2021高考数学（理）大一轮复习习题：第十二章 推理与证明、算法、复数 课时达标检测（六十一） 直接证明与间接证明、数学归纳法 word版含答案

这是一份2021高考数学（理）大一轮复习习题：第十二章 推理与证明、算法、复数 课时达标检测（六十一） 直接证明与间接证明、数学归纳法 word版含答案，共6页。试卷主要包含了用反证法证明命题，设函数f＝eq \r，对于问题等内容，欢迎下载使用。

1．用反证法证明命题：“若a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”的假设为( )
A．a，b，c，d中至少有一个正数
B．a，b，c，d全都为正数
C．a，b，c，d全都为非负数
D．a，b，c，d中至多有一个负数
解析：选C 用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定是“a，b，c，d全都为非负数”．
2．用数学归纳法证明2n＞2n＋1，n的第一个取值应是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选C ∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n＋1成立．
∴n的第一个取值应是3.
3．已知f(n)＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,n2)，则( )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)
解析：选D 由f(n)可知，共有n2－n＋1项，且n＝2时，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4).
4．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋eq \f(1,b)，b＋eq \f(1,c)，c＋eq \f(1,a)( )
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析：选D ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,a)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,b)))＋
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,c)))≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
5．设a＝eq \r(3)－eq \r(2)，b＝eq \r(6)－eq \r(5)，c＝eq \r(7)－eq \r(6)，则a，b，c的大小顺序是( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>a>b D．a>c>b
解析：选A ∵a＝eq \r(3)－eq \r(2)＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq \r(6)－eq \r(5)＝eq \f(1,\r(6)＋\r(5))，c＝eq \r(7)－eq \r(6)＝eq \f(1,\r(7)＋\r(6))，且eq \r(7)＋eq \r(6)>eq \r(6)＋eq \r(5)>eq \r(3)＋eq \r(2)>0，∴a>b>c.
一、选择题
1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，a，b为正实数，A＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq \r(ab))，C＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2ab,a＋b)))，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析：选A 因为eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)，又f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在R上是单调减函数，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))≤f(eq \r(ab))≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2ab,a＋b)))，即A≤B≤C.
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)c≥b
C．c>b>a D．a>c>b
解析：选A ∵c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.已知两式作差得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2.∵1＋a2－a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，∴1＋a2>a.∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a，故选A.
4．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A．n＋1 B．2n
C.eq \f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋1
解析：选C 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq \f(nn＋1,2)＝eq \f(n2＋n＋2,2)个区域．
5．已知a，b∈R，m＝eq \f(6a,36a＋1＋1)，n＝eq \f(1,3)b2－b＋eq \f(5,6)，则下列结论正确的是( )
A．m≤n B．m≥n
C．m>n D．mb，则f(f(b))>f(b)>b，与题意不符，
若f(b)0的解集为(－2,1)．
参考上述解法，若关于x的不等式eq \f(k,x＋a)＋eq \f(x＋b,x＋c)