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2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§2.2 一元二次方程
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这是一份2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§2.2 一元二次方程，共21页。
考点一 一元二次方程及其解法
1.(2019甘肃兰州,5,4分)x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b= ( )A.-2 B.-3 C.4 D.-6
答案 A 将x=1代入方程可得1+a+2b=0,即a+2b=-1,∴2a+4b=2(a+2b)=-2,故选A.
2.(2019山西,8,3分)一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为 ( )A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5
答案 D x2-4x-1=0,(x2-4x+4)-4-1=0,(x-2)2=5,故选D.
3.(2020江西,8,3分)若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为x=1,则这个一元二次方程的另一个根为 .
解析 将x=1代入方程可得k=-1,∴一元二次方程为x2+x-2=0,解得x1=-2,x2=1,∴另一个根为x=-2.
4.(2020黑龙江齐齐哈尔,19,5分)解方程:x2-5x+6=0.
解析 x2-5x-6=0,(x-2)(x-3)=0.∴x1=2,x2=3.(公式法、配方法均可)
5.(2019内蒙古呼和浩特,19,6分)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根.
考点二 根的判别式、根与系数之间的关系
1.(2020广西北部湾经济区,6,3分)一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是 ( )A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定
答案 B Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,因此该一元二次方程有两个相等的实数根,故选B.
2.(2019湖北黄冈,4,3分)若x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根,则x1·x2的值为 ( )A.-5 B.5 C.-4 D.4
答案 A 由根与系数的关系可得x1x2=-5,故选A.
3.(2019新疆,6,5分)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 ( )A.k≤ B.k> C.k< 且k≠1 D.k≤ 且k≠1
4.(2019内蒙古呼和浩特,8,3分)若x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,则 -4 +17的值为 ( )A.-2 B.6 C.-4 D.4
5.(2020四川成都,22,4分)关于x的一元二次方程2x2-4x+m- =0有实数根,则实数m的取值范围是 .
6.(2019江西,9,3分)设x1,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根,则x1+x2+x1x2= .
7.(2019四川成都,22,4分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根,且 + -x1x2=13,则k的值为 .
易错警示 运用根与系数的关系求一元二次方程中参数的值,需要用根的判别式进行验证,否则会错解 失分.
8.(2018江西,11,3分)一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则 -4x1+2x1x2的值为 .
9.(2020四川南充,20,10分)已知x1,x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根.(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使得等式 + =k-2成立?如果存在,请求出k的值;如果不存在,请说明理由.
考点三 一元二次方程的应用
1.(2020河南,8,3分)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业 务收入由5 000亿元增加到7 500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列 方程为( )A.5 000(1+2x)=7 500B.5 000×2(1+x)=7 500C.5 000(1+x)2=7 500D.5 000+5 000(1+x)+5 000(1+x)2=7 500
答案 C 由题意知,我国2019年的快递业务收入为5 000(1+x)2亿元,所以可列方程为5 000(1+x)2=7 500. 故选C.
2.(2019新疆,7,5分)在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设有x个队参赛, 根据题意,可列方程为 ( )A. x(x-1)=36 B. x(x+1)=36C.x(x-1)=36 D.x(x+1)=36
3.(2018新疆乌鲁木齐,9,4分)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每 间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元 的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x元,则有 ( )A.(180+x-20) =10 890B.(x-20) =10 890C.x -50×20=10 890D.(x+180) -50×20=10 890
4.(2019山西,13,3分)如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条 道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据 题意,可列方程为 .
答案 (12-x)(8-x)=77(或x2-20x+19=0)
解析 由题意得(12-x)(8-x)=77,变形可得x2-20x+19=0.
思路分析 把两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的部分为一个长方形,根据长方形的 面积公式列出方程.
5.(2018辽宁沈阳,21,8分)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进生产技术,生产成本逐月下 降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率;(2)请你预测4月份该公司的生产成本.
1.(2018贵州铜仁,3,4分)关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解为 ( )A.x1=-1,x2=3 B.x1=1,x2=-3C.x1=1,x2=3 D.x1=-1,x2=-3
答案 C 方程x2-4x+3=0可化为(x-1)(x-3)=0,∴这个一元二次方程的两个根分别为x1=1,x2=3.故选C.
2.(2018江苏扬州,12,3分)若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2 015的值为 .
解析 由题意可知2m2-3m-1=0,∴2m2-3m=1,∴原式=3(2m2-3m)+2 015=3×1+2 015=2 018.故答案为2 018.
3.(2020江苏南京,18,7分)解方程x2-2x-3=0.
解析 移项,得x2-2x=3,配方,得x2-2x+(-1)2=3+(-1)2,∴(x-1)2=4,由此可得x-1=±2,∴x1=3,x2=-1.
4.(2019安徽,15,8分)解方程:(x-1)2=4.
解析 因为(x-1)2=4,所以x-1=2或x-1=-2,即x=3或x=-1.所以原方程的解为x1=3,x2=-1. (8分)
5.(2018甘肃兰州,18,5分)解方程:3x2-2x-2=0.
