2023年内蒙古包头市中考数学试卷

这是一份2023年内蒙古包头市中考数学试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．（3分）下列各式计算结果为a5的是（　　）
A．（a3）2 B．a10÷a2 C．a4•a D．（﹣1）﹣1a5
2．（3分）关于x的一元一次不等式x﹣1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0
3．（3分）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a2﹣|b|，则（﹣2）⊗（﹣1）的运算结果为（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．5 D．3
4．（3分）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　）

A．32° B．58° C．74° D．75°
5．（3分）几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m和n．若点A的坐标记作（m，n），则点A在双曲线y＝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝﹣2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则该一次函数的解析式为（　　）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x+6 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣6
9．（3分）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（　　）

A．8 B．4 C．3.5 D．3
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（，1），△OA′B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与A′B交于点C．若A′C＝BC，则k的值为（　　）

A．2 B． C． D．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上对应的横线上.
11．（3分）若a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b＝　 　．
12．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，则＝　 　．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 　 　．

14．（3分）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为 　 　．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△AB′C′．连接BB′，交AC于点D，则的值为 　 　．

16．（3分）如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F．下列结论：①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四边形ABCF是菱形；④AB2＝AD•EF．其中正确的结论是 　 　．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共有7小题，共72分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
17．（4分）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b） 其中a＝﹣1，b＝．
18．（4分）解方程：＝5+．
19．（8分）在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一．如图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图．

请根据所给信息，解答下列问题：
（1）通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；
（2）通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点（写出一条即可），并提出一条增加月销量的合理化建议．
20．（8分）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．
（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．

21．（11分）随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图2所示（图中ABC为一折线）．

（1）当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；
（2）设该产品2022年第x个月的销售数量为m（单位：万台），m与x的关系可以用m＝x+1来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入＝每台的销售价格×销售数量）
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．

（1）求证：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（请用两种证法解答）
（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．
23．（12分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E．

（1）如图1，连接QA．当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，
①求证：AE＝2EP；
②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长（用含a的代数式表示）．
24．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，直线y＝﹣x+2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），交y轴于点D，交x轴于点E．
（1）求点D，E，C的坐标；
（2）F是线段OE上一点（OF＜EF），连接AF，DF，CF，且AF2+EF2＝21．
①求证：△DFC是直角三角形；
②∠DFC的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan∠PFK＝1时，求点P的坐标．


2023年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．（3分）下列各式计算结果为a5的是（　　）
A．（a3）2 B．a10÷a2 C．a4•a D．（﹣1）﹣1a5
【分析】根据负整数指数幂的运算方法，幂的乘方和积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法、除法的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵（a3）2＝a6≠a5，
∴选项A不符合题意；

∵a10÷a2＝a8≠a5，
∴选项B不符合题意；

∵a4•a＝a5，
∴选项C符合题意；

∵（﹣1）﹣1a5＝﹣a5≠a5，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的运算方法，幂的乘方和积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法、除法的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p＝（a≠0，p为正整数）；（2）（am）n＝amn（m，n是正整数），（ab）n＝anbn（n是正整数）；（3）同底数幂相乘，底数不变，指数相加；（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减．
2．（3分）关于x的一元一次不等式x﹣1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】首先根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式x﹣1≤m的解集，然后根据不等式的解集是x≤3，求出m的值即可．
【解答】解：移项，可得：x≤m+1，
根据图示，不等式的解集是x≤3，
∴m+1＝3，
解得m＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式的方法，解一元一次不等式的基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
3．（3分）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a2﹣|b|，则（﹣2）⊗（﹣1）的运算结果为（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．5 D．3
【分析】直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：
（﹣2）⊗（﹣1）
＝（﹣2）2﹣|﹣1|
＝4﹣1
＝3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3分）如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　）

