2019年北京市大兴区青云中考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份2019年北京市大兴区青云中考数学一模试卷（含答案解析），共21页。试卷主要包含了下列运算正确的是，下列命题中的假命题是，定义新运算等内容，欢迎下载使用。

2019年北京市大兴区青云店中学中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
2．下列运算正确的是（　　）
A．2a3÷a＝6 B．（ab2）2＝ab4
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a+b）2＝a2+b2
3．某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价，某团体需购买140张，其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍，则购买这两种票最少共需要（　　）
A．12120元 B．12140元 C．12160元 D．12200元
4．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
5．下列命题中的假命题是（　　）
A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
B．平行于同一直线的两条直线平行
C．直线y＝2x﹣1与直线y＝2x+3一定互相平行
D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等
6．函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图，点P是y＝的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝AP．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
7．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
8．为了解中学生获取资讯的主要渠道，随机抽取50名中学生进行问卷调查，调查问卷设置了“A：报纸，B：电视，C：网络，D：身边的人，E：其他”五个选项（五项中必选且只能选一项），根据调查结果绘制了如下的条形图．该调查的调查方式及图中a的值分别是（　　）

A．全面调查；26 B．全面调查；24
C．抽样调查；26 D．抽样调查；24
9．如图是12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影，现随机丢一粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是（　　）

A． B． C． D．
10．定义新运算：a※b＝，则函数y＝3※x的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．计算（﹣1）2018﹣（π﹣）0+||＝　 　．
12．若方程x﹣y＝﹣1的一个解与方程组的解相同，则k的值为　 　．
13．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式．若，则x＝　 　．
14．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个数x（本）之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是　 　折．

15．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是　 　m（结果保留根号）

16．如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE＝5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为　 　 m．

三．解答题（共7小题）
17．先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣8x2y2）÷4xy，其中x＝2018，y＝2019．
18．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？
19．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．
（1）求n和b的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．

20．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）

21．某校为了解全校学生对新闻，体育，动画，娱乐，戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别
A
B
C
D
E
节目
新闻
体育
动画
娱乐
戏曲
人数
12
30
45
54
m
请你根据以上的信息，回答下列问题：
（1）被调查学生的总数为　 　人；
（2）统计表中m的值为　 　，统计图中n的值为　 　．
（3）在图中，A类所对应扇形的圆心角的度数为　 　．
（4）该校共有3000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数为　 　．

22．阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：

（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形　 　．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是　 　 命题（填“真”或“假”）．
（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．
23．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．
（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．


2019年北京市大兴区青云店中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】先相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定绝对值最大的数即可解答．
【解答】解：∵实数﹣3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，
∴原点在点M与N之间，
∴这四个数中绝对值最小的数对应的点是点N，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找出原点的位置，注意数形结合思想的运用．
2．【分析】根据单项式的除法法则，以及幂的乘方，平方差公式以及完全平方公式即可作出判断．
【解答】解：A、2a3÷a＝2a2，故选项错误；
B、（ab2）2＝a2b4，故选项错误；
C、正确；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用．
3．【分析】设票价为60元的票数为x张，票价为100元的票数为y张，根据题意可列出，当购买的60元的票越多，花钱就越少，从而可求解．
【解答】解：设票价为60元的票数为x张，票价为100元的票数为y张，故

