苏科版2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 （解析版）8

这是一份苏科版2020-2021学年八年级下学期期中数学试卷 （解析版）8，共28页。试卷主要包含了填空题，选择，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）如果a．b都是实数，那么a+b＝b+a，这个事件是 事件，（填“随机“、“不可能”或“必然“）
2．（2分）在一个不透明的袋子中有1个红球，2个绿球和3个白球，这些球除了颜色外完全一样，摇匀后，从袋子中任意摸出1个球，你认为取出 颜色的球的可能性最大．
3．（2分）如图是当前对生活垃圾的常见三种处理方式，本图中的有关数据宜用 统计图表示．
4．（2分）2018年6月6日是第二十三个全国爱眼日．某校为了做好学生的眼睛保护工作，对全体学生的裸眼视力进行了一次抽样调查，调查结果如图所示．根据学生视力合格标准，裸眼视力大于或等于5.0的为正常视力，那么该校正常视力的学生占全体学生的比值是 ．
5．（2分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝2cm，则BC＝ cm．
6．（2分）如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是 ．
7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝50°，在边AD上取点E，使DE＝DC，则∠BCE＝ 度．
8．（2分）小明同学按照老师要求对本班40名学生的血型进行了统计，列出如下的统计表．则本班A型血的人数是 ．
9．（2分）如图，若菱形ABCD的顶点A．B的坐标分别为（6，0），（﹣4，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
10．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°．BE⊥CD．BF⊥AD，垂足分别为E．F．BE＝1，BF＝2．则DF＝ ．
11．（2分）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点．将ABCD绕点B顺时针旋转90°．旋转后的四边形为A'B′C′D'，点A，C，D，O的对应点分别为A′，C'，D'，O’，若AB＝8，BC＝10，则线段CO’的长为 ．
12．（2分）已知，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是线段AD上的一点，作OF⊥OE于点O，交直线CD于点F，连结EF，若EF＝2CF＝2，则AE＝ ．
二、选择（每小题3分，共21分）
13．（3分）如图所示的四个图案是我国几家国有银行的图标，其中图标属于中心对称的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“品尝一勺汤，就知道一锅汤的味道“其蕴藏的数学知识是“通过样本可以估计总体”
B．今年春节前4天（农历初一至初四）一位滴滴司机平均每天的纯收入为800元，则由此推算他2月份的月纯收人为56000元
C．为掌握我市校外培训机构是否具备应有的资质可采用抽样调查的方式
D．为了解我市市民对创建全国文明城市的知晓情况，适宜采用普查方式
15．（3分）如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图（两图都不完整），下列结论错误的是（ ）
A．该班总人数为50人
B．步行人数为30人
C．乘车人数是骑车人数的2.5倍
D．骑车人数占20%
16．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C′AB′的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
17．（3分）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、AD的中点，下列说法正确的是（ ）
A．当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形
B．当AC＝BD时，四边形EFGH是矩形
C．当四边形ABCD是平行四边形时，则四边形EFGH是矩形
D．当四边形ABCD是矩形时，则四边形EFGH是菱形
18．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，GH∥AB．分别交AB、CD、AD、BC于E、F、G、H，连接PB．若AE＝3，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8B．12C．16D．24
19．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，M是BC的中点，P是A'B’的中点，连接PM，若BC＝4，AC＝3，则在旋转的过程中，线段PM的长度不可能是（ ）
A．5B．4.5C．2.5D．0.5
三、解答题
20．（8分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
（1）请估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.1）；
（2）假如摸一次，摸到黑球的概率P（黑球）＝ ；
（3）试估算盒子里黑颜色的球有多少只？