1.(2020新疆,5,5分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是 ( )A.x2-x+ =0 B.x2+2x+4=0C.x2-x+2=0 D.x2-2x=0
2.(2020河南,7,3分)定义运算:m☆n=mn2-mn-1.例如:4☆2=4×22-4×2-1=7.则方程1☆x=0的根的情况为 ( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根
答案 A 由题意知,1☆x=x2-x-1=0,∵a=1,b=-1,c=-1,∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=5>0,∴方程x2-x-1=0有两个不相等的实数根,故选A.
3.(2019广东,9,3分)已知x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根,下列结论错误的是 ( )A.x1≠x2 B. -2x1=0C.x1+x2=2 D.x1·x2=2
4.(2019河南,6,3分)一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是 ( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根
答案 A 将一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3整理得,x2-2x-4=0,Δ=b2-4ac=20>0,所以此一元二次方程有两 个不相等的实数根,故选A.
5.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=- 1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( )A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根
答案 A 只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以原方 程的c值应该为5,原方程为x2+4x+5=0,Δ=42-4×1×5=-4<0,所以原方程不存在实数根,故选A.
6.(2019广东广州,10,3分)关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x 2=-3,则k的值为 ( )A.0或2 B.-2或2 C.-2 D.2
答案 D ∵x1,x2是一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0的两个实数根,∴x1+x2=k-1,x1x2=-k+2,∵(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=(x1-x2)2-4+2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2-4=-3,∴(k-1)2-2(-k+2)-4=-3,即k2=4,解得k=±2.当k=-2时,方程为x2+3x+4=0,Δ=32-4×1×4=9-16<0,此时方程没有实数根;当k=2时,方程为x2-x=0,Δ=1>0,此时方程有两个实数根,∴k=2,故选D.
7.(2018内蒙古包头,9,3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的 根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为 ( )A.6 B.5 C.4 D.3
答案 B ∵关于x的方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,∴Δ=b2-4ac=4-4(m-2)≥0,∴m≤3.∵m为正整数,∴m=1或2或3.当m=1时,方程x2+2x-1=0的两根不是整数,不满足题意.当m=2或3时,满足题意,2+3=5.故选B.
8.(2018湖北咸宁,6,3分)已知一元二次方程2x2+2x-1=0的两个根为x1,x2且x1
解析 ∵a=1,b=3,c=-1,∴Δ=b2-4ac=32-4×1×(-1)=13.
10.(2020云南,5,3分)若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,则实数c的值为 .
解析 因为关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,所以Δ=b2-4ac=4-4c=0,所以c=1.
11.(2018北京,20,5分)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.
解析 (1)依题意,得Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0.故方程有两个不相等的实数根.(2)由题意可知,a≠0,Δ=b2-4a=0.答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0,∴(x+1)2=0,∴x1=x2=-1.
1.(2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2- 12x+m+2=0的两根,则m的值是 ( )A.34 或34 D.30或36
易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形.
2.(2018江苏盐城,23,10分)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增 加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低 1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天销售数量为 件;(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1 200元?
解析 (1)26.(2)设每件商品降价x元,则每件盈利(40-x)元,平均每天销售数量为(20+2x)件,由题意得(40-x)(20+2x)=1 200,解得x1=10,x2=20,当x=10时,40-x=40-10=30>25,当x=20时,40-x=40-20=20<25,不符合题意,舍去.答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1 200元.
思路分析 (1)根据“销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件”这个已知条件便可得出降价3元可多 售出的件数,在原销量的基础上加上多售出的件数便可求出现在的销量;(2)抓住“总利润=单件利润×销 量”这个等量关系列方程并解之即可.
3.(2019江苏南京,25,8分)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长50 m,宽40 m,要求扩充后的 矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地 砖,铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用为642 000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?
解析 设扩充后广场的长为3x m,宽为2x m.根据题意,得3x· 2x·100+30(3x·2x-50×40)=642 000.解得x1=30,x2=-30(不合题意,舍去).所以3x=90,2x=60.答:扩充后广场的长和宽应分别为90 m和60 m. (8分)
4.(2019广东广州,21,12分)随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略 性新兴产业.据统计,目前广东5G基站的数量约为1.5万座,计划到2020年年底,全省5G基站数量是目前的 4倍;到2022年年底,全省5G基站数量将达到17.34万座.(1)计划到2020年年底,全省5G基站的数量是多少万座?(2)按照计划,求2020年年底至2022年年底,全省5G基站数量的年平均增长率.
解析 (1)1.5×4=6(万座).答:计划到2020年年底,全省5G基站的数量是6万座.(2)设从2020年年底至2022年年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x.由题意可得6(1+x)2=17.34,解得x 1=0.7=70%,x2=-2.7(舍去).答:从2020年年底至2022年年底,全省5G基站数量的年平均增长率为70%.
5.(2019重庆A卷,24,10分)某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅,50平方米住宅套数是80平 方米住宅套数的2倍.物管公司每月底按每平方米2元收取当月物管费,该小区全部住宅都入住且每户均 按时全额缴纳物管费.(1)该小区每月可收取物管费90 000元,问该小区共有多少套80平方米的住宅?(2)为建设“资源节约型社会”,该小区物管公司5月初推出活动一:“垃圾分类送礼物”,50平方米和80 平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动.为提高大家的积极性,6月份准备把活动一升级为活动 二:“垃圾分类抵扣物管费”,同时终止活动一.经调查与测算,参加活动一的住户会全部参加活动二,参 加活动二的住户会大幅增加,这样,6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数 的基础上将增加2a%,每户物管费将会减少 a%;6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%,每户物管费将会减少 a%.这样,参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 a%,求a的值.
