2t

3．已知曲线y＝2ax2＋1过点(，3)，则该曲线在该点处的切线方程为(　　)

A．y＝－4x－1                       B．y＝4x－1

C．y＝4x－11                        D．y＝－4x＋7

4．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是(　　)

A.                       B. ∪

C.                    D.

5．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．[3，＋∞)                      B．[－3，＋∞)

C．(－3，＋∞)                    D．(－∞，－3)

6．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)

A．y＝2x＋1                       B．y＝2x－1

C．y＝－2x－3                     D．y＝－2x－2

7．已知a>0，函数f(x)＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调减函数，则a的最大值为(　　)

A．1         B．2         C．3           D．4

8．若函数f(x)＝asin x＋cos x在x＝处有最值，那么a等于(　　)

A.        B．－      C.           D．－

9．函数y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　)

A．π－1                        B.－1

C．π                           D．π＋1

10. 函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)

A．1个               B．2个

C．3个               D．4个

11．函数f(x)＝的单调增区间是(　　)

A．(－∞，1)

B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)，(1，＋∞)

D．(－∞，－1)，(1，＋∞)

12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益(　　)

A．0.012             B．0.024

C．0.032             D．0.036

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________________________________________________________________________.

14．设函数f(x)＝ax3－3x＋1 (x∈R)，若对于x∈[－1，1]，都有f(x)≥0，则实数a的值为________________________________________________________________________．

15. 如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A、B在抛物线上运动，C、D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．

16．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x＝±1处的切线的倾斜角均为π，有以下命题：

①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]．

②f(x)的极值点有且只有一个．

③f(x)的最大值与最小值之和等于零．

其中正确命题的序号为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．

18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值．

(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；

(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)<c2恒成立，求c的取值范围．

19.(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？

20．(12分)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex.

(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；

(2)设f(x)在[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．

21.(12分)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.

(1)求f(x)的单调区间与极值；

(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.

22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋ln x.

(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；

(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．

第三章　导数及其应用(B)  答案

1．B　[f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f′(xA)<f′(xB)．]

2．B　[物体的初速度即为t＝0时物体的瞬时速度，即函数s(t)在t＝0处的导数．

s′(0)＝s′|t＝0＝(3－2t)|t＝0＝3.]

3．B　[∵曲线过点(，3)，∴3＝2a2＋1，∴a＝1，

∴切点为(1,3)．由导数定义可得y′＝4ax＝4x，

∴该点处切线斜率为k＝4，

∴切线方程为y－3＝4(x－1)，即y＝4x－1.]

4．B

5．B　[f′(x)＝3x2＋a.令3x2＋a≥0，

则a≥－3x2，x∈(1，＋∞)，∴a≥－3.]

6．A　[∵y′＝＝，

∴k＝y′|x＝－1＝＝2，

∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.]

7．C

8．A　[f′(x)＝acos x－sin x，由题意f′＝0，

即a·－×＝0，∴a＝.]

9．C　[y′＝1－cos x≥0，所以y＝x－sin x在上为增函数．∴当x＝π时，

ymax＝π.]

10．A　[由图象看，在图象与x轴的交点处左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0的点才满足题意，这样的点只有一个B点．]

11．C　[∵f′(x)＝

＝＝>0，又x≠1，

∴f(x)的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]

12．B　[由题意知，存款量g(x)＝kx  (k>0)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，

x∈(0，0.048)．设银行可获得收益为y，则y＝0.048kx－kx2.于是y′＝0.048k－2kx，令y′＝0，解得x＝0.024，依题意知y在x＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．]

13．3

解析　由切点(1，f(1))在切线y＝x＋2上，

得f(1)＝×1＋2＝.又∵f′(1)＝，

∴f′(1)＋f(1)＝＋＝3.

14．4

解析　若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0，显然成立；

当x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可转化为a≥－，

设g(x)＝－，则g′(x)＝，

所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，

因此g(x)max＝g＝4，从而a≥4；

当x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0

可转化为a≤－，

设g(x)＝－，则g′(x)＝，

所以g(x)在区间[－1,0)上单调递增．

因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，

综上所述，a＝4.

15.

解析　设CD＝x，则点C坐标为.

