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2019年内蒙古包头市中考数学试卷
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这是一份2019年内蒙古包头市中考数学试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.
1．（3分）计算|﹣|+（）﹣1的结果是（ ）
A．0 B． C． D．6
2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．a＞﹣b C．﹣a＞b D．﹣a＜b
3．（3分）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是（ ）
A．4 B． C．5 D．
4．（3分）一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（ ）
A．24 B．24π C．96 D．96π
5．（3分）在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≥﹣1且x≠2
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．立方根等于它本身的数一定是1和0
B．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形
C．在函数y＝kx+b（k≠0）中，y的值随着x值的增大而增大
D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣1 B．4﹣π C． D．2
9．（3分）下列命题：
①若x2+kx+是完全平方式，则k＝1；
②若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，则m＝5；
③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；
④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．
其中真命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（ ）
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（ ）
A． B． C．﹣1 D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．0
二、填空题：本大题有6小题，每小题3分，共24分.
13．（3分）2018年我国国内生产总值（GDP）是900309亿元，首次突破90万亿大关，90万亿用科学记数法表示为 ．
14．（3分）已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是 ．
15．（3分）化简：1﹣÷＝ ．
16．（3分）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
班级
参赛人数
平均数
中位数
方差
甲
45
83
86
82
乙
45
83
84
135
某同学分析上表后得到如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分≥85分为优秀）；
③甲班成绩的波动性比乙班小．
上述结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
17．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是 ．
18．（3分）如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为 ．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（0，2），将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C，则k＝ ．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE，下列结论：
①若BF＝CF，则CE2+AD2＝DE2；
②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE＝；
③△ABD和△CBE一定相似；
④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE＝．
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共有6小题，共60分.
21．（8分）某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取50名九年级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题：
测试成绩（分）
23
25
26
28
30
人数（人）
4
18
15
8
5
（1）该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数；
（2）该校体育老师要对本次抽测成绩为23分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝90°，AC交BD于点E，∠ABD＝30°，AD＝，求线段AC和BE的长．
（注：＝＝）
23．（10分）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．
（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？
（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
24．（10分）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
25．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DM＜BD），连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．
（1）如图①，求证：MA＝MN；
（2）如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当时，求AN和PM的长；
（3）如图③，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．
（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.
1．（3分）计算|﹣|+（）﹣1的结果是（ ）
A．0 B． C． D．6
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂．菁优网版权所有
【分析】先根据二次根式的性质，绝对值的秘技，负指数幂的法则进行计算，然后进行有理数的加法运算．
【解答】解：原式＝3+3＝6．
故选：D．
【点评】本题是实数的运算，主要考查了二次根式的性质，绝对值的性质，负指数幂的运算，有理数的加法，关键是熟记法则．
2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．a＞﹣b C．﹣a＞b D．﹣a＜b
【考点】29：实数与数轴．菁优网版权所有
【分析】根据数轴可以发现a＜b，且﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，由此即可判断以上选项正确与否．
【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴答案A错误；
∵a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，∴a＜﹣b，∴答案B错误；
∴﹣a＞b，故选项C正确，选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
3．（3分）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是（ ）
A．4 B． C．5 D．
【考点】W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有
【分析】根据题意由众数是4，可知x＝4，然后根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵这组数据的众数4，
∴x＝4，
将数据从小到大排列为：2，3，4，4，5，6，7，9
则中位数为：4.5．
故选：B．
【点评】本题考查了众数、中位数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．
4．（3分）一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（ ）
A．24 B．24π C．96 D．96π
【考点】U1：简单几何体的三视图；U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】由已知三视图为圆柱，首先得到圆柱底面半径，从而根据圆柱体积＝底面积乘高求出它的体积．
【解答】解：由三视图可知圆柱的底面直径为4，高为6，
∴底面半径为2，
∴V＝πr2h＝22×6•π＝24π，
故选：B．
【点评】此题考查的是圆柱的体积及由三视图判断几何体，关键是先判断圆柱的底面半径和高，然后求其体积．
5．（3分）在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≥﹣1且x≠2
【考点】E4：函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【分析】根据分母不等于0和二次根式的被开方数非负，列出不等式组，进行解答便可．
【解答】解：根据题意得，
，
解得，x≥﹣1，且x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．二次根式有意义，被开方数是非负数．自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义：①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．立方根等于它本身的数一定是1和0
B．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形
C．在函数y＝kx+b（k≠0）中，y的值随着x值的增大而增大
D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等
