单元检测卷四　三角函数、解三角形 试卷（带答案）

这是一份单元检测卷四　三角函数、解三角形 试卷（带答案），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

单元检测卷四　三角函数、解三角形
(时间:100分钟　满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.(2019山东日照质检)若点P(1,-2)是角α的终边上一点,则cos 2α=(　　)
A.25 B.-35 C.35 D.255
2.已知α∈R,sin α+2cos α=102,则tan 2α=(　　)
A.43 B.34 C.-34 D.-43
3.(2019山东烟台一模)将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后,所得图象关于y轴对称,且fπω=-12,则当ω取最小值时,函数f(x)的解析式为(　　)
A.f(x)=sin2x+π6 B.f(x)=sin2x-π6
C.f(x)=sin4x+π6 D.f(x)=sin4x-π6
4.(2019上海宝山区校级月考)凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形,把四边形任何一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凸四边形,如图,在凸四边形ABCD中,AB=1,BC=3,AC⊥CD,AC=CD,当∠ABC变化时,对角线BD的最大值为(　　)

A.3 B.4
C.6+1 D.7+23
5.(2019广东珠海二模)已知tan α=-2,其中α为三角形内角,则cos α=(　　)
　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-55 B.255
C.55 D.-255
6.已知函数f(x)=12sin 2x+32cos 2x,把函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得到的曲线向左平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的对称中心是(　　)
A.2kπ+π6,0,k∈Z B.2kπ+π2,0,k∈Z
C.kπ+π2,0,k∈Z D.kπ+π4,0,k∈Z
7.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.7
8.如图,函数y=|tan x|cos x0≤x<3π2,x≠π2的图象是(　　)


二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
9.(2019广东中山期末)将函数f(x)=2sinx+π6-1的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法不正确的是(　　)
A.函数g(x)的图象关于点-π12,0对称
B.函数g(x)的周期是π2
C.函数g(x)在0,π6上单调递增
D.函数g(x)在0,π6上最大值是1
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,下列结论正确的是(　　)
A.△ABC的边长可以组成等差数列
B.AB·AC>0
C.A7=B5=C3
D.若b+c=8,则△ABC的面积是1534
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)

A.函数f(x)的图象关于直线x=π2对称
B.函数f(x)的图象关于点-π12,0对称
C.函数f(x)在区间-π3,π6上单调递增
D.函数y=1与y=f(x)-π12≤x≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和为8π3
12.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,以下四个命题中正确命题有(　　)
A.满足条件的△ABC不可能是直角三角形
B.当A=2C时,△ABC的周长为15
C.当A=2C时,若O为△ABC的内心,则△AOB的面积为7
D.△ABC的面积的最大值为40
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作,其中《方田》章给出的计算弧田面积的经验公式为弧田面积=12(弦×矢+矢2),弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦的长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有弧长为4π3米,半径等于2米的弧田,则弧所对的弦AB的长是　　　米,按照上述经验公式计算得到的弧田面积是　　　平方米. 

14.(2019北京海淀区模拟)已知函数f(x)=asin x-23cos x的一条对称轴为x=-π6,f(x1)+f(x2)=0,且函数f(x)在(x1,x2)上具有单调性,则|x1+x2|的最小值为　　　　　. 
15.已知△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是A,B,C的对边.若A=2B,则
(1)角B的取值范围是　　　　　　. 
(2)ab+ba的取值范围是　　　　　　. 
16.已知实数a>0,若函数f(x)=a(sin x+cos x)-sin xcos x(x∈R)的最大值为92,则a的值为　　　　. 
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求证:当x∈0,π2时,f(x)≥0.





18.(12分)(2019浙江绍兴模拟)已知函数f(x)=sin x+3sinx+π2+sinx+π3,x∈R.
(1)求f(2 019π)的值;
(2)若f(α)=1,且0<α<π,求cos α的值.






19.(12分)(2019广东揭阳二模)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且a2=43S.
(1)若C=60°,且b=1,求a边的值;
(2)当cb=2+3时,求∠A的大小.