解析 (1)设该小区共有x套80平方米的住宅,则有2x套50平方米的住宅,根据题意,得2×80x+2×50×2x=90 000,解这个方程,得x=250.答:该小区共有250套80平方米的住宅. (4分)(2)6月份参加活动的50平方米这部分住户将减少的物管费是500×40%(1+2a%)×50×2× a%=20 000(1+2a%)× a%(元),6月份参加活动的80平方米这部分住户将减少的物管费是250×20%(1+6a%)×80×2× a%=8 000(1+6a%)× a%(元),6月份参加活动的这部分住户将减少的物管费是[500×40%(1+2a%)×50×2+250×20%(1+6a%)×80×2]× a%(元),即[20 000(1+2a%)+8 000(1+6a%)]× a%(元).
根据题意,得20 000(1+2a%)× a%+8 000(1+6a%)× a%=[20 000(1+2a%)+8 000(1+6a%)]× a%. (8分)设a%=m,化简,得2m2-m=0.解这个方程,得m1= ,m2=0(舍).∴a=50.答:a的值是50. (10分)
解题关键 本题数据较多,分清楚题目中的数量关系,根据等量关系列出方程是解题的关键.
6.(2018重庆A卷,23,10分)在美丽乡村建设中,某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.(1)原计划今年1至5月,村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米,其中道路硬化的里程数至少是道路 拓宽的里程数的4倍,那么,原计划今年1至5月,道路硬化的里程数至少是多少千米?(2)到今年5月底,道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成,且道路硬化的里程数正好是原计划 的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米,每千米的道路 硬化和道路拓宽的经费之比为1∶2,且里程数之比为2∶1.为加快美丽乡村建设,政府决定加大投入.经测 算:从今年6月起至年底,如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%(a>0),并全部用于道路硬化和道 路拓宽,而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%,5a%,那么道路硬化和道 路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值.
解析 (1)设今年1至5月道路硬化的里程数为x千米,根据题意,得x≥4(50-x). (2分)解得x≥40.答:今年1至5月道路硬化的里程数至少为40千米. (4分)(2)因为2017年道路硬化与道路拓宽的里程数共45千米,它们的里程数之比为2∶1,所以,道路硬化的里程 数为30千米,道路拓宽的里程数为15千米.设2017年道路硬化每千米的经费为y万元,则道路拓宽每千米的经费为2y万元.由题意,得30y+15×2y=780,解得y=13.所以,2017年每千米道路硬化的经费为13万元,每千米道路拓宽的经费为26万元. (5分)根据题意,得13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%). (8分)令a%=t,原方程可化为520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t).整理得10t2-t=0.
解得t1=0,t2=0.1.∴a%=0(舍去)或a%=0.1.∴a=10.答:a的值是10. (10分)
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟 分值:50分一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2020甘肃兰州一诊,7)用配方法解方程x2+2x-3=0,下列配方结果正确的是 ( )A.(x-1)2=2 B.(x-1)2=4C.(x+1)2=2 D.(x+1)2=4
答案 D ∵x2+2x-3=0,∴x2+2x=3,∴x2+2x+1=1+3,∴(x+1)2=4,故选D.
2.(2020上海青浦二模,4)下列方程中,没有实数根的是 ( )A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0
答案 D A.Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,方程有两个不相等的实数根,所以A选项不符合题意;B.Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,方程有两个不相等的实数根,所以B选项不符合题意;C.Δ=(-2)2-4×1×1=0,方程有两个相等的实数根,所以C选项不符合题意;D.Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,方程没有实数根,所以D选项符合题意.故选D.
3.(2019新疆乌鲁木齐高新区一模,6)已知关于x的一元二次方程2x2-kx+3=0有两个相等的实根,则k的值为 ( )A.±2 B.± C.2或3 D. 或
4.(2020湖北荆州松滋一模,5)某公司今年4月的营业额为2 800万元,按计划第二季度的总营业额达到9 80 0万元,设该公司5月、6月的营业额的月平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是 ( )A.2 800(1+x)2=9 800B.2 800(1+x%)2=9 800C.2 800(1+x)+2 800(1+x)2=9 800D.2 800+2 800(1+x)+2 800(1+x)2=9 800
答案 D 该公司5月、6月的营业额的月平均增长率为x,依题意,得2 800+2 800(1+x)+2 800(1+x)2=9 80 0.故选D.
二、填空题(每小题3分,共6分)5.(2020吉林长春一模,11)关于x的方程2x2-3x-k=0有两个相等的实数根,则k的值为 .
6.(2020山西晋中平遥一模,11)方程(x-2) =0的解为 .
答案 x=2或x=-0.5
三、解答题(共32分)7.(2019云南曲靖一模,18)解方程:(1)x2-4x+3=0(用配方法求解);(2)(2x-3)2-2x+3=0.
8.(2019四川成都龙泉驿二诊,16)解方程:(1)3x2-8x+4=0;(2)(2x-1)2=(x-3)2.
9.(2020湖北荆州4月模拟,18)若实数m,n满足|m-2|+ =0,请用配方法解关于x的一元二次方程x2+mx+n=0.
