初中数学人教版八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式同步达标检测题

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A．-7B．38C．aD．x2+1
【分析】二次根式的被开方数是非负数，根指数是2，根据以上内容判断即可．
【答案】解：A、-7无意义，故本选项不符合题意；
B、38的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意；
C、当a＜0时，根式无意义，故本选项不符合题意；
D、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的定义．一般形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，a表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
2．（3分）（2019秋•闵行区校级月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式
B．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式
C．同类二次根式一定都是最简二次根式
D．两个最简二次根式不一定是同类二次根式
【分析】根据同类二次根式的概念判断．
【答案】解：A、被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、化简后被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、同类二次根式不一定都是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、两个最简二次根式不一定是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
3．（3分）（2019春•萧山区期中）代数式x+4x-2中，x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣4B．x＞2C．x≥﹣4且x≠2D．x＞﹣4且x≠2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+4≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．
【答案】解：由题意得：x+4≥0，且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣4且x≠2，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
4．（3分）（2019秋•虹口区校级月考）下列各式中，互为有理化因式的是（ ）
A．a+b，a-bB．5-2，5-2C．x-1，x-1D．-a+b，a-b
【分析】利用有理化因式判断即可．
【答案】解：x-1与x-1互为有理化因式，
故选：C．
【点睛】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式定义是解本题的关键．
5．（3分）（2020春•郯城县期中）已知n是一个正整数，45n是整数，则n的最小值是（ ）
A．3B．5C．15D．45
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【答案】解：由于45n＝32×5n，
∴45n=35n，
由于45n是整数，
∴n的最小值为5，
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
6．（3分）（2020春•石城县期中）实数a在数轴上的位置如图所示，则(a-3)2+(a-10)2化简后为（ ）
A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【答案】解：由数轴上点的位置，得
4＜a＜8．
(a-3)2+(a-10)2=a﹣3+10﹣a＝7，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质化简是解题关键．
7．（3分）（2020春•芝罘区期中）若x+1x=7，则x+1x的值是（ ）
A．3B．±3C．5D．±5
【分析】先（x+1x）2＝x+2+1x=7+2＝9，再开平方，可得结论．
【答案】解：∵x+1x=7，
∴（x+1x）2＝x+2+1x=7+2＝9，
∵x+1x＞0，
∴x+1x=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，本题熟练掌握完全平方公式是关键，并注意二次根式的双重非负性．
8．（3分）（2020春•奉化区期中）我们把形如ax+b（a，b为有理数，x为最简二次根式）的数叫做x型无理数，如25+3是5型无理数，则(2+6)2是（ ）
A．2型无理数B．3型无理数C．6型无理数D．12型无理数
【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式＝43+8，然后利用新定义对各选项进行判断．
【答案】解：(2+6)2=2+212+6＝43+8，
所以(2+6)2是3型无理数．
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
9．（3分）（2020春•铁东区期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（ ）
A．166cm2B．40 cm2C．86cm2D．（26+4）cm2
【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，易得大正方形的面积，利用分割法求得余下部分的面积．
【答案】解：从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是16+24=4+26，
留下部分（即阴影部分）的面积是（4+26）2﹣16﹣24＝16+166+24﹣16﹣24＝166（cm2）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．
10．（3分）（2020春•新泰市期中）如果一个三角形的三边长分别为1、k、4．则化简|2k﹣5|-k2-12k+36的结果是（ ）
A．3k﹣11B．k+1C．1D．11﹣3k
【分析】由于三角形的三边长分别为1、k、4，根据三角形的三边关系，1+4＞k，即k＜5，4﹣1＜k，所以k＞3，根据k的取值范围，再对代数式进行化简．
【答案】解：∵三角形的三边长分别为1、k、4，
∴1+4＞k4-1＜k，
解得，3＜k＜5，
所以，2k﹣5＞0，k﹣6＜0，
∴|2k﹣5|-k2-12k+36=2k﹣5-(k-6)2=2k﹣5﹣[﹣（k﹣6）]＝3k﹣11．
故选：A．
【点睛】化简a2，要根据二次根式的性质，先将a2化为|a|，然后根据a的符号，去绝对值符号进行化简．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020春•民权县期末）在根式3，4x，35，0.25，20，最简二次根式的个数有 1 个．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【答案】解：最简二次根式有3这1个，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
12．（3分）（2020春•玄武区期中）如果最简二次根式3a-4与16-a可以合并，那么使5a-2x有意义的x的取值范围是 x≤252 ．
【分析】根据已知得出3a﹣4＝16﹣a，求出a的值再根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．
【答案】解：∵最简二次根式3a-4与16-a可以合并，
∴3a﹣4＝16﹣a，
解得：a＝5，
∴5a-2x=25-2x，
要使25-2x有意义，必须25﹣2x≥0，
解得：x≤252，
故答案为：x≤252．
【点睛】本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出方程和不等式是解此题的关键．
13．（3分）（2020春•郯城县期中）若式子(x-2)2=2﹣x成立，则x的取值范围为 x≤2 ．
【分析】根据二次根式的性质可得x﹣2≤0，再解即可．
【答案】解：由题意得：x﹣2≤0，
解得：x≤2，
故答案为：x≤2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握a2=|a|．
