2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§6.2　图形的相似

这是一份2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§6.2　图形的相似，共60页。
考点一　相似与位似的有关概念
1.(2020辽宁营口,6,3分)如图,在△ABC中,DE∥AB,且 = ,则 的值为 (　　) A. 　    B. 　    C. 　    D. 
2.(2020重庆A卷,8,4分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(1,2),B(1,1),C(3,1),以原点 为位似中心,在原点的同侧画△DEF,使△DEF与△ABC成位似图形,且相似比为2∶1,则线段DF的长度 为 (　　) A. 　    B.2　    C.4　    D.2 
3.(2019浙江杭州,6,3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B, C重合),连接AM交DE于点N,则 (　　) A. = 　    B. = C. = 　    D. = 
4.(2020宁夏,17,6分)在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1;(2)画出△ABC以点O为位似中心,位似比为1∶2的△A2B2C2. 
解析　(1)正确画出△A1B1C1如图. (3分)(2)正确画出△A2B2C2如图. (6分) 
考点二　相似三角形的性质与判定
1.(2020广西北部湾经济区,9,3分)如图,在△ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分 别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为 (　　) A.15　    B.20　    C.25　    D.30
2.(2019甘肃兰州,8,4分)已知△ABC∽△A'B'C',AB=8,A'B'=6,则 = (　　)A.2　    B. 　    C.3　    D. 
3.(2019重庆A卷,3,4分)如图,△ABO∽△CDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是 (　　) A.2　    B.3　    C.4　    D.5
4.(2020海南,12,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E、F在AD边上,BF和CE交于点G,若EF= AD,则图中阴影部分的面积为 (　　) A.25　    B.30　    C.35　    D.40
答案    C　过点G作GP⊥BC于P,延长PG交EF于Q, ∵AD∥BC,∴△EFG∽△CBG,∴PG∶GQ=BC∶EF=AD∶ AD=2∶1,又∵PQ=AB=6,∴PG=4,GQ=2,∴S△BCG= ×10×4=20,S△EFG= ×5×2=5,
∵S矩形ABCD=6×10=60,∴S阴影=60-20-5=35.故选C.
解后反思　本题主要考查了相似三角形的性质,求不规则图形的面积常常将其转化为几个规则图形的 面积的和或差来解决.
5.(2020云南,11,4分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则△DEO与△ BCD的面积的比等于 (　　) A. 　    B. 　    C. 　    D. 
答案    B　在▱ABCD中,BO=DO,E是CD的中点,∴OE∥BC,OE= BC,∴△DOE∽△DBC,∴ = = .故选B.
6.(2018江西,14,6分)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E. 求AE的长. 
7.(2019吉林长春,22,9分)教材呈现:如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.例2　如图23.4.4,在△ABC中,D、E分别是边BC、AB的中点,AD、CE相交于点G.求证: = = . 图23.4.4证明:连接ED.请根据教材提示,结合图①,写出完整的证明过程.结论应用:在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE、BD交于点F.(1)如图②,若平行四边形ABCD为正方形,且AB=6,则OF的长为　　　    ;
(2)如图③,连接DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为 ,则平行四边形ABCD的面积为　　　    . 
解析　证明:∵D、E分别是BC、AB的中点,∴DE∥AC,DE= AC,∴△DEG∽△ACG,∴ = = =2,∴ = =3,∴ = = .(1) .详解:易证△BEF∽△DAF,相似比为1∶2,易得BF= BD,又∵BO= BD,∴OF= BD- BD= BD.易求BD=6 ,∴OF= .(2)6.
详解:连接OE,由(1)知BF= BD,OF= BD,∴ =2,∵△BEF的边BF上的高和△OEF的边OF上的高相同,∴△BEF和△OEF的面积比= =2,同理,△CEG和△OEG的面积比为2.∴△CEG的面积+△BEF的面积=2(△OEG的面积+△OEF的面积)=2× =1,∴△BOC的面积= ,∴S▱ABCD=4× =6.
