初中数学第一章 三角形的证明综合与测试精品课后复习题

这是一份初中数学第一章 三角形的证明综合与测试精品课后复习题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。



时间:60分钟 满分:120分





一、选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分)


1.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )





A.两条直角边分别相等 B.斜边和一锐角分别相等


C.两个锐角分别相等 D.斜边和一直角边分别相等


2.如图是一块三角形草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,若要使凉亭到三角形草坪三条边的距离相等,则凉亭的位置应选在( )


A.△ABC三条角平分线的交点 B.△ABC三条中线的交点


C.△ABC三条高所在直线的交点 D.△ABC三边的垂直平分线的交点





第2题图 第3题图


3.如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处,发现此时绳子末端距离地面 2 m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )


A.12 m B.13 m C.16 m D.17 m


4.用反证法证明“自然数a,b,c中恰有一个偶数”,应假设( )


A.a,b,c都是奇数 B.a,b,c都是奇数或至少有两个偶数


C.a,b,c都是偶数 D.a,b,c中至少有两个偶数


5.如图,OP是∠AOC的平分线,点B在OP上,BD⊥OC于点D,∠A=45°.若BD=2,则AB=( )


A.2 B.2 3 C.2 2 D.3





第5题图 第6题图 第7题图


如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,若△ABC的周长为19 cm,△ABD的周长为13 cm,


则AE的( )


(


A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm


7.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边BC和AC上.若AD=AE,则下列结论错误的是 ( )


A.∠ADB=∠ACB+∠CAD B.∠ADE=∠AED


C.∠CDE=12∠BAD D.∠AED=2∠ECD


8.如图,等边三角形DEF的顶点分别在等边三角形ABC的各边上,且DE⊥BC于点E.若AB=1


DB的长为( )





A.12 B.13 C.23 D.34


9.如图,在∠MON中,以点O为圆心,任意长为半径作弧,分别交射线OM,ON于点A,B,再分别以A,B为圆心,OA的长为半径作弧,两弧在∠MON的内部交于点C,作射线OC.若OA=5,AB=6,则点B到AC的距离为( )


A.5 B.245 C.4 D.125





第9题图 第10题图


10.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,AD⊥BC于点D,BE是∠ABC的平分线,且交AD于点P,若AP=2,则AC=( )


A.2 B.4 C.6 D.8


二、填空题(本大题共6小题,每题3分,共18分)


11.由于木质衣架没有柔性,所以在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm.若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是 cm.





第11题图 第12题图 第13题图


12.如图,在△ABC中,AB=AC=5,点D为BC的中点,AD=4,则△ABC的面积为 .


13.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E.若CE平分∠ACB,∠B=40°,则∠A= °.


14.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,连接BD,若AD=2,∠BDC=90°,∠ADB=∠C,则点D到BC的距离等于 .





第14题图 第15题图 第16题图


15.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上的点,过点D作DE⊥AB交BC于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,若∠DCA=∠DAC,则下列结论正确的有 .(填所有正确结论的序号)


①∠DCB=∠B;②CD=12AB;③△ADC是等边三角形;④若∠E=30°,则DE=EF+CF.


16.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是 .


三、解答题(本大题共6小题,共72分)


17.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,点E在CA的延长线上,EP⊥BC,垂足为P,EP交AB于点F,FD∥AC,交BC于点D.求证:△AEF是等腰三角形.























(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,点F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.


(1)求证:△ABE≌△CBF;


(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.











(12分)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.


(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由;


(2)求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC.




















20.(12分)如图,△ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速运动,其中点P运动的速度是 1 cm/s,点Q运动的速度是2 cm/s,当点Q到达点C时,P,Q两点都停止运动,设运动时间为t s,解答下列问题:


(1)当点Q到达点C时,PQ与AB的位置关系如何?请说明理由;


(2)在点P与点Q的运动过程中,△BPQ是否能成为等边三角形?若能,请求出此时的运动时间;若不能,请说明理由.




















21.(14分)如图,∠CAB的平分线AD和BC的垂直平分线DE相交于点D,过点D作DF⊥AC交AC于点F,作DM⊥AB于点M.


(1)猜想CF和BM之间有何数量关系,并说明理由;


(2)求证:AB-AC=2CF.



































22.(14分)如图,已知BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC于点E,且AB+BC=2BE.


(1)求证:∠BAD+∠BCD=180°;


(2)若将条件“AB+BC=2BE”与结论“∠BAD+∠BCD=180°”互换,结论成立吗?请说明理由.





