专题六 导数的综合问题-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题六 导数的综合问题
一、单选题
1．（2020·福建厦门双十中学月考（文））已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.
【详解】
∵ ，.
当时，，在上单调递增，不合题意.
当时，，在上单调递减，也不合题意.
当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得.
综上，的取值范围是.
故选C.
【点睛】
本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．
2．（2020·陕西省商丹高新学校月考（文））已知是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．恒成立 B．恒成立
C． D．当时，；当时，
【答案】A
【解析】
分析：先构造函数g(x)=(x-1)f(x),再利用导数得到函数的单调性和图像，从而得到恒成立.
详解：设g(x)=(x-1)f(x),
所以，
所以函数g(x)在R上单调递增，
又因为所以x>1时，g(x)>0,x1时，(x-1)f(x)>0，所以f(x)>0;
所以x1时，g(x)>0,x0,f(x)>0，
即g(x)>0=g(2)，解得：x>2，
当x0，
即g(x)0；
当x∈（，）时，f ′（x）2e即可
【详解】
（Ⅰ）解：.
由题意有即，解得或（舍去）．
得即，解得．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
．
在区间上，有；在区间上，有．
故在单调递减，在单调递增，
于是函数在上的最小值．
故当时，有恒成立．
(Ⅲ) ．当时，则，当且仅当时等号成立，
故的最小值，符合题意；
当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；
当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．综上，实数的取值范围是
26．（2020·常州市新桥高级中学期中）如图，已知、两个城镇相距20公里，设是中点，在的中垂线上有一高铁站，的距离为10公里.为方便居民出行，在线段上任取一点（点与、不重合）建设交通枢纽，从高铁站铺设快速路到处，再铺设快速路分别到、两处.因地质条件等各种因素，其中快速路造价为1.5百万元/公里，快速路造价为1百万元/公里，快速路造价为2百万元/公里，设，总造价为(单位：百万元).

（1）求关于的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）求总造价的最小值，并求出此时的值.
【答案】（1），()（2）最小值为，此时
【解析】
【分析】
（1）由题意，根据三角形的性质，即可得到；
（2）构造函数，利用导数求得函数的单调性，即可求解函数的最值．
【详解】
(1),
，，
，

(2)设
则
令，又，所以.
当,,,单调递减；
当,,,单调递增；
所以的最小值为.
答：的最小值为(百万元)，此时
【点睛】
本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用导数求解函数单调性与最值问题，其中解答中认真审题，合理建立函数的关系式，准确利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
27．（2020·安徽省颍上第二中学其他（理））已知函数
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）设函数若函数在上恰有两个不同零点，求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) 实数的取值范围是.
【解析】
试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定极值（2）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，画出函数图像，根据图像确定实数的取值范围.
试题解析：（1）因为
令，因为，所以


1



0



极小值


所以
（2）
所以
令得
当时，；当时，
故在上递减；在上递增
所以 即
所以
实数的取值范围是.
28．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学月考（理））设函数，是自然对数的底数，是常数．
（1）若，求的单调递增区间；
（2）讨论曲线与公共点的个数．
【答案】（1）的单调递增区间为（或）；（2）或时，两曲线无公共点；或时，两曲线有一个公共点；时，两曲线有两个公共点 .
【解析】
【分析】
（1）将参数值代入表达式，对函数求导得到函数的单调性进而得到函数的增区间；（2）曲线与公共点的个数即函数零点的个数，对函数求导分情况讨论即可.
【详解】
（1） ,
当时，，当时，，当时，,
的单调递增区间为（或）.
（2）曲线与公共点的个数即函数零点的个数，.
（I）时，有一个零点 .
(II)时，由解得，．当时，；当时，，
在取最小值 ,
①时，，有一个零点.
②时，，无零点 .
③时，，由知，在有一个零点，即在有一个零点；由指数函数与幂函数单调性比较知，当且充分大时，，所以在有一个零点，即在有一个零点．从而有两个零点 .
（III）时，，单调递减，，，所以在有一个零点，从而在定义域内有一个零点 .
（IIII）时，无零点 .
（IIIII）时，由解得，．当时，；当时，，在取最小值．因为，，，，，无零点．
综上所述，或时，两曲线无公共点；或时，两曲线有一个公共点；时，两曲线有两个公共点 .
【点睛】
有关函数零点(方程根)的问题，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．
29．（2020·全国专题练习（文））
已知函数，其中是常数.
(Ⅰ)当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数，使得关于的方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）当a＝1时，f（1）＝e，f′（1）＝4e，由点斜式可求得y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ） 令f′（x）＝ex[x2+（a+2）x）]＝0，可解得x＝﹣（a+2）或x＝0，对﹣（a+2）与0的大小关系分类讨论，可求得关于x的方程f（x）＝k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根的k的取值范围．
【详解】
解：(Ⅰ)由可得
.
当时,,.
所以 曲线在点处的切线方程为，
即
（Ⅱ） 令，
解得或
当，即时，在区间上，，所以是上的增函数.
所以 方程在上不可能有两个不相等的实数根.
当，即时，随的变化情况如下表
























