考点05 解直角三角形及其应用-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

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考点五 解直角三角形及其应用
知识点整合
一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，

正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
二、特殊角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°



三、解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；
（4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；
已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；
已知直边求斜边，用除还需正余弦.

四、解直角三角形的应用
1．仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．
坡度越大，α角越大，坡面越陡．学-科网
3．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．


4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.学科_网
5．解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
考向一 求三角函数的值
（1）分清直角三角形中的斜边与直角边.
（2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k．
（3）正确应用勾股定理求第三边长．
（4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．
典例引领
1．（2018·云南昆明市·云大附中九年级期末）在中，，，，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先画出图形，再根据正切三角函数的定义即可得．
【详解】
由题意，画出图形如下：
则，即，
解得，
故选：B．

【点睛】
本题考查了正切三角函数，熟记定义是解题关键．
2．（2020·北京第二外国语学院成都附属中学九年级期中）如图所示，是一个平面镜，光线从点射出经上的点反射后照射到点，设入射角为（入射角等于反射角），，，垂足分别为，．若，，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由镜面反射对称可知，继而证明，由相似三角形对应边成比例结合正切的定义解题．
【详解】
由镜面反射对称可知，
在和中，，
，，
，，，，
，，
解得：，．
故选A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
变式拓展
1．（2020·北京第二外国语学院成都附属中学九年级期中）在中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据偶次方和绝对值的非负性可得，，利用特殊角的三角函数值可得和的度数，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：，
，
，，则，，
解得：，，
则．
故选：C．
【点睛】
本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．（2020·山东省东营市河口区义和镇中心学校九年级期中）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由网格图可得BC=AB=5，则有∠ACB=∠CAB，进而问题可求解．
【详解】
解：由网格图可得：
，，
∴BC=AB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键．
3．（2020·六安市汇文中学九年级期中）如图，在正方形方格纸中，每个小方格边长为1，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质和锐角三角函数定义以及勾股定理，通过转化的数学思想可以求得sin∠BOD的值，本题得以解决．
【详解】
解：连接AE、EF，如图所示，

则AE∥CD，
∴∠FAE=∠BOD，
∵每个小正方形的边长为1，
则
∴△FAE是直角三角形，∠FEA=90°，
∴
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、锐角三角函数定义、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．（2020·杭州市建兰中学九年级月考）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则（ ）．

A． B．3 C． D．2
【答案】B
【分析】
设小正方形的边长为1，根据勾股定理可得AD、AC的值，进而可得△ADC是等腰直角三角形，进而可得AD⊥CD，根据相似三角形的判定和性质可得PC＝2DP，根据等量代换和线段和差可得AD＝CD＝3DP，继而即可求解．
【详解】
解析 设小正方形的边长为1，
由图形可知，，
是等腰直角三角形，
．
，
，
，
，
．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及其性质以及锐角三角函数．此题难度适中，注意转化思想与数形结合思想的应用．
考向二 解直角三角形的应用
解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.
典例引领
1．（2020·北京第二外国语学院成都附属中学九年级期中）如图，地在地的正东方向，因有大山阻隔，由地到地需绕行地．已知地位于地北偏东方向，距离地，地位于地南偏东方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求地到地之间高铁线路的长．（结果保留整数，参考数据：，，，）．

【答案】．
【分析】
过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，进而可得出地到地之间高铁线路的长．
【详解】
解：如图所示，过点作于点，则，

由题意得：，，
，则，
，在中，
，，
，，
又在中，，，
由勾股定理得：，
，解得：，
，，
，
答：地到地之间高铁线路长为．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．（2020·六安市汇文中学九年级期中）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上M处的临皋亭和N处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．求临皋亭M处与遗爱亭N处之间的距离（计算结果保留根号）．

【答案】临皋亭M处与遗爱亭N处之间的距离为米．
【分析】
过M作MD⊥AC于D，设MD＝x，在直角三角形中，利用三角函数即可x表示出AD与CD，根据AC＝AD＋CD即可列方程，从而求得MD的长，进一步求得AM的长；过B作BE⊥AN于E，在直角三角形中，利用三角函数即可求出AE与NE，再求出ME，从而求得MN．
【详解】
过M作MD⊥AC于D，
设MD＝x，
在Rt△MAD中，∵∠MAB＝45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AD＝MD＝x，
在Rt△MCD中，∠MCA＝90°−60°＝30°，
∴DC＝MD÷tan30°=MD＝x，
∵AC＝600＋400＝1000，
∴x＋x＝1000，
解得：x＝500（−1），
∴MD＝500（−1）m，
∴AM＝MD＝500（−）（m），
过B作BE⊥AN于E，
∵∠MAB＝45°，∠BA＝75°，
∴∠ANB＝60°，
在Rt△ABE中，∵∠MAB＝45°，AB＝600，
∴BE＝AE＝AB＝300，
∴ME＝AM−AE＝500（−）−300＝500−800，
在Rt△NBE中，∵∠ANB＝60°，
∴NE＝BE＝×300＝100，
∴MN＝100−（500−800）＝（800−400）m，
即临摹亭M处与遗爱亭N处之间的距离是（（800−400）m．