【考点】24：立方根；F5：一次函数的性质；L8：菱形的性质；LN：中点四边形；M5：圆周角定理；MN：弧长的计算．菁优网版权所有
【分析】根据立方根的定义，中点四边形，一次函数的性质，弧，弦，圆心角的关系即可得到结论
【解答】解：A、立方根等于它本身的数一定是±1和0，故错误；
B、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，故正确；
C、在函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大，故错误；
D、在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等，故错误．
故选：B．
【点评】本题考查了立方根的定义，中点四边形，一次函数的性质，弧，弦，圆心角的关系，熟练掌握各知识点是解题的关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【考点】KF：角平分线的性质；N2：作图—基本作图．菁优网版权所有
【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积＝×4×1＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣1 B．4﹣π C． D．2
【考点】KW：等腰直角三角形；M5：圆周角定理；MO：扇形面积的计算．菁优网版权所有
【分析】连接CD，根据圆周角定理得到CD⊥AB，推出△ACB是等腰直角三角形，得到CD＝BD，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵BC是半圆的直径，
∴CD⊥AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴CD＝BD，
∴阴影部分的面积＝×22＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．（3分）下列命题：
①若x2+kx+是完全平方式，则k＝1；
②若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，则m＝5；
③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；
④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．
其中真命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有
【分析】利用完全平方公式对①进行判断；利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求出m，则可对②进行判断；根据等腰三角形的性质对③进行判断；根据多边形的内角和和外角和对④进行判断．
【解答】解：若x2+kx+是完全平方式，则k＝±1，所以①错误；
若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，而直线AB的解析式为y＝x+4，则x＝1时，m＝5，所以②正确；
等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，所以③错误；
一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
10．（3分）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（ ）
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
【考点】A3：一元二次方程的解；AA：根的判别式；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】分三种情况讨论，①当a＝4时，②当b＝4时，③当a＝b时；结合韦达定理即可求解；
【解答】解：当a＝4时，b＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8不符合；
当b＝4时，a＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
∴a＝8不符合；
当a＝b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝2a＝2b，
∴a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34；
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（ ）
A． B． C．﹣1 D．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质．菁优网版权所有
【分析】由正方形的性质得出∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，证明Rt△ABE≌Rt△ADF得出∠BAE＝∠DAF，求出∠DAF＝15°，在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，则AG＝FG，∠DGF＝30°，由直角三角形的性质得出DF＝FG＝AG，DG＝DF，设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，则2x+x＝1，解得：x＝2﹣，得出DF＝2﹣，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF＝15°，
在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示：
∴AG＝FG，∠DGF＝30°，
∴DF＝FG＝AG，DG＝DF，
设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，
∵AG+DG＝AD，
∴2x+x＝1，
解得：x＝2﹣，
∴DF＝2﹣，
∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝﹣1；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．0
【考点】F5：一次函数的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】当点M在AB上运动时，MN⊥MC交y轴于点N，此时点N在y轴的负半轴移动，定有△AMC∽△NBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值时，就能确定点N的坐标，而直线y＝kx+b与y轴交于点N（0，b），此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．
【解答】解：连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，
又∵MN⊥MC，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMC＝∠MNB，
∴△AMC∽△NBM，
∴，
设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，
∴，
即：y＝x2+x
∴当x＝﹣＝﹣时，y最大＝×（）2+＝，
∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）
当BN最大，此时ON最小，点N （0，b）越往上，b的值最大，
∴ON＝OB﹣BN＝2﹣＝，
此时，N（0，）
b的最大值为．
故选：A．
【点评】综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．
二、填空题：本大题有6小题，每小题3分，共24分.
13．（3分）2018年我国国内生产总值（GDP）是900309亿元，首次突破90万亿大关，90万亿用科学记数法表示为 9×1013 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：90万亿用科学记数法表示成：9.0×1013，
故答案为：9.0×1013．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是 k≤﹣2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：
由①得x＞﹣1；
由②得x＞k+1．
∵不等式组的解集为x＞﹣1，
∴k+1≤﹣1，
解得k≤﹣2．
故答案为k≤﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中．
15．（3分）化简：1﹣÷＝ ﹣ ．
【考点】6C：分式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．
【解答】解：1﹣÷＝1﹣•＝1﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟记法则是解题的关键．
16．（3分）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
班级
参赛人数
平均数
中位数
方差
甲
45
83
86
82
乙
45
83
84
135
某同学分析上表后得到如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分≥85分为优秀）；
③甲班成绩的波动性比乙班小．
上述结论中正确的是 ①②③ ．（填写所有正确结论的序号）
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W7：方差．菁优网版权所有
【分析】根据平均数、中位数、方差的定义即可判断；
【解答】解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；
根据中位数可以确定，乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数；
根据方差可知，甲班成绩的波动性比乙班小．
故①②③正确，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是 1 ．
【考点】R2：旋转的性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】根据旋转的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°，
∴∠ACE＝∠AEC＝55°，
又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，
∴∠ACB＝∠AED＝100°，
∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°，
