2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§3.5　二次函数的综合应用

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中考数学
§3.5　二次函数的综合应用
考点一　抛物线与线段长、面积、角度
1.(2020新疆,23,13分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与△OAB的边分别交于M,N两点,将△AMN以直线MN为对称轴翻折,得到△A'MN.设点P的纵坐标为m.①当△A'MN在△OAB内部时,求m的取值范围;②是否存在点P,使S△A'MN= S△OA'B?若存在,求出满足条件的m的值;若不存在,请说明理由. 
解析　(1)过点A作AD⊥y轴,垂足为点D,过点B作BE⊥x轴,垂足为点E.则∠ODA=∠OEB=90°,由旋转的性质可得OA=OB,∠AOB=90°,∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°,∴∠AOD=∠BOE, 在△AOD和△BOE中, ∴△AOD≌△BOE(AAS),∴OD=OE,AD=BE,
∵A(1,3),∴BE=AD=1,OD=OE=3,∴点B的坐标为(3,-1),∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),∴y=a(x-1)2+3,把B(3,-1)代入,解得a=-1,∴y=-(x-1)2+3,∴y=-x2+2x+2.(2)①抛物线的对称轴为x=1,A(1,3),P(1,m),根据翻折可知AP=A'P,则A'(1,2m-3),由B(3,-1)可求得直线OB的解析式为y=- x,则C ,∴- 0),得点D的坐标为(0,m2-5m+6),根据Rt△POD与Rt△AOB相似,分两种情况列出比例式,求出m的值,进而得出点P的坐标.
4.(2019新疆,23,13分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)将(1)中的抛物线向下平移 个单位长度,再向左平移h(h>0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点D'在△ABC内,求h的取值范围;(3)点P为线段BC上一动点(点P不与点B,C重合),过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q,当△PQC与△ABC相似时,求△PQC的面积.
解析　(1)把A(-1,0),B(4,0),C(0,4)代入y=ax2+bx+c中,得 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4. (3分)∵y=- +4=- + ,∴顶点D的坐标是 . (4分)(2)将抛物线y=- + 向下平移 个单位长度,再向左平移h(h>0)个单位长度得抛物线y'= + .∴新抛物线的顶点D'的坐标是 . (6分)
由题意得,直线BC的解析式为y=-x+4,直线AC的解析式为y=4x+4,当顶点 在直线BC上时, =- +4,解得h=0.当顶点 在直线AC上时, =4 +4,解得h= .∵新抛物线的顶点D'在△ABC内,∴h的取值范围是045°,∴点P与点B是对应点.①当△ABC∽△CPQ时, = ,∴ = .∴m=0(舍)或m= .∴PQ= ,∴S△PQC= × × = . (11分)②当△ABC∽△QPC时, = ,∴ = ,
∴m=0(舍)或m= .∴PQ= ,∴S△PQC= × × = .综上所述,△PQC的面积为 或 . (13分)
考点四　二次函数在实际生活(生产)中的应用
1.(2020山西,9,3分)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为 (　　)A.23.5 m　　B.22.5 m　　C.21.5 m　　D.20.5 m
2.(2020辽宁营口,24,12分)某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市场行情,现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元),每天的销售量为y(瓶).(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元?
解析　(1)y=80+20× , (3分)∴y=-40x+880(x≥16). (4分)(2)设每天的销售利润为w元, (5分)w=(-40x+880)(x-16) (7分)=-40(x-19)2+360. (8分)∵a=-4070,∵-23,∴n=5,∴y=52-2×5-3=12,∴点P的坐标为(5,12). (12分)
思路分析　(1)用待定系数法可求出b、c的值;(2)运用轴对称及三角形相似可求得点F的坐标;(3)求出直线BC的解析式,设出点P,点E的坐标,再分别表示线段PE,DE的长,将题中的距离关系转化为三角形的面积关系,可得S△BEP=5S△BED,进而得出PE=5DE,解方程求出点P的坐标.
2.(2020云南昆明,22,8分)如图,两条抛物线y1=-x2+4,y2=- x2+bx+c相交于A,B两点,点A在x轴负半轴上,且为抛物线y2的最高点.(1)求抛物线y2的解析式和点B的坐标;(2)点C是抛物线y1上A,B之间的一点,过点C作x轴的垂线交抛物线y2于点D,当线段CD取最大值时,求S△BCD. 