8.(2019内蒙古包头,22,8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=BC,∠BAD=90°,AC交BD于点E,∠ABD= 30°,AD= ,求线段AC和DE的长.  
解析　在Rt△ABD中,∵∠BAD=90°,∠ABD=30°,AD= ,∴tan∠ABD= ,即 = ,∴AB=3.∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°,∴∠ABC=90°.在Rt△ABC中,∵AB=BC=3,∴AC= =3 . (4分)∵AD∥BC,∴△ADE∽△CBE,∴ = ,∴ = .设DE= x,则BE=3x,∴BD=DE+BE=( +3)x,∴ = .在Rt△ABD中,∠ABD=30°,∴BD=2AD=2 .∴DE=2 × ,∴DE=3- . (8分)
9.(2020湖北武汉,23,10分)问题背景　如图(1),已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE.尝试应用　如图(2),在△ABC和△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°,AC与DE相交于点F. 点D在BC边上, = ,求 的值.拓展创新　如图(3),D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB=4,AC=2 ,直接写出AD的长.  图(1) 图(2) 图(3)
解析    问题背景    证明:∵△ABC∽△ADE,∴ = ,∠BAC=∠DAE,∴ = ,∠BAD=∠CAE.∴△ABD∽△ACE.尝试应用    连接CE,设BD=t,则AD= BD= t.依题意,得△ADE∽△ABC.由(1)得△ACE∽△ABD,∴∠ACE=∠B=30°, = = ,∴CE= BD= t,∴ =3.∵∠ADE=∠ACE=30°,∠AFD=∠EFC,∴△ADF∽△ECF,∴ = =3.
 拓展创新     .详解:如图,在AD的右侧作∠DAE=∠BAC,AE交BD延长线于E点,连接CE,∵∠ADE=∠BAD+∠ABD,∠ ABC=∠ABD+∠CBD,∠BAD=∠CBD=30°,∴∠ADE=∠ABC,又∵∠DAE=∠BAC,∴△BAC∽△DAE,∴  = = ,
 又∵∠DAE=∠BAC,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD∽△CAE,∴ = = = = ,设CD=x,在直角三角形BCD中,∵∠CBD=30°,∴BD= x,BC=2x,∴CE= x.∴DE= = x.
∵ = ,∴ = = ,∴AD= .
答案    D　∵l1∥l2∥l3,∴由平行线分线段成比例可得 = ,∵AB=5,BC=6,EF=4,∴ = ,∴DE= ×4= ,故选D.
2.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F为BC边上一 点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是 (　　) A. = 　    B. = C. = 　    D. = 
3.(2018安徽,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,已知点O,A,B均为网 格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为 A1,B1).画出线段A1B1;(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1.画出线段A2B1;(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是　　　    个平方单位. 
解析　(1)线段A1B1如图所示. (3分) (2)线段A2B1如图所示. (6分)(3)20. (8分)提示:根据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为 =2 ,∴以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积为(2 )2=20(个平方单位).
1.(2017重庆A卷,8,4分)若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为 (　　)A.3∶2　    B.3∶5　    C.9∶4　    D.4∶9
答案    A　相似三角形对应高的比等于相似比,所以选A.
2.(2018新疆乌鲁木齐,7,4分)如图,在▱ABCD中,E是AB的中点,EC交BD于点F,则△BEF与△DCB的面积 比为 (　　) A. 　    B. 　    C. 　    D. 
答案    D　∵四边形ABCD是平行四边形,E是AB的中点,∴ = = ,∴ = , = ,∴ = .