∴tan∠DEC＝tan45°＝1，
故答案为：1
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质，本题属于中等题型．
18．（3分）如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为 2 ．
【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．菁优网版权所有
【分析】连接CD、OC，由切线的性质得出AC⊥OC，证出OC∥AB，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠CBO，由圆周角定理得出∠BCD＝90°＝∠CAB，证明△ABC∽△CBD，得出＝，即可得出结果．
【解答】解：连接CD、OC，如图：
∵AC与⊙O相切于点C，
∴AC⊥OC，
∵∠CAB＝90°，
∴AC⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠CBO，
∴∠ABC＝∠CBO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°＝∠CAB，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，
∴BC2＝AB×BD＝4×6＝24，
∴BC＝＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（0，2），将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C，则k＝ ．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；G4：反比例函数的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；PB：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】由A（﹣1，0），B（0，2），可知OA，OB，由折叠得OA＝AC＝1，OB＝BC＝2，要求k的值只要求出点C的坐标即可，因此过点C作垂线，构造相似三角形，得出线段之间的关系，设合适的未知数，在直角三角形中由勾股定理，解出未知数，进而确定点C的坐标，最终求出k的值．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴，过点B作BE⊥y轴，与DC的延长线相交于点E，
由折叠得：OA＝AC＝1，OB＝BC＝2，
易证，△ACD∽△BCE，
∴，
设CD＝m，则BE＝2m，CE＝2﹣m，AD＝2m﹣1
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即：m2+（2m﹣1）2＝12，解得：m1＝，m2＝0（舍去）；
∴CD＝，BE＝OA＝，
∴C（，）代入y＝得，k＝＝，
故答案为：
【点评】考查折叠得性质、相似三角形的性质、直角三角形的勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征等知识，由于综合利用的知识较多，本题由一定的难度．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE，下列结论：
①若BF＝CF，则CE2+AD2＝DE2；
②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE＝；
③△ABD和△CBE一定相似；
④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE＝．
其中正确的是 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
【考点】KO：含30度角的直角三角形；KP：直角三角形斜边上的中线；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD＝BD，由BF＝CF，BD＝CD得DE是BC的垂直平分线，得BE＝CE，再由勾股定理便可得结论，由此判断结论的正误；
②证明△ABC∽△DBE，求得BE，再证明DE∥AB，得DE垂直平分BC，得CE＝BE，便可判断结论的正误；
③证明∠ABD＝∠CBE，再证明BE与BC或BC与BE两边的比不一定等于AB与BD的比，便可判断结论正误；
④先求出AC，进而得BD，再在Rt△BCE中，求得BE，进而由勾股定理求得结果，便可判断正误．
【解答】解：①∵∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵AF＝CF，
∴BF＝CF，
∴DE⊥BC，
∴BE＝CE，∵
∵BE⊥BD，
∴BD2+BE2＝DE2，
∴CE2+AD2＝DE2，
故①正确；
②∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝，
∴，
∵∠A＝∠BDE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴，
即．
∴BE＝，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝∠BDE，∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠A＝∠CDE，
∴DE∥AB，
∴DE⊥BC，
∵BD＝CD，
∴DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴CE＝，
故②正确；
③∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵，
但随着F点运动，BE的长度会改变，而BC＝3，
∴或不一定等于，
∴△ABD和△CBE不一定相似，
故③错误；
④∵∠A＝30°，BC＝3，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBE＝30°，AC＝2BC＝6，
∴BD＝，
∵BC＝3，∠BCE＝90°，
∴BE＝，
∵∴，
故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题是三角形的一个综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，考试的内容多，难度较大，关键是综合应用以上性质灵活解题．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分.
21．（8分）某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取50名九年级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题：
测试成绩（分）
23
25
26
28
30
人数（人）
4
18
15
8
5
（1）该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数；
（2）该校体育老师要对本次抽测成绩为23分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
【考点】V5：用样本估计总体；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）由总人数乘以25分的学生所占的比例即可；
（2）画树状图可知：共有12个等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有4个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）450×＝162（人），
答：该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数为162人；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，
∵丙丁分到一组时，甲乙也恰好在同一组，
∴甲和乙恰好分在同一组的结果有4个，
∴甲和乙恰好分在同一组的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，统计表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝90°，AC交BD于点E，∠ABD＝30°，AD＝，求线段AC和BE的长．
（注：＝＝）
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出＝，进而得出AC，BE的长．
【解答】解：在Rt△ABD中
∵∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，AD＝，
∴tan∠ABD＝，
∴＝，
∴AB＝3，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝3，
∴AC＝＝3，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴＝，
∴＝，
设DE＝x，则BE＝3x，
∴BD＝DE+BE＝（+3）x，
∴＝，
∵在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝2，
∴DE＝2×，
∴DE＝3﹣，
∴BE＝（3﹣）＝3﹣3．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出DE，BD之间关系是解题关键．
23．（10分）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．
（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？
（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
【考点】B7：分式方程的应用；HE：二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据题意可以列出方程，进而求得结论；
（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：（1）该出租公司这批对外出租的货车共有x辆，
根据题意得，，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是分式方程的根，
∴1500÷（20﹣10）＝150（元），
答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金150元；
（2）设每辆货车的日租金上涨a元时，该出租公司的日租金总收入为W元，
根据题意得，W＝[a+150×（1+）]×（20﹣），
∴W＝﹣a2+10a+4000＝﹣（a﹣100）2+4500，
