2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习七(含答案)

中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习七

1.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点.

(1)求抛物线解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MOA的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出当m为何值时，S有最大值，这个最大值是多少？

(3)若点Q是直线y=﹣x上的动点，过Q做y轴的平行线交抛物线于点P，判断有几个Q能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形的点，直接写出相应的点Q的坐标.

2.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O及点A（﹣4，0）和点C（2，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，将直线y=2x沿y轴向下平移n个单位后得到直线l，若直线l经过C点，与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点F．若P是抛物线上一点，且PC=PF，求点P的坐标；

（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，求新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标．（直接写出结果，不要解答过程）

3.如图，已知在ΔABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,D是斜边AB的中点.点P从点B出发沿BC方向匀速运动，速度为1 cm/s；同时,点Q从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度为2 cm/s.当点Q停止运动时，点P也停止运动.连接PQ、PD、QD.设运动时间为t(s)(0<t<4)．

(1)当t为何值时,ΔPQC是等腰直角三角形？

(2)设ΔPQD的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使ΔPQD的面积是RtΔABC的面积的四分之一？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

(3)是否存在某一时刻t，使QD⊥PD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

4.在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A.

 (1)当m=4时，求n的值；

 (2)设m=-2，当-3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；

 (3)当-3≤x≤0时，若二次函数-3≤x≤0时的最小值为-4，求m、n的值.

5.如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是（0，4），（0，﹣4）． 点P（p，0）是x轴上一个动点，过点B作直线BC⊥AP于点D，过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q． 当p≠0时，直线BC与x轴交于点C．

（1）当p=2时，求点C的坐标及直线BC的解析式；

（2）点P在x轴上运动时，点Q运动的路线是一条抛物线y=ax2+c，请选取适当的点Q，求出抛物线的解析式；

（3）①是否存在点P，使△OPD为等腰三角形？若存在，请求出点P横坐标p的值；若不存在，请说明理由．

②在（2）的条件下，如果抛物线交x轴于E，F两点（点E在点F左侧），过抛物线的顶点和点E作直线l，设点M（m，n）为l上一个动点． 请直接写出m在什么范围内取值时，△EMF钝角三角形．

6.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1，0),B(5，0),与y轴交于C(0，3).直线y=x+1与抛物线交于A、E两点，与抛物线对称轴交于点D.

 (1)求抛物线解析式及E点坐标；

 (2)在对称轴上是否存在一点M，使ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.

 (3)若一点P在直线y=x+1上从A点出发向AE方向运动，速度为单位/秒，过P点作PQ//y轴，交抛物线于Q点.设时间为t秒(0≤t≤6)，PQ的长度为L，找出L与t的函数关系式，并求出PQ最大值.

7.（1）问题：

如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD•BC=AP•BP．

（2）探究：

如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？

说明理由．

（3）应用：

请利用（1）（2）获得的经验解决问题：

如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A．设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．

8.如图①，点A′、B′的坐标分别为（4，0）和（0，﹣8），将△A′B′O绕点O按逆时针方向旋90°转后得△ABO，点A′的对应点是A，点B′的对应点是点B．

（1）写出A、B两点的坐标，并求出直线AB的解析式；

（2）将△ABO沿着垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上，点D在线段AB上，点D不与A、B重合）如图②，使点B落在x轴上，点B的对应点为点E，设点C的坐标为（x，0），△CDE与△ABO重叠部分的面积为S．

①试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；

②当x为何值时，S的面积最大？最大值是多少？

（3）当4＜x＜8时，是否存在这样的点C，使得△ADE为直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析

9.解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

∵抛物线经过A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=x2+x﹣4；

(2)∵点M的横坐标为m，

∴点M的纵坐标为m2+m﹣4，

又∵A(﹣4，0)，

∴AO=0﹣(﹣4)=4，

∴S=×4×|m2+m﹣4|=﹣(m2+2m﹣8)=﹣m2﹣2m+8，

∵S=﹣(m2+2m﹣8)=﹣(m+1)2+9，点M为第三象限内抛物线上一动点，

∴当m=﹣1时，S有最大值，最大值为S=9；

故答案为：S关于m的函数关系式为S=﹣m2﹣2m+8，当m=﹣1时，S有最大值9；

(3)∵点Q是直线y=﹣x上的动点，

∴设点Q的坐标为(a，﹣a)，

∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴，

∴点P的坐标为(a， a2+a﹣4)，

∴PQ=﹣a﹣(a2+a﹣4)=﹣a2﹣2a+4，

又∵OB=0﹣(﹣4)=4，

以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，

∴|PQ|=OB，

即|﹣a2﹣2a+4|=4，

①﹣a2﹣2a+4=4时，整理得，a2+4a=0，

解得a=0(舍去)或a=﹣4，

﹣a=4，

所以点Q坐标为(﹣4，4)，

②﹣a2﹣2a+4=﹣4时，整理得，a2+4a﹣16=0，

解得a=﹣2±2，

所以点Q的坐标为(﹣2+2，2﹣2)或(﹣2﹣2，2+2)，

综上所述，Q坐标为(﹣4，4)或(﹣2+2，2﹣2)或(﹣2﹣2，2+2)时，

使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形.

