2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第8章 平面解析几何 8-3 word版含答案

 (时间：40分钟)

1．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是(　　)

A．原点在圆上    B．原点在圆外

C．原点在圆内    D．不确定

答案　B

解析　将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，即>，所以原点在圆外．

2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为(　　)

A．x2＋(y－2)2＝1    B．x2＋(y＋2)2＝1

C．(x－1)2＋(y－3)2＝1    D．x2＋(y－3)2＝1

答案　A

解析　设圆心坐标为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝1.又因为该圆过点(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，即圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.

3．若点A，B在圆O：x2＋y2＝4上，弦AB的中点为D(1,1)，则直线AB的方程是(　　)

A．x－y＝0    B．x＋y＝0

C．x－y－2＝0    D．x＋y－2＝0

答案　D

解析　因为直线OD的斜率为kOD＝1，所以由垂径定理得直线AB的斜率为kAB＝－1，所以直线AB的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，故选D.

4．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1    B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4    D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

答案　A

解析　设M(x0，y0)为圆x2＋y2＝4上任一点，PM中点为Q(x，y)，则∴代入圆的方程得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.

5．若方程 －x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围(　　)

A．－4≤m≤4

B．－4≤m≤4

C．－4≤m≤4

D．4≤m≤4

答案　B

解析　由题意知方程＝x＋m有实数解，分别作出y＝与y＝x＋m的图象，如图，若两图象有交点，需－4≤m≤4.

6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

答案　(－2，－4)　5

解析　由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．

7．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．

答案　3－

解析　lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝，则AB边上的高的最小值为－1.故△ABC面积的最小值是×2×＝3－.

8．当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________.

答案　

解析　由题意知，圆的半径r＝＝

≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tanα＝－1，又α∈已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.

(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；

(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．

解　(1)设点P的坐标为(x，y)，

则＝2.

化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求．

(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．

由直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝

＝，

当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，

此时|CQ|＝＝4，

则|QM|的最小值为＝4.

10．已知点(x，y)满足(x－3)2＋(y－4)2＝9，求：

(1)3x＋4y的最大值与最小值；

(2)(x＋1)2＋y2的最小值．

解　(1)解法一：设圆(x－3)2＋(y－4)2＝9的参数方程为(θ为参数)，

∴3x＋4y＝3(3＋3cosθ)＋4(4＋3sinθ)

＝25＋9cosθ＋12sinθ＝25＋15sin(θ＋φ)．

∴3x＋4y的最大值为40，最小值为10.

解法二：设3x＋4y＝t，直线与圆有公共点，

∴≤3⇔|t－25|≤15⇔10≤t≤40.

∴tmin＝10，tmax＝40.

(2)解法一：(x＋1)2＋y2＝(4＋3cosθ)2＋(4＋3sinθ)2＝41＋24(sinθ＋cosθ)＝41＋24sinθ＋，∴其最小值为41－24.

解法二：设M(x，y)是圆上的点，圆外一点M0(－1,0)，则(x＋1)2＋y2的几何意义是|MM0|2，而|MM0|最小值是|M0C|－r，即(－3)2＝41－24.

(时间：20分钟)

11．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y－1)2＝1    B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1    D．(x－3)2＋(y－1)2＝1

答案　A

解析　由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)(a>0)，又由圆与直线4x－3y＝0相切可得＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.

12．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是(　　)

A．(4,6)    B． 

C．

答案　A

解析　易求圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离为5.令r＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r取值范围在(4,6)之间符合题意．

13．已知对于圆x2＋(y－1)2＝1上任一点P(x，y)，不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．

答案　[－1，＋∞)

解析　因为x＋y＋m＝0右上方的点满足：x＋y＋m>0，结合图象知，要使圆上的任一点的坐标都满足x＋y＋m≥0，只需直线在如图所示的切线的左下方(含切线)，

图中切线的纵截距－m＝

－＋1，

故只需－m≤－＋1，即m≥－1即可．

14．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

解　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.

设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．

由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.

所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM.

因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，

故l的方程为y＝－x＋.

又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以△POM的面积为.