∵﹣＜0，
∴当a＝100时，W有最大值，
答：每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
24．（10分）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M5：圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；
（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB＝ME，进而得结论．
【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AH＝AC＝，
∴OA＝，
故⊙O的半径为2．
（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠MBC＝60°，BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE，
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查圆的圆内接四边形定理，圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，内容较多，有一定难度，第一题关键在于求∠AOC的度数，第二题的关键在于构造全等三角形．
25．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DM＜BD），连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．
（1）如图①，求证：MA＝MN；
（2）如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当时，求AN和PM的长；
（3）如图③，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积．
【考点】SO：相似形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，由正方形的性质得出∠ABD＝∠DBC＝45°，由角平分线的性质得出MF＝MG，证得四边形FBGM是正方形，得出∠FMG＝90°，证出∠AMF＝∠NMG，证明△AMF≌△NMG，即可得出结论；
（2）证明Rt△AMN∽Rt△BCD，得出＝（）2，求出AN＝2，由勾股定理得出BN＝＝4，由直角三角形的性质得出OM＝OA＝ON＝AN＝，OM⊥AN，证明△PAO∽△NAB，得出＝，求出OP＝，即可得出结果；
（3）过点A作AF⊥BD于F，证明△AFM≌△MHN得出AF＝MH，求出AF＝BD＝×6＝3，得出MH＝3，MN＝2，由勾股定理得出HN＝＝，由三角形面积公式即可得出结果．
【解答】（1）证明：过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，如图①所示：
∴∠AFM＝∠MFB＝∠BGM＝∠NGM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∠ABD＝∠DBC＝45°，
∵MF⊥AB，MG⊥BC，
∴MF＝MG，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形FBGM是正方形，
∴∠FMG＝90°，
∴∠FMN+∠NMG＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMF+∠FMN＝90°，
∴∠AMF＝∠NMG，
在△AMF和△NMG中，，
∴△AMF≌△NMG（ASA），
∴MA＝MN；
（2）解：在Rt△AMN中，由（1）知：MA＝MN，
∴∠MAN＝45°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠MAN＝∠DBC，
∴Rt△AMN∽Rt△BCD，
∴＝（）2，
在Rt△ABD中，AB＝AD＝6，
∴BD＝6，
∵，
∴＝，
解得：AN＝2，
∴在Rt△ABN中，BN＝＝＝4，
∵在Rt△AMN中，MA＝MN，O是AN的中点，
∴OM＝OA＝ON＝AN＝，OM⊥AN，
∴∠AOP＝90°，
∴∠AOP＝∠ABN，
∵∠PAO＝∠NAB，
∴△PAO∽△NAB，
∴＝，即：＝，
解得：OP＝，
∴PM＝OM+OP＝+＝；
（3）解：过点A作AF⊥BD于F，如图③所示：
∴∠AFM＝90°，
∴∠FAM+∠AMF＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMF+∠HMN＝90°，
∴∠FAM＝∠HMN，
∵NH⊥BD，
∴∠AFM＝∠MHN＝90°，
在△AFM和△MHN中，，
∴△AFM≌△MHN（AAS），
∴AF＝MH，
在等腰直角△ABD中，∵AF⊥BD，
∴AF＝BD＝×6＝3，
∴MH＝3，
∵AM＝2，
∴MN＝2，
∴HN＝＝＝，
∴S△HMN＝MH•HN＝×3×＝3，
∴△HMN的面积为3．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．
（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2即可；
（2）过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，设点D（1，y），在Rt△CGD中，CD2＝CG2+GD2＝（2﹣y）2+1，在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2＝4+y2，可以证明CD＝BD，即可求y的值；
（3）过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，证明四边形QRPE是矩形，根据S△CEF＝S矩形QRPE﹣S△CRF﹣S△EFP，代入边即可；
（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M（2，2）或M（4，﹣）或M（﹣2，﹣）；
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，
可得a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+2；
∴对称轴x＝1；
（2）如图1：过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，
设点D（1，y），
∵C（0，2），B（3，0），
∴在Rt△CGD中，CD2＝CG2+GD2＝（2﹣y）2+1，
∴在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2＝4+y2，
在△BCD中，∵∠DCB＝∠CBD，
∴CD＝BD，
∴CD2＝BD2，
∴（2﹣y）2+1＝4+y2，
∴y＝，
∴D（1，）；
（3）如图2：过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，
∴∠EQR＝∠QRP＝∠RPE＝90°，
∴四边形QRPE是矩形，
∵S△CEF＝S矩形QRPE﹣S△CRF﹣S△EFP﹣S△CQE
∵E（x，y），C（0，2），F（1，1），
∴S△CEF＝EQ•QR﹣×EQ•QC﹣CR•RF﹣FP•EP，
∴S△CEF＝x（y﹣1）﹣x（y﹣2）﹣×1×1﹣（x﹣1）（y﹣1），
∵y＝﹣x2+x+2，
∴S△CEF＝﹣x2+x，
∴当x＝时，面积有最大值是，
此时E（，）；
（4）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
设N（1，n），M（x，y），
①四边形CMNB是平行四边形时，
＝，
∴x＝﹣2，
∴M（﹣2，﹣）；
②四边形CNBM时平行四边形时，
＝，
∴x＝2，
∴M（2，2）；
③四边形CNNB时平行四边形时，
＝，
∴x＝4，
∴M（4，﹣）；
综上所述：M（2，2）或M（4，﹣）或M（﹣2，﹣）；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的性质，灵活运用勾股定理求边长，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
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日期：2019/7/29 11:40:35；用户：学无止境；邮箱：419793282@qq.com；学号：7910509
2019年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.
1．（3分）计算|﹣|+（）﹣1的结果是（ ）
A．0 B． C． D．6
2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．a＞﹣b C．﹣a＞b D．﹣a＜b
3．（3分）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是（ ）
A．4 B． C．5 D．
4．（3分）一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（ ）
A．24 B．24π C．96 D．96π
5．（3分）在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≥﹣1且x≠2
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．立方根等于它本身的数一定是1和0
B．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形
C．在函数y＝kx+b（k≠0）中，y的值随着x值的增大而增大
D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣1 B．4﹣π C． D．2
9．（3分）下列命题：
①若x2+kx+是完全平方式，则k＝1；
②若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，则m＝5；
③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；
④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．
其中真命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（ ）
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（ ）
A． B． C．﹣1 D．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．0
二、填空题：本大题有6小题，每小题3分，共24分.