↘



↗



由上表可知函数在上的最小值为.
因为 函数是上的减函数，是上的增函数，
且当时，有.
所以 要使方程在上有两个不相等的实数根，的取值范围必须是
.
【点睛】
本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究函数的极值，突出考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查综合分析与综合运算的能力，属于难题．
30．（2020·湖南娄底·高二期末）已知函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）证明当时，关于的不等式恒成立；
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而证出结论即可；
解析：
（1），
由f'（x）＜0，得2x2﹣x﹣1＞0．又x＞0，所以x＞1，
所以f（x）的单调递减区间为（1，+∞），函数f（x）的单增区间为（0，1）．
（2）令，
所以，
因为a≥2，所以，
令g'（x）=0，得，所以当，当时，g'（x）＜0，
因此函数g（x）在是增函数，在是减函数，
故函数g（x）的最大值为，
令，因为，又因为h（a）在a∈（0，+∞）是减函数，
所以当a≥2时，h（a）＜0，即对于任意正数x总有g（x）＜0，
所以关于x的不等式恒成立．
点睛：这个题目考查的是利用导数研究函数的单调性和最值问题；证明不等式的恒成立问题；证明不等式恒成立问题一般采用以下方法：其一可以转化为函数最值问题，使得函数最值大于或者小于0；其二可以转化为两个函数的不等式关系，使得一个函数的最小值大于另一个函数的最大值．
31．（2020·民勤县第一中学期末（文））已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】Ⅰ；Ⅱ.
【解析】
【分析】
将代入，求导后运用其几何意义求出切线方程
分离参量得，令，求导后算出最值
【详解】
时，函数，可得，所以，时，．
曲线则处的切线方程；
即：；
由条件可得，
则当时，恒成立，
令，则，
令，
则当时，，所以在上为减函数．
又，
所以在上，；在上，．
所以在上为增函数；在上为减函数．
所以，所以．
【点睛】
本题运用导数几何意义求出在某点处的切线方程，在解答恒成立问题上运用了分离参量的方法，构造新函数，然后运用导数求出最值，继而得到结果．
32．（2020·西藏日喀则·高三其他（理））设函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若函数没有零点，求的取值范围.
【答案】 当时，的增区间是，当时，的增区间是，减区间是；
【解析】
【分析】
（1）求函数f（x）的导数，利用导数和单调性之间的关系即可求函数的单调区间；（2）根据函数f（x）没有零点，转化为对应方程无解，即可得到结论．
【详解】
，，，
当时，，在区间上单调递增，
当时，令，解得；
令，解得，
综上所述，当时，函数的增区间是，
当时，函数的增区间是，减区间是；
依题意，函数没有零点，
即无解，
由1知：当时，函数在区间上为增函数，区间上为减函数，
只需，
解得．
实数a的取值范围为
【点睛】
本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，函数的零点，考查学生的运算能力，是中档题
33．（2020·四川三台中学实验学校月考（文））已知函数.
（1）若曲线在处的切线的斜率为，求的值；
（2）若，求证：当时，的图像恒在轴上方.
【答案】（1）0；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义得到，求解即可；（2）的图像恒在轴上方，即>0恒成立，分两种情况当时，当时，讨论函数的单调性，求得函数的最值，是的最小值大于0即可.
【详解】
（1），
∴，
∴.
（2），
令，，
（ⅰ）当时，，单调递增，，
单调递增，，满足题意.
（ⅱ）当时，，解得.
当，，单调递减；
当，，单调递增，
此时，
∵，，即，
∴单调递增，，满足题意.
综上可得：当且时，的图象恒在轴上方.
【点睛】
这个题目考查了导数的几何意义，以及函数的恒成立问题，解决恒成立的问题常见方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.
34．（2020·应城市第一高级中学高二开学考试）已知函数.
（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当时，求证：；
（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．
【答案】（Ⅰ）和.
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；
