专题01 实数的有关概念及运算-备战中考数学精品系列（解析版）

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备战中考系列：第一篇   数与式专题01  实数的有关概念及运算☞解读考点知　识　点名师点晴实数的分类[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com][来源:学|科|网]1.有理数[来源:学科网]会根据有限小数和无限循环小数判定一个数是有理数[来源:Zxxk.Com][来源:学.科.网][来源:学#科#网][来源:Z§xx§k.Com]2.无理数会识别无理数，并在数轴上表示一个无理数实数的有关概念1.相反数、倒数、绝对值会求一个实数的相反数、倒数和绝对值2.科学计数法、近似数掌握用科学计数法表示一个较大的数和较小的数3.实数的非负性利用实数的非负性解决一些实际问题实数的运算和大小比较1.实数的估算求一个无理数的范围2.实数的大小比较理解实数的大小比较的方法3.实数的运算掌握实数的混合运算☞考点归纳归纳 1：实数及其分类基础知识归纳： 基本方法归纳：判断一个数是不是有理数，关键是看它是不是有限小数或无限循环小数；判断一个数是不是无理数，关键在于看它是不是无限不循环小数.注意问题归纳：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；【例1】在实数中，其中无理数的个数是（    ）A.2     B.3     C.4     D.5【答案】A【解析】tan45°=1，是有理数；根据无理数的定义可知，、是无理数，共有2个，故本题选A.归纳 2：实数的有关概念基础知识归纳： 1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0；正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1.基本方法归纳：如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立；零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0注意问题归纳：零没有倒数；一个非零的数的绝对值一定是正数【例2】若实数x，y满足，则=       .【答案】 归纳 3：实数的大小比较基础知识归纳：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小.基本方法归纳：（1）求差比较：设a、b是实数，（2）求商比较法：设a、b是两正实数，（3）平方法：设a、b是两负实数，则.注意问题归纳：实数的大小比较，一般要将其进行化简，并合理选择方法来进行比较.【例3】用“＜”号，将、、、连接起来______【答案】 归纳 4：科学计数法与近似数基础知识归纳：根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.基本方法归纳：利用科学计数法表示一个数，在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1.当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）注意问题归纳：利用科学计数法表示数和转化为原数时，要注意数位的变化.【例4】据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.5亿元，一年的经济损失约为54750000000元，用科学记数法表示这个数为A．5.475×1011         B．5.475×1010        C．0.5475×1011       D．5475×108【答案】B归纳 5：实数的混合运算基础知识归纳：实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算.同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行基本方法归纳：实数的混合运算经常涉及到零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简、二次根式等内容，要熟练掌握这些知识.注意问题归纳：实数的混合运算经常以选择、填空和解答的形式出现，是中考是热点，也是比较容易出错的地方，在解答此类问题时要注意基本性质和运算的顺序.【例5】计算： 【答案】1 [中考题组1]1．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学计数法表示为（    ）A．   B．     C．      D．【答案】B∵110000一共6位，∴110000=1.1×1015. 故选B.考点：科学计数法2. 的相反数是（    ）A.        B.        C.        D. 考点：相反数3. 下列式子中成立的是（      ）A. ﹣|﹣5|＞4       B. ﹣3＜|﹣3|       C. ﹣|﹣4|=4      D. |﹣5.5|＜5【答案】B 考点：绝对值；有理数的大小比较4. 如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是(    )A. m+n＜0        B. m＜n         C. m||n|＞0         D. 2+m＜2+n【答案】D【解析】试题分析：根据M、N两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一作出判断：由M、N两点在数轴上的位置可知：1＜m＜0，n＞2，∵1＜m＜0，n＞2，∴m+ n＞0，故A错误.