13．（3分）2018年我国国内生产总值（GDP）是900309亿元，首次突破90万亿大关，90万亿用科学记数法表示为 ．
14．（3分）已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是 ．
15．（3分）化简：1﹣÷＝ ．
16．（3分）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
班级
参赛人数
平均数
中位数
方差
甲
45
83
86
82
乙
45
83
84
135
某同学分析上表后得到如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分≥85分为优秀）；
③甲班成绩的波动性比乙班小．
上述结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
17．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是 ．
18．（3分）如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为 ．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（0，2），将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C，则k＝ ．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE，下列结论：
①若BF＝CF，则CE2+AD2＝DE2；
②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE＝；
③△ABD和△CBE一定相似；
④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE＝．
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共有6小题，共60分.
21．（8分）某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取50名九年级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题：
测试成绩（分）
23
25
26
28
30
人数（人）
4
18
15
8
5
（1）该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数；
（2）该校体育老师要对本次抽测成绩为23分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝90°，AC交BD于点E，∠ABD＝30°，AD＝，求线段AC和BE的长．
（注：＝＝）
23．（10分）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．
（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？
（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
24．（10分）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
25．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DM＜BD），连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．
（1）如图①，求证：MA＝MN；
（2）如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当时，求AN和PM的长；
（3）如图③，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．
（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2019年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.
1．（3分）计算|﹣|+（）﹣1的结果是（ ）
A．0 B． C． D．6
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂．菁优网版权所有
【分析】先根据二次根式的性质，绝对值的秘技，负指数幂的法则进行计算，然后进行有理数的加法运算．
【解答】解：原式＝3+3＝6．
故选：D．
【点评】本题是实数的运算，主要考查了二次根式的性质，绝对值的性质，负指数幂的运算，有理数的加法，关键是熟记法则．
2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．a＞﹣b C．﹣a＞b D．﹣a＜b
【考点】29：实数与数轴．菁优网版权所有
【分析】根据数轴可以发现a＜b，且﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，由此即可判断以上选项正确与否．
【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴答案A错误；
∵a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴a+b＜0，∴a＜﹣b，∴答案B错误；
∴﹣a＞b，故选项C正确，选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．
3．（3分）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是（ ）
A．4 B． C．5 D．
【考点】W4：中位数；W5：众数．菁优网版权所有
【分析】根据题意由众数是4，可知x＝4，然后根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵这组数据的众数4，
∴x＝4，
将数据从小到大排列为：2，3，4，4，5，6，7，9
则中位数为：4.5．
故选：B．
【点评】本题考查了众数、中位数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．
4．（3分）一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为（ ）
A．24 B．24π C．96 D．96π
【考点】U1：简单几何体的三视图；U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有
【分析】由已知三视图为圆柱，首先得到圆柱底面半径，从而根据圆柱体积＝底面积乘高求出它的体积．
【解答】解：由三视图可知圆柱的底面直径为4，高为6，
∴底面半径为2，
∴V＝πr2h＝22×6•π＝24π，
故选：B．
【点评】此题考查的是圆柱的体积及由三视图判断几何体，关键是先判断圆柱的底面半径和高，然后求其体积．
5．（3分）在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x＞﹣1且x≠2 D．x≥﹣1且x≠2
【考点】E4：函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【分析】根据分母不等于0和二次根式的被开方数非负，列出不等式组，进行解答便可．
【解答】解：根据题意得，
，
解得，x≥﹣1，且x≠2．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．二次根式有意义，被开方数是非负数．自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义：①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．立方根等于它本身的数一定是1和0
B．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形
C．在函数y＝kx+b（k≠0）中，y的值随着x值的增大而增大
D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等
【考点】24：立方根；F5：一次函数的性质；L8：菱形的性质；LN：中点四边形；M5：圆周角定理；MN：弧长的计算．菁优网版权所有
【分析】根据立方根的定义，中点四边形，一次函数的性质，弧，弦，圆心角的关系即可得到结论
【解答】解：A、立方根等于它本身的数一定是±1和0，故错误；
B、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，故正确；
C、在函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y的值随着x值的增大而增大，故错误；
D、在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等，故错误．
故选：B．
【点评】本题考查了立方根的定义，中点四边形，一次函数的性质，弧，弦，圆心角的关系，熟练掌握各知识点是解题的关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【考点】KF：角平分线的性质；N2：作图—基本作图．菁优网版权所有
【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，
∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，
所以△ACG的面积＝×4×1＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣1 B．4﹣π C． D．2
