试卷 2019-2020人教版数学八年级第二学期期中试卷4

这是一份试卷 2019-2020人教版数学八年级第二学期期中试卷4，共32页。试卷主要包含了选择题，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1．如图，▱ABCD中，∠A：∠B＝3：2，则∠D的度数为（ ）
A．60°B．72°C．80°D．108°
2．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≠1C．x≥﹣2D．x≠﹣2
3．下列是因式分解的是（ ）
A．
B．（x+y）2＝
C．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1
D．x2（4x﹣2y）＝4x3﹣2x2y
4．下列四个命题正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
5．如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（ ）
A．150°B．40°C．80°D．90°
6．方程x2﹣6x+1＝0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝8B．（x+3）2＝35C．（x﹣3）2＝35D．（x+3）2＝8
7．关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
8．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，菱形ABCD的面积为24，则OE长为（ ）
A．2.5B．3.5C．3D．4
9．如图，E是边长为2的正方形ABCD的对角线AC上一点，且AE＝AB，F为BE上任意点，FG⊥AC于点G，FH⊥AB于点H，则FG+FH的值是（ ）
A．B．C．2D．1
10．已知＝3，则的值为（ ）
A．B．C．D．﹣
11．从﹣2，0，1，2，3中任取一个数作为a，既要使关于x一元二次方程ax2+（2a﹣4）x+a﹣8＝0有实数解，又要使关于x的分式方程+＝3有正数解，则符合条件的概率是（ ）
A．B．C．D．
12．如图所示，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：①∠AEB＝∠AEH；②DH＝2EH；③HO＝AE；④FH＝CH；⑤BC﹣BF＝EH．其中正确命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.填空（每题3分，共24分）
13．（3分）分解因式：2ab﹣8b2＝ ．
14．（3分）一个多边形的每个内角都是150°，那么这个多边形的边数为 ．
15．（3分）若代数式的值为零，则x的取值应为 ．
16．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是 ．
17．（3分）若分式方程﹣＝有增根，则m的值是 ．
18．（3分）若实数x满足x+，则的值是
19．（3分）如图，四边形ABCD为矩形纸片，对折纸片，使得AD与BC重合．得到折痕EF，把纸片展平后，再把纸片沿着BM折叠，使得点A与EF上的点N重合，在折痕BM上取一点P，使得BP＝BA，连接NP并延长，交BA的延长线于点Q．若AB＝3，则AQ的长为 ．
20．（3分）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝5，则FD的长为 ．
三、解答题.（21每小题20分，共20分）
21．（20分）（1）因式分解：x3﹣6x2y+9xy2；
（2）分式计算：﹣+1；
（3）解方程：+＝1；
（4）解方程：3x2﹣6x+1＝0．
22．（8分）先化简：÷（x+3+）﹣，然后在0，1，2，3中选择一个你喜欢的数作为x值，代入求值．
23．（8分）证明题
如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE＝CF．
求证：∠BEF＝∠DFE．
24．（8分）我市为了解九年级学生身体素质测试情况，随机抽取了本市九年级部分学生的身体素质测试成绩为样本，按A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图表，如图，请你结合图表所给信息解答下列问题：
（1）请将上面表格中缺少的数据补充完整；
（2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是 ；
（3）若我市九年级共有50000名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）的人数为 人；
（4）若甲校体育教师中有3名男教师和2名女教师，乙校体育教师中有2名男教师和2名女教师，从甲乙两所学校的体育教师中各抽取1名体育教师去测试学生的身体素质，用树状图或列表法求刚好抽到的体育教师是1男1女的概率．
25．（6分）已知函数y＝a|x﹣2|﹣x+b（a、b为常数），当x＝4时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝0，请对该函数及其图象进行如下探究：