A．32° B．58° C．74° D．75°
【分析】由CA＝CB可得△ABC是等腰三角形，从而可求∠CBA的大小，再结合平行线的性质即可解答．
【解答】解：∵CA＝CB，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠CBA＝74°．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和平行线的性质，熟练掌握性质是解题关键．
5．（3分）几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再判断从正面看得到的图形即可．
【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图有3列，从左到右正方形的个数分别为1、2、2，即．
故选：D．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．熟知视图方法是解题的关键．
6．（3分）从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作m和n．若点A的坐标记作（m，n），则点A在双曲线y＝上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先求出点A的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线y＝ 上的坐标的个数，根据随机 事件概率的计算方法，即可得到答案．
【解答】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点A的坐标共有6种情况：（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），并且它们出现的可能性相等，
点A坐标在双曲线 y＝ 上有2种情况：（2，3），（3，2），
所以，这个事件的概率为 P＝＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查随机事件的概率，关键是掌握随机事件概率的计算方法：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率 P（A）＝．
7．（3分）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则cosα的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再利用勾股定理得到关于a的方程，解方程可求出直角三角形的两个个直角边的边长，最后根据锐角三角函数的定义可求出cosa的值．
【解答】解：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，
∴小正方形的边长为 1，大正方形的边长为5，
设直角三角形较短的直角边为a，则较长的直角边为a+l，其中a＞0，
由勾股定理得：a2+（a+1）2＝52，
整理得：a2+a﹣12＝0
解得：a1＝3，a2＝﹣4（不合题意，舍去）．
∴a+1＝4，
∴．
故选：D．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，勾股定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握锐角三角函数的定义，难点是设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出三角形的边．
8．（3分）在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝﹣2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则该一次函数的解析式为（　　）
A．y＝﹣2x+3 B．y＝﹣2x+6 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x﹣6
【分析】根据一次函数图象平移的规律解答即可．
【解答】解：正比例函数y＝﹣2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的解析式为y＝﹣2（x﹣3）＝﹣2x+6．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”是解题的关键．
9．（3分）如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（　　）

A．8 B．4 C．3.5 D．3
【分析】根据垂径定理得到AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，根据三角形的中位线定理得到DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝＝10.5，于是得到结论．
【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∴AD＝BD，AF＝CF，BE＝CE，
∴DE，DF，EF是△ABC的中位线，
∴DE＝，
∴DE+DF+EF＝（AB+BC+AC）＝＝10.5，
∵DE+DF＝6.5，
∴EF＝10.5﹣6.5＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，垂径定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O（0，0），A（2，0），B（，1），△OA′B与△OAB关于直线OB对称，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与A′B交于点C．若A′C＝BC，则k的值为（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】利用直角三角形的边角关系以及对称的性质可得出点A′、B、D共线，进而求出点C的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征进行计算即可．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵O（0，0），A（2，0），B（，1），
∴BD＝1，OD＝，
∴AD＝OD＝，tan∠BOA＝＝，
∴OB＝AB＝＝2，∠BOA＝∠BAO＝30°，
∴∠OBD＝∠ABD＝60°，∠OBA＝120°，
∵△AOB与△A′OB关于直线OB对称，
∴∠OBA′＝120°，
∴∠OBA′+∠OBD＝180°，
∴点A′、B、D共线，
∴A′B＝AB＝2，
∵A′C＝BC，
∴BC＝1，CD＝2，
∴点C（，2），
∵点C（，2）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝×2＝2，
故选：A．

【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握等腰三角形的性质以及翻折的性质是正确解答的前提．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上对应的横线上.
11．（3分）若a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b＝　3　．
【分析】先估算在哪两个连续整数之间求得a，b的值，然后将其代入a+b中计算即可．
【解答】解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴a＝1，b＝2，
则a+b＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查无理数的估算和代数式求值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
12．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，则＝　﹣　．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝2，x1x2＝﹣8，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣8，
则＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 　π　．

【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD＝2，再由扇形面积公式求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝CD，∠DBE＝45°，
∴△AOD≌△COB（SSS），
∵正方形ABCD的边长为2，
∴BD＝＝2，
∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形BED的面积是解题的关键．
14．（3分）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为 　2　．
【分析】将点P（m，3）代入函数解析式求解即可．
【解答】解：∵点P（m，3）在二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0）的图象上，
∴3＝﹣am2+2am+3，
∴﹣am（m﹣2）＝0，
解得m＝2或m＝0（舍去），
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△AB′C′．连接BB′，交AC于点D，则的值为 　5　．

