2018-2019学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知为虚数单位，，其中，，则　　

A． B． C．2 D．4

2．（5分）设集合，，，，若，则　　

A．， B．，0， C．，0， D．，0，1，

3．（5分）把四个不同的小球放入三个分别标有号的盒子中，不允许有空盒子的放法有　　

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

4．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为　　

A． B．或 C．2 D．

5．（5分）数列首项，对于任意，，有，则前5项和　　

A．121 B．25 C．31 D．35

6．（5分）如图程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”执行该程序框图时，若输入、的分别为16、18，输出的结果为，则二项式的展开式中常数项是　　

A． B．52 C． D．

7．（5分）已知，满足，若存在，使得成立，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

8．（5分）设函数是定义在上的周期为2的函数，且对任意的实数，恒有，当，时，，若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为　　

A．， B．， C． D．

9．（5分）函数在，内的值域为，，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

10．（5分）在区间，上随机取两个数，，则，的概率是　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知三棱锥的底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，，分别是棱，的中点，且，若侧棱，则三棱锥的外接球的表面积是　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知函数，，．若不等式对所有的，，，都成立，则的取值范围是　　

A．， B． C． D．，

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．（5分）设函数，则（3）　 　．

14．（5分）已知，若向量与共线，则在方向上的投影为　 　．

15．（5分）等比数列的前项和记为，若，则　 　．

16．（5分）抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为　 　．

三、解答题（本大题必作题5小题，共60分.选作题2小题，考生任作一题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（12分）已知三角形中，角，，成等差数列，且为角的内角平分线，．

（1）求三角形内角的大小；

（2）求面积的．

18．（12分）某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：

若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”．

（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？

（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动．

求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；

记抽取的“读书迷”中男生人数为，求的分布列和数学期望．

19．（12分）如图1，在矩形中，，，点在线段上，且，现将沿折到的位置，连结，，如图2．

（1）若点在线段上，且，证明：；

（2）记平面与平面的交线为．若二面角为，求与平面所成角的正弦值．

20．（12分）一张坐标纸上涂着圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与的交点为．

（1）求的轨迹的方程；

（2）直线与的两个不同交点为，，且与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．

21．（12分）已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）当时，过原点分别作曲线与的切线，，若两切线的斜率互为倒数，求证：．

选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点．

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）已知点的极坐标为，求的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数．