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y＝x2﹣x的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式a|x﹣2|﹣x+b≤x2﹣x的解．
26．（10分）班主任准备到“善雅”文具店购买两种笔记本作为班上学生半期考试的奖品，他已经看好了两种笔记本，其中、“花语”笔记本的单价是“拾梦”笔记本的单价的1.5倍，花120元购买“拾梦”的数量比花150购元买“花语”的数量多5本．
（1）求该文具店售出的“拾梦”与“花语”两种笔记本的价格分别为每本多少元？
（2）据店主统计：4月份该文具店“花语”笔记本销售了200本，“拾梦”笔记本销售了300本．5月份是文具销售旺季，各个文具店促销活动频繁，“善雅”文具店决定5月份两种笔记本的单价均降a%，结果“花语”笔记本的销量比4月份增加了50%，“拾梦”笔记本的销量比4月份增加了5a本，两种笔记本的销售额一共是2720元，求a的值．
27．（10分）阅读下列材料，解决材料后的问题；
材料一：2020年一场突如其来的疫情席卷全球．疫情期间，日本在援华物资上写着“山川异域，风月同天”，这些诗词在疫情最艰难的时期给我们带来了深深感动．为了纪念这份友谊，对于实数x，y，我们将x与的y“风月同天数”用f（x，y）表示，定义为f（x，y）＝，
例如：5与8的风月同天数为f（5，8）＝＝．
材料二：对于实数x，用[x]表示不超过实数x的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，
例如：[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0
（1）由材料一知：x2+2与1的“风月同天数”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝4，请求出x的值：
（2）已知[a﹣1]＝﹣2，请求出实数a的取值范围；
（3）已知实数x，m，且满足条件x﹣2[x]＝，请求f（x，m2﹣m）的最小值．
28．（8分）▱ABCD中，AE⊥BC于E，且AD＝AE．
（1）如图1，连结DE，过A作AF⊥AB交ED于F，在AB上截取AG＝AF，连结DG，点H为GD中点，连接AH，求证：4AH2+DF2＝2AF2；
（2）如图2，连结BD，把△ABD沿直线BD方向平移，得到△A′B′D′，若CD＝，EC＝2，求在平移过程中A'C+B'C的最小值．
2019-2020人教版数学八年级第二学期期中试卷4
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题4分，共48分）
1．如图，▱ABCD中，∠A：∠B＝3：2，则∠D的度数为（ ）
A．60°B．72°C．80°D．108°
【分析】设∠A＝3x，则∠B＝2x，∠A+∠B＝5x＝180°，继而可求出∠B的度数，∠B＝∠D，继而得出答案．
【解答】解：设∠A＝3x，则∠B＝2x，∠A+∠B＝5x＝180°，
解得：x＝36°，
即∠D＝∠B＝2x＝72°．
故选：B．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≠1C．x≥﹣2D．x≠﹣2
【分析】分式有意义时，分母不等于零，由此得到x﹣1≠0，解该不等式即可．
【解答】解：依题意得：x﹣1≠0，
解得x≠1．
故选：B．
3．下列是因式分解的是（ ）
A．
B．（x+y）2＝
C．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1
D．x2（4x﹣2y）＝4x3﹣2x2y
【分析】直接利用因式分解的意义以及整式乘法运算法则分别分析得出答案．
【解答】解：A、ab2﹣ab＝ab（b﹣2），故此选项正确；
B、（）2＝x2+xy+y2，是整式乘法运算，故此选项错误；
C、x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
D、x2（4x﹣2y）＝4x3﹣2x2y，是整式乘法运算，故此选项错误；
故选：A．
4．下列四个命题正确的是（ ）
A．菱形的对角线相等
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
【分析】根据菱形的性质、平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、菱形的对角线不一定相等，本选项错误；
B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项正确；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，本选项错误；
故选：C．
5．如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点且AE∥CF，若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF＝（ ）
A．150°B．40°C．80°D．90°
【分析】可证明△BCF≌△DAE，则∠BCF＝∠DAE，根据三角形外角的性质可得出∠DAE的度数，从而得出∠BCF的度数．
【解答】解：∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBF＝∠ADE，
