2021高考数学（理）大一轮复习习题：第三章 导数及其应用 课时达标检测（十三） 函数模型及应用 word版含答案

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1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )

解析：选C 出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.
2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．6升 B．8升 C．10升 D．12升
解析：选B 因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．
3．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( )
A．800米 B．900米 C．1 000米 D．1 200米
解析：选A 设这个广场的长为x米，则宽为eq \f(40 000,x)米，所以其周长为l＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(40 000,x)))≥800，当且仅当x＝eq \f(40 000,x)，即x＝200时取等号．
4．(2016·安阳一模)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
解析：选C 由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．选C.
5．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5＋1)给出，其中m>0，是不超过m的最大整数(如＝3，＝3，＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．
解析：∵m＝6.5，∴＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.
答案：4.24
一、选择题
1．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
解析：选B 选项B中，Q的值随t的变化越来越快，即运输效率在逐步提高．
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
解析：选D 设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.
3．(2017·四川德阳诊断)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有eq \f(a,4)L，则m的值为( )
A．5 B．8 C．9 D．10
解析：选A ∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝eq \f(1,2)a，
可得n＝eq \f(1,5)lneq \f(1,2)，
所以f(t)＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \f(t,5)，
设k min后甲桶中的水只有eq \f(a,4)L，
则f(k)＝a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \f(k,5)＝eq \f(a,4)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \f(k,5)＝eq \f(1,4)，
解得k＝10，所以m＝k－5＝5(min)．故选A.
4.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )
A．10元 B．20元
C．30元 D.eq \f(40,3)元
解析：选A 依题意可设SA(t)＝20＋kt，SB(t)＝mt.又SA(100)＝SB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是SA(150)－SB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150(k－m)＝20＋150×(－0.2)＝－10，即通话150分钟时，两种方式电话费相差10元，故选A.
5．(2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
解析：选B 设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得1.12n＞eq \f(20,13)，两边取常用对数，得n＞eq \f(lg 2－lg 1.3,lg 1.12)≈eq \f(0.30－0.11,0.05)＝eq \f(19,5)，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
6．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A．10.5万元 B．11万元
C．43万元 D．43.025万元
解析：选C 设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1x－eq \f(21,2)2＋0.1×eq \f(212,4)＋32.因为x∈且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．
二、填空题
7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
解析：设矩形花园的宽为y m，则eq \f(x,40)＝eq \f(40－y,40)，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．
答案：20
8．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq \r(A)(a为常数)，广告效应为D＝aeq \r(A)－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a表示)
解析：令t＝eq \r(A)(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－t－eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,4)a2.∴当t＝eq \f(1,2)a，即A＝eq \f(1,4)a2时，D取得最大值．
答案：eq \f(1,4)a2
9．(2017·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2015年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．
解析：前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq \f(20,9)，b＝eq \f(70,9)，所以y＝eq \f(20,9)x＋eq \f(70,9)，则当x＝6时，y＝eq \f(190,9).
答案：eq \f(190,9)
10．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套公寓房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．
解析：由题意，设利润为y元，每套房月租金定为3 000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．则y＝(3 000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2 900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(58＋x＋70－x,2)))2＝204 800，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故当每套房月租金定为3 000＋50×6＝3 300元时，可使公司获得最大利润．
答案：3 300
三、解答题
11.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)作PQ⊥AF于Q，
所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．
又△EPQ∽△EDF，
所以eq \f(EQ,PQ)＝eq \f(EF,FD)，即eq \f(x－4,8－y)＝eq \f(4,2).
所以y＝－eq \f(1,2)x＋10，
定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，
则S(x)＝xy＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(x,2)))＝－eq \f(1,2)(x－10)2＋50，
S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x＝10，
所以当x∈时，S(x)单调递增．
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．
12．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计
息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
解：设该店月利润余额为L元，
则由题设得L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①
由销量图易得Q＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2P＋50，14≤P≤20，,－\f(3,2)P＋40，20