2019-2020学年广东省实验中学八年级（下）期中数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省实验中学八年级（下）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年广东省实验中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围（　　）
A．x≥5 B．x≤5 C．x＞5 D．x＜5
2．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
3．（3分）在、、、、中，最简二次根式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（3分）下列命题的逆命题正确的是（　　）
①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a＝b，则＝．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（3分）下列算式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，1），B（3，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　　）

A．（﹣3，1） B．（4，1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
9．（3分）如图，下列四组条件中，能判定▱ABCD是正方形的有（　　）
①AB＝BC，∠A＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD，BC＝CD；④∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（　　）
A．13，10，10 B．13，10，12 C．13，12，12 D．13，10，11
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若实数a、b满足|a+2|，则＝　 　．
12．（3分）如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD＝AC，则∠B等于　 　．

13．（3分）若5+的整数部分是a，则a＝　 　．
14．（3分）已知矩形的面积是，其中一边长为，则对角线长为　 　．
15．（3分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，当n＝　 　时，四边形ABEC是矩形．

16．（3分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是　 　．

三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）计算：
（1）+
（2）（2）（）
18．（6分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简．

19．（6分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．

20．（10分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画出AD∥BC且AD＝BC（要求D在网格图中），连接CD；
（2）判断三角形ABC的形状，并说明理由；
（3）若E为BC中点，F为AD中点，四边形AECF是什么特殊的四边形？请说明理由．

21．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD＝∠EBD，P为对角线BD上一点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M．
（1）求证：BE＝DE；
（2）试判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由．

22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点P为边AB上一点，将△CBP沿CP翻折，点B的对应点B'恰好落在DA的延长线上，且PB'⊥AD，若CD＝3，BC＝4．
（1）求证：∠DCB′＝90°；
（2）求BP的长度．

23．（8分）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．
例如：＝＝＝＝|1+|＝1+
解决问题：
①模仿上例的过程填空：
＝＝　 　＝　 　＝　 　＝　 　
②根据上述思路，试将下列各式化简．
（1） （2）．
24．（8分）定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
（2）如图2，准矩形ABCD中，M、N分别AD、BC边上的中点，若AC＝MN，求AB2、BC2、CD2、AD2之间的关系．

25．（12分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC＝8，BD＝6，现有两动点M、N分别从A、C同时出发，点M沿线段AB向终点B运动，点N沿折线C﹣D﹣A向终点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）填空：AB＝　 　；菱形ABCD的面积S＝　 　；菱形的高h＝　 　．
（2）若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位，连接AN、MN．当0＜t＜2.5时，是否存在t的值，使△AMN为等腰直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒a个单位（其中a＜），当t＝4时在平面内存在点E使得以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a的值．

2019-2020学年广东省实验中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围（　　）
A．x≥5 B．x≤5 C．x＞5 D．x＜5
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：代数式有意义，则x﹣5＞0，
解得：x＞5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．
【解答】解：如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；
如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；
如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
则x+3x+2x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
那么△ABC是直角三角形，C正确；
如果a2：b2：c2＝9：16：25，
则如果a2+b2＝c2，
那么△ABC是直角三角形，D正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．（3分）在、、、、中，最简二次根式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据最简二次根式的定义对二次根式分析判断即可得．
【解答】解：在所列二次根式中，最简二次根式有，这2个，
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．（3分）下列命题的逆命题正确的是（　　）
①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a＝b，则＝．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】分别写出各个命题的逆命题后再判断其正确或错误，即确定它是真命题还是假命题．
【解答】解：①“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，所以逆命题错误，故是假命题；
②“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”正确，故是真命题；
③“若a＝b，则＝”的逆命题是“若＝，则a＝b”正确，故是真命题．
故选：C．
【点评】主要考查了逆命题和真假命题的定义．对事物做出判断的语句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．举出反例能有效的说明该命题是假命题．
5．（3分）下列算式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的加减运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：A．、不是同类二次根式，不能合并；
B．3﹣2＝，此选项错误；
C．3+3＝6，此选项正确；
D．＝＝，此选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解题的关键是掌握二次根式的加减运算顺序和运算法则．
6．（3分）如图，在周长为20cm的▱ABCD中，AB≠AD，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质可知BE＝DE，再结合平行四边形的性质即可计算△ABE的周长．
【解答】解：根据平行四边形的性质得：OB＝OD，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
根据线段的垂直平分线上的点到两个端点的距离相等得：BE＝DE，
∴△ABE的周长＝AB+AE+DE＝AB+AD＝×20＝10cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，还利用了中垂线的判定及性质等，考查面积较广，有一定的综合性．
7．（3分）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形．
【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝BC，PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝30°，
∴∠PEF＝∠PFE＝30°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，1），B（3，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　　）

