2023年北京市大兴区中考数学一模试卷（含解析）

2023年北京市大兴区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图所示的圆柱，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  年月日，“天宫课堂”第三课在距离地球约米的中国空间站开讲，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，，，四点的位置如图所示，下列结论正确的是(    )

A.  B.
C. 比大 D. 与互补

4.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求两次摸出小球的标号相同的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，与关于某点成中心对称，则其对称中心是(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

8.  下面的三个问题中都有两个变量：
面积一定的等腰三角形，底边上的高与底边长；
将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量与放水时间；
计划从地到地铺设一段铁轨，每日铺设长度与铺设天数．
其中，变量与变量满足反比例函数关系的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．

10.  分解因式：            ．

11.  分式方程的解为______．

12.  在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______ ．

13.  九年级班同学分个小组参加植树活动，此活动个小组的植树棵数的数据如下：，，，，，单位：株若这组数据的众数是，则该组数据的平均数是______ ．

14.  如图，，，，是上的四个点，，若，则 ______

15.  如图，在矩形中，是边上一点，且，连接交对角线于点若，则的长为______ ．

16.  某校需要更换部分体育器材，打算用元购买足球和篮球，并且把元全部花完已知每个足球元，每个篮球元，根据需要，购买的足球数要超过篮球数，并且足球数不超过篮球数的倍，写出一种满足条件的购买方案______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
已知，求代数式的值．

20.  本小题分
下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，请选择其中一种，完成证明．

21.  本小题分
如图，在菱形中，对角线、的交于点，延长到，使得连接过点作，交于点，连接．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，．
求该函数的解析式；
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
某校为了解九年级学生周末家务劳动时长的情况，随机抽取了名学生，调查了这些学生某一周末家务劳动时长单位：分钟的数据，并对数据保留整数进行整理、描述和分析，下面给出部分信息：
学生家务劳动时长的数据在这一组的具体数据如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，
学生家务劳动时长的数据的频数分布直方图如图：

根据以上信息，回答下列问题：
补全频数分布直方图；
学生家务劳动时长的数据的中位数为______ ；
若该校九年级有学生人，估计该校九年级学生家务劳动时长至少分钟的有______ 人

24.  本小题分
如图，是的直径，为圆上一点，连接，，过点作于点过点作的切线交的延长线于点，连接．
求证：是的切线；
过点作于点，若，，求的长．

25.  本小题分
羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系式：．

某次发球时，羽毛球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：

请根据上述数据，解决问题：
直接写出羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时羽毛球______ 填“能”或“不能”越过球网．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上．
抛物线的对称轴是直线用含的式子表示；
当，求的值；
点在抛物线上，若，求取值范围及的取值范围．

27.  本小题分
在中，，，点为射线上一动点不与，重合，连接，点为延长线上一点，且，作点关于射线的对称点，连接，．
如图，当点在线段上时，
依题意补全图形，求证：；
用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
如图，当点在线段的延长线上时，请直接用等式表示线段，，之间的数量关系．

 

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若的一个顶点在上，除这个顶点外与存在且仅存在一个公共点，则称为的“相关三角形”．
如图，的半径为，点，为的“相关三角形”．
在点，，这三个点中，点可以与______ 点重合；
如图，的半径为，点，点是轴上的一动点，且点的横坐标的取值范围是，点在第一象限，若为直角三角形，且为的“相关三角形”求点的横坐标的取值范围；
的半径为，直线与在第一象限的交点为，点，若平面直角坐标系中存在点点在轴下方，使得为等腰直角三角形，且为的“相关三角形”直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键．俯视图为从上往下看物体的形状，由此易得答案．
【解答】
解：根据题意可得，圆柱的俯视图如图，
．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图可得，，那么A错误，故A不符合题意．
B.由图可得，，那么B错误，故B不符合题意．
C.由图可得，，，得与一样大，那么C错误，故C不符合题意．
D.由图可得，，，得，即两个角互补，那么D正确，故D符合题意．
故选：．
根据量角器的使用、补角的定义解决此题．
本题主要考查量角器的使用、补角，熟练掌握量角器的使用、补角的定义是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据图示，可得，，且，
，
选项A不符合题意；

