2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第二章 函数、导数及其应用 13 word版含答案

这是一份2021年高考考点完全题数学（文）考点通关练习题 第二章 函数、导数及其应用 13 word版含答案，共15页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试13　函数模型及其应用一、基础小题1. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　)A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案　D解析　由题图知，甲和乙所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快．2. 如图是张大爷晨练时离家的距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是(　　)答案　D解析　根据图象可得，张大爷先是离家越来越远，后离家距离保持不变，最后慢慢回家，符合的只有D.3．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是(　　)A．7  B．8  C．9  D．10答案　C解析　由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为y＝＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．选C.4．2003年至2015年某市电影放映场次(单位：万次)的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是 (　　)A．f(x)＝ax2＋bx＋c   B．f(x)＝aex＋bC．f(x)＝eax＋b   D．f(x)＝aln x＋b答案　D解析　由题可得，这13年间电影放映场次逐年变化的规律是随着x的增大，f(x)逐渐增大，图象逐渐上升．对于A，f(x)＝ax2＋bx＋c，取a>0，－<0，可得满足条件的函数；对于B，取a>0，b>0，可得满足条件的函数；对于C，取a>0，b>0，可得满足条件的函数；对于D，a>0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征，当a<0时，为单调递减函数，不符合图象的特征，当a＝0时，显然不满足．故选D.5.f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)A．f(x)>g(x)>h(x)   B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)   D．f(x)>h(x)>g(x)答案　B解析　画出三个函数的图象，如下图所示，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于二次函数的图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．6. 已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　)A．40万元  B．60万元  C．120万元  D．140万元答案　C解析　甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C.7．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)A．y＝2x－2   B．y＝(x2－1)C．y＝log3x   D．y＝2x－2答案　B解析　把表格中的数据代入选择项的解析式中，易得最接近的一个函数是y＝(x2－1)．8．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量的增长速度保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示，则正确的是(　　)答案　A解析　因为前3年年产量的增长速度越来越快，可知图象的斜率随x的变大而变大，在图象上呈现下凹的情形；又因为后3年年产量的增长速度保持不变，可知图象的斜率不变，呈直线型变化．故选A.9．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16000，L乙＝300x－2000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为(　　)A．11000元  B．22000元  C．33000元  D．40000元答案　C解析　设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x2＋900x－16000＋300(110－x)－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5(x－60)2＋33000，∴当x＝60时，有最大利润33000元，故选C.10．已知某池塘中浮萍蔓延的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系式为y＝at，其图象如图所示，现有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月时，浮萍的面积就会超过30 m2；③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；④浮萍每个月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的是(　　)A．①②  B．①②③④  C．②③④⑤  D．①②⑤答案　D解析　因为点(1,2)在图象上，所以这个指数函数的底数是2，即①正确；因为函数y＝2t在R上单调递增，且当t＝5时，y＝32，所以②正确；当y＝4时，t＝2，经过1.5个月后y＝23.5<12，所以③错误；由图可知，2月面积增加2 m2，而3月面积增加4 m2，所以④错误；因为2＝2t1，3＝2t2,6＝2t3，所以t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，又1＋log23＝log22＋log23＝log26，所以⑤正确，故选D.11．某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系式t＝且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；②当x∈时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是________．答案　①④解析　∵某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系式t＝且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，∴24k＋6＝16，即4k＋6＝4，解得k＝－，∴①当x＝6时，t＝8，故①正确；②当x∈时，保鲜时间恒为64小时，当x∈(0,6]时，该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少，故②错误；③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t＝＝≈1.414(小时)，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误；④由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确．故正确结论的序号为①④.二、高考小题12．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)A．2018年  B．2019年  C．2020年  D．2021年答案　B解析　设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n－1>200，则lg >lg 200，∴lg 130＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，∴0.11＋(n－1)×0.05>0.30，解得n>，又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．故选B.13．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下， 在该市用丙车比用乙车更省油答案　D解析　对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误．对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C选项，甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L汽油，所以C错误，对于D选项，当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．14. 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)A．5  B．6  C．8  D．10答案　C解析　因为函数y＝3sin＋k的最小值为2，所以－3＋k＝2，得k＝5，故这段时间水深的最大值为3＋5＝8(m)，选C.15．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　)A.   