A．（﹣3，1） B．（4，1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
【分析】所给点的纵坐标与A的纵坐标相等，说明这两点所在的直线平行于x轴，这两点的距离为：1﹣（﹣3）＝4；点O和点B的纵坐标相等，这两点所在的直线平行于x轴，这两点的距离为：3﹣0，相对的边平行，但不相等，所以A选项的点不可能是行四边形顶点坐标．
【解答】解：因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1、▱ABOC2、▱AOC3B．根据平行四边形的性质，可知B、C、D正好是C1、C2、C3的坐标，
故选：A．

【点评】理解平行四边形的对边平行且相等，是判断本题的关键．
9．（3分）如图，下列四组条件中，能判定▱ABCD是正方形的有（　　）
①AB＝BC，∠A＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD，BC＝CD；④∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行四边形的性质，矩形、菱形以及正方形的判定方法对各组条件进行判断即可得出答案．
【解答】解：①AB＝BC，∠A＝90°；
根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确；
②AC⊥BD，AC＝BD；
由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确；
③OA＝OD，BC＝CD；
由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，而OA＝OD，所以AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确；
④∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA；
由∠BOC＝90°，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得▱ABCD是菱形；由ABCD是平行四边形，可得AC与BD互相平分，AB∥CD，则∠ABD＝∠CDB＝∠DCA，所以OC＝OD，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定▱ABCD是正方形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的判别方法，正方形的判定方法有：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
10．（3分）一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据（　　）
A．13，10，10 B．13，10，12 C．13，12，12 D．13，10，11
【分析】根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线．根据勾股定理知：底边的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论．
【解答】解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直角三角形，且（）2+122＝132，符合勾股定理，故选B．
【点评】考查了等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）若实数a、b满足|a+2|，则＝　1　．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则原式＝＝1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
12．（3分）如图，在直角三角形ABC中，斜边上的中线CD＝AC，则∠B等于　30°　．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD＝AD，得到△ADC是等边三角形，求出∠A的度数，根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数．
【解答】解：∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD，又CD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质和等边三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
13．（3分）若5+的整数部分是a，则a＝　7　．
【分析】根据的取值范围进行估计解答即可．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴7＜5+＜8，
∴5+的整数部分是a＝7，
故答案为：7
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
14．（3分）已知矩形的面积是，其中一边长为，则对角线长为　　．
【分析】先运用矩形面积公式求出它的另一边，再运用勾股定理求出对角线即可．
【解答】解：∵矩形的面积是，其中一边长为，
∴另一边＝，
∴对角线长＝，
故答案为：
【点评】考查了二次根式的应用，关键是根据矩形的性质和勾股定理求出对角线．
15．（3分）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到E，使CE＝CD，连接AE交BC于F，∠AFC＝n∠D，当n＝　2　时，四边形ABEC是矩形．

【分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形，得到四边形ABEC是平行四边形，然后证得FC＝FE，利用对角线互相相等的四边形是矩形判定四边形ABEC是矩形．
【解答】解：当∠AFC＝2∠D时，四边形ABEC是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，∠BCE＝∠D，
由题意易得AB∥EC，AB＝EC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∵∠AFC＝∠FEC+∠BCE，
∴当∠AFC＝2∠D时，则有∠FEC＝∠FCE，
∴FC＝FE，
∴四边形ABEC是矩形，
故答案为：2．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键是了解矩形的判定定理．
16．（3分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是　（400，800）　．

【分析】根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．
【解答】解：连接AC，
由题意可得：AB＝300m，BC＝400m，
在△AOD和△ACB中
∵，
∴△AOD≌△ACB（SAS），
∴∠CAB＝∠OAD，
∵B、O在一条直线上，
∴C，A，D也在一条直线上，
∴AC＝AO＝500m，则CD＝AC+AD＝800m，
∴C点坐标为：（400，800）．
故答案为：（400，800）．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线上是解题关键．
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（6分）计算：
（1）+
（2）（2）（）
【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可得；
（2）先化简二次根式，再利用平方差公式计算可得．
【解答】解：（1）原式＝4×+＝3+；

（2）原式＝（2﹣2）（2+2）
＝（2）2﹣（2）2
＝20﹣12
＝8．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
18．（6分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简．

【分析】先根据数轴得出b﹣1＞0，a﹣b＜0，再根据＝|a|和绝对值的性质化简可得．
【解答】解：由数轴知a＜1＜b，
∴b﹣1＞0，a﹣b＜0，
则原式＝|a|﹣|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣（b﹣1）﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣b+1﹣b+a
＝1．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握＝|a|和绝对值的性质．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．