21．（9分）在2019年5月31日世界无烟日前，我市卫生机构为了了解“导致吸烟人口比例高的最主要原因“，随机抽样调查了该市部分18﹣65岁的市民，如图是根据调查结果绘制的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）这次接受随机抽样调查的市民总人数为 ；
（2）图1中m的值为 ；
（3）求图2中认为“烟民戒烟的毅力弱”所对应的圆心角的度数；
（4）若该市18﹣65岁的市民约有60万人，请你估算其中认为导致吸烟人口比例高的最主要原因是“对吸烟危害健康认识不足”的人数．
22．（9分）按要求作图
在下面的网格中，已知△ABC的顶点分别落在网格的格点，点A′、C′分别是点A、C两点绕某一点O旋转同样的角度后的对应点
（1）请在下图中作出旋转中心O的位置；
（2）点A′是点A绕点O旋转 度形成的；
（3）画出△ABC绕点O旋转同样的角度后的△A′B'C’．
23．（8分）已知，如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．
求证：AE＝CF．
24．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD．过E作EF∥DC交BC的延长线于F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是18cm，AC的长为6cm，求线段AB的长度．
25．（10分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC＝4，BE＝1，求菱形AECF的边长和面积．
26．（10分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，且AG＝AB、CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．试探究当∠BCD＝ °时，四边形ACDF是矩形，证明你的结论．
27．（12分）在矩形ABCD中，E为射线BC上一点，DF⊥AE于F，连接DE．
（1）如图1，若E在线段BC上，且CE＝EF，求证：AD＝AE；
（2）若AB＝6，AD＝10，在点E的运动过程中，连接BF．
①当△ABF是以AB为底的等腰三角形时，求BE的长；
②当BF∥DE时，若S△ADF＝m，S△DCE＝n，探究m﹣n的值并简要说明理由．

参考答案与试题解析
一、填空题（每小题2分，共24分）
1．（2分）如果a．b都是实数，那么a+b＝b+a，这个事件是 必然 事件，（填“随机“、“不可能”或“必然“）
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【解答】解：如果a，b都是实数，那么a+b＝b+a，是必然事件，
故答案为：必然．
2．（2分）在一个不透明的袋子中有1个红球，2个绿球和3个白球，这些球除了颜色外完全一样，摇匀后，从袋子中任意摸出1个球，你认为取出 白 颜色的球的可能性最大．
【分析】由一只不透明的袋子中有1个红球，2个绿球和3个白球，这些球除颜色外都相同，即可求得摸到各种颜色球的概率，继而求得答案．
【解答】解：∵一只不透明的袋子中有1个红球，2个绿球和3个白球，这些球除颜色外都相同，
∴P（红球）＝，P（绿球）＝＝，（白球）＝＝，
∴摸到白球的可能性最大．
故答案为：白．
3．（2分）如图是当前对生活垃圾的常见三种处理方式，本图中的有关数据宜用 扇形 统计图表示．
【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
【解答】解：如图是当前对生活垃圾的常见三种处理方式，本图中的有关数据宜用扇形统计图表示．
故答案为：扇形．
4．（2分）2018年6月6日是第二十三个全国爱眼日．某校为了做好学生的眼睛保护工作，对全体学生的裸眼视力进行了一次抽样调查，调查结果如图所示．根据学生视力合格标准，裸眼视力大于或等于5.0的为正常视力，那么该校正常视力的学生占全体学生的比值是 20% ．
【分析】用裸眼视力大于或等于5.0的人数除以总人数可得答案．
【解答】解：该校正常视力的学生占全体学生的比值是＝0.2＝20%，
故答案为：20%．
5．（2分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝2cm，则BC＝ 4 cm．
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，有DE＝BC，从而求出BC．
【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点．
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE，
∵DE＝2cm，
∴BC＝2×2＝4cm．
故答案为：4．
6．（2分）如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是 5 ．
【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC＝AB．
【解答】解：∵AB＝BC，∠B+∠BCD＝180°，∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°
∴△ABC为等边三角形
∴AC＝AB＝5
故答案为：5．
7．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝50°，在边AD上取点E，使DE＝DC，则∠BCE＝ 65 度．
