2021高考数学(文)大一轮复习习题 第六章 不等式、推理与证明 课时跟踪检测 (三十三) 一元二次不等式及其解法 word版含答案
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1.设集合A={x|x2+x-6≤0},集合B为函数y=eq \f(1,\r(x-1))的定义域,则A∩B等于( )
A.(1,2) B.
C.
解析:选D A={x|x2+x-6≤0}={x|-3≤x≤2},
由x-1>0得x>1,即B={x|x>1},
所以A∩B={x|1
3.(2017·昆明模拟)不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )
A. B.(-∞,-2]∪∪
解析:选A x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.
4.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是________.
解析:不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集即x(x-2)<0的解集,解得0
解析:原不等式为(x-a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,a)))<0,
由0答案:eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a
1.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于( )
A.-3 B.1
C.-1 D.3
解析:选A 由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},∴A∩B={x|-1<x<2},由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3.
2.不等式eq \f(2,x+1)<1的解集是( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-1,1)
解析:选A ∵eq \f(2,x+1)<1,∴eq \f(2,x+1)-1<0,即eq \f(1-x,x+1)<0,该不等式可化为(x+1)(x-1)>0,∴x<-1或x>1.
3.(2017·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算,定义a⊙b=eq \r(ab)+a+b(a,b为正实数),若1⊙k2<3,则k的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(-1,0) D.(0,2)
解析:选A 因为定义a⊙b=eq \r(ab)+a+b(a,b为正实数),
1⊙k2<3,所以eq \r(k2)+1+k2<3,
化为(|k|+2)(|k|-1)<0,所以|k|<1,
所以-1<k<1.
4.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为( )
A.12元 B.16元
C.12元到16元之间 D.10元到14元之间
解析:选C 设销售价定为每件x元,利润为y,
则y=(x-8),
依题意有,(x-8)>320,
即x2-28x+192<0,
解得12<x<16,
所以每件销售价应为12元到16元之间.
5.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是的子集,则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:选B 原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为,此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为,此时只要a≤3即可,即16.不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是________.
解析:∵不等式x2+ax+4<0的解集不是空集,
∴Δ=a2-4×4>0,即a2>16.
∴a>4或a<-4.
答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)
7.若关于x的不等式ax>b的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,5))),则关于x的不等式ax2+bx-eq \f(4,5)a>0的解集为________.
解析:由已知ax>b的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-∞,\f(1,5))),可知a<0,且eq \f(b,a)=eq \f(1,5),将不等式ax2+bx-eq \f(4,5)a>0两边同除以a,得x2+eq \f(b,a)x-eq \f(4,5)<0,即x2+eq \f(1,5)x-eq \f(4,5)<0,即5x2+x-4<0,解得-1<x<eq \f(4,5),故所求解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(4,5))).
答案:eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(4,5)))
8.(2017·石家庄质检)在R上定义运算:eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))=ad-bc.若不等式eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x-1 a-2,a+1 x))≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为________.
解析:原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,
即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立,
x2-x-1=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x-\f(1,2)))2-eq \f(5,4)≥-eq \f(5,4),
所以-eq \f(5,4)≥a2-a-2,解得-eq \f(1,2)≤a≤eq \f(3,2).
答案:eq \f(3,2)
9.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0;
(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.
解:(1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,
∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3,
∴原不等式可化为a2-6a-3<0,
解得3-2eq \r(3)∴原不等式的解集为{a|3-2eq \r(3)(2)f(x)>b的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,
等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(-1+3=\f(a6-a,3),,-1×3=-\f(6-b,3),))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=3±\r(3),,b=-3.))
10.(2017·北京朝阳统一考试)已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.
(1)若a=2,试求函数y=eq \f(fx,x)(x>0)的最小值;
(2)对于任意的x∈,不等式f(x)≤a成立,试求a的取值范围.
解:(1)依题意得y=eq \f(fx,x)=eq \f(x2-4x+1,x)=x+eq \f(1,x)-4.
因为x>0,所以x+eq \f(1,x)≥2.
当且仅当x=eq \f(1,x)时,即x=1时,等号成立.
所以y≥-2.
所以当x=1时,y=eq \f(fx,x)的最小值为-2.
(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,
所以要使得“∀x∈,不等式f(x)≤a成立”,
只要“x2-2ax-1≤0在恒成立”.
不妨设g(x)=x2-2ax-1,
则只要g(x)≤0在上恒成立即可.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g0≤0,,g2≤0,))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0-0-1≤0,,4-4a-1≤0,))
解得a≥eq \f(3,4).
则a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4),+∞)).
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1.(2016·太原模拟)若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)
C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)
解析:选A 不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,令g(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),∴g(x)
(1)求a的取值范围;
(2)若函数f(x)的最小值为eq \f(\r(2),2),解关于x的不等式x2-x-a2-a<0.
解:(1)∵函数f(x)=eq \r(ax2+2ax+1)的定义域为R,
∴ ax2+2ax+1≥0恒成立,
当a=0时,1≥0恒成立.
当a≠0时,需满足题意,
则需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,,Δ=2a2-4a≤0,))
解得0<a≤1,
综上可知,a的取值范围是.
(2)f(x)=eq \r(ax2+2ax+1)=eq \r(ax+12+1-a),
由题意及(1)可知0<a≤1,
∴当x=-1时,f(x)min=eq \r(1-a),
由题意得,eq \r(1-a)=eq \f(\r(2),2),
∴a=eq \f(1,2),
∴不等式x2-x-a2-a<0可化为x2-x-eq \f(3,4)<0.
解得-eq \f(1,2)<x<eq \f(3,2),
∴不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2),\f(3,2))).
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