20.(12分)(2019重庆渝中区一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2acos C=b.
(1)证明:A=C;
(2)若B为钝角,△ABC的面积为23a2,求ba.








21.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a23sinA.
(1)求sin Bsin C;
(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.







22.(10分)(2019山东济南一中期末)已知向量a=cos32x,sin32x,b=cosx2,sinx2,且x∈-2π3,π2.
(1)当x=π3时,求a·b及|a+b|的值;
(2)若函数f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-1,求实数λ的值.





参考答案与解析
一、单项选择题(本题共4小题,每小题7分,共28分)
1.答案B
解析因为点P(1,-2)是角α的终边上一点,所以sin α=-212+(-2)2=-255.
所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×-2552=-35.故选B.
2.答案C
解析∵sin α+2cos α=102,
∴sin2α+4sin α·cos α+4cos2α=52.
用降幂公式化简得4sin 2α=-3cos 2α,
∴tan 2α=sin2αcos2α=-34.故选C.
3.答案C
解析将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的图象向右平移π6个单位长度后,可得y=sinωx-ωπ6+φ的图象;
∵所得图象关于y轴对称,
∴-ωπ6+φ=kπ+π2,k∈Z.
∵fπω=-12=sin(π+φ)=-sin φ,
即sin φ=12,|φ|<π2,φ=π6.
∴-ωπ6=kπ+π3,k∈Z,得ω=-6k-2>0,k∈Z.
则当ω取最小值时,取k=-1,可得ω=4,
∴函数f(x)的解析式为f(x)=sin4x+π6.
故选C.
4.答案C
解析设∠ABC=α,∠ACB=β,则AC2=AB2+BC2-2·AB·BCcos α=4-23cos α.
由正弦定理ACsinα=ABsinβ得sin β=sinα4-23cosα.
所以由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2·BC·CD·cosβ+π2=3+4-23cos α+2·3·4-23cosα·sinα4-23cosα
=7+23sin α-23cos α=7+26sinα-π4,
故当α=3π4时,取得最大值为6+1.
故选C.
5.答案A
解析∵tan α=-2<0,∴π2<α<π,
则sin α=-2cos α,
代入sin2α+cos2α=1得cos2α=15,则cos α=-55,故选A.
6.答案C
解析函数f(x)=12sin 2x+32cos 2x=sin2x+π3.由题意,得g(x)=sinx+π2=cos x,所以函数g(x)的对称中心是kπ+π2,0,k∈Z.
7.答案B
解析由题意得12acsin 120°=12asin 60°+12csin 60°,
即ac=a+c,得1a+1c=1,
得4a+c=(4a+c)1a+1c=ca+4ac+5≥2ca·4ac+5=4+5=9,
当且仅当ca=4ac,即c=2a时,取等号,故选B.
8.答案C
解析∵y=|tan x|cos x=sinx,x∈[0,π2)⋃[π,3π2),-sinx,x∈(π2,π),
∴函数y=|tan x|cos x0≤x<3π2,x≠π2的图象是C.故选C.

