第七单元 第24课时 直角三角形和勾股定理（含答案）

这是一份第七单元 第24课时 直角三角形和勾股定理（含答案），共50页。PPT课件主要包含了小题热身，图24－1，第3题答图，图24－2，考点管理，图24－3，例1答图，图24－4，图24－5，图24－6等内容，欢迎下载使用。
1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是 (　 　)A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝52．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜边AB的长为2 cm，则AC长为 (　 　)A．4 cm B．2 cm
3．如图24－1，一圆柱体的底面周长为24 cm，高BD为4 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是 (　 　)A．6 cm B．12 cmC．13 cm D．16 cm
【解析】 如答图，将圆柱体展开，连结DC，圆柱体的底面周长为24 cm，则DA＝12 cm，根据两点之间线段最短，
4．如图24－2，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点，若AB＝10，则CE＝______．
一、必知3 知识点1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形．直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角________；(2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的________；(3)在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的______ __．直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是________三角形．
2．勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝______．
【智慧锦囊】勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两条边，求第三边；(2)已知直角三角形的一边，确定另外两边的关系；(3)证明带有平方关系的问题；(4)把实际问题转化为直角三角形中应用勾股定理的问题．
3．勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，并且满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是________三角形．勾股数：能构成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数．
【智慧锦囊】勾股定理逆定理的应用：(1)判断三角形的形状；(2)证明两条线段垂直；(3)实际应用．
二、必会2 方法1．面积法用面积法证明是常用的技巧之一，勾股定理的证明通常用面积法．即利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式，从而得到证明的结论．2．数形结合思想在解决一些实际问题时，如立体图形侧面两点的距离问题，折叠问题，航海问题，梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理，解决这些问题的过程，充分体现了数形结合思想，是中考的热点．
直角三角形的性质的运用
如图24－4，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为 (　 　)
【解析】 线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，AD＝BD，可得∠DAE＝30°，易得∠ADC＝60°，∠CAD＝30°，则AD为∠BAC的平分线，由角平分线的性质，得DE＝CD＝3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD＝2DE＝6.∴BC＝9.
勾股定理的应用 　[2017·绍兴]如图24－5，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为(　 　)A．0.7 m B.1.5 mC.2.2 m D.2.4 m
例2答图【解析】 如答图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7 m，AC＝2.4 m，∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2 m，BD2＋A′D2＝A′B2，∴BD2＋22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5 m，∴CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(m)．
1．如图24－6，有两棵树，一棵高12 m，另一棵高6 m，两树相距8 m．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行______m.
【解析】 根据“两点之间线段最短”可知，小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
勾股定理与拼图 　如图24－8①，以直角三角形a，b，c为边，向外分别作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况中，面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数有 (　 　)
A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】 根据直角三角形以a，b，c为边，应用勾股定理，可得a2＋b2＝c2.①第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出3个三角形的面积，然后根据a2＋b2＝c2，可得S1＋S2＝S3；②第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出3个半圆的面积，然后根据a2＋b2＝c2，可得S1＋S2＝S3；③第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出3个等腰直角三角形的面积，然后根据a2＋b2＝c2，可得S1＋S2＝S3；④第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出3个正
1．如图24－9，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，S2 018的值为 (　 　)
2．如图24－10是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是______．【解析】 根据勾股定理的几何意义，可得A，B的面积和为S1，C，D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.
3．如图24－11，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a，b，c，A，B，N，E，F五点在同一条直线上，则c＝___________(用含有a，b的代数式表示)．
4．如图24－12是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…以此类推，若正方形①的边长为64 cm，则第4个正方形的边长为_______cm.
【点悟】　勾股定理既反映了直角三角形的三边关系，同时也反映了以直角三角形三边为边分别作出的正方形的面积关系，这是勾股定理的另一种表现形式．
1．如图24－14，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是 (　 　)
【解析】 如答图，将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即最短路径．由题意得A′D＝5 cm，BD＝12－3＋3＝12(cm)，
2．如图24－15是一块长、宽、高分别是6 cm，4 cm和3 cm的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 (　 　)
3．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图24－16，把枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是_______尺．
【解析】 如答图，一条直角边(即枯木的高)长20尺，另一条直角边长是5×3＝15(尺)，【点悟】　在求几何体表面上两点之间的最短距离时，可以通过把立体图形展开成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离来解决．
勾股定理的逆定理 　如图24－17，E是正方形ABCD内的一点，连结AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝_________．
【解析】 首先根据旋转的性质得出∠EBE′＝90°，BE＝BE′＝2，AE＝E′C＝1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，从而得出答案．如答图，连结EE′，∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE＝
如图24－18，已知AB＝4，BC＝3，AD＝12，DC＝13，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积为_______．
赵爽弦图A．12S B.10S C.9S D.8S
1．[2017·丽水]我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图24－20①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为______．
2.[2016·孝感]如图24－21是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为_____．
3. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图24－22①)．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝______．
【解析】 ∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG＝NF，CF＝DG＝KF，∴S1＝(CG＋DG)2＝CG2＋DG2＋2CG·DG＝GF2＋2CG·DG，S2＝GF2，S3＝(KF－NF)2＝KF2＋NF2－2NF·KF＝GF2－2CG·DG，∴S1＋S2＋S3＝GF2＋2CG·DG＋GF2＋GF2－2CG·DG＝3GF2＝12.
必明3 易错点1．在利用勾股定理时，确定所给的边是直角边还是斜边，如果题中未说明，需要分类讨论．2．在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定．解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则c是斜边，从而造成误解．3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这个性质定理常用于证明一条线段是另一条线段的一半的数量关系，注意“直角三角形”这一前提条件．