10.(2020辽宁大连金州一模,21)向阳村2017年的人均收入为30 000元,2019年的人均收入为36 300元.(1)求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率;(2)假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2020年该村的人均收入 是多少元.
解析 (1)设2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为x,依题意,得30 000(1+x)2=36 300,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).答:2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为10%.(2)36 300×(1+10%)=39 930(元).答:预测2020年该村的人均收入是39 930元.
11.(2018湖北襄阳枣阳模拟,22)已知某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商 场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,则平均每天可多售出2件.设每件商品降价 x元.据此规律,请回答:(1)该商品的日销售量增加 件,每件商品盈利 元(用含x的代数式表示);(2)在上述条件不变、销售正常的情况下,每件商品降价多少元时,销售该商品的日盈利可达到2 100元?
解析 (1)由“每件商品每降价1元,则平均每天可多售出2件”知,每件商品降价x元,则日销售量增加2x 件,每件商品盈利(50-x)元,故答案为2x;(50-x).(2)由题意得(50-x)(30+2x)=2 100(0≤x<50),化简得x2-35x+300=0,即(x-15)(x-20)=0,解得x1=15,x2=20.∵为了尽快减少该商品的库存,∴日销售量应尽量高一些,∴x=20.答:每件商品降价20元时,销售该商品的日盈利可达到2 100元.
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟 分值:50分一、选择题(每小题3分,共15分)1.(2020江西南昌二模,5)已知矩形的长和宽是方程x2-7x+8=0的两个实数根,则矩形的对角线的长为 ( )A.6 B.7 C. D.
2.(2020四川巴中5月模拟,8)已知m,n是方程x2-2x-1=0的两根,且(7m2-14m+a)(3n2-5n+m)=10,则a的值是 ( )A.-5 B.5 C.-9 D.9
答案 A ∵m,n是方程x2-2x-1=0的两根,∴m2-2m=1,n2-2n=1,m+n=2.∴(7m2-14m+a)(3n2-5n+m)=10,即(7+a)(3+2)=10,∴a=-5.故选A.
3.(2020广东广州一模,9)已知α,β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根,则α2+αβ+β2的值为 ( )A.-1 B.9 C.23 D.27
答案 D ∵α,β是方程x2-5x-2=0的两个实数根,∴α+β=5,αβ=-2,∴α2+αβ+β2=(α+β)2-αβ=52+2=27.故选D.
4.(2019甘肃定西一诊,7)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是 ( )A.k≤5 B.k≤5且k≠1C.k<5且k≠1 D.k<5
5.(2019云南曲靖一模,8)为把我市创建成全国文明城市,某社区积极响应市政府号召,准备在一块正方形 的空地上划出部分区域栽种鲜花,如图中的阴影“ ”带,鲜花带一边宽1 m,另一边宽2 m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长x m,可列方程为 ( )A.(x-1)(x-2)=18 B.x2-3x+16=0C.(x+1)(x+2)=18 D.x2+3x+16=0
答案 A 因为原正方形空地的边长为x m,所以空白部分相邻两边长分别是(x-1)m,(x-2)m,根据空白部 分面积为18 m2可得(x-1)(x-2)=18,故选A.
二、填空题(每小题3分,共15分)6.(2020江西南昌一模,10)已知α、β是方程x2-2x-3=0的两个实数根,则α2-3α-αβ的值为 .
解析 ∵α、β是方程x2-2x-3=0的两个实数根,∴α2-2α=3,αβ=-3,∴α2-3α-αβ=α2-2α-α-αβ=3-α-(-3)=6-α.x2-2x-3=0即(x-1)2=4,解得x1=-1,x2=3,∴α=3或-1,∴6-α=3或7.
7.(2020四川成都龙泉驿三诊,21)已知方程3x2-5x-1=0的两个根分别是x1,x2,则(x1-x2)2= .
8.(2019上海金山二模,12)已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个根是x=1,那么这个方程的另一个根 是 .
解析 设关于x的一元二次方程x2+x+m=0的另一个实数根是α,∵关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个 实数根为1,∴α+1=-1,∴α=-2.
9.(2019四川成都武侯模拟,21)已知m、n是一元二次方程x2+4x-1=0的两实数根,则 + = .
10.(2018贵州黔南州一模,15)若关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,则a满足 .
解析 (1)当a-5=0,即a=5时,方程变为-4x-1=0,此时方程一定有实数根;(2)当a-5≠0,即a≠5时,该方程为关于x的一元二次方程,∵关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,∴16+4(a-5)≥0,解得a≥1,∴a≥1,且a≠5.综上,a≥1.
三、解答题(共20分)11.(2020四川成都青白江一诊,16)已知2+ 是方程x2-4x+c=0的一个实根,求方程的另一个实根及c的值.
考点一 一元二次方程及其解法
1.(2019甘肃兰州,5,4分)x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解,则2a+4b= ( )A.-2 B.-3 C.4 D.-6
答案 A 将x=1代入方程可得1+a+2b=0,即a+2b=-1,∴2a+4b=2(a+2b)=-2,故选A.
2.(2019山西,8,3分)一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为 ( )A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5
答案 D x2-4x-1=0,(x2-4x+4)-4-1=0,(x-2)2=5,故选D.
3.(2020江西,8,3分)若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为x=1,则这个一元二次方程的另一个根为 .