【考点】KW：等腰直角三角形；M5：圆周角定理；MO：扇形面积的计算．菁优网版权所有
【分析】连接CD，根据圆周角定理得到CD⊥AB，推出△ACB是等腰直角三角形，得到CD＝BD，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接CD，
∵BC是半圆的直径，
∴CD⊥AB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴CD＝BD，
∴阴影部分的面积＝×22＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．（3分）下列命题：
①若x2+kx+是完全平方式，则k＝1；
②若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，则m＝5；
③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；
④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．
其中真命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】O1：命题与定理．菁优网版权所有
【分析】利用完全平方公式对①进行判断；利用待定系数法求出直线AB的解析式，然后求出m，则可对②进行判断；根据等腰三角形的性质对③进行判断；根据多边形的内角和和外角和对④进行判断．
【解答】解：若x2+kx+是完全平方式，则k＝±1，所以①错误；
若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三点在同一直线上，而直线AB的解析式为y＝x+4，则x＝1时，m＝5，所以②正确；
等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，所以③错误；
一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
10．（3分）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（ ）
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
【考点】A3：一元二次方程的解；AA：根的判别式；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】分三种情况讨论，①当a＝4时，②当b＝4时，③当a＝b时；结合韦达定理即可求解；
【解答】解：当a＝4时，b＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8不符合；
当b＝4时，a＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
∴a＝8不符合；
当a＝b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝2a＝2b，
∴a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34；
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．
11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（ ）
A． B． C．﹣1 D．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质．菁优网版权所有
【分析】由正方形的性质得出∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，证明Rt△ABE≌Rt△ADF得出∠BAE＝∠DAF，求出∠DAF＝15°，在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，则AG＝FG，∠DGF＝30°，由直角三角形的性质得出DF＝FG＝AG，DG＝DF，设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，则2x+x＝1，解得：x＝2﹣，得出DF＝2﹣，即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF＝15°，
在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示：
∴AG＝FG，∠DGF＝30°，
∴DF＝FG＝AG，DG＝DF，
设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，
∵AG+DG＝AD，
∴2x+x＝1，
解得：x＝2﹣，
∴DF＝2﹣，
∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝﹣1；
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．0
【考点】F5：一次函数的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】当点M在AB上运动时，MN⊥MC交y轴于点N，此时点N在y轴的负半轴移动，定有△AMC∽△NBM；只要求出ON的最小值，也就是BN最大值时，就能确定点N的坐标，而直线y＝kx+b与y轴交于点N（0，b），此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．
【解答】解：连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，
又∵MN⊥MC，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMC＝∠MNB，
∴△AMC∽△NBM，
∴，
设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，
∴，
即：y＝x2+x
∴当x＝﹣＝﹣时，y最大＝×（）2+＝，
∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）
当BN最大，此时ON最小，点N （0，b）越往上，b的值最大，
∴ON＝OB﹣BN＝2﹣＝，
此时，N（0，）
b的最大值为．
故选：A．
【点评】综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识；构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在．
二、填空题：本大题有6小题，每小题3分，共24分.
13．（3分）2018年我国国内生产总值（GDP）是900309亿元，首次突破90万亿大关，90万亿用科学记数法表示为 9×1013 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：90万亿用科学记数法表示成：9.0×1013，
故答案为：9.0×1013．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（3分）已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是 k≤﹣2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】求出每个不等式的解集，根据已知得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：
由①得x＞﹣1；
由②得x＞k+1．
∵不等式组的解集为x＞﹣1，
∴k+1≤﹣1，
解得k≤﹣2．
故答案为k≤﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式，难度适中．
15．（3分）化简：1﹣÷＝ ﹣ ．
【考点】6C：分式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】根据分式混合运算的法则计算即可．
【解答】解：1﹣÷＝1﹣•＝1﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算，熟记法则是解题的关键．
16．（3分）甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：
班级
参赛人数
平均数
中位数
方差
甲
45
83
86
82
乙
45
83
84
135
某同学分析上表后得到如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分≥85分为优秀）；
③甲班成绩的波动性比乙班小．
上述结论中正确的是 ①②③ ．（填写所有正确结论的序号）
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W7：方差．菁优网版权所有
【分析】根据平均数、中位数、方差的定义即可判断；
【解答】解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；
根据中位数可以确定，乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数；
根据方差可知，甲班成绩的波动性比乙班小．
故①②③正确，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是 1 ．
【考点】R2：旋转的性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】根据旋转的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°，
∴∠ACE＝∠AEC＝55°，
又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，