【分析】利用三角形中位线定理判定OE∥BC，且OE＝BC．结合已知条件CF＝BC，则OECF，由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得结论．
【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是BD的中点．
又∵点E是边CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE∥BC，且OE＝BC．
又∵CF＝BC，
∴OE＝CF．
又∵点F在BC的延长线上，
∴OE∥CF，
∴四边形OCFE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．此题利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质和“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”的判定定理．
20．（10分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画出AD∥BC且AD＝BC（要求D在网格图中），连接CD；
（2）判断三角形ABC的形状，并说明理由；
（3）若E为BC中点，F为AD中点，四边形AECF是什么特殊的四边形？请说明理由．

【分析】（1）利用平移的性质画出图象即可；
（2）利用勾股定理等逆定理证明；
（3）根据平行四边形的判定定理证明即可．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）△ABC是直角三角形，
理由：∵AB＝，AC＝2，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
（3）四边形AECF是平行四边形，
理由：∵E为BC中点，
∴AE＝BC，
∵F为AD中点，∴AF＝AD，
∵AD＝BC，AD∥BC，
∴AF＝BE，AF∥BE，
∴四边形AECF是平行四边形．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD＝∠EBD，P为对角线BD上一点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M．
（1）求证：BE＝DE；
（2）试判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由．

【分析】（1）由矩形的性质得出∠ADB＝∠CBD，由已知条件∠CBD＝∠EBD，证出∠ADB＝∠EBD，即可得出结论；（2）延长MP交BC于Q，先由角的平分线性质得出PQ＝PN，再由AB＝MQ，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠CBD＝∠EBD，
∴∠ADB＝∠EBD，
∴BE＝DE；
（2）解：PM+PN＝AB；理由如下：
延长MP交BC于Q，如图所示：
∵AD∥BC，PM⊥AD，
∴PQ⊥BC，
∵∠CBD＝∠EBD，PN⊥BE，
∴PQ＝PN，
∴AB＝MQ＝PM+PQ＝PM+PN．

【点评】本题考查了矩形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点P为边AB上一点，将△CBP沿CP翻折，点B的对应点B'恰好落在DA的延长线上，且PB'⊥AD，若CD＝3，BC＝4．
（1）求证：∠DCB′＝90°；
（2）求BP的长度．

【分析】（1）由折叠的性质可得：PB′＝PB，∠PB′C＝∠B，又由在平行四边形ABCD中，PB′⊥AD，求得△B′CD是直角三角形；
（2）根据勾股定理求得DB′的长，然后设BP＝x，在Rt△AB′P中，利用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：（1）由折叠的性质可得：PB′＝PB，∠PB′C＝∠B，
∵四边形ABCD是平行四边形，PB′⊥AD，
∴∠B＝∠D，∠PB′A＝90°，
∴∠D+∠CB′D＝90°，
∴∠DCB′＝90°，
（2）∵CD＝3，BC＝4，
∴AD＝B′C＝BC＝4，
∴DB′＝＝5，
∴AB′＝DB′﹣AD＝1，
设BP＝x，则PB′＝x，PA＝3﹣x，
在Rt△AB′P中，PA2＝AB′2+PB′2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，
解得：x＝，
∴BP＝．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短问题，勾股定理，菱形的性质等知识点的应用，关键是理解题意确定出P的位置和求出DE＝PE+PB，题目比较典型，综合性比较强，主要培养学生的计算能力．
23．（8分）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．
例如：＝＝＝＝|1+|＝1+
解决问题：
①模仿上例的过程填空：
＝＝　　＝　　＝　|3+|　＝　3+　
②根据上述思路，试将下列各式化简．
（1） （2）．
【分析】①模仿阅读材料的方法将原式变形，计算即可得到结果；
②仿照以上方法将各式化简即可．
【解答】解：①原式＝＝＝＝|3+|＝3+；
故答案为：；；|3+|；3+；
②（1）原式＝＝＝|5﹣|＝5﹣；
（2）原式＝＝＝|+|＝+．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．（8分）定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
（2）如图2，准矩形ABCD中，M、N分别AD、BC边上的中点，若AC＝MN，求AB2、BC2、CD2、AD2之间的关系．