B.C.   D.－1答案　D解析　设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a(1＋p)(1＋q)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则a(1＋x)2＝a(1＋p)(1＋q)，由于连续两年持续增加，所以x>0，因此x＝－1，故选D.16．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案　160解析　设底面长为x m，宽为 m，造价为y元，y＝4×20＋2×10＝80＋20x＋≥80＋2＝160，当且仅当20x＝，即x＝2时，等号成立，所以最低总造价为160元．17．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．答案　(1)1900　(2)100解析　(1)当l＝6.05时，F＝，∴F＝＝≤＝1900，当且仅当v＝，即v＝11时取“＝”．∴最大车流量F为1900辆/小时．(2)当l＝5时，F＝＝，∴F≤＝2000，当且仅当v＝，即v＝10时取“＝”．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2000－1900＝100辆/小时．三、模拟小题18．某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q(x)(台)进行统计，得数据如下：x(月份)12345Q(x)(台)691086根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数是(　　)A．Q(x)＝ax＋b(a≠0)B．Q(x)＝a|x－4|＋b(a≠0)C．Q(x)＝a(x－3)2＋b(a≠0)D．Q(x)＝a·bx(a≠0，b>0且b≠1)答案　C解析　观察数据可知，当x增大时，Q(x)的值先增大后减小，且大约是关于Q(3)对称，故月销售量Q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x＝3对称的，显然只有选项C满足题意，故选C.19．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份(　　)A．甲食堂的营业额较高B．乙食堂的营业额较高C．甲、乙两食堂的营业额相同D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案　A解析　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得，m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．20．某种电子元件的成本前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的成本与原来的成本比较，变化情况是(　　)A．减少7.84%   B．增加7.84%C．减少9.5%   D．不增不减答案　A解析　设该元件原来的成本为a，则有a(1＋20%)2×(1－20%)2＝0.9216a，×100%＝7.84%.故选A.21．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)之间的函数关系为P＝P0e－kt(k，P0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还需过滤________才可以排放．(　　)A. h  B. h  C．5 h  D．10 h答案　C解析　设原污染物数量为a，则P0＝a.由题意有10%a＝ae－5k，所以5k＝ln 10.设t h后污染物的含量不得超过1%，则有1%a≥ae－tk，所以tk≥2ln 10，t≥10.因此至少还需过滤10－5＝5(h)才可以排放．22．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；(2)最低种植成本是________元/100 kg.答案　120　80解析　因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四个函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数Q＝at2＋bt＋c描述．根据题意得Q＝a(t－120)2＋m，将表中数据代入可得则所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.一、高考大题1. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．解　(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．将其分别代入y＝，得解得(2)①由(1)知，y＝(5≤x≤20), 则点P的坐标为，设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，y′＝－，则l的方程为y－＝－(x－t)，由此得A，B.故f(t)＝＝ ，t∈．②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t－.令g′(t)＝0，解得t＝10.当t∈(5,10)时， g′(t)<0，g(t)是减函数；当t∈(10，20)时，g′(t)>0，g(t)是增函数．从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.故当t＝10时，公路l的长度最短，最短长度为15千米．二、模拟大题2. 如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求出该函数的定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．解　(1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．因为△EPQ ∽△EDF，所以＝，即＝.所以y＝－x＋10.易知定义域为{x|4≤x≤8}．(2)设矩形BNPM的面积为S平方米，则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，因为当x∈时，S(x)单调递增，所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，所以矩形BNPM的面积的最大值为48平方米．3．某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q>1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)＝4，f(2)＝6，求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．解　(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.(2)对于f(x)＝x(x－q)2＋p，由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，又q>1，所以q＝3，所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．(3)因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，所以f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)<0，得1<x<3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．4．为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且6≤a≤8.另外，当年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出．(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1、y2与生产相应产品的件数x(x∈N*)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；(3)如何决定投资可使年利润最大．解　(1)y1＝(10－a)x－20(1≤x≤200，x∈N*)，y2＝－0.05x2＋10x－40(1≤x≤120，x∈N*)．(2)∵10－a>0，故y1为增函数，∴当x＝200时，y1取得最大值1980－200a，即投资生产甲产品的最大年利润为(1980－200a)万美元．y2＝－0.05(x－100)2＋460(1≤x≤120，x∈N*)，∴当x＝100时，y2取得最大值460，即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元．(3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1980－200a)万美元，生产乙产品的最大年利润为460万美元，(1980－200a)－460＝1520－200a，且6≤a≤8，当1520－200a>0，即6≤a<7.6时，投资生产甲产品200件可获得最大年利润；当1520－200a＝0，即a＝7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；当1520－200a<0，即7.6<a≤8时，投资生产乙产品100件可获得最大年利润．