2023-2024学年重庆市康德卷高二下学期期末联合检测数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年重庆市康德卷高二下学期期末联合检测数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )
A. f(x)=x2B. f(x)=exC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx
2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计，那么( )
A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等
B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班
C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的
D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确
3.对于函数f(x)=x3+bx2+cx+d，若系数b，c，d可以发生改变，则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )
A. bB. cC. dD. b，c
4.某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高ycm与其父亲身高xcm的经验回归方程为y=1417x+29，当地人小王16岁时身高167cm，他父亲身高170cm，则小王身高的残差为( )
A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3 cm
5.若函数f(x)=(x2+bx+1)ex，在x=−1时有极大值6e−1，则f(x)的极小值为( )
A. 0B. −e−3C. −eD. −2e3
6.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相，若甲不站最中间的位置，则不同的排列方式有( )
A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种
7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元，她每天能够售出的工艺品(单位：件)均值为50，方差为1.44，则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )
A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.8
8.若样本空间Ω中的事件A1，A2，A3满足P(A1)=P(A1|A3)=14，P(A2)=23，P(A2|A3)=25，P(A2|A3)=16，则P(A1A3)=( )
A. 114B. 17C. 27D. 528
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若随机变量X服从正态分布N(1,22)，已知P(X<0)=p，则( )
A. P(X>0)=1−pB. P(X<2)=1−p
C. P(010.已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域都是R，若函数f(x)的图象关于点(1,32)对称，f′(x)为偶函数，则( )
A. f′(32)=1B. f(1−2x)+f(1+2x)=3
C. f′(x)的图象关于直线x=1对称D. f′(x)的最小周期是1
11.设M，N都是不小于3的整数，当i=1，2，⋯，M+1时，xi∈{1,2,⋯,N}，设集合A={(xi,xi+1)|xi≠xi+1，i=1，2，⋯，M}，如果(a,b)∈A与(b,a)∈A不能同时成立，则( )
A. 若M=N=x1=3，则A={(3,1)，(1,2)，(2,3)}或{(3,2)，(2,1)，(1,3)}
B. 若N=4，则M的可能取值为3或4或5
C. 若N的值确定，则M=12N(N−1)
D. 若N为奇数，则M的最大值为12N(N−1)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(x−1)6的展开式中x5的系数为 ．
13.已知某航空公司从重庆到北京的航班运行准点率约为92%，那么在50次运行中，平均准点班次约为 次.
14.已知x1，x2是f(x)=x−4lnx−ax的两个不同的极值点，且f(x1)+4≤−f(4−x1)，若f(a)>b−a3恒成立，则实数b的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在中国的传统医学中，食物和药物一直被认为是相辅相成的.中医食疗是一门利用食物来调理身体和治疗疾病的科学，它将中草药的药效引入食物中，达到治病的目的.为了研究姜汤对治疗感冒是否更有效，进行了临床试验，得到如下数据：抽到服用姜汤的患者40名，其中30名痊愈，10名未痊愈;抽到服用白开水的患者60名，其中35名痊愈，25名未痊愈．
(1)根据上述信息完成下列2×2列联表;
(2)依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为姜汤对治疗感冒更有效果?并解释得到的结论．
附：参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
16.(本小题15分)
口袋中装有2个红球和4个白球，把从口袋中不放回的随机抽2个球称为“一次抽取”．
(1)求第1次至少抽到一个红球的概率;
(2)设“一次抽取”中抽到红球的个数为X，求X的分布列与数学期望．
17.(本小题15分)
2023年我国汽车出口跃居世界首位.整车出口491万辆，同比增长57.9%.作为中国外贸“新三样”之一，新能源汽车成为出口增长新动能.已知某款新能源汽车在匀速行驶状态下每千米的耗电量C(单位：KWℎ)与速度v(单位：km/ℎ)在40∼100km/ℎ的函数关系为C(v)=lnv+0.5v+1012v−40.假设电价是1元/KWℎ．
(1)当车速为多少时，车辆每千米的耗电量最低?