解析 将x=1代入方程可得k=-1,∴一元二次方程为x2+x-2=0,解得x1=-2,x2=1,∴另一个根为x=-2.
4.(2020黑龙江齐齐哈尔,19,5分)解方程:x2-5x+6=0.
解析 x2-5x-6=0,(x-2)(x-3)=0.∴x1=2,x2=3.(公式法、配方法均可)
5.(2019内蒙古呼和浩特,19,6分)用配方法求一元二次方程(2x+3)(x-6)=16的实数根.
考点二 根的判别式、根与系数之间的关系
1.(2020广西北部湾经济区,6,3分)一元二次方程x2-2x+1=0的根的情况是 ( )A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定
答案 B Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×1=0,因此该一元二次方程有两个相等的实数根,故选B.
2.(2019湖北黄冈,4,3分)若x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两根,则x1·x2的值为 ( )A.-5 B.5 C.-4 D.4
答案 A 由根与系数的关系可得x1x2=-5,故选A.
3.(2019新疆,6,5分)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是 ( )A.k≤ B.k> C.k< 且k≠1 D.k≤ 且k≠1
4.(2019内蒙古呼和浩特,8,3分)若x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,则 -4 +17的值为 ( )A.-2 B.6 C.-4 D.4
5.(2020四川成都,22,4分)关于x的一元二次方程2x2-4x+m- =0有实数根,则实数m的取值范围是 .
6.(2019江西,9,3分)设x1,x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根,则x1+x2+x1x2= .
7.(2019四川成都,22,4分)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0的两个实数根,且 + -x1x2=13,则k的值为 .
易错警示 运用根与系数的关系求一元二次方程中参数的值,需要用根的判别式进行验证,否则会错解 失分.
8.(2018江西,11,3分)一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则 -4x1+2x1x2的值为 .
9.(2020四川南充,20,10分)已知x1,x2是一元二次方程x2-2x+k+2=0的两个实数根.(1)求k的取值范围;(2)是否存在实数k,使得等式 + =k-2成立?如果存在,请求出k的值;如果不存在,请说明理由.
考点三 一元二次方程的应用
1.(2020河南,8,3分)国家统计局统计数据显示,我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业 务收入由5 000亿元增加到7 500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x,则可列 方程为( )A.5 000(1+2x)=7 500B.5 000×2(1+x)=7 500C.5 000(1+x)2=7 500D.5 000+5 000(1+x)+5 000(1+x)2=7 500
答案 C 由题意知,我国2019年的快递业务收入为5 000(1+x)2亿元,所以可列方程为5 000(1+x)2=7 500. 故选C.
2.(2019新疆,7,5分)在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设有x个队参赛, 根据题意,可列方程为 ( )A. x(x-1)=36 B. x(x+1)=36C.x(x-1)=36 D.x(x+1)=36
3.(2018新疆乌鲁木齐,9,4分)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每 间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的每间房每天支出20元 的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x元,则有 ( )A.(180+x-20) =10 890B.(x-20) =10 890C.x -50×20=10 890D.(x+180) -50×20=10 890
4.(2019山西,13,3分)如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条 道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据 题意,可列方程为 .
答案 (12-x)(8-x)=77(或x2-20x+19=0)
解析 由题意得(12-x)(8-x)=77,变形可得x2-20x+19=0.
思路分析 把两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的部分为一个长方形,根据长方形的 面积公式列出方程.
5.(2018辽宁沈阳,21,8分)某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进生产技术,生产成本逐月下 降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.(1)求每个月生产成本的下降率;(2)请你预测4月份该公司的生产成本.
1.(2018贵州铜仁,3,4分)关于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解为 ( )A.x1=-1,x2=3 B.x1=1,x2=-3C.x1=1,x2=3 D.x1=-1,x2=-3
答案 C 方程x2-4x+3=0可化为(x-1)(x-3)=0,∴这个一元二次方程的两个根分别为x1=1,x2=3.故选C.
2.(2018江苏扬州,12,3分)若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2 015的值为 .
解析 由题意可知2m2-3m-1=0,∴2m2-3m=1,∴原式=3(2m2-3m)+2 015=3×1+2 015=2 018.故答案为2 018.
3.(2020江苏南京,18,7分)解方程x2-2x-3=0.
解析 移项,得x2-2x=3,配方,得x2-2x+(-1)2=3+(-1)2,∴(x-1)2=4,由此可得x-1=±2,∴x1=3,x2=-1.
4.(2019安徽,15,8分)解方程:(x-1)2=4.
解析 因为(x-1)2=4,所以x-1=2或x-1=-2,即x=3或x=-1.所以原方程的解为x1=3,x2=-1. (8分)
5.(2018甘肃兰州,18,5分)解方程:3x2-2x-2=0.
1.(2020新疆,5,5分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是 ( )A.x2-x+ =0 B.x2+2x+4=0C.x2-x+2=0 D.x2-2x=0
2.(2020河南,7,3分)定义运算:m☆n=mn2-mn-1.例如:4☆2=4×22-4×2-1=7.则方程1☆x=0的根的情况为 ( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根
答案 A 由题意知,1☆x=x2-x-1=0,∵a=1,b=-1,c=-1,∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=5>0,∴方程x2-x-1=0有两个不相等的实数根,故选A.