【点睛】
本题考查了直角三角形的应用−方向角问题，熟练掌握方向角的概念，正确作出辅助线是解题的关键．
变式拓展
1．（2020·上海市民办文绮中学九年级期中）如图，在航线的两侧分别有观测点和，点到航线l的距离为2海里，点位于点北偏东60°方向且与相距10海里处．现有一艘轮船从位于点南偏西76方向的处，正沿该航线自西向东航行，10分钟后该轮船行至点的正北方向的处．
（1）求观测点到航线的距离；
（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时）（参考数据：，，，）

【答案】（1）3海里；（2）20.2海里/时
【分析】
（1）利用，得，根据求出AF的长，就可以求出BF的长，最后可以得到，求出BE的长；
（2）利用求出DF的长，再算出EF的长，就可以得到DE的长，再根据求出CE的长，再算出CD的长，就可以求出速度．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵（海里），
∴（海里），
∵（海里），
∴（海里），
∵，，
∴（海里）；
（2）在中，，
∴（海里），
同理（海里），
∴（海里），
在中，，
∴（海里），
∴（海里），
∴（海里/时）．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握用锐角三角函数解直角三角形的方法．
10．（2020·杭州市建兰中学九年级月考）如图，A市北偏东方向有一旅游景点M，在A市北偏东的公路上向前行1000米到C处，测得M位于C的北偏西，试求景点M到C处的距离及景点M到公路的距离（结果保留根号）．

【答案】的长度为米，的长度为米．
【分析】
过点C作CH⊥AM．根据已知可求得各角的度数，从而根据三角函数可求得AM和CH的长，再根据面积公式即可求得MN的长．
【详解】
解析 由题意可知：
，
，
过C作交于点H，
∴在中，
,
即：,
，
同理：，
同理：在中，，
，
即：，
，
故的长度为米，的长度为米．

【点睛】
解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
3．（2020·陕西九年级其他模拟）小宁和同学们想知道学校操场旁一棵大树比一棵小树高多少，于是他们拿着三角尺和皮尺来到了操场，如图所示，小宁在E处用三角尺测得小树CD顶部C的仰角为30°，然后她前后移动调整，在M处用三角尺测得大树AB顶部A的仰角也是30°．已知B、D、E、M四点共线，AB⊥BM，CD⊥BM，EF⊥BM，MN⊥BM，小宁眼睛距地面的高度不变，即EF＝MN，他们测得BD＝4.5米，EM＝1.5米，求大树AB比小树CD高多少米？

【答案】大树AB比小树CD高2米
【分析】
延长NF交AB于点G，交CD于点H，可得四边形BGHD，四边形DHFE，四边形FNME是矩形，根据锐角三角函数表示AG＝（6+HF），CH＝HF，进而可得AB﹣CD＝（AG+BG）﹣（CH+DH）＝AG﹣CH＝（6+HF）﹣HF，可求大树AB比小树CD高多少米．
【详解】
解：如图，延长NF交AB于点G，交CD于点H，

根据题意可知：
四边形BGHD，四边形DHFE，四边形FNME是矩形，
∴GH＝BD＝4.5米，HF＝DE，FN＝EM＝1.5米，
在Rt△ANG中，∠AGN＝90°，∠ANG＝30°，
∴AG＝GN•tan∠ANG
＝（GH+HF+FN）•tan30°
＝（4.5+HF+1.5）
＝（6+HF）（米），
在Rt△CFH中，∠CHF＝90°，∠CFH＝30°，
∴CH＝HF•tan∠CFH
＝HF•tan30°
＝HF，
∴AB﹣CD＝（AG+BG）﹣（CH+DH）
＝AG﹣CH
＝（6+HF）﹣HF
＝（米）．
答：大树AB比小树CD高米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握解直角三角形的方法．
4．（2020·广东福田区·深圳实验学校九年级期中）如图1，大桥桥型为低塔斜拉桥，图2是从图1抽象出的平面示意图，现测得拉索与水平桥面的夹角是30°，拉索与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离为4米，两拉索底端距离为20米，试求立柱的长．（结果精确到0.1米，）


【答案】立柱的长约为15.3米
【分析】
设BE=x米，依据题意，用x和三角函数表示出AE和DE的长，由AE-DE=20米列方程，解之即可．
【详解】
如图2，设BE=x米，由BC=4米得CE=(x-4)米，
在Rt△ABE中
∵，∠A=30°
∴米；
在Rt△DCE中
∵，∠CDE=60°
∴米
由AE-DE=20米，得