【分析】过点D作DF⊥AB于点F，利用勾股定理求得 AB＝，根据旋转的性质可证△ABB'、△DFB 是等腰直角三角形，可得DF＝BF，再由S△ADB＝×BC××DF×AB，AD＝DF，证明△AFD∽△ACB，可得 ，即AF＝3DF，再由 ，求得 ，从而求得 ，，即可求解．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，，
∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转 90° 得到△AB'C'，，∠BAB'＝90°，
∴△ABB'是等腰直角三角形，
∴∠ABB'＝45°
∵DF⊥AB，∠DFB＝45°，
∴△DFB是等腰直角三角形，
∴DF＝BF，
S△DBA＝×BC×AD＝×DF×AB，即 ，
∵∠C＝∠AFD＝90°，∠CAB＝∠FAD，
∴△AFD∽△ACB，
∴，
即AF＝3DF，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴＝＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，则 练掌握相关知识是解题的关键．
16．（3分）如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F．下列结论：①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四边形ABCF是菱形；④AB2＝AD•EF．其中正确的结论是 　①③④　．（填写所有正确结论的序号）

【分析】根据正五边形的性质得出各角、各边之间的关系，然后由各角之间的关系以及相似三角形的判定与性质，菱形的判定分别证明即可．
【解答】解：①∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝EAB＝，
在△ABC中，∠ABC＝108°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝，
同理可得，∠DCE＝∠DEC＝∠EAD＝∠EDA＝36°，
∴∠ACE＝∠BCD﹣∠BCA﹣∠DCE＝108°﹣36°﹣36°＝36°，
∴∠ACE＝∠DCE，
即CF平分∠ACD，
故①正确；
②∵∠ACE＝∠DEC＝36°，∠AFC＝∠DFE，
∴，
∵，
∴，
即AF≠2DF，
故②错误；
③∵∠BAC＝∠ACE＝36°，
∴AB∥FC，
∵∠EAB＝108°，∠EAD＝36°，
∴∠DAB＝∠EAB﹣∠EAD＝108°﹣36°＝72°，
∵∠ABC＝108°，
∴∠ABC+∠DAB＝108°+72°＝180°，
∴AF∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCF是菱形，
故③正确；
④∵∠DEF＝∠DAE＝36°，∠EDF＝∠ADE，
∴△DEF∽△DAE，
∴，
∵DE＝AE＝AB，
∴，
即AB2＝AD•EF，
故④正确；
综上，正确的结论是：①③④；
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查了正多边形的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
三、解答题：本大题共有7小题，共72分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
17．（4分）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b） 其中a＝﹣1，b＝．
【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2
＝2a2+4ab，
当a＝﹣1，b＝时，
原式＝2×（﹣1）2+4×（﹣1）×
＝2﹣1
＝1．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式化简是解题关键．
18．（4分）解方程：＝5+．
【分析】按照解分式方程的步骤解方程即可．
【解答】解：原方程两边同乘（x﹣1），去分母得：3＝5（x﹣1）﹣3x，
去括号得：3＝5x﹣5﹣3x，
移项，合并同类项得：﹣2x＝﹣8，
系数化为1得：x＝4，
检验：将x＝4代入（x﹣1）中得4﹣1＝3≠0，
则原分式方程的解为：x＝4．
【点评】本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验．
19．（8分）在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一．如图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图．

请根据所给信息，解答下列问题：
（1）通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；
（2）通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点（写出一条即可），并提出一条增加月销量的合理化建议．
【分析】（1）估计平均数的定义求解即可；
（2）利用条形统计图的数据阐述即可．
【解答】解：（1）＝＝20.05（万辆），
答：该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆；
（2）2022年下半年月销量的特点：月销量递增趋势；12月销量最大；有三个月销量超过20万辆，中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆．
建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质销后服务．
【点评】本题考查了平均数以及中位数等统计知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想方法解答．
20．（8分）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．
（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．