二、多项选择题(本题共2小题,每小题7分,共14分)
9.答案ABD
解析将函数f(x)=2sinx+π6-1的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin2x+π6-1的图象,由于当x=-π12时,f(x)=-1,故函数g(x)的图象关于点-π12,-1对称,故A错误;
函数g(x)的周期为2π2=π,故B错误;
在0,π6上,2x+π6∈π6,π2,g(x)单调递增,故C正确;
在0,π6上,2x+π6∈π6,π2,g(x)的最大值趋向于1,故D错误.故选ABD.
10.答案AD
解析由已知可设b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k>0),
则a=72k,b=52k,c=32k,
∵a∶b∶c=7∶5∶3,
∴2b=a+c,
即△ABC的边长可以组成等差数列,故A正确;
∴sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3,C错误;
又cos A=b2+c2-a22bc=25k24+9k24-49k242×52×32×k2=-12<0,
∴△ABC为钝角三角形,
∴AB·AC=bccos A<0,B错误;
若b+c=8,则k=2,∴b=5,c=3,
又A=120°,
∴S△ABC=12bcsin A=1534,D正确.故选AD.
11.答案BCD
解析由题图可知,A=2,T4=2π3-5π12=π4,
∴T=2πω=π,则ω=2,
又2×5π12+φ=π,∴φ=π6,满足0<|φ|<π,
则f(x)=2sin2x+π6.
∵fπ2=-1,∴f(x)的图象不关于直线x=π2对称;
∵f-π12=0,∴f(x)的图象关于点-π12,0对称;
由x∈-π3,π6,得2x+π6∈-π2,π2,则f(x)在区间-π3,π6上单调递增;
由f(x)=2sin2x+π6=1,得sin2x+π6=12,
∴2x+π6=π6+2kπ或2x+π6=5π6+2kπ,k∈Z.取k=0,得x=0或π3;取k=1,得x=π或4π3.∴函数y=1与y=f(x)-π12≤x≤23π12的图象的所有交点的横坐标之和为π3+π+4π3=8π3.
12.答案BCD
解析a=6,4sin B=5sin C即4b=5c,设b=5t,c=4t,
由36+16t2=25t2,可得t=43,满足条件的△ABC可能是直角三角形,故A错误;
a=6,4sin B=5sin C,A=2C,可得B=π-3C,由正弦定理可得4b=5c,b=5c4,
由bsinB=csinC,sin C≠0,
可得4cos2C-1=54,解得cos C=34,sin C=74,可得sin A=2sin Ccos C=378,可得c=4,b=5,则a+b+c=15,故B正确;
S△ABC=12bcsin A=1574.
设△ABC的内切圆半径为R,则R=2Sa+b+c=72,
S△AOB=12cR=7.故C正确.
以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,可得B(-3,0),C(3,0),
又4sin B=5sin C,可得4b=5c,
设A(m,n),
可得4(m-3)2+n2=5(m+3)2+n2,平方可得16(m2+n2-6m+9)=25(m2+n2+6m+9),
即有m2+n2+823m+9=0,
化为m+4132+n2=4032,
则A的轨迹为以-413,0为圆心,半径为403的圆,可得△ABC的面积的最大值为12×6×403=40,故D正确.

三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)
13.答案23　3+12

解析由弧长为4π3米,半径等于2米,可得圆心角为2π3,
∴OD=1米,则AB=2BD=23米;
∴弧田面积S=12(弦×矢十矢2)=12[23×(2-1)+(2-1)2]=3+12.
14.答案2π3
解析函数f(x)=asin x-23cos x=a2+12sin(x+θ),其中tan θ=-23a,
函数f(x)的一条对称轴为x=-π6,
可得f-π6=-12a-23×32=-12a-3,
所以-12a-3=a2+12,解得a=2.
∴θ=-π3;对称中心横坐标由x-π3=kπ(k∈Z),可得x=kπ+π3(k∈Z);
又f(x1)+f(x2)=0,且函数f(x)在(x1,x2)上具有单调性,
∴|x1+x2|=2kπ+π3,当k=0时,可得|x1+x2|=2π3.
15.答案π6,π4　322,433
解析(1)∵A=2B,A+B+C=π,
∴C=π-3B,
∵△ABC是锐角三角形,
∴0<2B<π2且0<π-3B<π2,解得π6 (2)由正弦定理得,ab=sinAsinB=sin2BsinB=2cos B,
∵π6 令t=ab∈(2,3).
∴ab+ba=t+1t=g(t),
则g(t)在t∈(2,3)上单调递增.
∴g(t)∈322,433.
∴ab+ba的取值范围是322,433.
16.答案522
解析设t=sin x+cos x=2sinx+π4,则t∈[-2,2],
则t2=sin2x+cos2x+2sin x·cos x=1+2sin x·cos x,
∴sin xcos x=t2-12.
∴g(t)=f(x)=a(sin x+cos x)-sin xcos x=at-t2-12=-12t2+at+12,
对称轴方程为t=a>0,
当0 当a≥2时,g(t)max=g(2)=-12+2a=92,
解得a=522.∴a的值为522.