可得：x≤
由题意可知：x，y为正整数，故x＝46，y＝94，
∴购买这两种票最少需要60×46+100×94＝12160．
故选：C．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，读懂题意列出不等式关系式，本题关键是要知道当购买的60元的票越多，花钱就越少即可求解．
4．【分析】要找出准确反映s与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中s随x变化的情况．
【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则
当0＜x≤2，s＝，
当2＜x≤3，s＝1，
由以上分析可知，这个分段函数的图象开始直线一部分，最后为水平直线的一部分．
故选：C．
【点评】本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性．
5．【分析】根据平行公理即可判断A、根据两直线平行的判定可以判定B、C；根据平行线的性质即可判定D；
【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确．
B、平行于同一直线的两条直线平行，正确；
C、直线y＝2x﹣1与直线y＝2x+3一定互相平行，正确；
D、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等，错误；应该是如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
6．【分析】由于A、B是反比函数y＝上的点，可得出S△OBD＝S△OAC＝，故①正确；当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
【解答】解：∵A、B是反比函数y＝上的点，
∴S△OBD＝S△OAC＝，故①正确；
当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；
∵P是y＝的图象上一动点，
∴S矩形PDOC＝4，
∴S四边形PAOB＝S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC＝4﹣﹣＝3，故③正确；
连接OP，
＝＝＝4，
∴AC＝PC，PA＝PC，
∴＝3，
∴AC＝AP；故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
7．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
8．【分析】运用抽样调查的定义可知，运用抽取的50名学生减去A，B，C，E的学生数就是a的值．
【解答】解：本次调查方式为抽样调查，
a＝50﹣6﹣10﹣6﹣4＝24，
故选：D．
【点评】本题主要考查了条形统计图，抽样调查，解题的关键是从条形统计图中得出相关数据．
9．【分析】用涂上阴影的小正方形的个数除以所有小正方形的个数即可求得概率．
【解答】解：如图所示：12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影，
则随机丢一粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是：．
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，了解几何概率的求法是解答本题的关键．
10．【分析】先根据新定义运算列出y的关系式，再根据此关系式及x的取值范围画出函数图象即可．
【解答】解：根据新定义运算可知，y＝3※x＝，
（1）当x≥3时，此函数解析式为y＝2，函数图象在第一象限，以（3，2）为端点平行于x轴的射线，故可排除C、D；
（2）当x＜3时，此函数是反比例函数，图象在二、四象限，可排除A．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【分析】计算乘方、零指数幂和立方根、绝对值，再计算加减可得．
【解答】解：原式＝1﹣1+2＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握乘方、零指数幂的法则和立方根、绝对值定义与性质．
12．【分析】联立不含k的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出k的值．
【解答】解：联立得：，
解得：，
代入方程得：2﹣6＝k，
解得：k＝﹣4，
故答案为：﹣4
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．【分析】根据题中已知的新定义化简已知的方程，然后利用和与差的完全平方公式化简，得到关于x的一元二次方程，开方即可求出x的值．
【解答】解：根据题意可知：＝（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）＝（x+1）2+（x﹣1）2＝2x2+2＝6，
即x2＝2，解得：x＝或x＝﹣．
故答案为：±．
【点评】本题主要考查完全平方公式的运用，以及理解并运用新定义的能力．熟记公式是解题的关键．
14．【分析】根据函数图象求出打折前后的单价，然后解答即可．
【解答】解：打折前，每本练习本价格：20÷10＝2元，
打折后，每本练习本价格：（27﹣20）÷（15﹣10）＝1.4元，
＝0.7，
所以，在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是七折．
故答案为：七．
【点评】本题考查了一次函数的应用，比较简单，准确识图并求出打折前后每本练习本的价格是解题的关键．
15．【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB＝AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠BDA＝45°，
则AB＝AD＝120m，
又∵∠CAD＝30°，
∴在Rt△ADC中，
tan∠CDA＝tan30°＝＝，
解得：CD＝40（m），
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA＝tan30°＝是解题关键．
16．【分析】根据木杆旋转时影子的长度变化确定木杆AB的长，然后利用相似三角形的性质求得EF的高度即可．
【解答】解：当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB，
∵最小值3m，
∴AB＝3m，
∵影长最大时，木杆与光线垂直，

即AC＝5m，
∴BC＝4，
又可得△CAB∽△CFE，
∴＝，
∵AE＝5m，
∴＝，
解得：EF＝7.5m．
故答案为：7.5．
【点评】本题考查了中心投影和相似三角形的判定及性质的知识，解题的关键是根据影子的变化确定木杆的长度．
三．解答题（共7小题）
17．【分析】先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x与y的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝x2﹣4y2+5y2﹣2xy
＝x2﹣2xy+y2，
＝（x﹣y）2，
当x＝2018，y＝2019时，
原式＝（2018﹣2019）2＝（﹣1）2＝1．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
18．【分析】（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x．
40×（1﹣x）2＝32.4
x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率啊10%；

