数学必修41.6 三角函数模型的简单应用课堂检测

第15课时　简谐运动、由图象求解析式

　了解函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)与简谐运动的关系，了解振幅、周期、频率、相位、初相的含义．解根据y＝Asin(ωx＋φ)图象求出其解析式．

　当函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间T＝，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝＝，它叫做振动的频率；ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相(即当x＝0时的相位)．

一、选择题

1．最大值为，周期为，初相为的函数表达式可能是(　　)

A．y＝sin

B．y＝2sin

C．y＝sin

D．y＝2sin

答案：C

2．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)

A．T＝6，φ＝　　　　B. T＝6，φ＝

C．T＝6π，φ＝  D．T＝6π，φ＝

答案：A

解析：依题意，得2sinφ＝1，sinφ＝.

又|φ|<，初相φ>0，故φ＝.

又T＝＝6，故T＝6，φ＝.

3．将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　)

A.  B．1

C.  D．2

答案：D

解析：将函数f(x)＝sinωx的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为

f(x)＝sinω＝sin.又因为函数图象过点所以sin＝sin＝0，所以＝kπ，

即ω＝2k(k∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为2.

4．下列函数中，图象的一部分如图所示，则该函数解析式为(　　)

A．y＝sin

B．y＝sin

C．y＝cos

D．y＝cos

答案：D

解析：由图可知＝＋，∴T＝4×＝π，∴ω＝2.

由“五点法”作图知2×＋φ＝0，∴φ＝.

∴解析式为y＝sin＝cos，故选D.

5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A＞0，ω＞0)的最大值是4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各解析式中符合条件的是(　　)

A．y＝4sin＋2

B．y＝2sin＋2

C．y＝2sin＋2

D．y＝2sin＋2

答案：D

解析：最大值为4，最小值为0.所以A＝＝2，又T＝＝，所以ω＝4.又由4×＋φ＝kπ＋(k∈Z)得φ＝kπ－(k∈Z)．当k＝1时，φ＝.所以所求解析式可能为y＝2sin＋2.

6．设f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的定义域为R，周期为，初相为，值域为[－1,3]，则其函数式的最简形式为(　　)

A．y＝2sin＋1

B．y＝2sin－1

C．y＝－2sin－1

D．y＝2sin＋1

答案：A

解析：由T＝知：ω＝3，初相为，∴φ＝，值域[－1,3]，∴最简形式为y＝2sin＋1.

二、填空题

7．函数y＝3sin，x∈R的振幅是________，周期是________，频率是________，相位是________，初相是________．

答案：3

解析：  4x－ －频率和周期互为倒数关系．

8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝________.

答案：

解析：由图，知＝－＝，∴T＝.又T＝＝，∴ω＝.

9．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图，则函数的解析式是________．

答案：y＝2sin

三、解答题

10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)在同一周期内，x＝时取得最大值，x＝π时取得最小值－，求该函数解析式．

解：由已知得A＝，＝，∴T＝，则ω＝3.

把代入y＝sin(3x＋φ)，得sin＝1.

∵0<φ<π，∴＋φ＝，φ＝.

因此，函数的解析式为y＝sin.

11．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－<φ<上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点.

(1)试求这条曲线的函数表达式；

(2)用“五点法”画出(1)中函数在上的图象．

解：(1)由题意，知A＝，T＝4×＝π，

∴ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．

又sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

∴φ＝2kπ＋，k∈Z，

又φ∈，

∴φ＝，∴y＝sin.

(2)列出x，y的对应值表：

描点、连线，得题中函数在上的图象如图所示：

12．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，且f＝－，则f(0)＝(　　)

A．－  B.

C．－  D.

答案：B

解析：由图象可得函数的最小正周期为，

于是f(0)＝f.又从图象可知.与关于对称，所以f＝－f＝.

13．如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的一个周期内的图象．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝2对称，求函数g(x)的解析式；

(3)求函数g(x)的最小正周期、频率、振幅、初相．

解：(1)由图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，

∴ω＝＝＝，∴f(x)＝2sin.

将点(－1,0)代入，得0＝2sin.

∵|φ|<，

∴φ＝，

∴f(x)＝2sin.

(2)作出与f(x)的图象关于直线x＝2对称的图象(图略)，可以看出g(x)的图象相当于将f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的，

∴g(x)＝2sin＝2sin.

(3)由(2)，知g(x)的最小正周期为＝8，

频率为，振幅为2，初相为－.