【分析】（1）根据题意可得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，从而利用平角定义可得∠CAB＝75°，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和BD的长，再在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，
∴∠CAB＝180°﹣∠NAC﹣∠BAS＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝60°，
∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中，AB＝3km，∠ABC＝45°，
∴AD＝AB•sin45°＝3×＝3（km），
BD＝AB•cos45°＝3×＝3（km），
在Rt△ADC中，∠ACB＝60°，
CD＝＝＝（km），
∴BC＝BD+CD＝（3+）km，
∴检查点B和C之间的距离（3+）km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（11分）随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图2所示（图中ABC为一折线）．

（1）当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；
（2）设该产品2022年第x个月的销售数量为m（单位：万台），m与x的关系可以用m＝x+1来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入＝每台的销售价格×销售数量）
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据销售收入＝每台的销售价格×销售数量，可求得销售收入w（万元）与销售月份x之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）当1≤x≤10时，设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象过A（1，2850），B（10，1500）两点，
∴，
解得，
∴当1≤x≤10时，每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝﹣150x+3000；
（2）设销售收入为w万元，
①当1≤x≤10时，，
∵﹣15＜0，
∴当x＝5时，w最大＝3375 （万元）；
②当10＜x≤12时，w＝1500（x+1）＝150x+1500，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝12时，w最大＝150×12+1500＝3300 （万元）；
∵3375＞3300，
∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．
【点评】本题考查一次函数、二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法，二次函数的性质是解题的关键．
22．（12分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．

（1）求证：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（请用两种证法解答）
（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．
【分析】（1）方法一：连接BD，利用圆周角定理及角的和差即可证得结论；
方法二：连接BC，利用圆周角定理求得∠ACB＝90°，再利用圆内接四边形的性质及三角形的外角性质即可证得结论；
（2）根据方法二中的图形易证得△PBC∽△PCA，结合已知条件，根据相似三角形的对应边成比例求得PB的长，继而求得AP的长．
【解答】（1）证明：方法一：如图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC﹣∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC，
∴∠ADC﹣∠BAC＝90°；
方法二：如图，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠PBC＝∠BAC+∠ACB，
∴∠PBC﹣∠BAC＝90°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠PBC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠PBC，
∴∠ADC﹣∠BAC＝90°；

（2）解：由图可得∠ADC＝∠PBC，
∵ACP＝∠ADC，
∴∠PBC＝∠ACP，即∠PBC＝∠PCA，
∵∠BPC＝∠CPA，
∴△PBC∽△PCA，
∴＝，
∴PC2＝PA•PB，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
∴PA＝PB+6，
∵CP＝4，
∴42＝（PB+6）•PB，
解得：PB＝2或PB＝﹣8（舍去），
则AP＝2+6＝8．
【点评】本题考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中结合已知条件证得△PBC∽△PCA是解题的关键．
23．（12分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E．

（1）如图1，连接QA．当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，
①求证：AE＝2EP；
②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长（用含a的代数式表示）．
【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；
（2）①根据菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝DA，再由各角之间的关系得出∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；
②连接QC．利用等边三角形的判定和性质得出AE＝2a，AP＝3a，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．
【解答】（1）解：结论：点Q在线段PC的垂直平分线上．
理由：连接QC．∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴BD⊥AC，OA＝OC，
∴QA＝QC，
∵QA＝QP，
∴QC＝QP，
∴点Q在线段PC的垂直平分线上；

（2）①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB，
∵BD⊥AC，∴∠ADO＝∠CDO，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADO．
∵∠BAP＝∠ADB，
∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD．
∴AE＝BE，∠APB＝90°，∠BAP+∠ABP＝90°，∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°
在 Rt△BPE 中，∠EPB＝90°，∠PBE＝30°，
∴EP＝BE，
∵AE＝BE，
∴，
∴AE＝2EP；

