专题三 函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》10月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题三 函数的概念、图像和性质
一、单选题
1．（2020·云南省云天化中学高一期末）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
2．（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．
【详解】
时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．

【点睛】
易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．
3．（2020·梁河县第一中学月考（理））用表示a，b两个数中的最小值.已知，设，则R的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用新定义，基本不等式化简函数，然后再根据函数的性质求最大值．
【详解】
∵，∴，
∴，
当时，，时，，时，，
∴，
当时，，当时，，
∴时，，∴，
又当，，即，
∴的最大值是，的最大值是．
故选：C
【点睛】
本题考查函数的新定义，解题关键理解新定义，根据新定义化简函数，变为已知的熟悉的函数，然后求解．
4．（2020·山东微山县第二中学开学考试）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】
因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
5．（2020·安徽期末（文））已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题设条件，求得，得到函数是周期为4的周期函数，进而得到，代入即可求解.
【详解】
由题意，函数是定义在上的奇函数，且，
可得，所以，
所以函数是周期为4的周期函数，
又由当时，，
则.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和周期性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
6．（2020·昆明市官渡区第一中学高一开学考试）已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.
【详解】
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称
又在上是增函数 在上是减函数
，即
对于恒成立 在上恒成立
，即的取值范围为：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.
7．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期中（理））设，若当时，恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先判定函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质把不等式转化为在上恒成立，进而结合的范围，得到不等式，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
所以函数为奇函数，且在上为单调递增函数，
因为当时，恒成立，
即当时，恒成立，
所以，即在上恒成立，
当时，，则，
所以，解得或，
即实数的取值范围为.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中合理利用函数的基本性质进行转化是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
8．（2019·浙江南湖·嘉兴一中月考）设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为是定义在上的奇函数,且当时,,则当,有,,可得,即在上是单调递增函数,且满足,结合已知,即可得求答案.
【详解】
是定义在上的奇函数,且当时,
当,有,
即

在上是单调递增函数,且满足
不等式在恒成立,
,恒成立
对恒成立

解得:
则实数的取值范围是:.
故选:A.
【点睛】
本题考查了根据函数不等式恒成立求参数,解题关键是掌握奇函数的性质和函数不等式恒成立的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
9．（2020·浙江高一单元测试）函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
易判断f（x）在（-∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．
【详解】
∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，
由f（-3）＝0，得f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，
即f（3）＝0，
作出f（x）的草图，如图所示：

由图象，得
解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），
故选D．
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．
10．（2020·安徽安庆·高三三模（文））已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作出函数图象，根据直线恒过，采用数形结合的方式，分别在、和三种情况下确定符合题意的情况，进而求得结果.
【详解】
作出函数的图象如下图所示：

直线恒过定点.
当时，直线与分段函数有交点，显然满足题意；
当时，直线为，不符合题意；
当时，联立得：，
则，解得：或（舍）.
综上可得：实数的取值范围是.
故选：.
【点睛】
本题考查函数中能成立问题的求解，关键是能够将问题转化为恒过定点的直线与分段函数有交点的问题，通过数形结合的方式来进行求解.
11．（2020·江西临川一中高一开学考试）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则为( )
A． B．
C．或5 D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
利用是奇函数，以及函数在上的解析式，合理转化，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，当时，，
①当时，由，解得，此时无解；
②当时，由，解得，此时无解；
又由函数是定义在上的奇函数，所以，
因为，所以，
③当时，则，可得，解得；
④当，则，可得，解得，
综上可得，实数的值为或.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了分段函数的解析式的应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的解析，结合函数的奇偶性合理转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
12．（2020·湖北武昌·（理））已知一个正方形的四个顶点都在函数的图像上，则此正方形的面积为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得正方形的中心为，设直线的方程为，则直线的方程为，联立方程组可得，，再由可得或，最后利用化简即可得解.
【详解】
设正方形，，，，，
，，
，
又，，
当时，，
又函数的图象可看做是由奇函数的图象向上平移一个单位所得，
函数的图象的对称中心为，
正方形的中心为，符合题意；
当时，则即可得，
此时，不合题意；
不妨设直线的方程为，则直线的方程为，
则，消去得，由可得，
同理可得，
，
，
由可得即，
化简可得即，
或即或，
正方形面积，
当时，；
当时，；
所以此正方形的面积为10或17.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数图象与正方形对称性的应用，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.
13．（2020·广东深圳·高三月考（理））设是定义在上以2为周期的偶函数，当时，，则时，的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和周期性可得、时的解析式，即可得解.
【详解】
是定义在上以2为周期的偶函数，
当时，，；
当时，，，
当时，.
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性和周期性确定函数的解析式，属于中档题.
14．（2019·内蒙古昆都仑·包钢一中高一期中）定义在上的函数满足：且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设，得到函数单调递减函数，把不等式，转化为
结合，即可求解.
【详解】
由题意，设，
因为，即，所以函数单调递减函数，
不等式，即，
因为，所以不等式等价于，即
又由，则，所以不等式的解集为.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性的判定及应用，以及不等式的求解，其中解答中熟记函数的单调性的判定方法，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．（2019·上海浦东新·高三月考）已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
当时， ， 单调递减，且，单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
16．（2020·江西抚州·高一期末）定义在R上的函数是偶函数，且.若在区间上是增函数，则( )
A．在区间上是增函数，在区间上是减函数
B．在区间上是增函数，在区间上是增函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．在区间上是减函数，在区间上是减函数
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数满足，且为偶函数，求得函数为周期函数且周期为2，结合函数在区间上是增函数，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，函数满足，可得函数图象关于对称，
又函数为偶函数，所以，所以函数为周期函数且周期为2，又由函数在区间上是增函数，可得在区间上为减函数，
当，则，此时，所以函数在上为增函数，
当，则，此时，所以函数在上为增函数.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性与函数的周期性的应用，其中解答中求得函数为周期函数，且周期是2是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
17．（2018·西藏巴宜·林芝一中高一期末）函数f（x）是定义在R上的奇函数,下列说法:
①f（0）=0;
②若f（x）在[0,+∞）上有最小值为-1,则f（x）在（-∞,0]上有最大值为1;
③若f（x）在[1,+∞）上为增函数,则f（x）在（-∞,-1]上为减函数;
④若x>0时,f（x）=x2-2x,则x