，
选项B不符合题意；

，，
，
，
选项C不符合题意；

，，且，
，
，
选项D符合题意．
故选：．
根据图示，可得，，且，据此逐项判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，画树状图如下：

共有种等可能结果，其中两次摸出的小球标号相同的有种，
两次摸出的小球标号相同的概率是；
故选：．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
本题考查树状图法与列表法求概率，解题的关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
故选：．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：与关于某点成中心对称，
对应点和的连线与对应点和的连线的交点是对称中心．
故选：．
关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题．
本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，等腰三角形的面积一定，底边上的高与底边长是反比例函数，符合题意；
速度一定，泳池中的剩余水量与放水时间是正比例函数，不合题意；
从地到地的距离一定每日铺设长度与铺设天数是反比例函数，符合题意；
所以变量与变量满足反比例函数关系的是．
故选：．
分别求出对应的与的关系判断即可．
本题主要考查了反比例函数的定义，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件即可解得．
此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点和点，
，
解得，
即的值为，
故答案为：．
利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：这组数据的众数是，
，
则平均数为：．
故答案为：．
首先根据众数为得出，然后根据平均数的概念求解．
本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接．

，
，
，
故答案为：．
连接，证明，可得结论．
本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，．
∽，
．
，
，
，
，
．
，
．
故答案为：．
利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】购买个篮球，购买个足球或购买个篮球，购买个足球 

【解析】解：设购买个篮球，则购买足球个足球，
依题意得：，
解得：，
又，均为正整数，
可以取，．
当时，；
当时，．
有两种购买方案：购买个篮球，购买个足球或购买个篮球，购买个足球．
故答案为：购买个篮球，购买个足球或购买个篮球，购买个足球．
设购买个篮球，则购买个足球，根据题意即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，则可得出答案．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：． 

【解析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，





． 

【解析】由题意可得，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】证明：方法一，
由图可得，
，
化简，得：；
方法二，
由图可得，
，
化简，得：． 

【解析】方法一，根据图形可以得到，然后化简即可得到结论成立；
方法二，根据图形可以得到，然后化简即可得到结论成立．
本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，
由可知，四边形是矩形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
即的长为． 

【解析】证四边形是平行四边形，再证，则，然后由矩形的判定即可得出结论；
由矩形的性质得，，则，再证是等边三角形，得，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：将点，代入一次函数得：
，
解得：，
一次函数解析式：；

直线是过原点的一条直线，
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
即，
当时，，
根据题意，可知当时，，
解得：；
结合函数图象，得到的取值范围为：． 

【解析】待定系数法求解析式；
当时，求出的值，然后根据题意，得不等式，即可求出的取值范围．
本题考查了一次函数解析式与图象，熟练掌握待定系数法与函数图象是解题的关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：学生家务劳动时长在的有人，
因此补全的频数分布直方图如下：

将这名学生家务劳动时长从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为，因此中位数是，
故答案为：；
样本中学生家务劳动时长至少分钟的人数占调查人数的，
所以该校九年级名学生中家务劳动时长至少分钟的人数为：人，
故答案为：．
求出学生家务劳动时长在的人数即可补全频数分布直方图；
根据中位数的定义进行计算即可；
求出样本中学生家务劳动时长至少分钟的学生所占的百分比，进而根据总体中学生家务劳动时长至少分钟的学生所占的百分比，再根据频率进行计算即可．
本题考查频数分布直方图，中位数，理解样本估计总体，掌握频率以及中位数的计算方法是正确解答的前提．
 

24.【答案】证明：连接，如图，
为的切线，为直径，
，
，
，
，即垂直平分，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
解：为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，，
为的中位线，
． 