(2)已知司机的工资与开车时间成正比例关系，若总费用=电费+司机的工资+3.35×105v−5700，甲地到乙地的距离为100km，最经济的车速是94km/ℎ，则司机每小时的工资为多少元?
18.(本小题17分)
国家对化学元素镓(Ga)相关物项实施出口管制.镓在高端半导体领域有着非常重要的作用,其应用前景十分广阔.某镓合金研制单位为了让镓合金中的镓元素含量百分比稳定在一定范围内,由质检员每天17次随机抽取并检测镓元素在镓合金材料中的含量百分比.设xi(i=1,2,⋯,17)表示一天的17次检测得到的镓含量(单位:%)的监测数据,并记监测数据的平均数x=117i=117xi,标准差s= 117i=117(xi−x)2.设X表示镓合金中镓含量(单位:%),且X~N(μ,σ2),当k为正整数时,令pk=P(μ-kσ< X<μ+kσ),根据表中的pk和pk17值解答:
(1)记Z表示一天中抽取17次的镓含量X∉(μ-3σ,μ+3σ)的次数,求P(Z>0)及Z的数学期望;
(2)当一天中至少1次监测镓含量X∉(μ-3σ,μ+3σ),就认为该天研制情况异常,须对研制过程作改进,已知某天监测数据的最小值为17,最大值为21,经计算得x=20,s=0.82.若用该天监测数据得的x和s分别估计为μ和σ且X~N(μ,σ2),利用估计判断该天的研制过程是否必须作改进?
(3)若去掉一天中的监测结果x1,设余下的数据标准差为σ',请用数据x,s,x1表示σ'.
19.(本小题17分)
设e为自然对数的底数，已知函数f(x)=(lnx+2)2．
(1)当函数f(x)图象的切线经过原点时，求切线的方程;
(2)当实数m满足elnm+m=0，a，b∈(m2e2,+∞)且a+b=2，求f(a)+f(b)的最大值．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.B
5.D
6.B
7.D
8.A
9.AB
10.BC
11.ABD
12.−6
13.46
14.(−∞,e3+e−5)
15.解：(1)根据题意得2×2列联表;
(2)零假设为H0:疗法和疗效独立，即两种疗法效果没有差异.根据列联表中的数据，
经计算得到χ2=100(30×25−10×35)240×60×65×35≈2.93>2.706=x0.1，
根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，
我们推断H0不成立，即认为姜汤对治疗感冒更有效果，此推断犯错误的概率不大于0.1．
16.解：(1)设A=“第1次至少抽到一个红球，则A=“第1次抽到2个球都是白球”，
第1次抽取的样本空间Ω包括C62=15个样本点，即n(Ω)=15，
而n(A)=C42=6，所以P(A)=1−P(A)=1−n(A)n(Ω)=1−615=35，
即第1次至少抽到一个红球的概率是35；
(2)由题意知X=0，1，2，
又P(X=0)=C42C62=25，P(X=1)=C21C41C62=815，P(X=2)=C22C62=115，
即X的分布列为：
所以E(X)=815×1+115×2=23．
17.解：(1)由C(v)=lnv+0.5v+1012v−40，得C′(v)=v2+2v−20242v2，
令C′(v)=0，得v=44km/ℎ，
所以当车速为44km/ℎ时，车辆每千米的耗电量最低
(2)设司机的工资为a100v元，
则行车的总费用为F(v)=100(lnv+0.5v+1012v−40)+100va+3.35×105v−5700，
则F′(v)=100(0.5v2+v−4362−a)v2，
由题意知v=94km/ℎ时，F′(v)=0，得a=150，即司机每小时的工资为150元．
18.解:(1)由题意得1次监测镓含量X∈(μ-3σ,μ+3σ)的概率为0.9973,