解之得．
答：立柱的长为15.3米．
【点睛】
此题考查三角函数的实际应用．此题关键是要分别在两个直角形内运用三角函数列关系式，再据题意例方程求解．
5．（2020·潍坊市寒亭区教学研究室九年级一模）数学活动课上，小明和小红要测量小河对岸大树的高度，小红在点测得大树顶端的仰角为，小明从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为．

（1）求小明从点到点的过程中，他上升的高度；
（2）依据他们测量的数据能否求出大树的高度？若能，请计算：若不能，请说明理由．（参考数据：，，）
【答案】（1）4米 （2）能；22米
【分析】
（1）作DH⊥AE于H，解Rt△ADH，即可求出DH；
（2）如图所示：在Rt△DHA中,求出AH，过点作于点，设，
在中，在矩形中，用x表示，在中，由构造方程，求出x即可．
【详解】
解：（1）作于，如图所示：
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：小明从点到点的过程中，他上升的高度为4米．
（2）如图所示：过点作于点，设，
在中，，
∴，
由（1）得，
在矩形中，，，
在中，由，
解得：
答：大树的高度约为22米．

【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
6．（2020·浙江九年级一模）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖落在的位置（如图2所示），已知厘米，厘米，厘米．

（1）求点到的距离；
（2）求E、两点的距离．
【答案】（1）点D′到BC的距离为（45+70）厘米；（2）E、E′两点的距离是厘米．
【分析】
（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′=∠BHD′=90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH=DC=DE+CE及D′H=D′F+FH可求出点D′到BC的距离；
（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′=AE，∠EAE′=60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′=AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′=AE可得出E、E′两点的距离．
【详解】
解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．

由题意，得：AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFD′=∠BHD′=90°．
在Rt△AD′F中，D′F=AD′•sin∠DAD′=90×sin60°=45厘米．
又∵CE=40厘米，DE=30厘米，
∴FH=DC=DE+CE=70厘米，
∴D′H=D′F+FH=（45+70）厘米．
答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．
（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．

由题意，得：AE′=AE，∠EAE′=60°，
∴△AEE′是等边三角形，
∴EE′=AE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=90°．
在Rt△ADE中，AD=90厘米，DE=30厘米，
∴厘米，
∴EE′=30厘米．
答：E、E′两点的距离是30厘米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．
7．（2020·无锡市天一实验学校九年级期中）由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废下方点C处有生命迹象，在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.1）

【答案】生命所在点C的深度为1.7m．
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E，然后根据三角函数进行求解即可．
【详解】
解：过点C作CE⊥AB于点E，如图所示：

由图可得：∠BAC=30°，∠EBC=60°，
∵∠EBC=∠BAC+∠BCA，
∴∠BCA=30°，
∴AB=BC，
∵AB=2m，
∴BC=2m，
∴m，
答：生命所在点C的深度为1.7m．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键．
8．（2020·陕西师大附中九年级其他模拟）如图，某数学兴趣小组为测量一颗古树BH和教学楼CG的高，先在A处用高1.5米的测角仪AF测得古树顶端H的仰角为，此时教学楼顶端G恰好在视线FH上，再向前走10米到达B处，又测得教学楼顶端G的仰角为，点A、B、C三点在同一水平线上．

（1）求古树BH的高；（2）求教学楼CG的高．（参考数据：）
【答案】（1）古树BH的高为11.5米；（2）教学楼CG的高约为25米．
【分析】
（1）由知，据此得；
（2）设米，则米，由知，据此得，解之求得x的值，代入计算可得．
【详解】
解：（1）在中，，


∴古树的高为11.5米；
（2）在中，，
，
设米，则米，
在中，，
，
，
解得：，

答：教学楼CG的高约为25米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（2020·安徽瑶海区·九年级期末）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两观景台，A在B的正东方向，BP＝5（单位：km），有一艘小船停在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求A、B两观景台之间的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向进行沿途考察，求观景台B到射线AP的最短距离．（结果保留根号）

【答案】（1）A、B两观景台之间的距离为＝（5+5）km；（2）观测站B到射线AP的最短距离为（）km．
【分析】
（1）过点P作PD⊥AB于点D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的长，再解Rt△PAD，得到AD和AP的长，然后根据BD+AD=AB，即可求解；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．

在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，
∴BD＝PD＝BP＝5km．
在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝PD＝5km，PA＝12．
∴AB＝BD+AD＝（5+5）km；
答：A、B两观景台之间的距离为＝（5+5）km；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，
则∠BAP＝30°，
∵AB＝（5+5），
∴BF＝AB＝（）km．
答：观测站B到射线AP的最短距离为（）km．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．