3.(2020新疆,9,5分)如图,在△ABC中,∠A=90°,D是AB的中点,过点D作BC的平行线交AC于点E,作BC的垂 线交BC于点F,若AB=CE,且△DFE的面积为1,则BC的长为 (　　) A.2 　    B.5　    C.4 　    D.10
答案    A　由DE∥BC可得△ADE∽△ABC,又D为AB的中点,故 = = ,∴E为AC的中点. 过A作AH⊥BC于H,交DE于G,则AH⊥DE,由相似三角形的性质可知 = = ,故AG=GH=DF,∴S△ADE=S△DEF=1,从而S△ABC=4S△ADE=4.设AB=x,则AC=2x,而∠BAC=90°,
∴ x·2x=4,∴x=2(负值舍去),故由勾股定理得BC= = =2 .故选A.
4.(2020山西,15,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,E为BC的中点,AE与 CD交于点F,则DF的长为　　　    . 
解析　作PA⊥AC交CD的延长线于P点,如图所示,在Rt△ABC中,AB= =5,cs B= ,tan B= ,又∵CD⊥AB,∴∠B=∠DCA,∴在Rt△ACD中,cs∠DCA= = ,∴CD= ,在Rt△ACP中,由cs∠DCA= = 可得CP= ,由tan∠DCA= = 可得PA= ,∵BC⊥AC,∴BC∥PA,∴△CEF∽△PAF,∴ = ,又E为BC的中点,∴CE= BC=2,∴ = ,解得CF= ,∴DF=CD-CF= - = . 
思路分析　作PA⊥AC交CD的延长线于P点,在Rt△ABC中分别求出cs B,tan B,由CD⊥AB易推出∠B= ∠DCA,然后在Rt△ACD中,利用cs∠DCA= 求出CD,在Rt△ACP中,利用cs∠DCA= 求出CP,利用tan∠DCA= 求出AP,最后根据△CEF∽△PAF求出CF,则DF=CD-CF,即可求解.
难点突破　本题的突破口是作辅助线构造△CEF∽△PAF,然后利用相似三角形的性质及锐角三角函数 求出CD、AP、CF、CP.
5.(2019湖北武汉,23,10分)在Rt△ABC中,∠ABC=90°, =n,M是BC边上一点,连接AM.(1)如图1,若n=1,N是AB延长线上一点,CN与AM垂直.求证:BM=BN;(2)过点B作BP⊥AM,P为垂足,连接CP并延长交AB于点Q.①如图2,若n=1,求证: = ;②如图3,若M是BC的中点,直接写出tan∠BPQ的值(用含n的式子表示).           
解析　(1)证明:延长AM交CN于点H, ∵AM与CN垂直,∠ABC=90°,∴∠BAM+∠N=90°,∠BCN+∠N=90°,∴∠BAM=∠BCN.∵n=1,∠ABC=90°,∴AB=BC,∠ABC=∠CBN.∴△ABM≌△CBN,∴BM=BN.(2)①证明:过点C作CD∥BP交AB的延长线于点D,
则AM与CD垂直.由(1)得BM=BD.∵CD∥BP,∴ = ,即 = . ②tan∠BPQ= .详解:过点C作CK∥BP交AB的延长线于点K,延长AM,交CK于点E,
 设BC=a,∵PB∥CK,∴∠QPB=∠QCK,AE⊥CK,∴tan∠BPQ=tan∠QCK= = = .∵△PMB∽△BMA,∴ = = = .∴tan∠BPQ= .
A组　2018—2020年模拟·基础题组时间:40分钟　分值:50分一、选择题(每小题3分,共9分)
1.(2020吉林长春一模,6)在△ABC中,∠ACB=90°,用直尺和圆规在AB上确定点D,使△ACD∽△CBD,根据 作图痕迹判断,正确的是 (　　) 
答案    C　当CD是AB的垂线时,△ACD∽△CBD.∵CD⊥AB,∴∠CDA=∠BDC=90°.∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°,∴∠A=∠BCD,∴△ACD∽△CBD.根据作图痕迹可知,A选项中,CD是∠ACB的平分线,不符合题意;B、D选项中,CD不与AB垂直,不符合题意;C选项中,CD是AB的垂线,符合题意.故选C.
