高中数学高考2018高考数学（文）大一轮复习习题 第六章 不等式、推理与证明 课时跟踪检测 （三十五）　基本不等式 Word版含答案

课时跟踪检测  (三十五)　基本不等式

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1．“a＞b＞0”是“ab＜”的(　　)

A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A．

2．当x＞0时，f(x)＝的最大值为(　　)

A．  B．1

C．2  D．4

解析：选B　∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，

当且仅当x＝，即x＝1时取等号．

3．(2017·合肥调研)若a，b都是正数，则的最小值为(　　)

A．7  B．8

C．9  D．10

解析：选C　因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当b＝2a时取等号，选项C正确．

4．当3＜x＜12时，函数y＝的最大值为________．

解析：y＝＝

＝－＋15≤－2 ＋15＝3．

当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3．

答案：3

5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2．

解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，

由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，

故当矩形的长与宽相等，都为5 m时面积取到最大值25 m2．

答案：25

二保高考，全练题型做到高考达标

1．下列不等式一定成立的是(　　)

A．lg＞lg x(x＞0)

B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R)

D．＞1(x∈R)

解析：选C　lg＞lg x⇔x2＋＞x(x＞0)⇔4x2－4x＋1＞0(x＞0)．当x＝时，4×－4×＋1＝0，∴A错；当sin x＝－1时，sin x＋＝－2＜2，∴B错；x2＋1≥2|x|⇔(|x|－1)2≥0，∴C正确；当x＝0时，＝1，∴D错．

2．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：选B　由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．

3．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)

A．　　　　　　　　 B．

C．

解析：选D　∵2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2．

4．(2017·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值是(　　)

A．9  B．

C．4  D．

解析：选B　将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r＝，故直线过圆心，即a＋2b＝6，∴a＋2b＝6≥2，可得ab≤，当且仅当a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是，故选B．

5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)

A．60件  B．80件

C．100件  D．120件

解析：选B　每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则＋≥2 ＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，∴每批生产产品80件．

6．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝2x图象上两个不同的点，若x1＋2x2＝4，则y1＋y的最小值为________．

解析：y1＋y＝2x1＋22x2≥2＝8(当且仅当x1＝2x2＝2时等号成立)．

答案：8

7．(2016·青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．

解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log22－1＝2－1＝1，

当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立，

所以log2x＋log2y的最大值为1．

答案：1

8．已知实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则x＋y的最大值为________．

解析：因为x2＋y2－xy＝1，

所以x2＋y2＝1＋xy．

所以(x＋y)2＝1＋3xy≤1＋3×2，

即(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2．

当且仅当x＝y＝1时右边等号成立．

所以x＋y的最大值为2．

答案：2

9．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；

(2)设0<x<2，求函数y＝的最大值．

解：(1)y＝(2x－3)＋＋

＝－＋．

当x<时，有3－2x>0，

∴＋≥2 ＝4，

当且仅当＝，即x＝－时取等号．

于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－．

(2)∵0<x<2，∴2－x>0，

∴y＝＝·≤ ·＝，

当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，

∴当x＝1时，函数y＝的最大值为．

10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

又x＞0，y＞0，

则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，

当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．

所以xy的最小值为64．

(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

则x＋y＝(x＋y)＝10＋＋

≥10＋2 ＝18．

当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，

∴x＋y的最小值为18．

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1．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．

C．(－∞，6]  D．[6，＋∞)

解析：选D　因为a＞0，b＞0，＋＝1，

所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，

即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，

所以－6≥－m，即m≥6．

2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．每件商品售价为0．05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式．

(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

解：(1)因为每件商品售价为0．05万元，

则x千件商品销售额为0．05×1 000x万元，依题意得：

当0＜x＜80时，L(x)＝(0．05×1 000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250．

当x≥80时，L(x)＝(0．05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－．

所以L(x)＝

(2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)2＋950．

此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950万元．

当x≥80时，L(x)＝1 200－

≤1 200－2 ＝1 200－200＝1 000．

此时x＝，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000万元．

由于950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．