中考数学隐形圆专题含答案

这是一份中考数学隐形圆专题含答案，共32页。

则点B的轨迹为圆心为点A，半径为AB的圆。
【经典例题1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是___.
【解析】如图所示：当∠BFE=∠B′EF，点B′在DE上时，此时B′D的值最小，
根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，
∴EB′⊥B′F，
∴EB′=EB，
∵E是AB边的中点，AB=4，
∴AE=EB′=2，
∵AD=6，
∴DE=，
∴B′D=−2.
练习1-1如图③，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE=2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度。若不存在，请说明理由。
【解析】（3）如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，AD=BC=4，∠ABC=∠D=90°，根据勾股定理得，AC=5，
∵AB=3，AE=2，
∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
∵S四边形AGCD=S△ACD+S△ACG=AD×CD+AC×h=×4×3+×5×h=h+6，
∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，
∵点G是以点E为圆心，BE=1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴EG⊥AC时，h最小，
由折叠知∠EGF=∠ABC=90°，
延长EG交AC于H，则EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC==，
在Rt△AEH中，AE=2，sin∠BAC==，
∴EH=AE=，
∴h=EH-EG=-1=
∴S四边形AGCD最小=h+6=×+6=．
练习1-2如图，等边△ABC的边AB=8，D是AB上一点，BD=3，P是AC边上一动点，将△ADP沿直线DP折叠，A的对应点为A'，则CA'的长度最小值是 .
【解析】2
练习1-3如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△AMN，连接A'C，则A'C长度的最小值是 .
【解析】如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，
交CD的延长线于点E；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∵点M为AD的中点，∠BCD=30∘，
∴DM=MA=2，∠MDE=∠BCD=30∘，
∴ME=DM=1，DE=，
∴CE=CD+DE=4，由勾股定理得：
CM2=ME2+CE2，
∴CM=7;由翻折变换的性质得：MA′=MA=2，
显然，当折线MA′C与线段MC重合时，
线段A′C的长度最短，此时A′C=7−2=5，
故答案为5.
练习1-4如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60∘，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是( )
A. B. −1 C. D. 2
【解析】如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60∘，M为AD中点，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60∘，
∴∠FMD=30∘，
∴FD=MD=，
∴FM=DM×cs30∘=，
∴MC=，
∴A′C=MC−MA′=−1.
故选：B.
变式：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_____
解题思路：同上题，不难看出点P的运动轨迹为以点F为圆心，
PF为半径的圆上运动，求点P到AB的距离最小，可过点F作AB的垂线于点M，交圆 F于点P，此时，最小值为PM。根据△AMP∽△ACB可以先求出PM的值，
再根据PM=FM-FP，可算出最小值。

证明：参照知识点储备4，点直线距离。
变式1.如图 1，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=_______度。
【解析】如图 ，因为 AB=AC=AD，故 B、C、D 三点在以 A 为圆心的圆上，故∠CBD= ∠ CAD=38°
变式2如图，在△ABC 内有一点 D，使得 DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°则∠BDC=__________。
【解析】100°
类型二：定角对定长
题型识别：
有一条长度固定的线段，这条线段所对的张角固定不变。
总结：
定角对定长，关键在于确定圆心的位置和半径的大小。
确定圆心---圆心在定长线段的垂直平分线上，再根据圆周角与圆心角之间的关系，求出此定角所对的圆心角的大小，即可确定圆心的位置。
计算半径---根据垂径定理及锐角三角函数可求半径的大小。
【经典例题2】如图，F是正方形ABCD的边CD上一动点，AB=2，连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为（ ）.
A. B. C. D.
【解析】如图1中，取AB的中点O，连接OG，OC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90∘，
∵AB=2，∴OB=OA=1，
∴OC=，
∵AH⊥BF，∴∠AGB=90∘，
∵AO=OB，∴OG=AB=1，
∵CG⩾OC−OG，
∴当O，G，C共线时，CG的值最小，最小值=−1(如图2中)，
∵OB=OG=1，∴∠OBG=∠OGB，
∵AB∥CD，∴∠OBG=∠CFG，
∵∠OGB=∠CGF，∴∠CGF=∠CFG，
∴CF=CG=−1，
∵∠ABH=∠BCF=∠AGB=90∘，
∴∠BAH+∠ABG=90∘，∠ABG+∠CBF=90∘，
∴∠BAH=∠CBF，
∵AB=BC，∴△ABH≌△BCF(ASA)，
∴BH=CF=−1，
∴CH=BC−BH=2−(1)=3−，
故选：C.