10.解:

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O及点A（﹣4，0）和点C（2，3），

∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2+x；

∵y=x2+x=（x+2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1）；

（2）如图1：直线l的解析式为y=2x﹣n，

∵直线l过点C（2，3），∴n=1，

∴直线l的解析式为y=2x﹣1，当x=0时，y=﹣1，即D（0，﹣1）．

∵抛物线的对称轴为x=﹣2，∴E（﹣2，0）．

当x=﹣2时，y=2x﹣1=﹣5，即F（﹣2，﹣5），∴CD=DF=2，

∴点D是线段CF的中点，

∵C（2，3），∴EF=EC=5，∴ED垂直平分CF．∴PC=PF，

∴点P在CF的垂直平分线上，∴点P是抛物线与直线ED的交点．

ED的解析式为y=﹣x﹣1．联立抛物线与ED，得

，解得，，

点P的坐标（﹣3+，）或（﹣3﹣，）；

（3）如图2：移后的抛物线为y═x2+x+4

平行于CD与物线相切的直线为y=2x+b，联立，得x2+x+4=2x+b

方程有相等二实根，得△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×（4﹣b）=0解得b=3．

x2﹣x+1=0，解得x=2，y=2x+3=7，

新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标是（2，7）．

11.解：

(1)8－2t=6－tt＝2 (秒)．

(2)过Q作QF⊥AB，交AB于F，Rt△AQF∽Rt△ABC得

其中BC=6，AC=8，AB=10，AQ=2t∴同样可求得：

∴

根据题意，    解得

答：当t=3秒或t=2秒时，ΔPQD的面积是RtΔABC的面积的.

(3)

同样可得:;

当PD⊥QD时，此时，t＝ (秒)．

答：当t＝时，PD⊥QD．

12.解：

(1)n=3;（2）最小值当x=0时，最小值为-15；(3)

13.解：

14.解：

(1)y=-0.6x2+2.4x+3,E(10/3,13/3)；

(2)M(2，-1),(2，1),(2，3+),(2，3-)；

(3)L=-0.6t2+1.4t+2(0≤t≤10/3)；

L=0.6t2-1.4t-4(10/3<t≤5).

当t=5时，L最大=4.

15.（1）证明：如图1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，

∴∠APD=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD•BC=AP•BP；

（2）结论AD•BC=AP•BP仍成立；理由：证明：如图2，

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，

∵∠DPC=∠A=θ，∴∠BPC=∠APD，

又∵∠A=∠B=θ，∴△ADP∽△BPC，∴，∴AD•BC=AP•BP；

（3）解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，

∵AD=BD=10，AB=12，∴AE=BE=6∴DE==8，

∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=8，∴BC=10﹣8=2，

∵AD=BD，∴∠A=∠B，又∵∠DPC=∠A，∴∠DPC=∠A=∠B，

由（1）（2）的经验得AD•BC=AP•BP，

又∵AP=t，BP=12﹣t，∴t（12﹣t）=10×2，∴t=2或t=10，

∴t的值为2秒或10秒．

16.解：

（1）由旋转得，OA=OA′，OB=OB′，

∵点A′、B′的坐标分别为（4，0）和（0，﹣8），

∴OA′=4，OB′=8，∴A（0，4），B（8，0），

设直线AB的解析式y=kx+b，

∴，∴∴直线AB的解析式y=﹣x+4，

（2）①Ⅰ、点E在原点和x轴正半轴上时，重叠部分是△CDE．

则S△CDE=BC×CD=（8﹣x）（﹣x+4）=（x﹣8）2，

∵CE=OB=4当E与O重合时∴4≤x＜8

Ⅱ、当E在x轴的负半轴上时，设DE与y轴交于点F，则重叠部分为梯形

∵△OFE∽△OAB=，∴OF=OE

又∵OE=8﹣2x∴OF=4﹣x

∴S四边形CDFO=x{4﹣x+（﹣x+4）=﹣x2+4x

当点C与点O重合时，点C的坐标为（0，0）∴0＜x＜4

综合Ⅰ、Ⅱ得，S=

②Ⅰ、当4≤x＜8时，s=（x﹣8）2，∴对称轴是直线x=8，

∵抛物线开口向上，∴在4≤x＜8中，S随x的增大而减小

∴当x=4时，S的最大值=4，

Ⅱ、当0＜x＜4时，s=﹣x2+4x∴对称轴是直线x=

∵抛物线开口向下∴当x=时，S有最大值为

综合①②当x=时，S有最大值为

（3）存在，点C的坐标为（5，0）

①当△ADE以点A为直角顶点时，作AE⊥AB交x轴负半轴于点E，

∵△AOE∽△BOA∴

∵AO=4∴EO=2∴点E坐标为（﹣2，0）

∴点C的坐标为（3，0）（舍，4＜x＜8）

②当△ADE以点E为直角顶点时,同样有△AOE∽△BOA，

∴∴EO=2∴E（2，0）∴点C的坐标（5，0）

综合Ⅰ、Ⅱ知满足条件的坐标有（5，0）．