14．（3分）（2019秋•二七区校级期中）若y=x2-4+4-x2+3，则yx＝ 9或19 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可求x＝±2，进一步求得y的值，再代值计算即可求解．
【答案】解：∵y=x2-4+4-x2+3，
∴x＝±2，
∴y＝3，
∴yx＝32＝9或yx＝3﹣2=19．
故答案为：9或19．
【点睛】考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式有意义的条件求得x＝±2．
15．（3分）（2020春•桦南县期中）已知x+y＝﹣5，xy＝4，则yx+xy= 52 ．
【分析】先化简yx+xy，再代入求值即可．
【答案】解：∵x+y＝﹣5，xy＝4，
∴x＜0，y＜0，
yx+xy=-（xyx+xyy）=-xy(x+y)xy，
∵x+y＝﹣5，xy＝4，
∴原式=-xy(x+y)xy=-4×(-5)4=52．
故答案为：52．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，化简二次根式是解题的关键．
16．（3分）（2019春•海阳市期中）若m满足等式m-2020+|2019﹣m|＝m，则m﹣20192的值为 2020 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得m≥2020，再利用绝对值的性质计算m-2020+|2019﹣m|＝m即可．
【答案】解：∵m﹣2020≥0，
∴m≥2020，
∴m-2020+|2019﹣m|＝m，
m-2020+m﹣2019＝m，
m-2020=2019，
∴m﹣2020＝20192，
m﹣20192＝2020，
故答案为：2020．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式中的被开方数是非负数确定m的取值范围．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2020春•安丘市期中）计算题：
（1）212÷1250×1234-352；
（2）先化简，再求值．（6xyx+3yxy3）﹣（4xxy+36xy），其中x=32，y＝27．
【分析】（1）先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算即可；
（2）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后代入计算即可．
【答案】解：（1）原式＝2×2×1212÷50×34-352
＝2×3102-352
=352-352
＝0；
（2）原式＝6xyx+3yxy3-4xxy-36xy
＝6xy+3xy-4xyxy-6xy
＝（3-4xy）xy
=3y-4xyxy，
当x=32，y＝27时，原式=81-627812=2522．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简计算，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
18．（8分）（2020春•齐齐哈尔期末）计算
（1）18-92-3+63+（3-2）0+(1-2)2；
（2）（23+6）（23-6）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用乘法公式计算得出答案．
【答案】解：（1）原式=32-322-1-2+1+2-1
=322-1；
（2）原式＝（23）2﹣（6）2＝6．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
19．（8分）（2018秋•金牛区校级月考）已知x-3y+|x2-9|(x+3)2=0，求x+yx-y-x-yx+y的值；
【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出x，y的值，进而利用二次根式的性质化简得出答案．
【答案】解：∵x-3y+|x2-9|(x+3)2=0，
∴x﹣3y＝0，x2﹣9＝0，且x+3≠0，
解得：x＝3，y＝1，
故x+yx-y-x-yx+y=3+13-1-3-13+1
=(3+1)22-(3-1)22
＝2+3-（2-3）
＝23．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质以及分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
20．（8分）（2019春•确山县期中）已知a，b，c满足等式|a-7|+（c﹣42）2=b-5+5-b（1）求a，b，c的值．
（2）判断以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据二次根式的被开方数的非负性可得b的值，再根据绝对值和偶次方的非负性可得a和c的值．
（2）先计算两条较短边的长度之和大于第三边，则可判断a，b，c为边能构成三角形；再根据勾股定理逆定理可证明此三角形是直角三角形；然后根据直角三角形的面积计算公式求得面积即可．
【答案】解：（1）∵|a-7|+（c﹣42）2=b-5+5-b
∴b﹣5≥0，5﹣b≥0
∴b＝5
∴|a-7|+（c﹣42）2＝0
∴a-7=0，c﹣42=0
∴a=7，b＝5，c＝42．
（2）∵a=7，b＝5，c＝42．
∴a+b=7+5＞42．
∴以a，b，c为边能构成三角形；
∵a2+b2＝7+25＝32，c2=(42)2=32
∴a2+b2＝c2
∴此三角形是直角三角形．
此三角形的面积为：12×7×5=572．
答：以a，b，c为边能构成三角形；此三角形是直角三角形；此三角形的面积为572．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值和偶次方的非负性、三角形的三边关系和勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
21．（10分）（2020春•安丘市期中）阅读材料：把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn=y，则把x±2y变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得x±2y化简．
例如：化简3+22
解：∵3+22=1+2+22=12+（2）2+2×1×2=（1+2）2
∴3+22=(1+2)2=1+2；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）5+26；
（2）7-43．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【答案】解：（1）∵5+26=3+2+26
＝（3）2+（2）2+2×3×2
＝（3+2）2，
∴5+26=(3+2)2=3+2；
（2）∵7﹣43=4+3﹣43=22+（3）2﹣2×2×3
＝（2-3）2，
∴7-43=(2-3)2=2-3．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
22．（10分）（2020春•遵义期末）材料阅读：
在二次根式的运算中，经常会出现诸如12，23-2的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：12=2(2)2=22；23-2=2×(3+2)(3-2)×(3+2)=23+22(3)2-(2)2=23+223-2=23+22．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：2=21=(2)22=22；3-13=(3-1)×(3+1)3×(3+1)=(3)2-12(3)2+3=3-13+3=23+3．
根据上述知识，请你完成下列问题：
（1）运用分母有理化，化简：15-2-55；
（2）运用分子有理化，比较7-6与6-5的大小，并说明理由；
（3）计算：11+2+12+3+13+4+14+5+⋯+199+100的值．
【分析】（1）先分母有理化，然后合并即可；
（2）先利用分母有理化比较它们的倒数的大小，从而得到它们的大小关系；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【答案】解：（1）原式=5+2(5-2)(5+2)-5×55×5
=5+2-5
＝2；
（2）7-6＜6-5．
理由如下：
∵17-6=7+6，16-5=6+5，
而7+6＞6+5，
∵17-6＞16-5，
∴7-6＜6-5；
（3）原式=2-1+3-2+4-3+⋯+100-99
=100-1
＝10﹣1
＝9．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.