∵AE∥CF，
∴∠CFB＝∠AED，
∴△BCF≌△DAE，
∴∠BCF＝∠DAE，
∵∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，
∴∠AEB＝∠DAE+∠ADB，
∴∠DAE＝∠AEB﹣∠ADB＝115°﹣35°＝80°，
故选：C．
6．方程x2﹣6x+1＝0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝8B．（x+3）2＝35C．（x﹣3）2＝35D．（x+3）2＝8
【分析】方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果，即可做出判断．
【解答】解：方程变形得：x2﹣6x＝﹣1，
配方得：x2﹣6x+9＝8，即（x﹣3）2＝8，
故选：A．
7．关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝a2+4＞0，由此即可得出方程x2+ax﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：△＝a2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4．
∵a2≥0，
∴a2+4＞0，即△＞0，
∴方程x2+ax﹣1＝0有两个不相等的实数根．
8．如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC＝6，菱形ABCD的面积为24，则OE长为（ ）
A．2.5B．3.5C．3D．4
【分析】根据菱形的性质可得OB＝OD，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOB中求出AB，继而可得出OE的长度．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，菱形ABCD的面积为24，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×6DB＝24，
解得：BD＝8，
∴AO＝OC＝3，OB＝OD＝4，AO⊥BO，
又∵点E是AB中点，
∴OE是△DAB的中位线，
在Rt△AOB中，AB＝＝5，
则OE＝AD＝AB＝2.5．
故选：A．
9．如图，E是边长为2的正方形ABCD的对角线AC上一点，且AE＝AB，F为BE上任意点，FG⊥AC于点G，FH⊥AB于点H，则FG+FH的值是（ ）
A．B．C．2D．1
【分析】过点E作EM⊥AB，连接AF，先求出EM，由，可得FG+FH＝EM，则FG+FH的值可求．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥AB，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∵AB＝AE＝2，
∴EM＝AE×sin45°＝2×，
∵S△ABE＝S△AEF+S△ABF，
∴，
∴EM＝FG+FH＝，
故选：B．
10．已知＝3，则的值为（ ）
A．B．C．D．﹣
【分析】先把分式的分子、分母都除以xy，就可以得到已知条件的形式，再把＝3，代入就可以进行计算．
【解答】解：根据分式的基本性质，分子分母都除以xy得，
＝＝．
故选：B．
11．从﹣2，0，1，2，3中任取一个数作为a，既要使关于x一元二次方程ax2+（2a﹣4）x+a﹣8＝0有实数解，又要使关于x的分式方程+＝3有正数解，则符合条件的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用判别式的意义得到a≠0且△＝（2a﹣4）2﹣4•a•（a﹣8）＞0，再解把分式方程化为整式方程得到x＝，利用分式方程有正数解可得到关于a的不等式组，则可求得a的取值范围，则可求得满足条件的整数a的个数．
【解答】解：∵方程ax2+（2a﹣4）x+a﹣8＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0且△＝（2a﹣4）2﹣4•a•（a﹣8）＞0，
解得：a＞﹣1且a≠0，
分式方程+＝3，
去分母得x+a﹣2a＝﹣3（x﹣1），
解得x＝，
∵分式方程+＝3有正数解，
∴＞0且≠1，
解得a＞﹣3且a≠1，
∴a的范围为﹣1＜a且a≠0，a≠1，
∴从﹣2，0，1，2，3中任取一个数作为a，符合条件的整数a的值是2，3，即符合条件的a只有2个，
故符合条件的概率是．
故选：B．
12．如图所示，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：①∠AEB＝∠AEH；②DH＝2EH；③HO＝AE；④FH＝CH；⑤BC﹣BF＝EH．其中正确命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝AB＝CD，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE＝CD，得到等腰三角形求出∠AED＝67.5°，∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，得到①正确；设DH＝1，则AH＝DH＝1，AD＝DE＝，求出HE＝﹣1，得到2HE＝2（﹣1）≠1，故②错误；通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到③正确；连接BH，证明∠HBC＝∠HCB＝22.5°，推出BH＝CH，即可判断④正确；由△AFH≌△CHE，到AF＝EH，由△ABE≌△AHE，得到BE＝EH，于是得到BC﹣BF＝（BE+CE）﹣（AB﹣AF）＝（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH，从而得到⑤错误．