∵m＜n，∴m＞ n，故B错误.∵1＜m＜0，n＞2，∴|m||n|＜0，故C错误．∵m＜n，∴2+m＜2+n，故D正确.考点：数轴；不等式的性质5. 计算的值等于(     )A.   B. 0   C. 1   D. 5【答案】A考点：实数的运算6. 若，则的值为        ．【答案】．考点：实数的非负性；负整数指数幂7.若a＜＜b，且a，b为连续正整数，则b2﹣a2=       ．【答案】7【解析】试题分析：∵32＜13＜42，∴3＜＜4，即a=3，b=4.        ∴b2﹣a2=42﹣32=7.考点：无理数的估算8. 规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]=3．，按此规定，=_____________【答案】2【解析】试题分析：∵9＜13＜16，∴3＜＜4.∴2＜＜3，∴=2．考点：新定义；无理数的估算9. 为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是        ．【答案】． 考点：有理数的运算；阅读理解型问题10. 计算：【答案】-3． 考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值[中考题组2]1．下列运算正确的是（    ）A．       B．       C．      D．【答案】B.【解析】根据有理数的乘法，有理数的减法，负整数指数幂，零指数幂运算法则逐一计算作出判断：考点：实数的运算负整数指数幂；零指数幂2．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和5.1，则A、B两点之间表示整数的点共有（     ）A．6个      B．5个       C．4个      D．3个【答案】C考点：实数的估算；数轴3.若|a|=﹣a，则实数a在数轴上的对应点一定在（    ）A．原点左侧        B．原点或原点左侧     C．原点右侧      D．原点或原点右侧【答案】B【解析】试题分析：∵|a|=﹣a，∴a≤0.∴实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧.故选B.　考点：绝对值4．的相反数是（      ）A．﹣6     B．8   C．     D．【答案】B【解析】试题分析：相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0.因此，的相反数是8.故选B.考点：有理数的乘方；相反数5．一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，（n为不小于2的整数），则a100=（      ）A．        B．2       C．﹣1        D．﹣2【答案】A 考点：实数的运算；数字的变化规律6.已知，则的值为　    　．【答案】﹣1.考点：绝对值的性质7.已知，则ab=　    　．【答案】1 考点：绝对值；负整数指数幂8.计算：﹣　  　．【答案】 考点：实数的运算9．在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若|a﹣b|=2013，且AO=2BO，则a+b的值为　    　．【答案】﹣671【解析】试题分析：如图，a＜0＜b．∵|a﹣b|=2013，且AO=2BO，∴b﹣a=2013①，a=﹣2b②，由①②，解得b=671.∴a+b=﹣2b+b=﹣b=﹣671.考点：数轴；绝对值10．观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是　  　．【答案】 考点：数字的变化规律 ☞1年模拟1、下列四种运算中，结果最大的是（　　）　A．1+（﹣2）  B．1﹣（﹣2） C．1×（﹣2） D．1÷（﹣2）【答案】B考点：有理数的运算2、下列各组数中，互为相反数的是（      ）A. 与   B. 与2    C. 与   D. 与【答案】C【解析】试题分析：根据相反数的定义来解答，只有符号不同的两个数互为相反数，A选项的两个数互为负倒数，B选项的两个数相等，C选项，-2与2互为相反数，D选项的两个数相等，故本题选C.考点：相反数；绝对值；立方根3、的相反数的绝对值是（   ）A.     B.     C.   D. 【答案】A考点：相反数；绝对值4、的倒数是（　　）A. ﹣3      B. 3       C.     D. 【答案】A【解析】试题分析：，其倒数是-3，故本题选A.考点：倒数5、若x，y为实数，且，则的值为（   ）A．1    B．﹣1      C．2      D.﹣2【答案】B 考点：实数的非负性；绝对值；算术平方根6、第六次全国人口普查公布的数据表明，登记的全国人口数量约为1 340 000 000人．这个数据用科学记数法表示为（　　）A.     B.      C.     D. 【答案】C【解析】试题分析：1 340 000 000用科学计数法可表示为.考点：科学计数法7.计算：＝___________.【答案】-4考点：实数的运算8.近似数精确到了_____位.【答案】千考点：科学计数法；近似数