全国版2021届高考数学二轮复习专题检测二十二导数与不等式理含解析

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1．已知函数f(x)＝xex＋2x＋aln x，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直．
(1)求实数a的值；
(2)求证：f(x)>x2＋2.
解：(1)因为f′(x)＝(x＋1)ex＋2＋eq \f(a,x)，
所以曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝2e＋2＋a.
而直线x＋2y－1＝0的斜率为－eq \f(1,2)，
由题意可得(2e＋2＋a)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，
解得a＝－2e.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝xex＋2x－2eln x.
不等式f(x)>x2＋2可化为xex＋2x－2eln x－x2－2>0.
设g(x)＝xex＋2x－2eln x－x2－2，
则g′(x)＝(x＋1)ex＋2－eq \f(2e,x)－2x.
记h(x)＝(x＋1)ex＋2－eq \f(2e,x)－2x(x>0)，
则h′(x)＝(x＋2)ex＋eq \f(2e,x2)－2，
因为x>0，所以x＋2>2，ex>1，故(x＋2)ex>2，
又eq \f(2e,x2)>0，所以h′(x)＝(x＋2)ex＋eq \f(2e,x2)－2>0，
所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又h(1)＝2e＋2－2e－2＝0，
所以当x∈(0，1)时，h(x)0，函数g(x)单调递增．
所以g(x)≥g(1)＝e＋2－2eln 1－1－2＝e－1，
显然e－1>0，
所以g(x)>0，即xex＋2x－2eln x>x2＋2，也就是f(x)>x2＋2.
2．设函数f(x)＝2ln x－mx2＋1.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)>m－1成立，求实数m的取值范围．
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝eq \f(2,x)－2mx＝eq \f(－2（mx2－1）,x)，
当m≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当m>0时，令f′(x)>0，得0m－1成立，则f(x)max>m－1.
即－ln m>m－1，ln m＋m－10)，
∵g′(x)＝1＋eq \f(1,x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，∴00，即1－m