解析　(1)解法一:当y1=0时,即-x2+4=0,解得x=±2,∵点A在x轴负半轴上,∴A(-2,0), (1分)∵y2=- x2+bx+c的最高点为A(-2,0),∴ 解得  (2分)∴抛物线y2的解析式为y2=- x2- x- . (3分)当y1=y2时,即-x2+4=- x2- x- ,解得x1=3,x2=-2(舍去). (4分)∴当x=3时,y=-32+4=-5,∴B(3,-5). (5分)
解法二:当y1=0时,即-x2+4=0,解得x=±2,∵点A在x轴负半轴上,∴A(-2,0), (1分)∵y2=- x2+bx+c的最高点为A(-2,0),∴抛物线y2的解析式为y2=- (x+2)2,即y2=- x2- x- . (3分)当y1=y2时,即-x2+4=- x2- x- ,解得x1=3,x2=-2(舍去). (4分)∴当x=3时,y=-32+4=-5,∴B(3,-5). (5分)
(2)如图,设点C(m,-m2+4),则点D ,∵点C是抛物线y1上A,B之间的一点,∴-20),∴点M的坐标为 .利用待定系数法可求出直线BB'的解析式为y=x-2;直线BM的解析式为y=- x+ ;直线B'M的解析式为y= x- .
分三种情况考虑:当直线l∥BB'且过线段CM的中点N 时,直线l的解析式为y=x- m-2;当直线l∥BM且过点C时,直线l的解析式为y=- x-2;当直线l∥B'M且过点C时,直线l的解析式为y= x-2.综上所述,直线l的解析式为y=x- m-2或y=- x-2或y= x-2.
6.(2018辽宁沈阳,25,12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和点B(-1,-1),抛物线C2:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.(1)求抛物线C1的表达式;(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长;(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值;(4)在(3)的条件下,设抛物线C1与y轴交于点P,点M在y轴右侧的抛物线C2上,连接AM交y轴于点K,连接KN,在平面内有一点Q,连接KQ和QN.当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时,请直接写出点Q的坐标.
　　　　　　　　　　　　备用图1　　　　　备用图2
解析　(1)∵抛物线C1:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和B(-1,-1),∴ 解得 ∴抛物线C1的表达式为y=x2+x-1.(2)MN=t2+2.(3)共分两种情况:①当∠ANM=90°,AN=MN时,依题意得N(t,t2+t-1),A(-2,1),∴AN=t-(-2)=t+2,由(2)得MN=t2+2,∴t+2=t2+2,解得t1=0,t2=1,∵t=0时,∠AMN=90°,不符合题意,舍去,∴t=1.②当∠AMN=90°,AM=MN时,依题意得M(t,2t2+t+1),A(-2,1),∴AM=t-(-2)=t+2,由(2)得MN=t2+2,
∴t+2=t2+2,∴t3=0,t4=1,∵t=1时,∠ANM=90°,不符合题意,舍去,∴t=0,综上所述,t的值为0或1.(4)(0,2),(-1,3), , .详解:如图1,在(3)的条件下,由点M在y轴右侧的抛物线C2上,可得t=1,∴M(1,4),N(1,1),P(0,-1).易知直线AM的解析式为y=x+3,则K(0,3).∴PB=KQ=1,PN=KN= . 
图1
①如图2,分别过点P、K作PF⊥MN于F,KE⊥MN于E,可得E(1,3),F(1,-1),进一步得到KE=PF,NE=NF,于是△KEN≌△PFN,∴∠KNE=∠PNF,由坐标可知B、P、F三点共线.若Q1在EK的延长线上且∠Q1NE=∠BNF,则△Q1NE≌△BNF,此时Q1E=BF,即Q1K=1,且∠Q1NK=∠BNP,∴Q1(-1,3). 图2②由①得Q1E=2=EN,∠Q1EN=90°,∴∠EQ1N=45°,若Q2为Q1N与y轴的交点,则Q2K=Q1K=1,且∠Q2NK=∠BNP,∴Q2(0,2).③如图3,作点Q1、Q2关于直线KN的对称点Q3、Q4,则Q3K=Q4K=1,且∠Q3NK=∠BNP、∠Q4NK=∠BNP,连
接Q1Q3,设Q3(a,b),则Q1Q3的中点H 在直线KN:y=-2x+3上,∴2a+b=5.又Q1Q3⊥KN,∴∠KQ1Q3与∠KNA互余,∴tan∠KQ1Q3= = ,即 = ,∴a-2b=-7.解方程组 得 ∴Q3 .④同③可得Q4点坐标为 .
 图3
7.(2018福建,25,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2).(1)若点(- ,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x1