2.(2020黑龙江绥化一模,6)如图,在平行四边形ABCD中,E为AD的中点,△BCF的面积为4,则△DEF的面 积为 (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.4
答案    A　∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴△DEF∽△BCF.∵E为AD的中点,∴DE= AD,∴DE∶BC=1∶2,∴S△DEF∶S△BCF=1∶4.∵△BCF的面积为4,∴△DEF的面积为1.故选A.
3.(2019吉林长春一模,6)如图所示,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行.张强扛着箱 子(人与箱子的总高度约为2.2 m)乘电梯刚好安全通过,请你根据图中数据回答,两层楼之间的高约为 (　　) A.5.5 m　　B.6.2 m　　C.11 m　　D.2.2 m
答案    A　如图,作DE∥BC交FC于点E,易知△ABC∽△CED,∴ = .设AB=x m,由图得DE=10-4=6(m),EC=(x-2.2)m,∴ = ,解得x=5.5,故选A. 
二、填空题(每小题3分,共15分)4.(2020辽宁鞍山铁东一模,13)如图,在平面直角坐标系第一象限中,线段AB、CD是以原点O为位似中心 的位似图形,且相似比为 ,AB⊥x轴,点A、点C在x轴上,AC=CD=6,则B点坐标为　　　    . 
5.(2020上海黄浦一模,16)在△ABC中,AB=12,AC=9,点D、E分别在边AB、AC上,且△ADE与△ABC相似, 如果AE=6,那么线段AD的长是　　　    .
6.(2019黑龙江绥化一模,16)如图,△ABC与△ADB中,∠ABC=∠ADB=90°,∠C=∠ABD,AC=5 cm,AB=4 cm,则AD的长为　　　    . 
7.(2019上海徐汇一模,11)如图,在▱ABCD中,AB=3,AD=5,AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F,且 CF=1,则CE的长为　　　    . 
8.(2018上海静安一模,15)如图,△ABC中,点D在边AC上,∠ABD=∠C,AD=9,DC=7,那么AB=　　　    . 
三、解答题(共26分)9.(2020北京朝阳一模,19)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点E.求证:∠BAD=∠CDE. 证明　∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD⊥BC,DE⊥AC,∴∠ADB=∠DEC=90°,∴△ADB∽△DEC,∴∠BAD=∠CDE.
10.(2020上海静安一模,23)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,点E在线段OB上,AE的 延长线与BC相交于点F,OD2=OB·OE.(1)求证:四边形AFCD是平行四边形;(2)如果BC=BD,AE·AF=AD·BE,求证:△ABE∽△ACD. 
证明　(1)∵OD2=OB·OE,∴ = .∵AD∥BC,∴△AOD∽△COB,∴ = ,∴ = ,∴AF∥CD.又AD∥CF,∴四边形AFCD是平行四边形.(2)∵AF∥CD,∴∠AED=∠BDC,△BEF∽△BDC,∴ = .∵BC=BD,∴BE=BF,∠BDC=∠BCD,∴∠AED=∠BCD.∵∠AEB=180°-∠AED,∠ADC=180°-∠BCD,∴∠AEB=∠ADC.∵AE·AF=AD·BE,∴ = ,∵四边形AFCD是平行四边形,∴AF=CD,
∴ = ,又∠AEB=∠ADC,∴△ABE∽△ACD.
11.(2019上海普陀一模,23)已知:如图,△ADE的顶点E在△ABC的边BC上,DE与AB相交于点F,AE2=AF· AB,∠DAF=∠EAC.(1)求证:△ADE∽△ACB;(2)求证: = . 
证明　(1)∵AE2=AF·AB,∴ = ,∵∠EAF=∠BAE,∴△AEF∽△ABE,∴∠AEF=∠B.∵∠DAF=∠EAC,∴∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ACB.(2)∵△ADE∽△ACB,∴ = ,∠D=∠C.又∵∠DAF=∠EAC,∴△ADF∽△ACE,∴ = ,∴ = ,∴ = .