镓含量X∉(μ-3σ,μ+3σ)的概率为0.0027
∴P(Z>0)=1-P(Z=0)=1-0.997317=1-0.9551=0.0449,
∴Z∼B(17,0.0027),
E(Z)=17×0.0027=0.0459;
(2)由x=20,s=0.82估计得μ=20,σ=0.82,
∴(μ-3σ,μ+3σ)=(17.54,22.46),发现最小值17∉(μ-3σ,μ+3σ),
∴该天至少1次监测镓含量17∉(μ-3σ,μ+3σ)中,
故必须作改进;
(3)设余下的数据的平均数μ​1=116i=217 xi,
则σ'= 116i=217(xi−μ1)2,
∴μ​1=17x−x116,
∴σ'= 116i=217(xi−μ1)2= 116i=217(xi−x+x−μ1)2
=​​​​​​​ 116i=217[(xi−x)2+2(xi−x)(x−μ1)+x−μ12]
​​​​​​​= 116i=217(xi−x)2+18(x−μ1)(i=217xi−16x)+(x−μ1)2
= 116[17s2−(x1−x)2]−2(x−μ1)2+(x−μ1)2
= 1716s2−116(x1−x)2−(x−17x−x1)216
= 1716s2−17162(x1−x)2，
​​​​​​​即σ'= 174 s2−116(x1−x)2.
19.解：(1)∵f′(x)=2(lnx+2)x，设函数f(x)的图象上一点为(x0,lnx0+22)，
则该点处的切线为y−lnx0+22=2(lnx0+2)x0(x−x0)，
即切线为y=2(lnx0+2)x0x+ln2x0+2lnx0，∴ln2x0+2lnx0=0，
解得x0=1或1e2，∴此时2(lnx0+2)x0=4或0，∴切线的方程为y=4x或y=0;
(2)设g(x)=ln2x−4e2x，则g′(x)=2lnxx−4e2，再设ℎ(x)=lnxx，则ℎ′(x)=1−lnxx2，
由ℎ′(x)>0得ℎ(x)在(0,e)上单调递增，同理得ℎ(x)在(e,+∞)上单调递减，
即g′(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
容易得到g′(e2)=0，∴当x∈(e,e2)时，g′(x)>0，当x∈(e2,+∞)时，g′(x)<0，
∴x∈[e,+∞)时，g(x)的最大值为g(e2)=0，即g(x)≤0，ln2x≤4e2x，
由elnm+m=0，得lnm<0，∴00，
∴必存在x0∈(1,e)，使得g′(x0)=0，且当x∈(m2,x0)时，g′(x)<0，当x∈(x0,e)时，g′(x)>0，
即g(x)在(m2,x0)上单减，在(x0,e)上单增，
而g(m2)=ln2m2−4e2m2=4e2(elnm+m)(elnm−m)=0，
∴当x∈(m2,e)时，g(x)<0，
∴当x∈(m2,+∞)时，g(x)≤0，即ln2x≤4e2x，当且仅当x=e2时等号成立，
∵f(x)=lnx+22=ln2(e2x)，故当e2x>m2时，ln2(e2x)≤4e2e2x=4x，即当x∈(m2e2,+∞)时f(x)≤4e2e2x=4x，当且仅当x=1时等号成立，
∵a，b∈(m2e2,+∞)，∴f(a)+f(b)≤4a+4b=4(a+b)=8，
当且仅当a=b=1时等号成立，∴f(a)+f(b)的最大值为8． 疗法
疗效
合计
痊愈
未痊愈
服用姜汤
服用白开水
合计
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
k
1
2
3
4
pk
0.6827
0.9545
0.9973
0.9999
pk17
0.0015
0.4531
0.9551
0.9983
疗法
疗效
合计
痊愈
未痊愈
服用姜汤
30
10
40
服用白开水
35
25
60
合计
65
35
100
X
0
1
2
P
25
815
115