练习2-1在正方形ABCD中，AD＝2，E，F分别为边DC，CB上的点，且始终保持DE＝CF，连接AE和DF交于点P，则线段CP的最小值为 .

【解析】如图，在△ADE和△DCF中，
∴△ADE2△DCF（SAS）
∴∠DAE＝∠CDF
∵∠DAE＋∠AED＝90°
∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠DPE＝∠APD＝90°
.∠APD＝90°保持不变
∴点P的轨迹为以AD为直径的一段弧上
∴取AD中点Q，连接CQ，与该圆弧交点即为点P，此时CP值最小在Rt△CQD中，CQ＝
∴CP＝CQ－PQ＝－1
练习2-2如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC=∠PCD，则线段PD的最小值为( )
A. 5 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90∘，
∵∠PBC=∠PCD，
∴∠PBC+∠PCB=90∘，
∴∠BPC=90∘，
∴点P在以BC为直径的⊙O上，
连接OD交⊙O于P′，连接OP、PD，如图，
∵PD⩾OD−OP(当且仅当O、P、D共线时，取等号)，
即P点运动到P′位置时，PD的值最小，最小值为DP′，
在Rt△OCD中，OC=BC=4，CD=AB=3，
∴OD=，
∴DP′=OD−OP′=5−4=1，
∴线段PD的最小值为1.
故选：B.
练习2-3如图，圆O的半径为，正方形ABCD内接于圆O，点E在弧ADC上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF.则CF的最小值为 .
【解析】
变式：如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为
解题思路：由∠PAB=∠PBC和∠ABC=90°，可得∠P=90°
AB=6，为定长且位置不变，定角∠P的顶点是动点，由定角对定长，可得动点P的轨迹为：以AB为直径的圆上，圆心为AB的中点。
取AB得中点O，连接OC，交圆O为点P，此时CP取最小值为OC-OP=2.
证明：参照知识点储备1，点圆距离。
如图，在边长为6的等边△ABC中，AE=CD，连接BE、AD相交于点P，则CP的最小值为_____
解题思路：由等边三角形和AE=CD，可证△ABE≌△CAD，
可得∠ABE=∠DAC，∠ABE+∠BAD=60，即
∠APD=120° AB=6，为定长且位置不变，定角∠APD的顶点是动点，由定角对定长，可得动点P的轨迹为：劣弧AB上。圆心和半径的确定可以参照模型二中第5个。连接CO交圆于点P，此时CP的最小值为OC-OP=

证明：参照知识点储备1，点圆距离。
如图所示，边长为2的等边△ABC的，点B在x轴的正半轴运动，∠BOD＝30°，
点A在射线OD上移动，则顶点C到原点的最大距离为
解题思路：此题可以参照模型二中的第6种，定角的顶点不动，定长线段位置在变化。由此可得
△OAB的外接圆在变化，但是半径不变，取
任意一个位置作出△OAB的外接圆，如图所
示，此时可取AB的中点F，无论在什么时刻，
OE、EF、CF的长度是不变的，当点O、E、F、
C四点共线时，OC值取最大，最大值为：
OE+EF+CF=2++=2+2

变式2：如图，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的一个动点，若AB=2，则△AOB面积的最大值为 .