【分析】（1）先利用正方形的性质判断出△ABE≌△BCF即可；
（2）连接AN、DN，过点C作CE∥BD，过点B作BE∥DC则四边形BECD为平行四边形，连接DE，则D、N、E三点共线，过点B作BF⊥CE于F，过点D作DG⊥EC交EC延长线于点G，证明△BEF≌△DCG，得出BF＝DG，EF＝CG，由勾股定理得出BC2＝BF2+FC2＝BF2+（EC﹣EF）2，DE2＝DG2+EG2＝DG2+（EC+CG）2＝BF2+（EC+EF）2，得出BC2+DE2＝2BD2+2CD2，得出BC2+4DN2＝2BD2+2CD2，DN2＝（2BD2+2CD2﹣BC2），同理：AN2＝（2AB2+2AC2﹣BC2），MN2＝（2AN2+2DN2﹣AD2）＝AC2+（AB2+CD2﹣BC2﹣AD2），由已知得出MN2＝AC2，MN2＝MN2+（AB2+CD2﹣BC2﹣AD2），即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠EAF+∠EBC＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠EBC+∠BCF＝90°，
∴∠EBF＝∠BCF，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF，
∴四边形BCEF是准矩形；
（2）解：连接AN、DN，过点C作CE∥BD，过点B作BE∥DC，
则四边形BECD为平行四边形，连接DE，则D、N、E三点共线，
过点B作BF⊥CE于F，过点D作DG⊥EC交EC延长线于点G，如图2所示：
∵四边形BECD为平行四边形，
∴BE＝DC，BE∥DC，ED＝2DN，
∴∠BEF＝∠DCG，
在△BEF和△DCG中，，
∴△BEF≌△DCG（AAS），
∴BF＝DG，EF＝CG，
在Rt△BFC中，BC2＝BF2+FC2＝BF2+（EC﹣EF）2，
在Rt△DEG中，DE2＝DG2+EG2＝DG2+（EC+CG）2＝BF2+（EC+EF）2，
∴BC2+DE2＝2BF2+2EC2+2EF2＝2（BF2+EF2）+2EC2＝2BE2+2EC2＝2BD2+2CD2，
∴BC2+4DN2＝2BD2+2CD2，
∴DN2＝（2BD2+2CD2﹣BC2），
同理：AN2＝（2AB2+2AC2﹣BC2），
MN2＝（2AN2+2DN2﹣AD2）＝（BD2+CD2﹣BC2+AB2+AC2﹣BC2﹣AD2）＝（AC2+CD2﹣BC2+AB2+AC2﹣BC2﹣AD2）＝AC2+（AB2+CD2﹣BC2﹣AD2），
∵AC＝MN，
∴MN2＝AC2，
∴MN2＝MN2+（AB2+CD2﹣BC2﹣AD2），
即：（AB2+CD2﹣BC2﹣AD2）＝0，
∴AB2+CD2＝BC2+AD2．

【点评】此题考查了新定义，平行四边形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．
25．（12分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC＝8，BD＝6，现有两动点M、N分别从A、C同时出发，点M沿线段AB向终点B运动，点N沿折线C﹣D﹣A向终点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）填空：AB＝　5　；菱形ABCD的面积S＝　24　；菱形的高h＝　　．
（2）若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位，连接AN、MN．当0＜t＜2.5时，是否存在t的值，使△AMN为等腰直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒a个单位（其中a＜），当t＝4时在平面内存在点E使得以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a的值．
【分析】（1）AB由勾股定理直接求出，菱形面积为对角线之积的一半，还可以表示为边长×高，由此可得高h的长；
（2）当0＜t＜2.5时，M在边AB上，N在边CD上，当∠AMN＝90°时，如图1所示，因为t＜，此种情况不成立，可得结论；
（3）t＝4，时间固定，AM的长度也就固定，A、M、N、E四点要形成菱形，分两大类情况，第一类以AM为边，这种情况可以画两种菱形；第二类以AM为对角线，只有一种．因此共三种情况，分别计算．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点O，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，AC⊥BD，
∴AB＝5，
设菱形的高为h，
则菱形ABCD的面积为×8×6＝AB×h＝24，
∴h＝，
故答案为：5，24，；
（2）当0＜t＜2.5时，M在边AB上，N在边CD上，当∠AMN＝90°时，如图1所示，

由（1）知：MN＝，
当AM＝t＝时，AM＝MN，所以此种情况不成立，
∴当0＜t＜2.5时，不存在t的值，使△AMN为等腰直角三角形；
（3）当t＝4时，AM＝4，
①如图2，四边形AMEN为菱形，

∴AN＝AM＝4，
∴ND+CD＝10﹣4＝6，
∴4a＝6，a＝．
②如图3，AENM为菱形，EM交AN于点R，作DP垂直BC于P，

∵菱形面积为24，
∴DP＝4.8，
∴CP＝，
∵∠MAR＝∠BCD
∴∠AMR＝∠PDC
∴sin∠AMR＝sin∠PDC
∴，
∴AR＝1.12，
∴AN＝2.24，
∴a＝（ND+CD）÷4＝（10﹣2.24）÷4＝1.94，
③如图4，AEMN为菱形，EN交AM于点T，作BS垂直CD于S，

则AT＝MT＝2，
∴BT＝NS＝5﹣2＝3，
∵BS＝4.8，
∴CS＝1.4，
∴CN＝NS+CS＝1.4+3＝4.4，
∴a＝CN÷4＝4.4÷4＝1.1；
综上所述，a的取值有 1.5或1.94或1.4．
【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、面积计算，分类讨论等重要知识点和技能，综合性和技巧性很强，计算量也较大，对学生的能力要求较高，是一道经典压轴题．