(Ⅱ)由题意分别证得和即可证得题中的结论；
(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.
【详解】
（Ⅰ），令得或者.
当时，，此时切线方程为，即；
当时，，此时切线方程为，即；
综上可得所求切线方程为和.
（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；
而，所以，即；
同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
所以是中的较大者，
若，即时，；
若，即时，；
所以当最小时，，此时.
【点睛】
本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
35．（2020·广东东莞·高三其他（文））已知.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）的定义域为，且，据此确定函数的单调性即可；
（2）由题意可知在上恒成立，分类讨论和两种情况确定实数b的取值范围即可.
【详解】
（1）的定义域为
∵，，
∴当时，；时，
∴函数在上单调递减；在上单调递增.
（2）当时，
由题意，在上恒成立
①若，当时，显然有恒成立；不符题意.
②若，记，则,
显然在单调递增，
（i）当时，当时，
∴时，
（ii）当，，
∴存在，使.
当时，，时，
∴在上单调递减；在上单调递增
∴当时，，不符合题意
综上所述，所求的取值范围是
【点睛】
本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
36．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（理））设函数在及时取得极值．
（1）求 的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出，利用，列方程即可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，利用导数研究函数的单调性，求得函数的极值，与区间端点函数值比较大小可得的最大值为，由解不等式即可得结果.
【详解】
（Ⅰ），
因为函数在及取得极值，则有，．
即
解得，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
．
当时，；当时，；
当时，．所以，当时，取得极大值，又，．则当时，
的最大值为．因为对于任意的，有恒成立，所以　，解得　或，因此的取值范围为．
【点睛】
本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.
37．（2020·南昌市八一中学高二期末（文））已知函数，（）.
（1）若，恒成立，求实数的取值范围；
（2）设函数，若在上有零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1），恒成立，即求在上恒成立（2）函数在上有零点，等价于方程在上有解.
化简，得. 设，研究单调性，画出图像即得解.
试题解析：
（1）由题意，得的定义域为，
. ，∴、随的变化情况如下表：






0


单调递减
极小值
单调递增

所以. 在上恒成立，∴.
（2）函数在上有零点，等价于方程在上有解.
化简，得. 设. 则，
，、随的变化情况如下表:


1

3








单调递增

单调递减

单调递增

且，，，
.
作出在上的大致图象（如图所示）.
所以，当时，在上有解.
故实数的取值范围是.
点睛：函数有零点的问题可以转化为方程有交点的问题，进而可以把方程进行变量分离，研究新函数的图像即得解.

三、填空题
38．（2020·陕西新城·西安中学期末（理））已知函数在上的图象是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数为，当时，有不等式成立，若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
令先判断函数g(x)的奇偶性和单调性，得到在R上恒成立，再利用导数分析解答即得解.
【详解】
因为当时，有不等式成立，
所以，
令所以函数g(x)在（0，+∞）上单调递增，
由题得
所以函数g(x)是奇函数，所以函数在R上单调递增.
因为对，不等式恒成立，
所以，
因为a>0,所以当x≤0时，显然成立.
当x＞0时，，
所以，所以函数h(x)在（0,1）单调递减，在（1，+∞）单调递增.
所以，
所以a＜e,
所以正整数的最大值为2.
故答案为2
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性及其应用，考查函数单调性的判断及其应用，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.