∴∠ACB＝∠AED＝100°，
∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°，
∴tan∠DEC＝tan45°＝1，
故答案为：1
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质，本题属于中等题型．
18．（3分）如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为 2 ．
【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质．菁优网版权所有
【分析】连接CD、OC，由切线的性质得出AC⊥OC，证出OC∥AB，由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠CBO，由圆周角定理得出∠BCD＝90°＝∠CAB，证明△ABC∽△CBD，得出＝，即可得出结果．
【解答】解：连接CD、OC，如图：
∵AC与⊙O相切于点C，
∴AC⊥OC，
∵∠CAB＝90°，
∴AC⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠ABC＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠CBO，
∴∠ABC＝∠CBO，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°＝∠CAB，
∴△ABC∽△CBD，
∴＝，
∴BC2＝AB×BD＝4×6＝24，
∴BC＝＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证明三角形相似是解题的关键．
19．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0），B（0，2），将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点C，则k＝ ．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；G4：反比例函数的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；PB：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】由A（﹣1，0），B（0，2），可知OA，OB，由折叠得OA＝AC＝1，OB＝BC＝2，要求k的值只要求出点C的坐标即可，因此过点C作垂线，构造相似三角形，得出线段之间的关系，设合适的未知数，在直角三角形中由勾股定理，解出未知数，进而确定点C的坐标，最终求出k的值．
【解答】解：过点C作CD⊥x轴，过点B作BE⊥y轴，与DC的延长线相交于点E，
由折叠得：OA＝AC＝1，OB＝BC＝2，
易证，△ACD∽△BCE，
∴，
设CD＝m，则BE＝2m，CE＝2﹣m，AD＝2m﹣1
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即：m2+（2m﹣1）2＝12，解得：m1＝，m2＝0（舍去）；
∴CD＝，BE＝OA＝，
∴C（，）代入y＝得，k＝＝，
故答案为：
【点评】考查折叠得性质、相似三角形的性质、直角三角形的勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征等知识，由于综合利用的知识较多，本题由一定的难度．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE，下列结论：
①若BF＝CF，则CE2+AD2＝DE2；
②若∠BDE＝∠BAC，AB＝4，则CE＝；
③△ABD和△CBE一定相似；
④若∠A＝30°，∠BCE＝90°，则DE＝．
其中正确的是 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
【考点】KO：含30度角的直角三角形；KP：直角三角形斜边上的中线；S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【分析】①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AD＝BD，由BF＝CF，BD＝CD得DE是BC的垂直平分线，得BE＝CE，再由勾股定理便可得结论，由此判断结论的正误；
②证明△ABC∽△DBE，求得BE，再证明DE∥AB，得DE垂直平分BC，得CE＝BE，便可判断结论的正误；
③证明∠ABD＝∠CBE，再证明BE与BC或BC与BE两边的比不一定等于AB与BD的比，便可判断结论正误；
④先求出AC，进而得BD，再在Rt△BCE中，求得BE，进而由勾股定理求得结果，便可判断正误．
【解答】解：①∵∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵AF＝CF，
∴BF＝CF，
∴DE⊥BC，
∴BE＝CE，∵
∵BE⊥BD，
∴BD2+BE2＝DE2，
∴CE2+AD2＝DE2，
故①正确；
②∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝，
∴，
∵∠A＝∠BDE，∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴，
即．
∴BE＝，
∵AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD，
∵∠A＝∠BDE，∠BDC＝∠A+∠ABD，
∴∠A＝∠CDE，
∴DE∥AB，
∴DE⊥BC，
∵BD＝CD，
∴DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴CE＝，
故②正确；
③∵∠ABC＝∠DBE＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵，
但随着F点运动，BE的长度会改变，而BC＝3，
∴或不一定等于，
∴△ABD和△CBE不一定相似，
故③错误；
④∵∠A＝30°，BC＝3，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBE＝30°，AC＝2BC＝6，
∴BD＝，
∵BC＝3，∠BCE＝90°，
∴BE＝，
∵∴，
故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题是三角形的一个综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，考试的内容多，难度较大，关键是综合应用以上性质灵活解题．
三、解答题：本大题共有6小题，共60分.
21．（8分）某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取50名九年级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题：
测试成绩（分）
23
25
26
28
30
人数（人）
4
18
15
8
5
（1）该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数；
（2）该校体育老师要对本次抽测成绩为23分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
【考点】V5：用样本估计总体；X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】（1）由总人数乘以25分的学生所占的比例即可；
（2）画树状图可知：共有12个等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有4个，由概率公式即可得出结果．
【解答】解：（1）450×＝162（人），
答：该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数为162人；
（2）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，
∵丙丁分到一组时，甲乙也恰好在同一组，
∴甲和乙恰好分在同一组的结果有4个，
∴甲和乙恰好分在同一组的概率为＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，统计表等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝90°，AC交BD于点E，∠ABD＝30°，AD＝，求线段AC和BE的长．
（注：＝＝）
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出＝，进而得出AC，BE的长．
【解答】解：在Rt△ABD中
∵∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，AD＝，
∴tan∠ABD＝，
∴＝，
∴AB＝3，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝3，
∴AC＝＝3，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴＝，
∴＝，
设DE＝x，则BE＝3x，
∴BD＝DE+BE＝（+3）x，
∴＝，
∵在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝2，
∴DE＝2×，
∴DE＝3﹣，
∴BE＝（3﹣）＝3﹣3．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出DE，BD之间关系是解题关键．
23．（10分）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．