【分析】利用平行四边形对角相等和邻角互补先求出∠BCD和∠D，再利用等边对等角的性质解答．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠B＝50°，
∴∠D＝∠B＝50°，
∵DE＝DC，
∴∠ECD＝×（180°﹣50°）＝65°，
∴∠ECB＝130°﹣65°＝65°．
故答案为65．
8．（2分）小明同学按照老师要求对本班40名学生的血型进行了统计，列出如下的统计表．则本班A型血的人数是 16 ．
【分析】根据频数和频率的定义求解即可．
【解答】解：本班A型血的人数为：40×（1﹣0.35﹣0.1﹣0.15）＝40×0.4＝16．
故答案为：16．
9．（2分）如图，若菱形ABCD的顶点A．B的坐标分别为（6，0），（﹣4，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 （﹣10，8） ．
【分析】由菱形的性质可求AB＝AD＝10，OA＝6，由勾股定理可得OD＝8，即可求点C坐标．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A．B的坐标分别为（6，0），（﹣4，0），
∴AB＝AD＝10，OA＝6
∴OD＝＝8
∴点D（0，8）
∵CD∥AB，CD＝10
∴点C（﹣10，8）
故答案为：（﹣10，8）
10．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°．BE⊥CD．BF⊥AD，垂足分别为E．F．BE＝1，BF＝2．则DF＝ 2﹣2 ．
【分析】根据含30°的直角三角形的性质得出BC＝AD＝2，AF的长，进而解答即可．
【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠A＝30°．
∴∠C＝30°，
∵BE⊥CD．BF⊥AD，BE＝1，BF＝2．
∴BC＝2，AF＝2，
∵BC＝AD＝2，
∴DF＝AF﹣AD＝2﹣2，
故答案为：2﹣2
11．（2分）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点．将ABCD绕点B顺时针旋转90°．旋转后的四边形为A'B′C′D'，点A，C，D，O的对应点分别为A′，C'，D'，O’，若AB＝8，BC＝10，则线段CO’的长为 ．
【分析】过点O′作O′M⊥BC于点M，根据旋转的性质得到BC′＝BC＝10，∠CBE＝90°，BA′＝AB＝8，得到O′M∥BC′，根据三角形的中位线的性质得到MO′＝BC′＝5，BM＝A′M＝BA′＝4，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过点O′作O′M⊥BC于点M，
∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到四边形为A'B′C′D'位置，AB＝8，BC＝10，
∴BC′＝BC＝10，∠CBE＝90°，BA′＝AB＝8，
∴O′M∥BC′，
∵O是对角线AC的中点，
∴O′是A′C′的中点，
∴MO′＝BC′＝5，BM＝A′M＝BA′＝4，
∴CM＝BC﹣BM＝10﹣4＝6，
在Rt△CO′M中，CO′＝＝．
故答案为：．
12．（2分）已知，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是线段AD上的一点，作OF⊥OE于点O，交直线CD于点F，连结EF，若EF＝2CF＝2，则AE＝ ．
【分析】可以延长EO交BC于点G，连接GF，证明△AOE≌△COG可得CG＝AE，OE＝OG，进而得OF是EG的垂直平分线，得FG＝EF＝2，根据勾股定理即可求得CG即AE的长．
【解答】解：如图，
延长EO交BC于点G，连接GF，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCG，∠AOE＝∠COG
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴AE＝CG，OE＝OG．
∵OF⊥OE，
∴OF是EG的垂直平分线，
∴FG＝EF＝2，
∵CF＝1，∠GCF＝90°，
∴CG＝＝，
∴AE＝．
故答案为．
二、选择（每小题3分，共21分）
13．（3分）如图所示的四个图案是我国几家国有银行的图标，其中图标属于中心对称的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：前两个是中心对称图形，后两个不是，
故选：B．
14．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“品尝一勺汤，就知道一锅汤的味道“其蕴藏的数学知识是“通过样本可以估计总体”
B．今年春节前4天（农历初一至初四）一位滴滴司机平均每天的纯收入为800元，则由此推算他2月份的月纯收人为56000元
C．为掌握我市校外培训机构是否具备应有的资质可采用抽样调查的方式
D．为了解我市市民对创建全国文明城市的知晓情况，适宜采用普查方式
【分析】根据用样本估计总体和全面调查和抽样调查矩形判断即可．
【解答】解：A、“品尝一勺汤，就知道一锅汤的味道“其蕴藏的数学知识是“通过样本可以估计总体”，正确；
B、今年春节前4天（农历初一至初四）一位滴滴司机平均每天的纯收入为800元，但不能由此推算他2月份的月纯收人为56000元，错误；
C、为掌握我市校外培训机构是否具备应有的资质可采用全面调查的方式，错误；