【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝BC＝AB＝CD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∵AH⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD＝AB，
∴AH＝AB＝CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∴AD＝DE，
∴∠AED＝67.5°，
∴∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠AED＝∠AEB，
故①正确；
设DH＝1，
则AH＝DH＝1，AD＝DE＝，
∴HE＝﹣1
∴2HE＝2（﹣1）≠1，
故②错误；
∵∠AEH＝67.5°，
∴∠EAH＝22.5°，
∵DH＝CD，∠EDC＝45°，
∴∠DHC＝67.5°，
∴∠OHA＝22.5°，
∴∠OAH＝∠OHA，
∴OA＝OH，
∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°，
∴OH＝OE，
∴OH＝AE，
故③正确；
连接BH．
∵∠HCB＝∠HBC＝22.5°，
∴HB＝HC，
∵∠BFH＝∠FBG＝67.5°，
∴HF＝HB，
∴HF＝HC，
故④正确；
∵AH＝DH，CD＝CE，
在△AFH与△EHC中，
，
∴△AFH≌△EHC（AAS），
∴AF＝EH，
在△ABE与△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE（SAS），
∴BE＝EH，
∴BC﹣BF＝（BE+CE）﹣（AB﹣AF）＝（CD+EH）﹣（CD﹣EH）＝2EH，
故⑤错误，
故选：C．
二.填空（每题3分，共24分）
13．（3分）分解因式：2ab﹣8b2＝ 2b（a﹣4b） ．
【分析】直接提取公因式2b，进而分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝2b（a﹣4b）．
故答案为：2b（a﹣4b）．
14．（3分）一个多边形的每个内角都是150°，那么这个多边形的边数为 12 ．
【分析】根据多边形的内角和定理：180°•（n﹣2）求解即可．
【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，
解得n＝12．
所以多边形是12边形，
故答案为：12．
15．（3分）若代数式的值为零，则x的取值应为 2 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．
【解答】解：若代数式的值为零，
则（x﹣2）＝0或（x﹣1）＝0，即x＝2或1，
∵|x|﹣1≠0，x≠1，∴x的取值应为2，
故代数式的值为零，则x的取值应为2．
16．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是 20° ．
【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠BDH＝∠DHO，利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠BDH＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠BDH+∠CDO＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠BDH＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故答案为：20°．
17．（3分）若分式方程﹣＝有增根，则m的值是 4或﹣8 ．
【分析】解：先把分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得出x的值，再代入整式方程求得k的值即可．
【解答】解：去分母得，m﹣2（x﹣2）＝x+2，
∵方程﹣＝有增根，
∴x＝±2，
当x＝2时，m＝4；
当x＝﹣2时，m＝﹣8；
故答案为4或﹣8．
18．（3分）若实数x满足x+，则的值是 ﹣
【分析】将原式的分子、分母同时除以x2后可得，再利用完全平方公式变形为，最后代入计算可得．
【解答】解：∵x≠0，
∴原式＝
＝
＝
＝
＝﹣，
故答案为：﹣．
19．（3分）如图，四边形ABCD为矩形纸片，对折纸片，使得AD与BC重合．得到折痕EF，把纸片展平后，再把纸片沿着BM折叠，使得点A与EF上的点N重合，在折痕BM上取一点P，使得BP＝BA，连接NP并延长，交BA的延长线于点Q．若AB＝3，则AQ的长为 ．