备用图

































































第一章 综合能力检测卷





1.C 【解析】 判定两三角形全等至少需要三个条件,其中至少有一边,所以两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等.故选C.


2.A 【解析】 由在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上,可知三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等.故选A.








三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等,三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等,要注意区分清楚.


3.D 【解析】 如图,过点B作BC⊥AE于点C,则BC=DE=8 m,设AE=x m,则AB=x m,AC=(x-2)m,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,即(x-2)2+82=x2,解得x=17.故选D.





4.B


5.C 【解析】 如图,过点B作BE⊥OA于点E,∵OP是∠AOC的平分线,BD⊥OC,BD=2,∴BE=BD=2.在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∠A=45°,∴AE=BE=2,∴AB=AE2+BE2=2 2.故选C.





6.B 【解析】 ∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=DC,AE=12AC,又∵△ABC的周长为19 cm,△ABD的周长为13 cm,∴AB+BC+AC=19 cm,AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13 cm,∴AC=6 cm,∴AE=3 cm.故选B.


7.D 【解析】 ∵∠ADB是△ACD的外角,∴∠ADB=∠ACB+∠CAD,故A项结论正确;∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,故B项结论正确;∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠ADE=∠AED=∠CDE+∠C,∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠CDE+∠C+∠CDE,又∵∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠CDE=12∠BAD,故C项结论正确;∵∠AED=∠ECD+∠CDE,∠ECD与∠CDE不一定相等,∴∠AED不一定等于2∠ECD,故D项结论错误.故选D.


8.C 【解析】 由题意,知∠DEB=90°,∠B=60°,∴∠BDE=90°-60°=30°,∴BE=12DB.∵△DEF是等边三角形,∴∠EDF=60°,∴∠ADF=180°-30°-60°=90°,易知∠B=∠A,ED=DF,∴△BED≌△ADF,∴AD=BE,∴AB=DB+AD=DB+BE=DB+12DB=1,∴DB=23.故选C.


9.B 【解析】 设OC与AB交于点D,作BE⊥AC于点E,连接BC,由题意可得,OC为∠MON的平分线,OA=OB,∴OC⊥AB,AD=12AB,∴∠ADC=90°.∵AB=6,OA=5,AC=OA,∴AC=5,AD=3,∴CD=AC2-AD2=4.由三角形面积公式,得AB·CD2=AC·BE2,∴6×42=5×BE2,解得BE=245.故选B.


10.C 【解析】 在△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,∴∠ABC=60°,∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠EBC=30°,∴∠AEB=60°,∠C=∠EBC,∴BE=EC.∵AD⊥BC,∴∠CAD=60°,∴△AEP是等边三角形,∴AE=AP=2,∴在Rt△AEB中,BE=2AE=4,∴EC=4,∴AC=EC+AE=6.故选C.


11.18 【解析】 连接AB,∵OA=OB,∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴A,B两点之间的距离是18 cm.


12.12 【解析】 根据等腰三角形三线合一的性质,可知AD垂直平分BC,在Rt△ABD中,根据勾股定理可得BD=AB2-AD2=3,所以BC=6,故S△ABC=12BC·AD=12.


13.60 【解析】 ∵DE是BC的垂直平分线,∴BE=CE,∴∠BCE=∠B=40°.∵CE平分∠ACB,∴∠ACB=2∠BCE=80°,∴∠A=180°-∠B-∠ACB=60°.





14.2 【解析】 如图,过点D作DE⊥BC于点E,则点D到BC的距离即DE的长度.∵∠A=90°,∠BDC=90°,∠ADB=∠C,∴∠ABD=∠DBC,∴BD是∠ABC的平分线,∴DE=AD=2.


15.①②④ 【解析】 ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∠ACD+∠DCB=90°,又∵∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,∠DCB=∠B,故①正确;∵∠DCB=∠B,∴CD=BD,又∵AD=CD,∴CD=12AB,故②正确;∵∠DCA=∠DAC,∴AD=CD,但不能判定△ADC是等边三角形,故③错误;∵∠E=30°,DE⊥AB,∴∠A=60°,又∵AD=CD,∴△ACD是等边三角形,∴∠ADC=60°.∵∠ADE=∠ACB=90°,∴∠EDC=∠BCD=30°,∴CF=DF,∴DE=EF+DF=EF+CF,故④正确.则结论正确的有①②④.


