2018版高考一轮总复习数学（文）模拟演练 第10章 概率 10-3 word版含答案

(时间：40分钟)

1．在长为6 m的木棒上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　将木棒三等分，当P位于中间一段时，到两端A，B的距离都大于2 m，∴P＝＝.

2．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“|BP|∶|AB|>”，即P(△PBC的面积大于)＝＝.

3．已知A是圆上固定的一点，在圆上其他位置上任取一点A′，则AA′的长度小于半径的概率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　D

解析　如图，满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧上，其中△ABO和△ACO为等边三角形，可知∠BOC＝π，故所求事件的概率P＝＝.

4．在区间内随机取两个实数x，y，则满足y≥x－1的概率是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　D

解析　点(x，y)分布在如图所示的正方形区域内，画出x－y－1≤0表示的区域，可知所求的概率为1－＝.

5．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B、E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.

6．在区间上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.

答案　3

解析　由题意知m>0，当0<m<2时，－m≤x≤m，此时所求概率为＝，解得m＝(舍去)；当2≤m<4时，所求概率为＝，解得m＝3；当m≥4时，概率为1，不合题意，故m＝3.

7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部随机取一点P，则VP－ABCD>的概率为_______．

答案　

解析　VP－ABCD>⇔SABCD·h>(h为P到平面ABCD的高)．SABCD＝1，∴h>.故满足条件的点构成的几何体为如图中截面下方部分．故所求概率为.

8．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．

答案　

解析　因为在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.

9．由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，求该点恰好在Ω2内的概率．

解　由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－××1＝，则所求的概率P＝＝.

10．设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.

(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

(2)若a是从区间任取的一个数，b是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

解　设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．

当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.

(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.

(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，

构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，如图．

所以所求的概率为

P(A)＝＝.

(时间：20分钟)

11．在区间上随机取一个数x，则cosx的值在之间的概率为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　当cosx的值在之间时，x∈∪，所以所求的概率为＝.

12．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黑芝麻随机撒在△ABC内，则该粒黑芝麻落在△PBC内的概率是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　D

解析　由＋＋2＝0，得＋＝－2，设BC边中点为D，连接PD，则2＝－2，P为AD中点，所以所求概率P＝＝，即该粒黑芝麻落在△PBC内的概率是，故选D.

13．有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

答案　

解析　点P位于以O为球心，1为半径的半球外部，圆柱的体积V柱＝πR2h＝2π，半球的体积V半球＝×πR3＝π.∴圆柱内一点P到点O的距离小于等于1的概率为.∴点P到点O的距离大于1的概率为1－＝.

14．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．

(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；

(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．

解　(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则0≤x<24,0≤y<24且y－x>4或y－x<－4.作出区域

设“两船无需等待码头空出”为事件A，

则P(A)＝＝.

(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2或y－x>4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域

P(B)＝＝＝.