3.(2019广东,9,3分)已知x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根,下列结论错误的是 ( )A.x1≠x2 B. -2x1=0C.x1+x2=2 D.x1·x2=2
4.(2019河南,6,3分)一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是 ( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根
答案 A 将一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3整理得,x2-2x-4=0,Δ=b2-4ac=20>0,所以此一元二次方程有两 个不相等的实数根,故选A.
5.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=- 1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( )A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根
答案 A 只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以原方 程的c值应该为5,原方程为x2+4x+5=0,Δ=42-4×1×5=-4<0,所以原方程不存在实数根,故选A.
6.(2019广东广州,10,3分)关于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有两个实数根x1,x2,若(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x 2=-3,则k的值为 ( )A.0或2 B.-2或2 C.-2 D.2
答案 D ∵x1,x2是一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0的两个实数根,∴x1+x2=k-1,x1x2=-k+2,∵(x1-x2+2)(x1-x2-2)+2x1x2=(x1-x2)2-4+2x1x2=(x1+x2)2-2x1x2-4=-3,∴(k-1)2-2(-k+2)-4=-3,即k2=4,解得k=±2.当k=-2时,方程为x2+3x+4=0,Δ=32-4×1×4=9-16<0,此时方程没有实数根;当k=2时,方程为x2-x=0,Δ=1>0,此时方程有两个实数根,∴k=2,故选D.
7.(2018内蒙古包头,9,3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的 根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为 ( )A.6 B.5 C.4 D.3
答案 B ∵关于x的方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,∴Δ=b2-4ac=4-4(m-2)≥0,∴m≤3.∵m为正整数,∴m=1或2或3.当m=1时,方程x2+2x-1=0的两根不是整数,不满足题意.当m=2或3时,满足题意,2+3=5.故选B.
8.(2018湖北咸宁,6,3分)已知一元二次方程2x2+2x-1=0的两个根为x1,x2且x1
解析 ∵a=1,b=3,c=-1,∴Δ=b2-4ac=32-4×1×(-1)=13.
10.(2020云南,5,3分)若关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,则实数c的值为 .
解析 因为关于x的一元二次方程x2+2x+c=0有两个相等的实数根,所以Δ=b2-4ac=4-4c=0,所以c=1.
11.(2018北京,20,5分)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.
解析 (1)依题意,得Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0.故方程有两个不相等的实数根.(2)由题意可知,a≠0,Δ=b2-4a=0.答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0,∴(x+1)2=0,∴x1=x2=-1.
1.(2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2- 12x+m+2=0的两根,则m的值是 ( )A.34 或34 D.30或36
易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形.
2.(2018江苏盐城,23,10分)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增 加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低 1元,平均每天可多售出2件.(1)若降价3元,则平均每天销售数量为 件;(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1 200元?
解析 (1)26.(2)设每件商品降价x元,则每件盈利(40-x)元,平均每天销售数量为(20+2x)件,由题意得(40-x)(20+2x)=1 200,解得x1=10,x2=20,当x=10时,40-x=40-10=30>25,当x=20时,40-x=40-20=20<25,不符合题意,舍去.答:当每件商品降价10元时,该商店每天销售利润为1 200元.
思路分析 (1)根据“销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件”这个已知条件便可得出降价3元可多 售出的件数,在原销量的基础上加上多售出的件数便可求出现在的销量;(2)抓住“总利润=单件利润×销 量”这个等量关系列方程并解之即可.
3.(2019江苏南京,25,8分)某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图,原广场长50 m,宽40 m,要求扩充后的 矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米30元,扩建后在原广场和扩充区域都铺设地 砖,铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用为642 000元,扩充后广场的长和宽应分别是多少米?
解析 设扩充后广场的长为3x m,宽为2x m.根据题意,得3x· 2x·100+30(3x·2x-50×40)=642 000.解得x1=30,x2=-30(不合题意,舍去).所以3x=90,2x=60.答:扩充后广场的长和宽应分别为90 m和60 m. (8分)
4.(2019广东广州,21,12分)随着粤港澳大湾区建设的加速推进,广东省正加速布局以5G等为代表的战略 性新兴产业.据统计,目前广东5G基站的数量约为1.5万座,计划到2020年年底,全省5G基站数量是目前的 4倍;到2022年年底,全省5G基站数量将达到17.34万座.(1)计划到2020年年底,全省5G基站的数量是多少万座?(2)按照计划,求2020年年底至2022年年底,全省5G基站数量的年平均增长率.
解析 (1)1.5×4=6(万座).答:计划到2020年年底,全省5G基站的数量是6万座.(2)设从2020年年底至2022年年底,全省5G基站数量的年平均增长率为x.由题意可得6(1+x)2=17.34,解得x 1=0.7=70%,x2=-2.7(舍去).答:从2020年年底至2022年年底,全省5G基站数量的年平均增长率为70%.
5.(2019重庆A卷,24,10分)某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅,50平方米住宅套数是80平 方米住宅套数的2倍.物管公司每月底按每平方米2元收取当月物管费,该小区全部住宅都入住且每户均 按时全额缴纳物管费.(1)该小区每月可收取物管费90 000元,问该小区共有多少套80平方米的住宅?(2)为建设“资源节约型社会”,该小区物管公司5月初推出活动一:“垃圾分类送礼物”,50平方米和80 平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动.为提高大家的积极性,6月份准备把活动一升级为活动 二:“垃圾分类抵扣物管费”,同时终止活动一.经调查与测算,参加活动一的住户会全部参加活动二,参 加活动二的住户会大幅增加,这样,6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数 的基础上将增加2a%,每户物管费将会减少 a%;6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%,每户物管费将会减少 a%.这样,参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 a%,求a的值.