【分析】根据折叠的性质得到AE＝BE＝AB＝，BN＝AB＝3，据此可得∠BNE＝30°，再根据BP＝BA＝BN，求得∠BNP＝75°，∠ENQ＝75°﹣30°＝45°，再根据△QEN是等腰直角三角形，即可得到QE＝NE＝BE＝，进而得出AQ＝QE﹣AE＝．
【解答】解：由折叠可得，AE＝BE＝AB＝，BN＝AB＝3，
∴∠BNE＝30°，∠ABN＝60°，
∴∠MBN＝∠ABN＝30°，
∵BP＝BA＝BN，
∴△BNP中，∠BNP＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ENQ＝75°﹣30°＝45°，
又∵EF⊥AB，
∴△QEN是等腰直角三角形，
∴QE＝NE＝BE＝，
∴AQ＝QE﹣AE＝．
故答案为：．
20．（3分）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝5，则FD的长为 ．
【分析】过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，只要证明△AGB≌△BHC，△BKC≌△CQD即可解决问题．
【解答】解：如图，过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q．
∵∠CFB＝45°
∴CH＝HF，
∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°，
∴∠BAG＝∠FBE，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB＝∠BHC＝90°，
在△AGB和△BHC中，
∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，
∴△AGB≌△BHC（AAS），
∴AG＝BH，BG＝CH，
∵BH＝BG+GH，
∴BH＝HF+GH＝FG，
∴AG＝FG；
∵CH⊥GF，
∴CH∥GM，
∵C为FM的中点，
∴CH＝GM，
∴BG＝GM，
∵BM＝5，
∴BG＝，GM＝2，
∴AG＝2，AB＝5，
∴HF＝，
∴CF＝×＝，
∴CM＝，
∵CK＝CM＝CF＝，
∴BK＝，
∵在△BKC和△CQD中，
∵∠CBK＝∠DCQ，∠BKC＝∠CQD＝90°，BC＝CD，
∴△BKC≌△CQD（AAS），
∴CQ＝BK＝，
DQ＝CK＝，
∴QF＝CQ﹣CF＝﹣＝，
∴DQ＝QF＝，
∴DF＝×＝．
故答案为．
三、解答题.（21每小题20分，共20分）
21．（20分）（1）因式分解：x3﹣6x2y+9xy2；
（2）分式计算：﹣+1；
（3）解方程：+＝1；
（4）解方程：3x2﹣6x+1＝0．
【分析】（1）先提公因式x，然后利用公式法分解因式；
（2）先约分，再进行通分，然后进行同分母的加减运算；
（3）先把方程化为整式方程，解整式方程，然后进行检验确定分式方程的解；
（4）利用配方法得到（x﹣1）2＝，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣6xy+9y2）
＝x（x﹣3y）2；
（2）原式＝﹣+1
＝﹣+1
＝
＝；
（3）去分母得x（x+3）+2（x﹣3）＝（x+3）（x﹣3），
解得x＝﹣，
经检验，原方程的解为x＝﹣；
（4）∵3x2﹣6x+1＝0，
∴x2﹣2x＝﹣，
∴x2﹣2x+1＝﹣+1，
即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
22．（8分）先化简：÷（x+3+）﹣，然后在0，1，2，3中选择一个你喜欢的数作为x值，代入求值．
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，约分后再通分得到原式＝﹣，然后利用分式有意义的条件确定满足条件的x的值，最后把x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷﹣
＝•﹣
＝﹣
＝
＝，
∵x＝0、2、3时，分式没有意义，
∴当x＝1时，原式＝﹣＝1．
23．（8分）证明题
如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE＝CF．
求证：∠BEF＝∠DFE．
【分析】根据平行四边形ABCD的性质（平行四边形的对边平行且相等）、平行线的性质以及全等三角形的判定定理SAS得到△ABE≌△CDF，于是得到∠AEB＝∠DFC，即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴AB＝CD，AB∥CD （平行四边形的对边平行且相等），
∴∠BAE＝∠DCF（两直线平行，内错角相等），
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB＝∠DFC，
∴∠BEF＝∠DFE．
24．（8分）我市为了解九年级学生身体素质测试情况，随机抽取了本市九年级部分学生的身体素质测试成绩为样本，按A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图表，如图，请你结合图表所给信息解答下列问题：
（1）请将上面表格中缺少的数据补充完整；