（1）求（4）的解集；

（2）设函数，若对成立，求实数的取值范围

2018-2019学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

【解答】解：，其中，，

，

，，

解得．

则．

故选：．

【解答】解：，

从而，，0，，

故选：．

【解答】解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有号的盒子中，且没有空盒，

三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，

则分2步进行分析：

①、先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法；

②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法；

则不允许有空盒子的放法种；

故选：．

【解答】解：双曲线的方程为，

双曲线的渐近线方程为，结合题意一条渐近线方程为，

得，

设，，则

该双曲线的离心率是，

故选：．

【解答】解：数列首项，对于任意，，有，

，

是首项为1，公差为3的等差数列，

前5项和．

故选：．

【解答】解：由程序框图可知：

当，时，

不满足，则变为，

由，则变为，

由，则变为，

由，则变为，

由，则变为，

由，则变为，

由，则变为，

由，则变为，

由，

则输出的．

则二项式，

它的展开式的通项公式为，，1，，

令，可得展开式中常数项是，

故选：．

【解答】解：令，画出，满足，的可行域，

由可行域知：目标函数过点时取最大值，由，可得，，可得时，

的最小值为：2．

所以要使恒成立，只需使目标函数的最小值小于等于 即可，所以的取值范围为．

故答案为：．

故选：．

【解答】解：，，是偶函数，根据函数的周期和奇偶性作出的图象如图所示：

在上有且仅有三个零点，

和的图象在上只有三个交点，

，解得．

故选：．

【解答】解：函数，

当，时，，，

，画出图形如图所示；

则，

解得，

的取值范围是，．

故选：．

【解答】解：由题意把两个数为，看作点，

则，

它所表示的平面区域是边长为4的正方形，面积为；

，转化为，如图所示；

且满足的区域面积是：

，

则，的概率为：

．

故选：．

【解答】解：，分别为棱，的中点，

三棱锥为正棱锥，

（对棱互相垂直），

又，而，

平面，平面

以，，为从同一定点出发的正方体三条棱，

将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，

正方体的对角线就是球的直径．，，

．

故选：．

【解答】解：若不等式对所有的，，，都成立，

即对所有的，，，都成立，

即对所有的，，，都成立，

即对，都成立，即对，都成立，

即大于等于在区间，上的最大值，

令，则，

当，时，，单调递增，

所以，，的最大值为，即，

所以的取值范围为．

故选：．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

【解答】解：函数，

则（3）．

故答案为：3．

【解答】解：，

与共线，

，即．

，

在方向上的投影为．

故答案为：．

【解答】解：由等比数列的前项求和公式可知：，，，成等比数列，当时，有①

 因为，所以，即得②

 由①②得，

故答案为：．

【解答】解：设，，连接、，

由抛物线定义，得，，在梯形中，．

由余弦定理得，

，

配方得，，

又，

得到．

，

即的最大值为．

故答案为：．

三、解答题（本大题必作题5小题，共60分.选作题2小题，考生任作一题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

【解答】解：（1）角，，成等差数列，，，

，

，

，，，

，，．

（2）．由（1）值，，

由正弦定理得，得，

同理得，

面积的．

【解答】解：（1）设该校4000名学生中“读书迷”有人，

则，解得，

所以该校4000名学生中“读书迷”约有320人；

（2）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率为：

；

（ⅱ）可取为0，1，2，3；

则，

，

，

；

的分布列为：

数学期望为．

【解答】证明：（1）先在图1中连结，在中，由，，

得，在中，由，，

得，，则，

，从而有，，

即在图2中有，，

平面，则；

解：（2）延长，交于点，连接，根据公理3得到直线即为，

再根据二面角定义得到．

在平面内过点作底面垂线，

以为原点，分别为，，及所作垂线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，0，，，0，，，4，，

，1，，，4，，，，，

设平面的一个法向量为，

由，取，得．

与平面所成角的正弦值为．

【解答】解：（1）折痕为的垂直平分线，则，

由题意知圆的半径为，

，

的轨迹是以、为焦点的椭圆，且，，

，

的轨迹的方程为．

（2）与以为直径的圆相切，则到即直线的距离：

，即，

由，消去，得，

直线与椭圆交于两个不同点，

△，，

设，，，，则，，

，

又，，，

，

设，则，

，，

关于在，单调递增，

，的面积的取值范围是，．

【解答】（1）解：

①若时，

所以函数在单调递增，故无极大值和极小值

②若，由得，

所以．函数单调递增，，函数单调递减

故函数有极大值，无极小值．

（2）证明：设切线的方程为，切点为，，

则，，所以，，则．

由题意知，切线的斜率为，的方程为．

设与曲线的切点为，，则，

所以，．

又因为，消去和后，整理得

令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增．

又为的一个零点，所以

①若，因为，，所以，

因为

所以，所以．

②若，因为在上单调递增，且（e），则，

所以（舍去）．

综上可知，．

选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]

【解答】解：（1）直线的参数方程为为参数），

的普通方程为：；

又曲线的极坐标方程为，即，

曲线的直角坐标方程为，

即曲线的直角坐标方程为：．

（2）解法一：在直线上，直线的参数方程为为参数），

代入曲线的直角坐标方程得，

即，

．

解法二：联立，得，

解得，，，

，

，

．

[选修4-5：不等式选讲]

【解答】解：（1）函数，

，即，

①或②或③

解不等式组①得：；

解不等式组②得：无解；

解不等式组③得：；

所以（4）的解集为或；

（2）即的图象恒在，图象的上方，

可以作出的图象，

而，图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线，

作出函数，的图象，如图所示；

其中，可求：，

；

由图可知，要使得的图象恒在图象的上方，

实数的取值范围是．

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日期：2019/12/17 21:18:22；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267