B组　2018—2020年模拟·提升题组时间:50分钟　分值:60分一、选择题(每小题3分,共12分)1.(2020四川成都青白江一诊,9)如图,△ABC中,DE∥BC,若AD∶DB=1∶2,△ADE的周长是6,则△ABC的 周长是 (　　) A.6　    B.12　    C.18　    D.24
答案    C　∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ = = .∵△ADE的周长为6,∴△ABC的周长为18,故选C.
2.(2020四川巴中5月模拟,9)如图,DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,则NM∶ MC等于 (　　) A.1∶2　    B.1∶3　    C.1∶4　    D.1∶5
答案    B　∵DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,∴DM∥BC,DM=ME= BC.∴△NDM∽△NBC,∴ = = .∴ = .故选B.
3.(2019四川绵阳江油一诊,6)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,6)、B(-9,-3),以原点O为位似中心,相 似比为 ,把△ABO缩小,则点B的对应点B'的坐标是 (　　) A.(-3,-1)　     B.(-1,2)C.(-9,1)或(9,-1)　    D.(-3,-1)或(3,1)
4.(2019甘肃定西一诊,9)如图是小孔成像原理的示意图,根据图中所标注的尺寸,这支蜡烛在暗盒中所成 的像CD的长是 (　　) A.  cm　　B.  cm　　C.  cm　　D.1 cm
答案    D　如图,过O作直线OE⊥AB于E,EO的延长线交CD于F.依题意知AB∥CD,∴OF⊥CD.易知OE=12 cm,OF=2 cm,∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD,由相似三角形的 性质知 = ,即 = ,∴CD=1 cm,故选D. 
二、填空题(每小题3分,共12分)5.(2019云南昆明八中模拟,5)如图,AB∥CD,AD、BC相交于点E,过点E作EF∥CD交BD于点F,AB∶CD= 2∶3,那么 =　　　    . 
6.(2020上海黄浦一模,15)如图,将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上,其截面可看作一个宽BC= 6 cm,长CD=16 cm的矩形.当水面触到杯口边缘时,边CD恰有一半露出水面,那么此时水面高度是　　         cm. 
7.(2019重庆模拟,16)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题: “今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步而见木?”用今天的话说,大意是:如图, 四边形DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H位于GD的中点处,南 门K位于ED的中点处,出东门15步的A处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直 线AC上).你计算KC的长为　　　    步. 
8.(2020四川成都青白江一诊,18)如图,等边三角形ABC中,AB=3,点D是CB延长线上一点,且BD=1,点E在 直线AC上,当∠BAD=∠CDE时,AE的长为　　　    . 
 图1　　　　　　　　　　图2②当点E在线段AC的延长线上时,如图2所示,∵∠ABD=∠DCE=120°,∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE,
∴ = ,即 = ,解得CE= ,∴AE=AC+CE=3+ = .综上所述,当∠BAD=∠CDE时,AE的长为2或 .
三、解答题(共36分)9.(2019上海松江二模,23)如图,已知▱ABCD中,AB=AC,CO⊥AD,垂足为点O,延长CO、BA交于点E,连接 DE.(1)求证:四边形ACDE是菱形;(2)连接OB交AC于点F,如果OF=OC,求证:2AB2=BF·BO. 
证明　(1)∵CO⊥AD,AD∥BC,∴CO⊥BC,∴∠BCE=90°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠AEC+∠ABC=90°,∠ACE+∠ACB=90°,∴∠ACE=∠AEC,∴AE=AC,∴AE=AB.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BE∥CD,AB=CD=AE,∴四边形AEDC是平行四边形.又∵AE=AC,∴四边形AEDC是菱形.(2)由(1)知∠AEC=∠ACE.∵OF=OC,∴∠OFC=∠OCF,又∠OFC=∠AFB,∴∠AFB=∠AEO.又∵∠ABF=∠OBE,∴△BAF∽△BOE,∴ = ,∴BA·BE=BF·BO,∵BE=2AB,∴2AB2=BF·BO.