（2）扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数是 72° ；
（3）若我市九年级共有50000名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）的人数为 44000 人；
（4）若甲校体育教师中有3名男教师和2名女教师，乙校体育教师中有2名男教师和2名女教师，从甲乙两所学校的体育教师中各抽取1名体育教师去测试学生的身体素质，用树状图或列表法求刚好抽到的体育教师是1男1女的概率．
【分析】（1）由C级的人数和对应的百分比可求出总人数，再乘以对应的百分比，即可求出A对应的人数．
（2）求出扇形统计图中“A”部分所占的百分比，再乘以360即可求出所对应的圆心角的度数．
（3）由样本估计总体的方法，求出样本中测试成绩合格以上（含合格）的百分比，再乘以总人数即可解答．
（4）列举出所有情况，看刚好抽到的体育教师是1男1女的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：（1）400÷40%×12%＝120；
（2）200÷1000×360°＝72°；（2分）
（3）（200+280+400）÷1000×50000＝44000；（3分）
（4）列表如下
由表可知，一共有20种等可能结果，其中1男1女共有10种．
∴P（抽到1男1女）＝（10分）
25．（6分）已知函数y＝a|x﹣2|﹣x+b（a、b为常数），当x＝4时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝0，请对该函数及其图象进行如下探究：
（1）a＝ ﹣ ，b＝ 7 ．
（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y＝x2﹣x的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式a|x﹣2|﹣x+b≤x2﹣x的解．
【分析】（1）直接将x＝4，y＝﹣4和x＝﹣2，y＝0代入函数y＝a|x﹣2|﹣x+b中，列方程组解出即可；
（2）分两种情况确定一次函数解析式，取点绘制表格，根据表格数据，绘制图象；
（3）根据图象进行解答即可．
【解答】解：（1）把x＝4，y＝﹣4和x＝﹣2，y＝0代入函数y＝a|x﹣2|﹣x+b中，
得：，解得：，
故答案为：﹣，7；
（2）当x≥2时，函数y＝﹣（x﹣2）﹣x+7；当x＜2时，函数y＝﹣（2﹣x）﹣x+7，
y与x的部分对应值如下表：
根据表格数据，绘制如下函数图象：
（3）从图象看，两个函数的交点横坐标为：﹣1和3，
∴不等式a|x﹣2|﹣x+b≤x2﹣x的解是：x≤﹣1或x≥3．
26．（10分）班主任准备到“善雅”文具店购买两种笔记本作为班上学生半期考试的奖品，他已经看好了两种笔记本，其中、“花语”笔记本的单价是“拾梦”笔记本的单价的1.5倍，花120元购买“拾梦”的数量比花150购元买“花语”的数量多5本．
（1）求该文具店售出的“拾梦”与“花语”两种笔记本的价格分别为每本多少元？
（2）据店主统计：4月份该文具店“花语”笔记本销售了200本，“拾梦”笔记本销售了300本．5月份是文具销售旺季，各个文具店促销活动频繁，“善雅”文具店决定5月份两种笔记本的单价均降a%，结果“花语”笔记本的销量比4月份增加了50%，“拾梦”笔记本的销量比4月份增加了5a本，两种笔记本的销售额一共是2720元，求a的值．
【分析】（1）设“拾梦”与“花语”两种笔记本的价格每本分别为x元，1.5x元，根据“花120元购买“拾梦”的数量比花150购元买“花语”的数量多5本”列出方程求解即可；
（2）根据“两种笔记本的销售额一共是2720元”列方程求解即可．
【解答】解：（1）设“拾梦”与“花语”两种笔记本的价格每本分别为x元，1.5x元，根据题意得，
，
解得，x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，
则1.5x＝1.5×4＝6，
答：“拾梦”与“花语”两种笔记本的价格每本分别为4元，6元．
（2）根据题意得，200×（1+50%）×6×（1﹣a%）+（300+5a）×4×（1﹣a%）＝2720，
整理得，a2+50a﹣1400＝0，
解得，a1＝20，a2＝﹣70（舍去），
答：a的值为20．
27．（10分）阅读下列材料，解决材料后的问题；
材料一：2020年一场突如其来的疫情席卷全球．疫情期间，日本在援华物资上写着“山川异域，风月同天”，这些诗词在疫情最艰难的时期给我们带来了深深感动．为了纪念这份友谊，对于实数x，y，我们将x与的y“风月同天数”用f（x，y）表示，定义为f（x，y）＝，
例如：5与8的风月同天数为f（5，8）＝＝．
材料二：对于实数x，用[x]表示不超过实数x的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，
例如：[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0
（1）由材料一知：x2+2与1的“风月同天数”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝4，请求出x的值：
（2）已知[a﹣1]＝﹣2，请求出实数a的取值范围；