D、为了解我市市民对创建全国文明城市的知晓情况，适宜采用抽样调查的方式，错误；
故选：A．
15．（3分）如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图（两图都不完整），下列结论错误的是（ ）
A．该班总人数为50人
B．步行人数为30人
C．乘车人数是骑车人数的2.5倍
D．骑车人数占20%
【分析】根据乘车人数是25人，而乘车人数所占的比例是50%，即可求得总人数，然后根据百分比的含义即可求得步行的人数，以及骑车人数所占的比例．
【解答】解：A、总人数是：25÷50%＝50（人），故A正确；
B、步行的人数是：50×30%＝15（人），故B错误；
C、骑车人数所占的比例是：1﹣50%﹣30%＝20%，故D正确；
D、乘车人数是骑车人数倍数是：50%÷20%＝2.5，故C正确．
由于该题选择错误的，故选：B．
16．（3分）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C′AB′的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．45°
【分析】根据旋转的性质得到∠BAB′＝∠CAC′＝100°，AB＝AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B＝40°，再根据平行线的性质即可得∠C′AB′＝∠AB′B＝40°．
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l00°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝100°，AB＝AB′，
∴∠AB′B＝（180°﹣100°）＝40°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝40°，
故选：C．
17．（3分）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、AD的中点，下列说法正确的是（ ）
A．当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形
B．当AC＝BD时，四边形EFGH是矩形
C．当四边形ABCD是平行四边形时，则四边形EFGH是矩形
D．当四边形ABCD是矩形时，则四边形EFGH是菱形
【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD＝AC时，中点四边形是菱形，
当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，
当对角线AC＝BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，
故D选项正确，
故选：D．
18．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，GH∥AB．分别交AB、CD、AD、BC于E、F、G、H，连接PB．若AE＝3，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8B．12C．16D．24
【分析】注意到易证得△AEP∽△CFP，则有＝，整理得，FC•PE＝AE•PF＝8×3＝24，而阴影部分的面积为•BE•PE，由四边形ABCD为矩形，则BE＝FC，即阴影部分的面积为•FC•PE＝×24＝12，即为答案．
【解答】解：
∵矩形ABCD的对角线AC
∴∠EAP＝∠FCP
∴△AEP∽△CFP
∴＝
∴FC•PE＝AE•PF＝8×3＝24
∵EF∥BC
∴四边形EFCB为矩形
∴EB＝FC
∵阴影部分的面积为•BE•PE
∴阴影部分的面积为•BE•PE＝•FC•PE＝×24＝12
故选：B．
19．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C′，M是BC的中点，P是A'B’的中点，连接PM，若BC＝4，AC＝3，则在旋转的过程中，线段PM的长度不可能是（ ）
A．5B．4.5C．2.5D．0.5
【分析】连接PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC＝2，然后再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM，故此可得到PM的最大值为PC+CM．
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵BC＝4，AC＝3，
∴AB＝5，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝5，
∴A′P＝PB′，
∴PC＝A′B′＝2.5，
∵CM＝BM＝2，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤4.5，
∴线段PM的长度不可能是5．
故选：A．
三、解答题
20．（8分）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共50个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
（1）请估计当n很大时，摸到白球的频率将会接近 0.6 （精确到0.1）；
（2）假如摸一次，摸到黑球的概率P（黑球）＝ 0.4 ；
（3）试估算盒子里黑颜色的球有多少只？
【分析】（1）计算出其平均值即可；