四、解答题(本大题共3小题,共44分)
17.(1)解因为f(x)=sin2x+cos2x+sin 2x-cos 2x=1+sin 2x-cos 2x=2sin2x-π4+1,所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)证明由(1)可知,f(x)=2sin2x-π4+1.
当x∈0,π2时,2x-π4∈-π4,3π4,
sin2x-π4∈-22,1,
2sin2x-π4+1∈[0,2+1].
当2x-π4=-π4,即x=0时,f(x)取得最小值0.
所以当x∈0,π2时,f(x)≥0.
18.解(1)由题得f(x)=sin x+3cos x+12sin x+32cos x=3sinx+π3,所以f(2 019π)=3sin2 019π+π3=3sinπ+π3=-3sinπ3=-332.
(2)由(1)知f(x)=3sinx+π3.
由f(α)=1得sinα+π3=13<12,
又因为0<α<π,故π2<α<2π3,
所以cosα+π3=-223,
所以cos α=cosα+π3-π3=-223×12+13×32=3-226.
19.解(1)由a2=43S,a2=43×12absin C,
∴a=23b·sin C,
∵C=60°且b=1,
∴a=23×32=3.
(2)当cb=2+3时,
bc=12+3=2-3,
∵a2=43S=b2+c2-2bccos A,
∴43×12bcsin A=b2+c2-2bccos A,
即2bc(3sin A+cos A)=b2+c2,
∴4sinA+π6=b2+c2bc=bc+cb=4,得sinA+π6=1.
∵A∈(0,π),∴A+π6∈π6,7π6,
则A+π6=π2,得A=π3.
20.(1)证明∵b=2acos C,
∴由正弦定理得sin B=2sin Acos C,
∵B=π-(A+C),
∴sin(A+C)=2sin Acos C,
则sin Acos C+cos Asin C=2sin Acos C,
sin Acos C-cos Asin C=0,
即sin(A-C)=0,
∵A,C∈(0,π),
∴A-C∈(-π,π),则A-C=0,
∴A=C.
(2)解由(1)可得a=c,∵△ABC的面积为23a2,∴12acsin B=23a2,∴sin B=223,∵sin B=223>32,且B为钝角,∴π2 ∴sin 2A=sin(A+C)=sin B=223,∵sin2A+cos2A=1,
∴sin A=33或sin A=63(舍去).
∴sin A=33,∴ba=sinBsinA=22333=263.
21.解(1)由题设得12acsin B=a23sinA,
即12csin B=a3sinA.由正弦定理得12sin Csin B=sinA3sinA.
故sin Bsin C=23.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,
即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,
故A=π3.
由题设得12bcsin A=a23sinA,即bc=8.
由余弦定理得b2+c2-bc=9,
即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.
故△ABC的周长为3+33.
22.解(1)因为向量a=cos32x,sin32x,b=cosx2,sinx2,
所以a·b=cos32x·cosx2+sin32x·sinx2
=cos32x-12x=cos x,
|a+b|=(cos32x+cosx2) 2+(sin3x2+sinx2) 2
=1+1+2cosx=2+2cosx
=4cos2x2=2cosx2,
当x=π3时,则a·b=cosπ3=12.
|a+b|=2cosπ6=2×cosπ6=3.
(2)函数f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos x-4λcosx2.由于x∈-2π3,π2,所以x2∈-π3,π4,
故f(x)=cos x-4λcosx2,cosx2∈12,1,
进而可得f(x)=2cos2x2-4λcosx2-1=2cosx2-λ2-2λ2-1.
当12≤λ≤1时,当且仅当cosx2=λ时,f(x)取得最小值,即f(x)min=-2λ2-1=-1,解得λ=0.不满足12≤λ≤1,故舍去;当λ>1时,当且仅当cosx2=1时,f(x)取得最小值,
即f(x)min=2-4λ-1=-1,
解得λ=12,不满足λ>1,故舍去;
当λ<12时,当且仅当cosx2=12时,f(x)取得最小值,
即f(x)min=2×14-4λ×12-1=-1,
解得λ=14,满足λ<12.综上所述,λ=14.