②如图，连接QC．
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形．∠APB＝90°，
∴BP＝CP，EP＝a，
∴AE＝2a，AP＝3a，
在Rt△APB中，∠APB＝90°，
∵，
∴，
∴，
∵AO＝CO，∠AOE＝∠COQ，OE＝OQ，
△AOE≌△COQ（SAS），
∴AE＝CQ＝2a，∠EAO＝∠QCO，
∴AE∥CQ，
∵∠APB＝90°，
∴∠QCP＝90°，
在Rt△PCQ中，∠QCP＝90°，
由勾股定理得 PQ2＝PC2+CQ2，
∴PQ2＝PC2+CQ2，
∴PQ＝a．

【点评】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
24．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，直线y＝﹣x+2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），交y轴于点D，交x轴于点E．
（1）求点D，E，C的坐标；
（2）F是线段OE上一点（OF＜EF），连接AF，DF，CF，且AF2+EF2＝21．
①求证：△DFC是直角三角形；
②∠DFC的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan∠PFK＝1时，求点P的坐标．

【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；
（2）①设 F（m，0），然后利用勾股定理求解，m＝2，过点C作CG⊥x 轴，垂足为G．再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；
②根据题意得出，设点P的坐标为（t，﹣t2+3t+1），根据题意得．分两种情况分析：（i）当点P在直线KF的左侧抛物线上时，．（ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，，求解即可．
【解答】（1）解：∵直线y＝﹣x+2交y轴于点D，交x轴于点E，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
当y＝0时，x＝6，
∴E（6，0），
∵直线y＝﹣x+2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），
∴﹣x2+3x+1＝﹣x+2，
∴3x2﹣10x+3＝0，
解得，
∵点B在点C的左侧，
∴点C的横坐标为3，当x＝3时，y＝1，
∴C（3，1），
答：C（3，1），D（0，2），E（6，0）．
（2）如图，

①证明：∵抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，
当x＝0时，y＝1，
∴A（0，1），
∴OA＝1，
在Rt△AOF中，∠AOF＝90°，
∴AF2＝OA2+OF2，
设F（m，0），
∴OF＝m，
∴AF2＝1+m2，
∵E（6，0），
∴OE＝6，
∴EF＝OE﹣OF＝6﹣m，
∵AF2+EF2＝21，
∴1+m2+（6﹣m）2＝21，
∴m1＝2，m2＝4，
∵OF＜EF，
∴m＝2，
∴OF＝2，
∴F（2，0），
∵D（0，2），
∴OD＝2，
∴OD＝OF，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴∠OFD＝45°，
过点C作CG⊥x轴于G，
∵C（3，1），
∴CG＝1，OG＝3，
∵GF＝OG﹣OF＝1，
∴CG＝GF，
∴△CGF是等腰直角三角形，
∴∠GFC＝45°，
∴∠DFC＝90°，
∴△DFC是直角三角形．
②解：∵FK平分∠DFC，∠DFC＝90°，
∴∠DEK＝∠CFK＝45°，
∴∠OFK＝∠OFD+∠DFK＝90°，
∴FK∥y轴，
∵3tan∠PFK＝1，
∴，
设点P的坐标为（t，﹣t2+3t+1），根据题意得．
（i）当点P在直线KF的左侧抛物线上时，．
过点P1作P1H⊥x轴于H，
∴P1H∥KF，
∴∠HP1F＝∠P1FK，
∴，
∵HF＝OF﹣OH，
∴HF＝2﹣t，
在Rt△P1HF中，∵，
∴P1H＝3HF，
∵，
∴﹣t2+3t+1＝3（2﹣t），
∴t2﹣6t+5＝0，
∴t1＝1，t2＝5（舍去），
当t＝1时，﹣t2+3t+1＝3，
∴P1（1，3）．
（ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，，
过点P2作P2M⊥x轴于M，
∴P2M∥KF，
∴∠MP2F＝∠P2FK，
∴，
∴P2M＝3MF，
∵，
∴﹣t2+3t+1＝3（t﹣2），
∴（舍去），
当t＝时，，
∴．
∴点P的坐标为（1，3）或（）．
【点评】本题主要考查一次函数与二次函数综合问题，特殊三角形问题及解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/19 11:07:32；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557