【解析】角AOB为定值：135°或45°，
线段AB为定长2，可做ABO的外接圆（圆心为P），
可知圆心角角APB等于2*45＝90，所以半径为，
O点在线段AB正上方是高最大，此时高为（1+）。
已知正方形ABCD的边长为4，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN，交于点P.求△APB周长的最大值？
AC为边长2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、AC向终点C和A运动，连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值？
【解析】
问题探究
（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM=CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论．
（2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值；
问题解决
（3）如图③，AC为边长为2的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．
【解析】（1）结论：AM⊥BN．
理由：如图①中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°，
∵BM=CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠CBN+∠ABN=90°，
∴∠ABN+∠BAM=90°，
∴∠APB=90°，
∴AM⊥BN．
（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．
∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°，
∴四边形EFPG是矩形，
∴∠FEG=∠AEB=90°，
∴∠AEF=∠BEG，
∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°，
∴△AEF≌△BEG，
∴EF=EG，AF=BG，
∴四边形EFPG是正方形，
∴PA+PB=PF+AF+PG-BG=2PF=2EF，
∵EF≤AE，
∴EF的最大值=AE=2，
∴△APB周长的最大值=4+4．
（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB．
∵AB=BC，∠ABM=∠BCN，BM=CN，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠APN=∠BAM+∠ABP=∠CBN+∠ABN=60°，
∴∠APB=120°，
∵∠AKB=60°，
∴∠AKB+∠APB=180°，
∴A、K、B、P四点共圆，
∴∠BPH=∠KAB=60°，
∵PH=PB，
∴△PBH是等边三角形，
∴∠KBA=∠HBP，BH=BP，
∴∠KBH=∠ABP，∵BK=BA，
∴△KBH≌△ABP，
∴HK=AP，
∴PA+PB=KH+PH=PK，
∴PK的值最大时，△APB的周长最大，
∴当PK是△ABK外接圆的直径时，PK的值最大，最大值为4，
∴△PAB的周长最大值=2+4．
类型三：四点共圆
判定1 四点围成的四边形，对角互补，外角等于内对角；
若∠A+∠DCB=180°，或∠B+∠D=180°
或∠DCE=∠A，则点A、B、C、D四点共圆。
判定2 连接四点围成的四边形的对角线，被交点分成的两条线段长度的积相等；
若EC·AE=ED·BE，则点A、B、C、D四点共圆。
判定3 运用圆幂定理中的割线定理；
若EA·ED=EB·EC，则点A、B、C、D四点共圆。
判定4 四点连成共底边的两三角形，两三角形的顶角都在共底边的同侧且相等；
若∠A＝∠D，则点A、B、C、D四点共圆。
【经典例题3】如图，∠xOy=45∘，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A. B分别在OX，OY上移动，其中AB=10，则点O到顶点A的距离的最大值为 ，点O到AB的距离的最大值为 .
【解析】∵，
∴当∠ABO=90∘时，点O到顶点A的距离的最大。
则OA=AB=10.
点O到AB的距离的最大值为5+5.
故答案是：10，5+5.
练习3-1如图 1，等边△ABC 中，AB=6，P 为AB 上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则 DE 的最小值为？
【解析】四边形P、D、C、E四点共圆，角EOD=2角ECD=120°，
设半径为R，故ED=R，要使得DE最小，则半径E最小
故当直径PC最小，CP垂直AB时，PC最短为，半径为
故DE=R=
练习3-2如图，点D为∠ABC的一边BC上一丁点，且BD=5，线段PQ在∠ABC另一边AB上移动，且PQ=2，若 sinB=，则当∠PDQ达到最大值时，PD的长为？
【解析】D为定点，PQ=2是定长
所以当DH垂直评分线段PQ时，角PDQ的值最大。
练习3-3如图1，正方形ABCD中，∠EAF=45°，AE、AF交BD于M、N两点，连EN．
（1）若EF∥MN，则∠ANE=90°，．
（2）如图2，转动∠EAF，（1）中的结论是否仍成立？请证明．
【解析】（1）延长CB，在CB的延长线上截取GB=DF，连接AG，
在正方形ABCD中，
∠DBC=45°，AB=AD，
∴∠DBC=∠EAF=45°，
∴A、B、E、N四点共圆，
∵∠ABC=90°，
∴由圆内接四边形性质可知：∠ANE=90°，
∵∠EAF=45°，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∴AE=AN，
在△GBA与△FDA中，
AB=AD，∠ABG=∠ADF，GB=DF，
∴△GBA≌△FDA（SAS），
∴∠GAB=∠FAD，GA=AF，
∵∠BAE+∠FAD+∠EAF=90°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠BAE+∠GAB=45°，
即∠GAE=45°，
在△GAE与△FAE中，
{GA=AF，∠GAE=∠FAE，AE=AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
由圆周角定理可知，∠AEG=∠ANM，
∵∠GAE=∠MAN，
∴△AGE∽△AMN
∴GE/MN=AE/AN=，
即EF/MN=，
（2）转动∠EAF时，由于AE、AF交BD于M、N两点，
延长CB，在CB的延长线上截取GB=DF，连接AG，
在正方形ABCD中，
∠DBC=45°，AB=AD，
∴∠DBC=∠EAF=45°，
∴A、B、E、N四点共圆，
∵∠ABC=90°，
∴由圆内接四边形性质可知：∠ANE=90°，
∵∠EAF=45°，
∴△ANE是等腰直角三角形，
∴AE=AN，
在△GBA与△FDA中，
{AB=AD，∠ABG=∠ADF，GB=DF，
∴△GBA≌△FDA（SAS），
∴∠GAB=∠FAD，GA=AF，
∵∠BAE+∠FAD+∠EAF=90°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠BAE+∠GAB=45°，
即∠GAE=45°，
在△GAE与△FAE中，
{GA=AF，∠GAE=∠FAE，AE=AE，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴GE=EF，
由圆周角定理可知，∠AEG=∠ANM，
∵∠GAE=∠MAN，
∴△AGE∽△AMN
∴GE/MN=AE/AN=，
即EF/MN=，
故答案为：（1）90°，；
练习3-4已知：正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上一点，且ED=FC，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH.