【解析】连接，如图，根据切线的性质得，再根据垂径定理证明垂直平分，则，接着证明，然后根据切线的判定方法得到结论；
根据圆周角定理，由为直径得到，再证明，接着在中利用余弦的定义求出，然后证明为的中位线，从而得到的长．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理和解直角三角形．
 

25.【答案】能 

【解析】解：根据表格可知，抛物线顶点坐标为，
羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值是，
把代入得：
，
解得，
；
把代入得：
，
，
羽毛球能越过球网，
故答案为：能．
根据表格羽毛球飞行过程中竖直高度的最大值是，用待定系数法可得；把代入求出值即可得到答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数的函数关系式．
 

26.【答案】解：抛物线，
抛物线的对称轴是直线；
点，，在抛物线上，且，
抛物线的对称轴为直线，
；
点在抛物线上，
抛物线对称轴为直线，
，
，即，
，即． 

【解析】利用对称轴公式即可求解；
根据抛物线的对称性即可求解；
利用二次函数的性质即可得出关于的不等式组，解不等式组即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

27.【答案】证明：如图所示，
，
，
点与点关于射线对称，
，，
，
≌，
，
；
解：；
证明：连接与射线交于，
点与点关于射线对称，
，，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
解：，
理由：点与点关于射线对称，
，，
≌，
，
，
，，
，
，
，
．
，
≌，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
． 

【解析】如图所示，根据等腰三角形的性质得到，根据轴对称的性质得到，，根据全等三角形的性质得到结论；
连接与射线交于，根据轴对称的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到根据线段的和差即可得到结论；
连接与射线交于，根据轴对称的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到根据线段的和差即可得到结论；
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

28.【答案】 

【解析】解：如图，各点在图中位置，

由于边已与圆有个交点，且点、均不在圆上，故只有在圆上，且与与点除外只有一个交点，
由，，可知点在圆上，且与相切，可知与圆只有及两个交点，满足“相关三角形”条件，故点可与重合，
与有额外交点，不在圆上，均不满足条件．
故答案为：．
为的“相关三角形”点在圆内，点在圆外，与有一个交点，故点只能在圆上，且除点外与没有其他交点．
为直角三角形，且点在第一象限，
当时，点不在圆上；当时，点不在第一象限，
故只有，又，
当点在处，时，最小，但此时不合题意，的中点到点的距离为的一半，得到，
，在圆上，得到，解得，

当与相切时，最大，因为继续增大，则与会有个交点，此时点与原点重合，作于点，
则∽，
，
解得，
，

综上所述，，
直线与在第一象限的交点为，直线与轴的交点为，
故最大时，在上，最大为，最小时，直线与相切，最小为，

顶点在上，当与有两个交点时，若点在圆上，与有个交点，不满足“相关三角形”的条件；
若点在圆内，则与无交点，与有一个交点，不满足“相关三角形”的条件；
若点在圆外，则与有一个交点，与无交点，不满足“相关三角形”的条件；
故AC与仅能有一个交点，

当与相切时，，直线与轴的交点，
，，
恰有，，

当时，与只有两个交点，
当点在圆内，圆上，圆外时，与均只有两个交点，满足“相关三角形”的条件，

故．
利用相关三角形的定义逐个经判断即可；
由相关三角形有一个顶点在圆上，得到点在第一象限的圆上，再通过点的位置和点的位置，明确直角只有，先确定点，作，然后根据找到点符合条件的位置，得到对应点符合条件的位置，分别计算即可．
通过点的位置及交点个数，明确与只能有一个交点，得到半径最大值，再由与直线交点在第一象限，得到半径最小值，画图确定无论点在圆上还是圆内，圆外均存在满足条件的等腰直角三角形，得到半径的取值范围．
本题为新定义类型的综合题，需按照定义进行判断，本题还涉及直角三角形，等腰直角三角形等知识，解题时还需注意分类讨论．