（2）概率接近于（1）得到的频率；
（3）黑球个数＝球的总数×得到的黑球的概率，即为黑球的个数．
【解答】解：（1）∵摸到白球的频率为0.6，
∴当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6．
（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（黑球）＝1﹣0.6＝0.4，
故答案为：0.4．
（3）盒子里黑颜色的球有50×0.4＝20（只）．
21．（9分）在2019年5月31日世界无烟日前，我市卫生机构为了了解“导致吸烟人口比例高的最主要原因“，随机抽样调查了该市部分18﹣65岁的市民，如图是根据调查结果绘制的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）这次接受随机抽样调查的市民总人数为 1500 ；
（2）图1中m的值为 315 ；
（3）求图2中认为“烟民戒烟的毅力弱”所对应的圆心角的度数；
（4）若该市18﹣65岁的市民约有60万人，请你估算其中认为导致吸烟人口比例高的最主要原因是“对吸烟危害健康认识不足”的人数．
【分析】（1）由条形图可得认为政府对公共场所吸烟的监管力度不够的有420人，有扇形统计图可得认为政府对公共场所吸烟的监管力度不够占28%，总数＝420÷28%；
（2）用总人数×认为对吸烟危害健康认识不足的人数所占百分比即可；
（3）认为“烟民戒烟的毅力弱”所对应的圆心角的度数＝360°×认为“烟民戒烟的毅力弱”的人数所占百分比即可；
（4）利用样本估计总体的方法，用60万×样本中认为对吸烟危害健康认识不足的人数所占百分比．
【解答】解（1）这次接受随机抽样调查的市民总人数是：420÷28%＝1500；
故答案为：1500；
（2）m＝（1500﹣420﹣210﹣240）＝315；
故答案为：315；
（3）“烟民戒烟的毅力弱”所对应的圆心角的度数＝360°×＝50.4°．
（4）60×21%＝12.6（万人）．
答：该市18﹣65岁的人口中，认为“对吸烟危害健康认识不足”是最主要原因的人数约为12.6万人．
22．（9分）按要求作图
在下面的网格中，已知△ABC的顶点分别落在网格的格点，点A′、C′分别是点A、C两点绕某一点O旋转同样的角度后的对应点
（1）请在下图中作出旋转中心O的位置；
（2）点A′是点A绕点O旋转 90 度形成的；
（3）画出△ABC绕点O旋转同样的角度后的△A′B'C’．
【分析】（1）根据旋转的性质，连接对应点AA′、CC′，作它们的垂直平分线的交点即为旋转中心O．
（2）根据旋转中心、A与A′、C与C′旋转的角度得到；
（3）找到C′的位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）由图象可知，点A′是点A绕点O旋转 90度形成的，
故答案为90；
（3）△A′B′C′如图所示；
23．（8分）已知，如图，在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．
求证：AE＝CF．
【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，推出OA＝OC，OE＝OF，四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：连接AC交BD于点O，连接AF、CE
∵▱ABCD
∴OA＝OC，OB＝OD
∵OF＝BF﹣OB，OE＝DE﹣OD
BF＝DE
∴OE＝OF
∵OA＝OC，OE＝OF
∴四边形AECF是平行四边形
∴AE＝CF
24．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD．过E作EF∥DC交BC的延长线于F．
（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；
（2）若四边形CDEF的周长是18cm，AC的长为6cm，求线段AB的长度．
【分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE＝BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；
（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB＝2DC，即可得出四边形DCFE的周长＝AB+BC，故BC＝18﹣AB，然后根据勾股定理即可求得．
【解答】解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴ED是Rt△ABC的中位线，
∴ED∥FC．BC＝2DE，
又 EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）∵四边形CDEF是平行四边形；
∴DC＝EF，
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB＝2DC，
∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，
∵四边形DCFE的周长为18cm，AC的长6cm，
∴BC＝18﹣AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，即AB2＝（18﹣AB）2+62，
解得：AB＝10cm，
25．（10分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AC＝4，BE＝1，求菱形AECF的边长和面积．