（3）已知实数x，m，且满足条件x﹣2[x]＝，请求f（x，m2﹣m）的最小值．
【分析】（1）直接利用“风月同天数”的公式计算即可得出结论；
（2）根据题意建立不等式，解不等式即可得出结论；
（3）先求出x＝﹣，进而得出f（x，m2﹣m）＝﹣，再判断即可得出结论．
【解答】解：（1）∵f（x2+2，1）＝4，
∴＝4，
∴x＝±，
即x的值为±；
（2）∵[a﹣1]＝﹣2，
∴﹣2≤a﹣1＜﹣1，
∴﹣2≤a＜0；
（3）∵x﹣2[x]＝，
∴x＝2[x]+＝2[x]+2+，
∴x＝﹣，
∴f（x，m2﹣m）＝f（﹣，m2﹣m）＝＝﹣，
要f（x，m2﹣m）最小，
∴最大，
即3[（m﹣）2+]最小，
当m＝时，f（﹣，m2﹣m）最小，最小值为﹣＝﹣，
即f（x，m2﹣m）的最小值为﹣．
28．（8分）▱ABCD中，AE⊥BC于E，且AD＝AE．
（1）如图1，连结DE，过A作AF⊥AB交ED于F，在AB上截取AG＝AF，连结DG，点H为GD中点，连接AH，求证：4AH2+DF2＝2AF2；
（2）如图2，连结BD，把△ABD沿直线BD方向平移，得到△A′B′D′，若CD＝，EC＝2，求在平移过程中A'C+B'C的最小值．
【分析】（1）延长AH交CD于T，连接EG，GF．想办法证明∠GEF＝90°，EG＝DF，EF＝AT＝2AH即可解决问题．
（2）由题意可知四边形A′B′CD是平行四边形，推出A′D＝B′C，推出A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，点A′在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点D′，A′C+B′C＝A′C+A′D＝A′C+A′D′≥CD′，则CD′的长度即为A'C+B'C的最小值，想办法求出CD′即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，延长AH交CD于T，连接EG，GF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AGH＝∠TDH，
∵∠AHG＝∠THD，HG＝HD，
∴△AHG≌△THD（ASA），
∴AH＝TH，AG＝DT，
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE⊥AD，
∵AF⊥AG，
∴∠EAD＝∠GAF．
∴∠GAE＝∠FAD，
∵AD＝AE，AF＝AG，
∴△GAE≌△FAD（SAS），
∴DF＝GE，∠AEG＝∠ADE＝45°，
∵∠AED＝45°，
∴∠GEF＝90°，
∴EG2+EF2＝FG2＝2AF2，
∵∠BAE+∠B＝90°，∠BAE+∠EAF＝90°，
∴∠B＝∠EAF，
∵∠B＝∠ADT，
∴∠EAF＝∠ADT，
∵AG＝AF，AG＝DT，
∴AF＝DT，
∵AE＝AD，
∴△EAF≌△ADT（SAS），
∴EF＝AT＝2AH，
∴DF2+4AH2＝2AF2．
（2）如图2中，
∵A′B′＝CD，A′B′∥AB∥CD，
∴四边形A′B′CD是平行四边形，
∴A′D＝B′C，
∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，
∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点E，
∵A′C+B′C＝A′C+A′D＝A′C+A′E≥CE，则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，
过点E作EH⊥BC于H，交AD于J，过点A作AT⊥BD于T，设DE交AA′于K，过点C作CR⊥AD于R．
∵∠AEC＝∠EAR＝∠ARC＝90°，
∴四边形AECR是矩形，
∴AR＝EC＝2，设AE＝AD＝x，
在Rt△CRD中，则有x2+（x﹣2）2＝10，
解得x＝3或﹣1（舍弃），
∴AD＝AE＝BC＝3，BE＝BC﹣EC＝1，
过点B作BQ⊥DA交DA的延长线于Q，则AQ＝BE＝1，DQ＝AQ+AD＝4，BQ＝AE＝3，
∴BD＝＝＝5，
∵S△ABD＝•BD•AT＝•AD•BQ，
∴AT＝，
∵四边形ATDK是矩形，
∴DK＝AT＝KD′＝，
在Rt△ADK中，AK＝＝＝，
∵S△ADE＝•AD•EJ＝•DE•AK，
∴EJ＝，
在Rt△DJD′中，DJ＝＝，
∴AJ＝EH＝AD﹣DJ＝3﹣＝，
∴CH＝EC﹣EH＝2﹣＝，
∵EH＝EJ+JH＝+3＝，
在Rt△CEH中，CE＝＝，
∴A'C+B'C的最小值为．
等级
A（优秀）
B（良好）
C（合格）
D（不合格）
人数
200
400
280

等级
A（优秀）
B（良好）
C（合格）
D（不合格）
人数
200
400
280

等级
A（优秀）
B（良好）
C（合格）
D（不合格）
人数
200
400
280
120
甲校
乙校
男1
男2
男3
女1
女2
男4
（男1，男4）
（男2，男4）
（男3，男4）
（女1，男4）
（女2，男4）
男5
（男1，男5）
（男2，男5）
（男3，男5）
（女1，男5）
（女2，男5）
女3
（男1，女3）
（男2，女3）
（男3，女3）
（女1，女3）
（女2，女3）
女4
（男1，男4）
（男2，女4）
（男3，女4）
（女1，女4）
（女2，女4）