点B坐标为，

∴矩形ABCD的面积

S＝f(x)＝x·

＝－＋x (x∈(0,2))．

由f′(x)＝－x2＋1＝0，

得x1＝－(舍)，x2＝，

∴x∈时，f′(x)>0，f(x)是递增的，

x∈时，f′(x)<0，f(x)是递减的，

当x＝时，f(x)取最大值.

16．①③

解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

由题意得f(0)＝0，

f′(－1)＝f′(1)＝tan ＝－1.

∴，∴a＝0，b＝－4，c＝0.

∴f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]．故①正确．

由f′(x)＝3x2－4＝0得x1＝－，x2＝.

根据x1，x2分析f′(x)的符号、f(x)的单调性和极值点.

∴x＝－是极大值点也是最大值点．

x＝是极小值点也是最小值点．

f(x)min＋f(x)max＝0.∴②错，③正确．

17．解　f′(x)＝x2－ax＋a－1，

由题意知f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，

且f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．

由f′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0，

即x2－1≤a(x－1)．

∵x∈(1,4)，∴x－1∈(0,3)，

∴a≥＝x＋1.

又∵x＋1∈(2,5)，∴a≥5，              ①

由f′(x)≥0得x2－ax＋a－1≥0，

即x2－1≥a(x－1)．

∵x∈(6，＋∞)，∴x－1>0，

∴a≤＝x＋1.

又∵x＋1∈(7，＋∞)，∴a≤7，         ②

∵①②同时成立，∴5≤a≤7.

经检验a＝5或a＝7都符合题意，

∴所求a的取值范围为5≤a≤7.

18．解　(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，

f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

由f′＝－a＋b＝0，

f′(1)＝3＋2a＋b＝0得a＝－，b＝－2.

f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，

令f′(x)>0，得x<－或x>1，

令f′(x)<0，得－<x<1.

所以函数f(x)的递增区间是和(1，＋∞)，递减区间是.

(2)f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，

由(1)知，当x＝－时，f＝＋c为极大值，

而f(2)＝2＋c，则f(2)＝2＋c为最大值，

要使f(x)<c2，x∈[－1,2]恒成立，

则只需要c2>f(2)＝2＋c，得c<－1或c>2.

19．解　设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为x台，所以每年的保管费用为x·4 000·10%元，

而每年的订货电脑的其它费用为·1 600元，

这样每年的总费用为·1 600＋x·4 000·10%元．

令y＝·1 600＋x·4 000·10%，

y′＝－·5 000·1 600＋·4 000·10%.

令y′＝0，解得x＝200(台)．

也就是当x＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．

20．解　(1)对函数f(x)求导数，得

f′(x)＝(x2－2ax)ex＋(2x－2a)ex

＝[x2＋2(1－a)x－2a]ex.

令f′(x)＝0，得[x2＋2(1－a)x－2a]ex＝0，

从而x2＋2(1－a)x－2a＝0.

解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋，

其中x1<x2.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化如下表：

当f(x)在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取到极小值．

当a≥0时，x1<－1，x2≥0.

f(x)在(x1，x2)为减函数，在(x2，＋∞)为增函数．

而当x<0时，f(x)＝x(x－2a)ex>0；

当x＝0时，f(x)＝0，所以当x＝a－1＋时，f(x)取得最小值．

(2)当a≥0时，f(x)在[－1,1]上为单调函数的充要条件是x2≥1，即a－1＋≥1，

解得a≥.

综上，f(x)在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为a≥.即a的取值范围是.

21．(1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.

于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．

(2)证明　设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，

于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.

由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.

于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．

于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．

而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，

即ex－x2＋2ax－1>0，

故ex>x2－2ax＋1.

22．(1)解　∵f(x)＝x2＋ln x，∴f′(x)＝2x＋.

∵x>1时，f′(x)>0，

∴f(x)在[1，e]上是增函数，

∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.

(2)证明　令F(x)＝f(x)－g(x)

＝x2－x3＋ln x，

∴F′(x)＝x－2x2＋＝

＝＝.

∵x>1，∴F′(x)<0，

∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数，

∴F(x)<F(1)＝－＝－<0.

∴f(x)<g(x)．

∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．