解析 (1)设该小区共有x套80平方米的住宅,则有2x套50平方米的住宅,根据题意,得2×80x+2×50×2x=90 000,解这个方程,得x=250.答:该小区共有250套80平方米的住宅. (4分)(2)6月份参加活动的50平方米这部分住户将减少的物管费是500×40%(1+2a%)×50×2× a%=20 000(1+2a%)× a%(元),6月份参加活动的80平方米这部分住户将减少的物管费是250×20%(1+6a%)×80×2× a%=8 000(1+6a%)× a%(元),6月份参加活动的这部分住户将减少的物管费是[500×40%(1+2a%)×50×2+250×20%(1+6a%)×80×2]× a%(元),即[20 000(1+2a%)+8 000(1+6a%)]× a%(元).
根据题意,得20 000(1+2a%)× a%+8 000(1+6a%)× a%=[20 000(1+2a%)+8 000(1+6a%)]× a%. (8分)设a%=m,化简,得2m2-m=0.解这个方程,得m1= ,m2=0(舍).∴a=50.答:a的值是50. (10分)
解题关键 本题数据较多,分清楚题目中的数量关系,根据等量关系列出方程是解题的关键.
6.(2018重庆A卷,23,10分)在美丽乡村建设中,某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.(1)原计划今年1至5月,村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米,其中道路硬化的里程数至少是道路 拓宽的里程数的4倍,那么,原计划今年1至5月,道路硬化的里程数至少是多少千米?(2)到今年5月底,道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成,且道路硬化的里程数正好是原计划 的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米,每千米的道路 硬化和道路拓宽的经费之比为1∶2,且里程数之比为2∶1.为加快美丽乡村建设,政府决定加大投入.经测 算:从今年6月起至年底,如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%(a>0),并全部用于道路硬化和道 路拓宽,而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%,5a%,那么道路硬化和道 路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%,8a%,求a的值.
解析 (1)设今年1至5月道路硬化的里程数为x千米,根据题意,得x≥4(50-x). (2分)解得x≥40.答:今年1至5月道路硬化的里程数至少为40千米. (4分)(2)因为2017年道路硬化与道路拓宽的里程数共45千米,它们的里程数之比为2∶1,所以,道路硬化的里程 数为30千米,道路拓宽的里程数为15千米.设2017年道路硬化每千米的经费为y万元,则道路拓宽每千米的经费为2y万元.由题意,得30y+15×2y=780,解得y=13.所以,2017年每千米道路硬化的经费为13万元,每千米道路拓宽的经费为26万元. (5分)根据题意,得13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%). (8分)令a%=t,原方程可化为520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t).整理得10t2-t=0.
解得t1=0,t2=0.1.∴a%=0(舍去)或a%=0.1.∴a=10.答:a的值是10. (10分)
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟 分值:50分一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2020甘肃兰州一诊,7)用配方法解方程x2+2x-3=0,下列配方结果正确的是 ( )A.(x-1)2=2 B.(x-1)2=4C.(x+1)2=2 D.(x+1)2=4
答案 D ∵x2+2x-3=0,∴x2+2x=3,∴x2+2x+1=1+3,∴(x+1)2=4,故选D.
2.(2020上海青浦二模,4)下列方程中,没有实数根的是 ( )A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0C.x2-2x+1=0 D.x2-2x+2=0
答案 D A.Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,方程有两个不相等的实数根,所以A选项不符合题意;B.Δ=(-2)2-4×1×(-1)=8>0,方程有两个不相等的实数根,所以B选项不符合题意;C.Δ=(-2)2-4×1×1=0,方程有两个相等的实数根,所以C选项不符合题意;D.Δ=(-2)2-4×1×2=-4<0,方程没有实数根,所以D选项符合题意.故选D.
3.(2019新疆乌鲁木齐高新区一模,6)已知关于x的一元二次方程2x2-kx+3=0有两个相等的实根,则k的值为 ( )A.±2 B.± C.2或3 D. 或
4.(2020湖北荆州松滋一模,5)某公司今年4月的营业额为2 800万元,按计划第二季度的总营业额达到9 80 0万元,设该公司5月、6月的营业额的月平均增长率为x,根据题意列方程,则下列方程正确的是 ( )A.2 800(1+x)2=9 800B.2 800(1+x%)2=9 800C.2 800(1+x)+2 800(1+x)2=9 800D.2 800+2 800(1+x)+2 800(1+x)2=9 800
答案 D 该公司5月、6月的营业额的月平均增长率为x,依题意,得2 800+2 800(1+x)+2 800(1+x)2=9 80 0.故选D.
二、填空题(每小题3分,共6分)5.(2020吉林长春一模,11)关于x的方程2x2-3x-k=0有两个相等的实数根,则k的值为 .
6.(2020山西晋中平遥一模,11)方程(x-2) =0的解为 .