（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？
（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
【考点】B7：分式方程的应用；HE：二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据题意可以列出方程，进而求得结论；
（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：（1）该出租公司这批对外出租的货车共有x辆，
根据题意得，，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是分式方程的根，
∴1500÷（20﹣10）＝150（元），
答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金150元；
（2）设每辆货车的日租金上涨a元时，该出租公司的日租金总收入为W元，
根据题意得，W＝[a+150×（1+）]×（20﹣），
∴W＝﹣a2+10a+4000＝﹣（a﹣100）2+4500，
∵﹣＜0，
∴当a＝100时，W有最大值，
答：每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
24．（10分）如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M5：圆周角定理．菁优网版权所有
【分析】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；
（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB＝ME，进而得结论．
【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AH＝AC＝，
∴OA＝，
故⊙O的半径为2．
（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠MBC＝60°，BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE，
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
【点评】本题是圆的一个综合题，主要考查圆的圆内接四边形定理，圆周角定理，垂径定理，角平分线定义，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，内容较多，有一定难度，第一题关键在于求∠AOC的度数，第二题的关键在于构造全等三角形．
25．（12分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DM＜BD），连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．
（1）如图①，求证：MA＝MN；
（2）如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当时，求AN和PM的长；
（3）如图③，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积．
【考点】SO：相似形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，由正方形的性质得出∠ABD＝∠DBC＝45°，由角平分线的性质得出MF＝MG，证得四边形FBGM是正方形，得出∠FMG＝90°，证出∠AMF＝∠NMG，证明△AMF≌△NMG，即可得出结论；
（2）证明Rt△AMN∽Rt△BCD，得出＝（）2，求出AN＝2，由勾股定理得出BN＝＝4，由直角三角形的性质得出OM＝OA＝ON＝AN＝，OM⊥AN，证明△PAO∽△NAB，得出＝，求出OP＝，即可得出结果；
（3）过点A作AF⊥BD于F，证明△AFM≌△MHN得出AF＝MH，求出AF＝BD＝×6＝3，得出MH＝3，MN＝2，由勾股定理得出HN＝＝，由三角形面积公式即可得出结果．
【解答】（1）证明：过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，如图①所示：
∴∠AFM＝∠MFB＝∠BGM＝∠NGM＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∠ABD＝∠DBC＝45°，
∵MF⊥AB，MG⊥BC，
∴MF＝MG，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形FBGM是正方形，
∴∠FMG＝90°，
∴∠FMN+∠NMG＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMF+∠FMN＝90°，
∴∠AMF＝∠NMG，
在△AMF和△NMG中，，
∴△AMF≌△NMG（ASA），
∴MA＝MN；
（2）解：在Rt△AMN中，由（1）知：MA＝MN，
∴∠MAN＝45°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠MAN＝∠DBC，
∴Rt△AMN∽Rt△BCD，
∴＝（）2，
在Rt△ABD中，AB＝AD＝6，
∴BD＝6，
∵，
∴＝，
解得：AN＝2，
∴在Rt△ABN中，BN＝＝＝4，
∵在Rt△AMN中，MA＝MN，O是AN的中点，
∴OM＝OA＝ON＝AN＝，OM⊥AN，
∴∠AOP＝90°，
∴∠AOP＝∠ABN，
∵∠PAO＝∠NAB，
∴△PAO∽△NAB，
∴＝，即：＝，
解得：OP＝，
∴PM＝OM+OP＝+＝；
（3）解：过点A作AF⊥BD于F，如图③所示：
∴∠AFM＝90°，
∴∠FAM+∠AMF＝90°，
∵MN⊥AM，
∴∠AMN＝90°，
∴∠AMF+∠HMN＝90°，
∴∠FAM＝∠HMN，
∵NH⊥BD，
∴∠AFM＝∠MHN＝90°，
在△AFM和△MHN中，，
∴△AFM≌△MHN（AAS），
∴AF＝MH，
在等腰直角△ABD中，∵AF⊥BD，
∴AF＝BD＝×6＝3，
∴MH＝3，
∵AM＝2，
∴MN＝2，
∴HN＝＝＝，
∴S△HMN＝MH•HN＝×3×＝3，
∴△HMN的面积为3．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB＝∠CBD，求点D的坐标；
（3）已知F（1，1），若E（x，y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE、CF、EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．
（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2即可；
（2）过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，设点D（1，y），在Rt△CGD中，CD2＝CG2+GD2＝（2﹣y）2+1，在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2＝4+y2，可以证明CD＝BD，即可求y的值；
（3）过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，证明四边形QRPE是矩形，根据S△CEF＝S矩形QRPE﹣S△CRF﹣S△EFP，代入边即可；
（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M（2，2）或M（4，﹣）或M（﹣2，﹣）；
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2，
可得a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+2；
∴对称轴x＝1；
（2）如图1：过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，
设点D（1，y），
∵C（0，2），B（3，0），
∴在Rt△CGD中，CD2＝CG2+GD2＝（2﹣y）2+1，
∴在Rt△BHD中，BD2＝BH2+HD2＝4+y2，
在△BCD中，∵∠DCB＝∠CBD，
∴CD＝BD，
∴CD2＝BD2，
∴（2﹣y）2+1＝4+y2，
∴y＝，
∴D（1，）；
（3）如图2：过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，
∴∠EQR＝∠QRP＝∠RPE＝90°，
∴四边形QRPE是矩形，
∵S△CEF＝S矩形QRPE﹣S△CRF﹣S△EFP﹣S△CQE
∵E（x，y），C（0，2），F（1，1），
∴S△CEF＝EQ•QR﹣×EQ•QC﹣CR•RF﹣FP•EP，
∴S△CEF＝x（y﹣1）﹣x（y﹣2）﹣×1×1﹣（x﹣1）（y﹣1），
∵y＝﹣x2+x+2，
∴S△CEF＝﹣x2+x，
∴当x＝时，面积有最大值是，
此时E（，）；
（4）存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
设N（1，n），M（x，y），
①四边形CMNB是平行四边形时，
＝，
∴x＝﹣2，
∴M（﹣2，﹣）；
②四边形CNBM时平行四边形时，
＝，
∴x＝2，
∴M（2，2）；
③四边形CNNB时平行四边形时，
＝，
∴x＝4，
∴M（4，﹣）；
综上所述：M（2，2）或M（4，﹣）或M（﹣2，﹣）；
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的性质，灵活运用勾股定理求边长，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
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