(1)求证：ED⊥FC；
(2)求证：△DGH是等腰直角三角形。
【解析】
证明：(1)∵在正方形ABCD中，
∴AD=CD，
∵ED=FC，∠CDA=∠A=90∘，
即在Rt△AED和Rt△FDC中，
∵{AD=CDFC=ED，
∴Rt△AED≌Rt△FDC(HL)，
∴∠AED=∠DFC，
∵∠AFC+∠DFC=180∘，
∴∠AFC+∠AED=180∘，
∴∠A+∠FGE=180∘(四边形内角和定理)，
∵∠A=90∘，
∴∠FGE=90∘，
即ED⊥FC；
(2)连接EC，
∵由(1)得∠FGE=90∘，∠ABC=90∘，
∴∠EGC+∠EBC=180∘，
∴B、C. G、E四点共圆(如图所示)，
∴∠AED=∠BCG，
∴∠BGC=∠BEC，
在RT△BCE和RT△ADE中，
∵BE=AE，∠EBC=∠A，BC=AD，
∴RT△BCE≌RT△ADE(SAS)，
∴∠AED=∠BEC，
∴∠BGC=∠AED，
∴∠BGC=∠BCG，
∴BG=BC，
又∵BH平分∠GBC交FC于H，
∴BH是GC的中垂线，
∴GH=HC，∠BHC=90∘，
∵∠BCH+∠GCD=90∘，∠GCD+∠GDC=90∘，
∴∠BCH=∠CDG，
∵∠DGC=∠BHC=90∘，CD=CB，
∴∠CGD=∠BHC，∠GDC=∠HCB，BC=CD，
∴△BHC≌△CGD，
∴DG=HC，
∵GH=HC，
∴GH=DG，
又∵∠FGE=90∘，
∴△DGH是等腰直角三角形。
练习3-5如图，正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且EF=DE，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC.
(1)求证：△AEG是等腰直角三角形；
(2)求证：AG+CG=DG.
【解析】(1)证明：∵DE=EF，AE⊥DP，
∴AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF，
∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90∘，
∴∠AFD=∠PAE，
∵AG平分∠BAF，
∴∠FAG=∠GAP.
∵∠AFD+∠FAE=90∘，
∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90∘
∴2∠GAP+2∠PAE=90∘，
即∠GAE=45∘，
∴△AGE为等腰直角三角形；
(2)证明：作CH⊥DP，交DP于H点，
∴∠DHC=90∘.
∵AE⊥DP，
∴∠AED=90∘，
∴∠AED=∠DHC.
∵∠ADE+∠CDH=90∘，∠CDH+∠DCH=90∘，
∴∠ADE=∠DCH.
∵在△ADE和△DCH中，
∠AED=∠DHC∠ADE=∠DCHAD=DC，
∴△ADE≌△DCH(AAS)，
∴CH=DE，DH=AE=EG.
∴EH+EG=EH+HD，
即GH=ED，
∴GH=CH.
∴CG=GH.
∵AG=EG，
∴AG=DH，
∴CG+AG=GH+DH
∴CG+AG=（GH+DH）
即CG+AG=DG