答案 x=2或x=-0.5
三、解答题(共32分)7.(2019云南曲靖一模,18)解方程:(1)x2-4x+3=0(用配方法求解);(2)(2x-3)2-2x+3=0.
8.(2019四川成都龙泉驿二诊,16)解方程:(1)3x2-8x+4=0;(2)(2x-1)2=(x-3)2.
9.(2020湖北荆州4月模拟,18)若实数m,n满足|m-2|+ =0,请用配方法解关于x的一元二次方程x2+mx+n=0.
10.(2020辽宁大连金州一模,21)向阳村2017年的人均收入为30 000元,2019年的人均收入为36 300元.(1)求2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率;(2)假设2020年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2020年该村的人均收入 是多少元.
解析 (1)设2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为x,依题意,得30 000(1+x)2=36 300,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).答:2017年到2019年该村人均收入的年平均增长率为10%.(2)36 300×(1+10%)=39 930(元).答:预测2020年该村的人均收入是39 930元.
11.(2018湖北襄阳枣阳模拟,22)已知某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元.为了尽快减少库存,商 场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价1元,则平均每天可多售出2件.设每件商品降价 x元.据此规律,请回答:(1)该商品的日销售量增加 件,每件商品盈利 元(用含x的代数式表示);(2)在上述条件不变、销售正常的情况下,每件商品降价多少元时,销售该商品的日盈利可达到2 100元?
解析 (1)由“每件商品每降价1元,则平均每天可多售出2件”知,每件商品降价x元,则日销售量增加2x 件,每件商品盈利(50-x)元,故答案为2x;(50-x).(2)由题意得(50-x)(30+2x)=2 100(0≤x<50),化简得x2-35x+300=0,即(x-15)(x-20)=0,解得x1=15,x2=20.∵为了尽快减少该商品的库存,∴日销售量应尽量高一些,∴x=20.答:每件商品降价20元时,销售该商品的日盈利可达到2 100元.
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟 分值:50分一、选择题(每小题3分,共15分)1.(2020江西南昌二模,5)已知矩形的长和宽是方程x2-7x+8=0的两个实数根,则矩形的对角线的长为 ( )A.6 B.7 C. D.
2.(2020四川巴中5月模拟,8)已知m,n是方程x2-2x-1=0的两根,且(7m2-14m+a)(3n2-5n+m)=10,则a的值是 ( )A.-5 B.5 C.-9 D.9
答案 A ∵m,n是方程x2-2x-1=0的两根,∴m2-2m=1,n2-2n=1,m+n=2.∴(7m2-14m+a)(3n2-5n+m)=10,即(7+a)(3+2)=10,∴a=-5.故选A.
3.(2020广东广州一模,9)已知α,β是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根,则α2+αβ+β2的值为 ( )A.-1 B.9 C.23 D.27
答案 D ∵α,β是方程x2-5x-2=0的两个实数根,∴α+β=5,αβ=-2,∴α2+αβ+β2=(α+β)2-αβ=52+2=27.故选D.
4.(2019甘肃定西一诊,7)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是 ( )A.k≤5 B.k≤5且k≠1C.k<5且k≠1 D.k<5
5.(2019云南曲靖一模,8)为把我市创建成全国文明城市,某社区积极响应市政府号召,准备在一块正方形 的空地上划出部分区域栽种鲜花,如图中的阴影“ ”带,鲜花带一边宽1 m,另一边宽2 m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长x m,可列方程为 ( )A.(x-1)(x-2)=18 B.x2-3x+16=0C.(x+1)(x+2)=18 D.x2+3x+16=0
答案 A 因为原正方形空地的边长为x m,所以空白部分相邻两边长分别是(x-1)m,(x-2)m,根据空白部 分面积为18 m2可得(x-1)(x-2)=18,故选A.
二、填空题(每小题3分,共15分)6.(2020江西南昌一模,10)已知α、β是方程x2-2x-3=0的两个实数根,则α2-3α-αβ的值为 .
解析 ∵α、β是方程x2-2x-3=0的两个实数根,∴α2-2α=3,αβ=-3,∴α2-3α-αβ=α2-2α-α-αβ=3-α-(-3)=6-α.x2-2x-3=0即(x-1)2=4,解得x1=-1,x2=3,∴α=3或-1,∴6-α=3或7.
7.(2020四川成都龙泉驿三诊,21)已知方程3x2-5x-1=0的两个根分别是x1,x2,则(x1-x2)2= .
8.(2019上海金山二模,12)已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个根是x=1,那么这个方程的另一个根 是 .
解析 设关于x的一元二次方程x2+x+m=0的另一个实数根是α,∵关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个 实数根为1,∴α+1=-1,∴α=-2.
9.(2019四川成都武侯模拟,21)已知m、n是一元二次方程x2+4x-1=0的两实数根,则 + = .
10.(2018贵州黔南州一模,15)若关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,则a满足 .
解析 (1)当a-5=0,即a=5时,方程变为-4x-1=0,此时方程一定有实数根;(2)当a-5≠0,即a≠5时,该方程为关于x的一元二次方程,∵关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,∴16+4(a-5)≥0,解得a≥1,∴a≥1,且a≠5.综上,a≥1.
三、解答题(共20分)11.(2020四川成都青白江一诊,16)已知2+ 是方程x2-4x+c=0的一个实根,求方程的另一个实根及c的值.
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