专题28 复数-2021届新高考数学一轮复习知识点总结与题型归纳面面全

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复数的概念
1.虚数单位：
1）满足；
2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算法则仍然成立．
3）i与-1的关系：就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是-i．
4）i的周期性：，，，．于是就有．
2.数系的扩充：复数
3.复数的定义：
基本概念：形如的数叫复数，称为复数的实部，称为复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．
4.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数0．
5.两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，b，c， ，那么且．特殊地，当时，．
6.复数模的性质：
1）；
2）；
3）；
4）．
7.共轭复数：
定义：若两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．复数的共轭用表示．虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
数的性质：设，则（1）；（2）；（3）．
复数的几何意义
1.共轭复复平面、实轴、虚轴：
概念:复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2.几何表示：复数复平面内的点或向量是向量的几何表示．
注：复数、复平面内的点、向量之间的一一对应中，向量应特别注意它是以原点为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数多个．
复数的四则运算
1.复数与的和的定义：
2.复数与的差的定义：
3.交换律：
4.结合律：
5.乘法运算规则：设， 是任意两个复数，那么它们的积。其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
6.乘法运算律：
1）
2）
3）
7.复数除法定义：满足的复数叫复数除以复数的商，记为：或者．
典例精讲
1．定义复数的一种运算z1*z2=|z1|+|z2|2（等式右边为普通运算），若复数z＝a+bi，且正实数a，b满足a+b＝3，则z*z→最小值为（ ）
A．92B．322C．32D．94
2．如果复数z满足|z+3i|+|z﹣3i|＝6，那么|z+1+i|的最小值是
3．若复数z满足|1﹣z|•|1+z|＝2，则|z|的最小值为
4．复数i（1+i）的虚部为 ．
5．复数i（1﹣i）的实部为 ．
6．若复数z满足|z﹣2|＝|Rez+2|，则|z﹣3﹣2i|+|z﹣2|的最小值 ．
7．已知复数z满足|z+1+i|＝1（i是虚数单位），则|z﹣3+4i|的最大值为 ．
8．已知关于x的方程，x2+2（1+i）x+ab+（a+b）i═0（a，b∈R+）总有实数解，则a+b的取值范围是 ．
综合练习
一．选择题（共9小题）
1．
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则
A．B．C．D．
3．
A．1B．C．D．
4．若，则
A．0B．1C．D．2
5．复数的虚部是
A．B．C．D．
6．若，则
A．0B．1C．D．2
7.若，则
A．B．C．D．
8．已知，若为虚数单位）是实数，则
A．1B．C．2D．
9．
A．B．4C．D．
二．填空题（共5小题）
10．是虚数单位，复数 ．
11．已知复数为虚数单位），则 ．
12．已知是虚数单位，则复数的实部是 ．
13．设复数，满足，，则 ．
14．已知复数满足，则的实部为 ．