2021届高三数学（文）一轮复习夯基提能作业本：第九章 平面解析几何 第六节 双曲线 Word版含解析

第六节　双曲线

A组　基础题组

1.(2016安徽安庆二模)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线C的离心率是(　　)

A. B. C.2 D.

2.若实数k满足0<k<5,则曲线-=1与曲线-=1的(　　)

A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等

C.离心率相等  D.焦距相等

3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(　　)

A.y=±x  B.y=±x

C.y=±x  D.y=±x

4.(2016天津,4,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为(　　)

A.-y2=1 B.x2-=1 

C.-=1 D.-=1

5.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为(　　)

A. B. C. D.2

6.设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左,右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)

A.± B.± C.±1 D.±

7.(2016北京,12,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=　　　;b=　　　　. 

8.设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°,延长AF2交双曲线右支于点B,则△F1AB的面积等于　　　　. 

9.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.

(1)求椭圆和双曲线的方程;

(2)若P为该椭圆与双曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.

10.已知双曲线的中心在原点,左、右焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).

(1)求双曲线的方程;

(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0;

(3)在(2)的条件下,求△F1MF2的面积.

11.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(　　)

A.(-1,3)  B.(-1,) 

C.(0,3)  D.(0,)

12.(2016江南十校联考(一))已知l是双曲线C:-=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2分别是C的左,右焦点,若·=0,则点P到x轴的距离为(　　)

A.  B. C.2   D.

13.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为(　　)

A.(1,)  B.(1,]  C.(,+∞) D.,+∞)

14.(2015课标Ⅰ,16,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为　　　　. 

15.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1、F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是　　　　. 

16.设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.

(1)求双曲线的方程;

(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.

答案全解全析

A组　基础题组

1.A　由双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,可得=2,∴e===.故选A.

2.D　若0<k<5,则5-k>0,16-k>0,故方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,且实半轴的长为4,虚半轴的长为,焦距2c=2,离心率e=;方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,实半轴的长为,虚半轴的长为,焦距2c=2,离心率e=.可知两曲线的焦距相等.故选D.

3.C　由双曲线的离心率e==可知=,而双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,故选C.

4.A　由题意可得解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1,故选A.

5.A　解法一:由MF1⊥x轴,可得M或M,∴|MF1|=.由sin∠MF2F1=,可得cos∠MF2F1==,又tan∠MF2F1==,∴=,∴b2=ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0⇒e2-e-1=0,∴e=(舍负).故选A.

解法二:由MF1⊥x轴,得M或M,∴|MF1|=,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,

又sin∠MF2F1===⇒a2=b2⇒a=b,∴e==.故选A.

6.C　不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于A1A2,即x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别为,,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0),

所以=,=,

因为A1B⊥A2C,所以·=0,

即(c+a)(c-a)-·=0,

即c2-a2-=0,所以b2-=0,

故=1,即=1,又双曲线的渐近线的斜率为±,故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.

7.答案　1;2

解析　由题可知双曲线焦点在x轴上,

故渐近线方程为y=±x,又一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x,

∴=2,即b=2a.

又∵该双曲线的一个焦点为(,0),

∴c=.

由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,

解得a=1,b=2.

8.答案　4

解析　由题意可得|AF2|=2,|AF1|=4,

则|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|=|BF1|.

又∠F1AF2=45°,所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形,所以其面积为×4×2=4.

9.解析　(1)设椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1,

则解得a=7,m=3,

∴b=6,n=2.

∴椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1.

(2)不妨令F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14,

|PF1|-|PF2|=6,

所以|PF1|=10,|PF2|=4,

又|F1F2|=2,

∴cos∠F1PF2=

==.

10.解析　(1)∵e=,∴可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).

∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6,

∴双曲线的方程为x2-y2=6.

(2)证法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,

∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),

∴=,=,

∴·==-.

∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,故·=-1,∴MF1⊥MF2,即·=0.

证法二:由证法一知=(-3-2,-m),

=(2-3,-m),

∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2,

∵点M在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,

∴·=0.

(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,由(2)知m=±.

∴△F1MF2的高h=|m|=,∴=6.

B组　提升题组

11.A　∵原方程表示双曲线,且焦距为4,

∴①

或②

由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.

12.C　由题意知F1(-,0),F2(,0),不妨取l的方程为y=x,设点P(x0,x0),由·=(--x0,-x0)·(-x0,-x0)=3-6=0,得x0=±,故点P到x轴的距离为|x0|=2,故选C.

13.C　双曲线的一条渐近线方程为y=x,

由题意得>2,

∴e==>=.

14.答案　12

解析　由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即当A、P、F'三点共线时,△APF的周长最小.

设P点坐标为(x0,y0),y0>0,由得+6y0-96=0,所以y0=2或y0=-8(舍去).

所以当△APF的周长最小时,该三角形的面积S=×6×6-×6×2=12.

15.答案　(2,8)

解析　△PF1F2为锐角三角形,不妨设P在第一象限,P点在P1与P2之间运动(如图).

当P在P1点处时,∠F1P1F2=90°,=|F1F2|·||=|P1F1|·|P1F2|.

由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2,|P1F1|-|P1F2|=2,

得|P1F1|·|P1F2|=6,

此时|PF1|+|PF2|=2.

当P在P2点处时,∠P2F2F1=90°,

∴=2,易知=3,

此时|PF1|+|PF2|=2|PF2|+2=8,

∴当△PF1F2为锐角三角形时,|PF1|+|PF2|∈(2,8).

16.解析　(1)由题意知a=2,∴一条渐近线方程为y=x,

即bx-2y=0,∴=,

∴b2=3,∴双曲线的方程为-=1.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),

∵+=t,∴x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,

将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,

则x1+x2=16,所以y1+y2=12,∵点D在双曲线的右支上,

∴

解得

∴t=4,点D的坐标为(4,3).