【分析】（1）根据正方形的性质和菱形的判定解答即可；
（2）根据正方形和菱形的性质以及勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD，
AC⊥BD．
∵BE＝DF，
∴OB+BE＝OD+DF，即OE＝OF．
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）∵AC＝4，
∴OA＝2，
∴OB＝2，
∴OE＝OB+BE＝3，
∴AE＝＝，
∴EF＝AC+DF+BE＝4+2＝6，
∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝×4×6＝12．
26．（10分）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，且AG＝AB、CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．试探究当∠BCD＝ 120 °时，四边形ACDF是矩形，证明你的结论．
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可．
【解答】解：当∠BCD＝120°时，四边形ACDF是矩形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFC＝∠DCG，
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC（ASA），
∴AF＝CD，
∴AB＝AF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠FAG＝60°，
∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG，∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形．
故答案为：120．
27．（12分）在矩形ABCD中，E为射线BC上一点，DF⊥AE于F，连接DE．
（1）如图1，若E在线段BC上，且CE＝EF，求证：AD＝AE；
（2）若AB＝6，AD＝10，在点E的运动过程中，连接BF．
①当△ABF是以AB为底的等腰三角形时，求BE的长；
②当BF∥DE时，若S△ADF＝m，S△DCE＝n，探究m﹣n的值并简要说明理由．
【分析】（1）根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）①分两种情况：当点 E 在线段 BC 上时，AF＝BF，利用矩形的性质解答即可；当点 E 在 BC 延长线上时，AF＝BF，利用矩形的性质解答即可；
②当 BF∥DE 时，延长 BF 交 AD 于 G，利用三角形的面积和平行四边形的面积之间的关系解答即可．
【解答】（1）证明：在矩形 ABCD 中，∠DCE＝90°，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，∠DCE＝∠DFE＝90°，
∵CE＝EF，DE＝DE，
∴△CED≌△FED（HL），
∴∠CED＝∠FED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE；
（2）①分两种情况：当点 E 在线段 BC 上时，AF＝BF，如图 1 所示：
∴∠ABF＝∠BAF，
∵∠ABF+∠EBF＝90°，
∠BAF+∠BEF＝90°，
∴∠EBF＝∠BEF，
∴EF＝BF，
∴AF＝EF，
∵DF⊥AE，
∴DE＝AD＝10，
在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，
∴CE＝8，
∴BE＝10﹣8＝2；
当点 E 在 BC 延长线上时，AF＝BF，如图 2 所示：
同理可证 AF＝EF，
∵DF⊥AE，
∴DE＝AD＝10，
在矩形 ABCD 中，CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，
∴CE＝8，
∴BE＝10+8＝18，
综上，BE的长是2或18；
②m﹣n＝0，
理由如下：
当 BF∥DE 时，延长 BF 交 AD 于 G．如图3：
在矩形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∠BAG＝∠DCE＝90°，
∵BF∥DE，
∴四边形 BEDG 是平行四边形，
∴BE＝DG，
∴S△DEF＝▱BEDG，AG＝CE，
S△BEF+S△DFG＝S▱BEDG，
∵△ABG≌△CDE，
∴S△ABG＝S△CDE，
∵S△ABE＝S▱BEDG，
∴S△ABE＝S△BEF+S△DFG，
∴S△ABF＝S△DFG，
∴S△ABF+S△AFG＝S△DFG+S△AFG，
即S△ABG＝S△ADF，
∴S△CDE＝S△ADF，
即m﹣n＝0．
组别
A型
B型
AB型
O型
频率
0.35
0.1
0.15
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601
组别
A型
B型
AB型
O型
频率
0.35
0.1
0.15
摸球的次数n
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数m
65
124
178
302
481
599
1803
摸到白球的频率
0.65
0.62
0.593
0.604
0.601
0.599
0.601