专题七 三角函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题七 三角函数的概念、图像和性质
一、单选题
1．（2020·云南师大附中高三月考（文））已知，下列结论中错误的是（ ）
A．即是奇函数也是周期函数 B．的最大值为
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点中心对称
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的定义及判定，可判定A是正确的；根据函数的对称性，可判定C、D是正确的；由，令，利用求导方法求函数的最值，即可判定B选项错误.
【详解】
由题意，函数的定义域为关于原点对称，
又由，所以是奇函数；
且，
所以又是周期函数，所以A是正确的；
由，即，
所以关于直线对称，所以C是正确的；
由，
所以关于点对称，所以D是正确的；
由，
令，，
令，
，
的单调递减区间是，
的单调递增区间是，
的极大值为，
所以的最大值为，
即函数的最大值为，故B选项错误.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角函数的函数的基本性质的判定及应用，其中解答中熟记函数的周期性、对称性，以及三角函数的基本关系式和应用导数求最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．函数的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）

A．的最小正周期是 B．在上单调递增
C．在上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像，可得，利用正弦函数的性质，结合整体法计算，以及对选项的排除法，可得结果.
【详解】
由图可知，，
该三角函数的最小正周期，
故A项正确；
所以，则.
因为，所以该函数的
一条对称轴为，
将代入，
则，
解得，
故.
令，
得，
令，则
故函数在上单调递增.故B项正确；
令，
得，
令，
故函数在上单调递减.故C项错误；
令，得，
令，
故直线是的一条对称轴.故D项正确.
故选C.
【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，对这种问题要参照正弦函数的性质，并结合整体法解决问题，属中档题.
3．（2020·四川攀枝花·高三月考（文））关于函数的下述四个结论中，正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的最大值为
C．在有个零点
D．在区间单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】
分析函数的奇偶性、最值、零点、单调性，对各选项进行逐一判断即可.
【详解】
，
所以是偶函数，不是奇函数，故A不正确.
，且当时取得等号；
，且当时取得等号，
所以但等号无法取得，
即的最大值小于，故B不正确.
由是偶函数且，
可得在区间上的零点个数必为偶数，故C不正确.
当时，单调递增，故D正确.
故选D.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，涉及奇偶性、最值、零点、单调性的.解选择题要善于利用排除法，如选项B,可不必求出具体的最大值，只需判断最大值是不是即可.
4．（2020·江西省万载中学高二开学考试）已知函数的部分图象如图所示，点，，则下列说法错误的是（ ）

A．直线是图象的一条对称轴
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．的图象可由向左平移个单位而得到
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数的图象，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.
【详解】
由题意，函数的图象过点，
可得，即，即，
因为，所以，即，
又由点，即，可得，解得，
所以函数的解析式为，
令，可得，所以是函数的一条对称轴，所以A是正确的；
由正弦型函数的最小正周期的计算的公式，可得，所以B是正确的；
当，则，
根据正弦函数的性质，可得函数在区间单调递增，所以C是正确的；
由函数向左平移个单位而得到函数，
所以选项D不正确.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算与逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
5．（2019·河北衡水·高三一模（理））已知函数的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为，将其向右平移后得到函数的图象，若函数的图象在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数图象的特征和图象变换得到，然后求出函数的单调递增区间，再根据是增区间的子集可得所求范围．
【详解】
由题意得，所以，因此，
所以．
从而，
由，，
得，．
要使的图象在区间上单调递增，
则需满足，即，
解得，，
当，可得，符合条件．
故选B．
【点睛】
解答本题的关键是正确理解题意，如题中的“一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离”即为四分之一个周期，“函数的图象在区间上单调递增”则说明区间是函数增区间的子集等．本题综合考查三角函数的性质，具有综合性，属于中档题．
6．如图，与轴的正半轴交点为，点，在上，且，点在第一象限，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题得：，得OB=OC=1又,由三角函数定义得: ,,,

7．（2020·广东中山·高一期末）已知函数 () 的图象与函数的图象交于，两点，则（为坐标原点）的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意利用三角函数的图象，求得A、B的坐标，用分割法求△OAB的面积．
【详解】
解：函数y＝2cosx（x∈[0，π]）和函数y＝3tanx的图象相交于A、B两点，O为坐标原点，
由2cosx＝3tanx，可得2cos2x＝3sinx，即 2sin2x+3sinx﹣2＝0，
求得sinx，或sinx＝﹣2（舍去），结合x∈[0，π]，
∴x，或 x；
∴A（，）、B（，），画出图象如图所示；

根据函数图象的对称性可得AB的中点C（，0），
∴△OAB的面积等于△OAC的面积加上△OCB的面积，
等于•OC•|yA|OC•|yC|•OC•|yA﹣yC|••2π，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
8．（2019·福建漳州·高三其他（文））已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求得的值，然后结合三角函数的性质和图象确定的值即可.
【详解】
由函数的最小正周期公式可得：，
则函数的解析式为，
将的图象向右平移个单位长度或所得的函数解析式为：
，
函数图象关于轴对称，则函数为偶函数，即当时：
，
则， ①
令可得：，
其余选项明显不适合①式.
本题选择B选项.
【点睛】
本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．（2020·湖南开福·长沙一中高三月考（理））已知函数满足，，且在区间单调，则的取值个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题设条件，求得，两式相减得，解得，结合在区间单调，求得，即可求解.
【详解】
由题意，函数满足，，
可得，
两式相减得，解得，
又由，可得，即，解得，
所以.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，根据题设条件列出方程和不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
10．（2020·绥德中学高一月考（理））己知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为[-1，1].
B．是以为周期的周期函数.
C．当且仅当时，取最大值.
D．当且仅当时，