（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得
（40﹣30﹣y）（4×+48）＝510，
解得：y1＝1.5，y2＝2.5，
∵有利于减少库存，
∴y＝2.5．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．
19．【分析】（1）把点A坐标分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，求出k、b的值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，即可得出答案；
（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，
得k＝1×4，1+b＝4，
解得k＝4，b＝3，
∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝＝﹣1；

（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，
∵当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝7.5；

（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
20．【分析】（1）由cos∠FHE＝＝可得答案；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知GM＝AB，HN＝EG，Rt△ABC中，求得AB＝BCtan60°＝；Rt△ANH中，求得HN＝AHsin45°＝；根据EM＝EG+GM可得答案．
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝，
∴∠FHE＝45°，
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；

（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，

则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，
∴AB＝BCtan60°＝1×＝，
∴GM＝AB＝，
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AHsin45°＝×＝，
∴EM＝EG+GM＝+，
答：篮板底部点E到地面的距离是（+）米．
【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
21．【分析】（1）用B类别人数除以其所占百分比可得；
（2）总人数减去其他类别人数即可求得戏曲的人数m，再用D类别人数除以总人数可得n的值；
（3）用360°乘以A类别人数所占比例即可得；
（4）用总人数乘以样本中A类别人数所占比例．
【解答】解：（1）被调查的学生总数为30÷20%＝150人，
故答案为：150；

（2）m＝150﹣（12+30+45+54）＝9，n%＝×100%＝36%，
故答案为：9、36；

（3）A类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝28.8°，
故答案为：28.8°；

（4）估计该校最喜爱新闻节目的学生数为3000×＝240人，
故答案为：240人．
【点评】本题考查统计表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．【分析】（1）由和谐四边形的定义，即可得到菱形是和谐四边形；
（2）和谐四边形不一定是轴对称图形，举出反例即可；
（3）首先根据题意画出图形，然后由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质，即可求出∠ABC的度数．
【解答】解：（1）∵菱形的四条边相等，
∴连接对角线能得到两个等腰三角形，
∴菱形是和谐四边形；
故选C；

（2）和谐四边形不一定是轴对称图形，如图所示：

∠C＝45°，直角梯形ABCD是和谐四边形，但不是轴对称图形，
故答案为：假；

（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，
∴△ACD是等腰三角形，
∵在等腰Rt△ABD中，AB＝AD，
∴AB＝AD＝BC，
①如图1，当AD＝AC时，
∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC
∴△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°；
②如图2，当DA＝DC时，
∴AB＝AD＝BC＝CD．
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°；
③如图3，当CA＝CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，
∵AC＝CD，CE⊥AD，
∴AE＝ED，∠ACE＝∠DCE．
∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴BF＝AE．
∵AB＝AD＝BC，
∴BF＝BC，
∴∠BCF＝30°．
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC．
∵AB∥CE，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠BCF＝15°，
∴∠ABC＝150°．



【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质、矩形的性质、正方形的性质以及菱形的性质，此题难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
23．【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；
（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；
（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），
∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，
∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣，
∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣）；
（2）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0），
∴0＝2×1+m，解得m＝﹣2，
∴y＝2x﹣2，
则，
得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2＝0，
∴（x﹣1）（ax+2a﹣2）＝0，
解得x＝1或x＝﹣2，
∴N点坐标为（﹣2，﹣6），
∵a＜b，即a＜﹣2a，
∴a＜0，
如图1，设抛物线对称轴交直线于点E，
∵抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣，
∴E（﹣，﹣3），
∵M（1，0），N（﹣2，﹣6），
设△DMN的面积为S，
∴S＝S△DEN+S△DEM＝|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|＝，
（3）当a＝﹣1时，
抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，
有，
﹣x2﹣x+2＝﹣2x，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
∴G（﹣1，2），
∵点G、H关于原点对称，
∴H（1，﹣2），
设直线GH平移后的解析式为：y＝﹣2x+t，
﹣x2﹣x+2＝﹣2x+t，
x2﹣x﹣2+t＝0，
△＝1﹣4（t﹣2）＝0，
t＝，
当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），
把（1，0）代入y＝﹣2x+t，
t＝2，
∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．


【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．