16.245 【解析】 如图,过点C作CM⊥AB交AB于点M,交AD于点P,过点P作PQ⊥AC于点Q.∵AD是∠BAC的平分线,∴PQ=PM,这时PC+PQ取最小值,最小值即CM的长.∵AC=6,BC=8,∠ACB=90°,∴AB=AC2+BC2=62+82=10.∵S△ABC=12AB·CM=12AC·BC,∴CM=AC·BCAB=245,即PC+PQ的最小值为245.








17.【解析】 ∵AB=AC,∴∠B=∠C.


∵DF∥AC,∴∠FDB=∠C,∠DFP=∠E,


∴∠FDB=∠B,∴BF=DF.


∵BF=DF,FP⊥BD,


∴∠BFP=∠DFP,∴∠BFP=∠E,


又∵∠BFP=∠AFE,∴∠AFE=∠E,∴AE=AF,


∴△AEF为等腰三角形.


18.【解析】 (1)∵∠ABC=90°,∴∠CBF=180°-∠ABC=90°.


在Rt△ABE和Rt△CBF中,AB=CB,AE=CF,


∴Rt△ABE≌Rt△CBF.


(2)∵∠ABC=90°,AB=CB,


∴∠BAC=∠ACB=45°.


∵∠CAE=30°,∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=15°.


∵Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠BCF=∠BAE=15°,


∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.


19.【解析】 (1)∠ABE=∠ACD.理由如下:


在△ABE和△ACD中,AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,


∴△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD.


(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.


由(1)可知∠ABE=∠ACD,∴∠FBC=∠FCB,∴FB=FC.


∴点A,F均在线段BC的垂直平分线上,


∴过点A,F的直线垂直平分线段BC.


20.【解析】 (1)PQ与AB垂直.理由如下:


由题意知AB=AC=BC=6 cm,


∴当点Q到达点C时,t=62=3,AP=3 cm,


∴此时点P为AB的中点,∴PQ⊥AB.


(2)能.理由如下:


∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,


∴当BP=BQ时,△BPQ为等边三角形时.


易知BP=6-t,BQ=2t,t≤3,


∴6-t=2t,解得t=2,


∴△BPQ能成为等边三角形,此时运动时间为2 s.


21.【解析】 (1)CF=BM.理由如下:


如图,连接CD,BD.





∵AD平分∠CAB,DF⊥AC,DM⊥AB,∴DF=DM.


∵DE垂直平分BC,∴CD=BD.


在Rt△CDF和Rt△BDM中,


CD=BD,DF=DM,


∴Rt△CDF≌Rt△BDM,∴CF=BM.


(2)在Rt△AFD和Rt△AMD中,DF=DM,AD=AD,


∴Rt△AFD≌Rt△AMD,∴AF=AM.


∵AB=AM+BM,AF=AC+CF,AF=AM,BM=CF,


∴AB=AF+CF=AC+CF+CF=AC+2CF,


∴AB-AC=2CF.


22.【解析】 (1)过点D作DF⊥BA于点F.


∵AB+BC=2BE,


∴AB=BE+BE-BC=BE+BE-BE-EC=BE-EC,


即AB+EC=BE.


∵BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,DF⊥BA,∴DF=DE.


在Rt△BFD和Rt△BED中,DF=DE,BD=BD,


∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),∴BF=BE,∴AB+AF=BE.


∵AB+EC=BE,∴AF=EC.


在△AFD和△CED中,AF=CE,∠DFA=∠DEC,DF=DE,


∴△AFD≌△CED(SAS),∴∠DAF=∠DCE.


∵∠BAD+∠DAF=180°,


∴∠BAD+∠BCD=180°.


(2)结论成立.理由如下:


过点D作DF⊥BA于点F.


∵∠BAD+∠DAF=180°,∠BAD+∠BCD=180°,


∴∠DCE=∠DAF.


∵BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,DF⊥BA,


∴∠DFA=∠DEC=90°,DF=DE.


在△AFD和△CED中 ,∠DFA=∠DEC,∠DAF=∠DCE,DF=DE,


∴△AFD≌△CED(AAS),∴AF=CE.


在Rt△BFD和Rt△BED中,DF=DE,DB=DB,


∴Rt△BFD≌Rt△BED(HL),∴BF=BE,


∴AB+AF=BE,


∴AB=BE-AF=BE-CE=BE-(BC-BE)=BE-BC+BE=2BE-BC,


即AB+BC=2BE.


题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
C
B
D
C
B
C
11.18 12.12 13.60 14.2 15.①②④ 16.245