10.(2020江西南昌二模,23)定义:有一组对角互补的四边形叫做互补四边形.(1)概念理解:①在互补四边形ABCD中,∠A与∠C是一组对角,若∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶4,则∠A=　　　    °;②如图1,在△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,且BE·BC=AB·BD,求证:四边形ADEC是互补四边形;(2)探究发现:如图2,在等腰△ABE中,AE=BE,点C,D分别在边BE,AE上,AD=BC,AC与BD交于点H,四边形 CEDH是互补四边形,求证:∠ABD=∠BAC= ∠E;(3)推广运用:如图3,在△ABE中,点C,D分别在边BE,AE上,AD=BC,四边形CEDH是互补四边形,若∠E=60 °,AB=6,AE= ,求 的值.
图1　　　　　　图2　　　　　　　图3    
解析　(1)①∵四边形ABCD是互补四边形,∠A与∠C是一组对角,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,∵∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶4,∴设∠B=2x(x>0),则∠C=3x,∠D=4x,∴2x+4x=180°,解得x=30°,∴∠C=90°,∴∠A=90°.故答案为90.②证明:∵BE·BC=AB·BD,∴ = ,又∵∠B=∠B,∴△BDE∽△BCA,∴∠BED=∠A,∴∠A+∠CED=∠BED+∠CED=180°,∴四边形ADEC是互补四边形.(2)证明:∵AE=BE,AD=BC,∴AE-AD=BE-BC,即ED=EC.
在△EAC和△EBD中, ∴△EAC≌△EBD(SAS),∴∠EAC=∠EBD.∵AE=BE,∴∠EAB=∠EBA,∴∠EBA-∠EBD=∠EAB-∠EAC,即∠ABD=∠BAC.∵四边形CEDH是互补四边形,∴∠E+∠DHC=180°.∵∠AHB=∠DHC,∴∠E+∠AHB=180°.又∵∠ABD+∠BAC+∠AHB=180°,∴∠ABD+∠BAC=∠E,∴∠ABD=∠BAC= ∠E.(3)如图,作BF⊥HC于点F,作AG⊥HD交HD的延长线于点G,则∠AGD=∠BFC=90°.
 ∵四边形CEDH是互补四边形,∴∠EDH+∠ECH=180°,又∵∠ECH+∠BCF=180°,∠EDH=∠ADG,∴∠BCF=∠EDH=∠ADG.在△ADG和△BCF中, ∴△ADG≌△BCF(AAS),∴AG=BF.
在Rt△ABG和Rt△BAF中, ∴Rt△ABG≌Rt△BAF(HL),∴∠FAB=∠GBA.又由(2)知∠FAB=∠GBA= ∠E=30°,∴∠AHG=∠HAB+∠HBA=60°,∴∠GAH=30°.设GH=x(x>0),则AG= x,AH=2x,∴AB=2AG=2 x=6,∴x= ,∴AH=2 .∵∠DAH=∠CAE,∠DHA=∠E=60°,∴△ADH∽△ACE,∴ = = = .
11.(2020上海青浦二模,23)如图,在平行四边形ABCD中,BE、DF分别是平行四边形的两个外角的平分 线,∠EAF= ∠BAD,AE、AF分别交两条外角平分线于点E、F.(1)求证:△ABE∽△FDA;(2)连接BD、EF,如果DF2=AD·AB,求证:BD=EF. 
证明　(1)∵∠EAF= ∠BAD,∴∠DAF+∠BAE= ∠BAD.∵DF平分∠HDC,∴∠HDF= ∠HDC.又∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠BAD=∠CDH,∴∠HDF=∠DAF+∠BAE,又∵∠HDF=∠DAF+∠AFD,∴∠BAE=∠AFD.同理,∠DAF=∠AEB,∴△ABE∽△FDA.(2)作AP平分∠DAB交CD于点P,